NUMERATION ET OPERATIONS LOGIQUES SUR MOTS

NUMERATION ET OPERATIONS LOGIQUES SUR MOTS A. Numération : Introduction : La numération est la science qui traite de la formation, de la dénomination et de la représentation graphique des nombres. Le problème qui se pose est de représenter tous les entiers naturels et les décimaux à l'aide d'un ensemble fini de symboles (souvent des chiffres) rassemblés selon des règles (le code) A.1 Numération décimale ou numération de base "a" : Partons d'un système connu (le système décimal) pour essayer de dégager des méthodes générales : Le code est le suivant : Symboles utilisés: O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - dix unités d'un certain ordre constituent une unité de l'ordre immédiatement supérieur ; - si un ordre est manquant, on note zéro. Exemples : 3284 = 3 10 3 + 2 10 2 + 8 10 1 + 4 10 0 2509 = 2 10 3 + 5 10 2 + 0 10 1 + 9 10 0 D'une manière générale : m c d u = m 10 3 + c 10 2 + d 10 1 + u 10 0 Chaque nombre entier peut s'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire de puissance de 10. "10" est la base du système et l'exposant représente le rang. L'association de la base et de l'exposant est le "poids". La valeur relative d'un chiffre dépend de sa place (de sa position) dans le nombre. 1/20

3284 2 représente 200 unités 2509 2 représente 2000 unités Ce code étant défini, on peut le reprendre et remplacer 10 par "a", à condition qu'a > 1. On dit que l'on a changé de base de numération. On utilisera "a" chiffres parmi lesquels 0 et 1 seront toujours nécessaires. Système en base 2 : 0 et 1 Système en base 8 : 0, l, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 Système en base 16 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F. Dans le système à base 16, il a fallu six dessins ou chiffres supplémentaires. Ainsi un nombre X écrit en base "a" peut avoir pour développement le polynôme arithmétique suivant : X = 4 a 4 + 2 a 3 + 7 a 2 + 6 a 1 + 3 a 0 X = 4 2 7 6 3 base a X = x 4 a 4 + x 3 a 3 + x 2 a 2 + x 1 a 1 + x 0 a 0 X = x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 base a A.2 Passage d'un système en base a au système décimal : L'opération est la suivante : Si N = x y z t u s'écrit en base a : N = x a 4 + y a 3 + z a 2 + t a 1 + u a 0 On remplace les lettres par leurs valeurs numériques et on calcule. 2/20

u = 3573 base 8 u=3.8 3 +5.8 2 +7.8 1 +3.8 0 u=3 x 512 + 5.x 64 + 7.x 8 + 3.x 1 u = 1536 + 320 + 56 + 3 u = 1915 base 10 Donc 3573 base 8 = 1915 base 10 Exercices : -Ecrire en base 10 le nombre 1234 en base 5 -Ecrire en base 10 le nombre 3BF en base 16 -Ecrire en base 10 le nombre 010111011 en base 2 A.3 Passage du système décimal au système en base a : L'opération est la suivante : soit N donné en base 10 et soit x y z t u son écriture en base a (nous savons que les chiffres x y z t u seront inférieurs à la base a) alors nous aurons : N = x a 4 + y a 3 + z a 2 + t a 1 + u a 0 Ce qui peut s'écrire : N = a( x a 3 + y a 2 + z a 1 + t ) + u donc si on divise N par a (avec u<a) le quotient est : x a 3 + y a 2 + z a 1 + t mais x a 3 + y a 2 + z a 1 + t = (x a 2 + y a + z ) + t (avec t<a) et on poursuit Ainsi les restes de chacune des divisions successives constituent les chiffres du nombre cherché en ajoutant à la fin le dernier quotient. On lit les résultats dans l'ordre inverse où l'on opère. Si un reste est nul, on écrit 0 (zéro). 3/20

Ecrire en base 8 le nombre qui s'écrit 1915 en base 10. On pose 1 9 1 5 8 3 1 2 3 9 8 7 5 7 9 2 9 8 3 7 5 3 3 5 7 3 8 = 1 9 1 5 10 Exercices : Ecrire 68 10 en base 2 puis vérifier. Ecrire 137 10 en base 16 puis vérifier. A.4 Nombres fractionnaires : Dans le cas où le nombre à transposer ne serait pas entier, on peut toujours traiter la partie entière par la méthode précédente, la partie fractionnaire s'écrivant en puissances de la base avec des exposants négatifs. 1) 0,254 10 = 0 + 0,2 + 0,05 + 0,004 = 0 + (2 x 10-1 ) + (5 x 10-2 ) + (4 x 10-3 ) 4/20

2} Ecrire en base 10 le nombre qui s'écrit 0,21234 en base 5 sachant que : 5-1 = 0.2 5-5 = 0.00032 5-2 = 0.04 5-6 = 0.000064 5-3 = 0.008 5-7 = 0.0000128 5-4 = 0.0016 0,21234 5 = 0 + (2 x 5-1 ) + (1 x 5-2 ) + (2 x 5-3 ) + (3 x 5-4 ) + (4 x 5-5 ) = 0 + (2 x 0.2) + (1 x 0.04) + (2 x 0.008) + (3 x 0.0016) + (4 x 0.00032) = 0.4 + 0.04 + 0.016 + 0.0048 + 0.00128 = 0.46208 0,21234 5 = 0.46208 10 N = x a 4 + y a 3 + z a 2 + t a 1 + u a 0 3) reprenons le nombre obtenu dans l'exercice précédent 0,21234 5 = 0,46208 10 proposons-nous de l'écrire dans le système octal (base 8) 0.46208 x 8 = 3.69664 3 0.69664 x 8 = 5.57312 5 0.57312 x 8 0.58496 x 8 = = 4.58496 4 4.67968 4 Sens de lecture 0.67968 x 8 = 5.43774 5 on arrête la multiplication lorsque l'on juge l'approximation suffisante donc 0,46208 10 = 0,3544 5 5/20

B. Système binaire B.1 : Introduction : Il a été conçu au 17 e siècle par le mathématicien allemand Leibnitz. Il présente l'avantage de ne comporter que 2 symboles 1 et 0. Les signes employés sont appelés "digits" ou "bits". Il est adapté au traitement booléen en logique. Vrai (True) 1L Faux (False) 0L Voyons un peu de vocabulaire : 1011 est un nombre à 4 bits. - Chiffre binaire ou bit (binary digit), la plus petite unité d'information binaire (base 2) de valeur 0 ou 1. - Quartet ou tétrade (nibble) : mot binaire de 4 bits -Octet (Byte) : mot binaire de 8 bits. - Mot (word) : élément d'information mémorisé ou traité d'un seul bloc par un calculateur numérique (mots de 8, 16, 32 bits). - Processeur (processor) : organe effectuant un traitement numérique (numérique étant synonyme de binaire). - Ordinateur (computer) : calculateur électronique numérique programmé. 6/20

B.1 : Ecriture d'un nombre en système binaire : La correspondance entre les nombres binaires et décimaux s'établit aisément selon les tableaux suivants : X base 10 X base 2 Poids 0 0 2 n X base 2 X base 10 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 2 0 1 1 2 1 10 2 2 2 100 4 2 3 1000 8 2 4 10000 16 2 5 100000 32 2 6 1000000 64 2 7 10000000 128 2 8 100000000 256 2 9 1000000000 512 2 10 10000000000 1024 2 11 100000000000 2048 2 12 1000000000000 4096 2 13 10000000000000 8192 2 14 100000000000000 16384 16 10000 2 15 1000000000000000 32768 17 10001 2 n 1 suivi de n zéros 2 n en base 10 18 10010 19 10011 20 10100 7/20

B 2. Passage du système binaire au système décimal : En reprenant la théorie exposée à la page 2 si N 2 = x y z t u alors N 10 = x 2 4 + y 2 3 + z 2 2 + t 2 1 + u 2 0 Exercice : N = 10011 2 en base 10 10011 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 16 + 0 + 0 +2 + 1 = 19 10 10011 2 = 19 10 a) écrire N = 1001 1101 2 en base 10 b) écrire N = 1110 1000 2 en base 10 c) écrire N = 1101 1111 2 en base 10 d) écrire N = 10 1111 1111 2 en base 10 e) écrire N = 1100 1000 2 en base 10 B 3. Passage du système décimal au système binaire : En reprenant la théorie exposée à la page 2, on peut dire: pour passer de la base 10 à la base 2, on procédera par divisions successives avec pour diviseur 2, si le reste est nul, on placera 0 dans le nombre. 227 : 2 = 113 1 113 : 2 = 56 1 convertir 227 10 en base 2 56 : 2 = 28 0 28 : 2 = 14 0 14 : 2 = 7 0 7 : 2 = 3 1 3 : 2 = 1 1 1 : 2 = 0 1 Sens de lecture 1110 0011 2 8/20

Exercice : a) convertir 172 10 en base 2 b) convertir 86 10 en base 2 c) convertir 163 10 en base 2 d) convertir 47 10 en base 2 e) convertir 68 10 en base 2 B 4. Opérations en système binaire : Addition : établissons la table d'addition 0+0=0 0 + 1 = 1 et 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 le 1 porté en retenue dans la colonne suivante a) 1 1 0 0 1 25 10 + 1 0 0 0 0 1 + 33 10 1 1 1 0 1 0 58 10 b) 1 0 1 1 1 1 47 10 + 1 0 1 1 + 11 10 1 1 1 0 1 0 58 10 9/20

Soustraction : réalisons la soustraction suivante : 11011-1101 =? ( 27 10-13 10 =? ) Il faut réaliser une manipulation sur le nombre 1101 : c'est à dire en prendre le complément bit à bit et lui additionner 1. Il faut veiller à avoir toujours le même nombre de bits lorsque l'on utilise le complément à 2. 01101 nombre 10010 complément bit à bit + 1 10011 complément à 2 et la soustraction se transforme en addition du premier nombre et du nombre obtenu. 11011 + 10011 = 11011 + 10011 101110 14 10 1 non pris en considération 10010-01110=? (18 10-14 10 =? ) 01110 10010 10001 + 10010 + 1 100100 4 10 10010 1 non pris en considération 10/20

Remarque générale dans un mot de plusieurs bits : -le bit le moins significatif (celui de droite, celui du poids le plus faible) est appelé LSB (Least Significant Bit). -le bit le plus significatif (celui de gauche, celui de poids le plus fort) est appelé MSB (Most Significant Bit). C. Système hexadécimal : Le code hexadécimal correspond au système de numération en base 16. Les seize premiers chiffres de ce système représentent les seize combinaisons possibles avec un nombre binaire de 4 bits (2 4 ). 11/20

Code décimal Code hexadécimal 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 Remarque: le passage d'un nombre binaire en hexadécimal est relativement simple. Il suffit de regrouper 4 par 4 à partir de la droite et de remplacer chaque groupement par le code hexadécimal correspondant 0110 1101 2 0110 2 => 6 10 => 6 16 1101 2 => 13 10 => D 16 0110 1101 2 => 6D 16 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F 16 10 17 11 18 12 le passage du nombre hexadécimal en décimal se fait en multipliant chaque chiffre significatif constitutif du nombre par la puissance de 16 appropriée. 51h Intel 6D 16 $51 Motorola = 16 1 x 6 + 16 x D = 96 + 13 = 109 10 Notations retenues 0x51 AINSI (American National Standards Institute) 12/20

D.Code DCBN (décimal codé binaire naturel) : C'est un code pondéré car on assigne à chacun des 4 bits (dont la combinaison donne un nombre décimal de 0 à 9) une certaine valeur "poids" de telle sorte que la somme algébrique des poids des bits égaux à 1 soit égale à ce nombre décimal : Code décimal Code DCBN 8421 0 0000 1 0001 ce code est très utilisé car il permet le passage rapide du nombre codé au nombre décimal équivalent et inversement. 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 1) écrire 93 10 en code DBCN Nombre décimal 9 3 8421 8421 Nombre DCBN 1001 0011 Donc 93 10 => 1001 0011 DBCN 2) 54 10 s'écrit. DBCN 3) 01101000 DBCN s'écrit 10 13/20

chaque groupe de 4 bits représente un chiffre de 0 à 9 mais attention. E.Codes cycliques : 01110100 DCBN 01110100 2 01110100 DCBN => 10 01110100 2 => 10 Ces codes sont surtout utilisés dans la traduction analogique-digitale. Ils présentent les caractéristiques suivantes: chaque combinaison ne diffère de deux combinaisons immédiatement voisines que par le changement d'un seul bit. Nous allons étudier le code GRAY ou code binaire réfléchi; nous avons déjà utilisé ce code pour les constructions des diagrammes de Karnaugh. Code décimal Code GRAY 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100 on remarque des axes de symétrie, d'où le qualificatif "réfléchi" le code GRAY est malgré sa complexité apparente, un code pondéré (voir page suivante) 8 1100 9 1101 Ce code étant utilisé fréquemment, il est nécessaire d'exposer les transcodages suivants. 14/20

Passage du code binaire naturel en code GRAY : Pour expliquer la méthode, nous allons prendre un exemple : considérons le nombre binaire naturel N=1010 donc on veut calculer le nombre binaire réfléchi correspondant. Le nombre binaire comporte 4 chiffres (que l'on désigne par 1 à 4 en les comptant de droite à gauche ). Le premier chiffre du nombre réfléchi correspondant (c'est-à-dire dans le cas de notre exemple, celui qui porte le n 4) est obligatoirement 1, donc on écrit 1 en dessous du 1 le plus à gauche du nombre binaire naturel. Pour calculer le chiffre 3 du code GRAY, on fait la fonction OU exclusive entre les chiffres 4 et 3 du code binaire naturel et etc... N 0 4 3 2 1 1--- --- --- ---0--- --- --- ---1--- --- --- 0 2 1 1 1 1 GRAY Exercice : Convertir les nombres suivants en code GRAY a) N= 10010010111010 2 b) N= 10110110001101 2 15/20

Passage du code GRAY en binaire naturel : Pour expliquer cette méthode, nous allons prendre un exemple. Considérons le nombre GRAY: N= 1101 Le nombre binaire comporte 4 chiffres (que l'on désigne de 1 à 4 en les comptant de droite à gauche) le premier chiffre du nombre binaire naturel (n 4) correspondant est obligatoirement 1, donc on écrit 1 au-dessous. Pour calculer le chiffre n 3 du code binaire naturel, on fait un OU exclusif entre le chiffre n 4 du nombre binaire naturel et le chiffre n 3 du nombre GRAY etc. N 0 4 3 2 1 1 1 0 1 GRAY = 9 10 1 0 0 1 2 = 9 10 8+0+0+1 Exercice : Convertir les nombres suivants en code binaire puis en décimal 1) N=10101110101101 GRAY 2) N=10100010100011 GRAY 16/20

Passage du code GRAY en code décimal On peut calculer cette valeur sans passer par l'intermédiaire du binaire naturel. Chaque chiffre du code GRAY est affecté d'un poids donné dans le tableau ci- dessous. n n du chiffre Poids 2 n - 1 1 1 Poids = 2 n -1 (n = n du chiffre) 2 3 3 7 4 15 5 31 6 63 7 127 8 255 9 511 Pour calculer la valeur décimale du nombre exprimé en code GRAY, on affecte alternativement le signe + et le signe - aux différents 1 du nombre codé en partant de la gauche et on fait la somme. 10 1023 11 2047 12 4095 13 8191 14 16 383 15 32 767 1) N = 1110 GRAY =?. 10 N du chiffre 4 3 2 1 => Poids => 15 7 3 1 Nombre en GRAY => 1 1 1 0 Signe => + - + Somme => 15-7 +3 = 11 10 17/20

2) N = 0101 GRAY =?. 10 N du chiffre 4 3 2 1 => Poids => 15 7 3 1 Nombre en GRAY => 0 1 0 1 Signe => + - Somme => 7-1 = 6 10 Exercice : 1) Convertir les résultats des exercices 1 et 2 de la page 14 en décimal. 2) Convertir les énoncés des exercices 1 et 2 de la page 15 en code décimal et vérifier les résultats. F.Code ASCII (American Standard Code for Information Interchange) : Sur 7 bits pour sa version minimale, ce code international affecte à chaque lettre de l alphabet et chaque caractère de ponctuation un code unique. Il permet l échange de données simples non formatées entre systèmes tels qu'automates programmables, machines outils, ordinateurs de standard différent...etc... Exemples pour un caractère : C => 43 16 => 67 10 p => 70 16 => 112 10 Exemples pour une commande : CR => 0D 16 => 13 10 Space => 20 16 => 32 10 Fonction Hex Déc Signification Fonction Hex Déc Signification NULL 0 0 Null DC1 11 17 Device Control 1 SOH 1 1 Start Of Heading DC2 12 18 Device Control 2 STX 2 2 Start Of Text DC3 13 19 Device Control 3 ETX 3 3 End Of Text DC4 14 20 Device Control 4 EOT 4 4 End Of Transmission NAK 15 21 Negative Acknowledge ENQ 5 5 Enquiry SYN 16 22 Synchronous idle ACK 6 6 Acknowledge ETB 17 23 End of Transmission Bloc BEL 7 7 Bell CAN 18 24 Cancel BS 8 8 Back Space EM 19 25 End of Medium TAB 9 9 Horizontal Tabulation EOF 1A 26 End Of File LF A 10 Line Feed ESC 1B 27 Escape VT B 11 Vertical Tabulation FS 1C 28 File Separator FF C 12 Form Feed GS 1D 29 Group Separator CR D 13 Carriage Return RS 1E 30 Record Separator SO E 14 Shift Out US 1F 31 Unit Separator SI F 15 Shift In SP 20 32 Space DLE 10 16 Data Link Escape DEL 7F 127 Delete 18/20

Codes caractères standard (0-127) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 000 (nul) 016 (dle) 032 sp 048 0 064 @ 080 P 096 ` 112 p 1 001 (soh) 017 (dc1) 033! 049 1 065 A 081 Q 097 a 113 q 2 002 (stx) 018 (dc2) 034 " 050 2 066 B 082 R 098 b 114 r 3 003 (etx) 019 (dc3) 035 # 051 3 067 C 083 S 099 c 115 s 4 004 (eot) 020 (dc4) 036 $ 052 4 068 D 084 T 100 d 116 t 5 005 (enq) 021 (nak) 037 % 053 5 069 E 085 U 101 e 117 u 6 006 (ack) 022 (syn) 038 & 054 6 070 F 086 V 102 f 118 v 7 007 (bel) 023 (etb) 039 ' 055 7 071 G 087 W 103 g 119 w 8 008 (bs) 024 (can) 040 ( 056 8 072 H 088 X 104 h 120 x 9 009 (tab) 025 (em) 041 ) 057 9 073 I 089 Y 105 i 121 y A 010 (lf) 026 (eof) 042 * 058 : 074 J 090 Z 106 j 122 z B 011 (vt) 027 (esc) 043 + 059 ; 075 K 091 [ 107 k 123 { C 012 (ff) 028 (fs) 044, 060 < 076 L 092 \ 108 l 124 D 013 (cr) 029 (gs) 045-061 = 077 M 093 ] 109 m 125 } E 014 (so) 030 (rs) 046. 062 > 078 N 094 ^ 110 n 126 ~ F 015 (si) 031 (us) 047 / 063? 079 O 095 _ 111 o 127 Codes des caractères étendus (128-255) 8 9 A B C D E F 0 128 Ç 144 É 160 á 176 192 À 208 Ð 224 a 240 º 1 129 ü 145 æ 161 í 177 193 Á 209 Ñ 225 b 241 ± 2 130 é 146 Æ 162 ó 178 194 Â 210 Ò 226 G 242 ³ 3 131 â 147 ô 163 ú 179 ³ 195 Ã 211 Ó 227 p 243 4 132 ä 148 ö 164 ñ 180 196 Ä 212 Ô 228 S 244 ó 5 133 à 149 ò 165 Ñ 181 µ 197 Å 213 Õ 229 s 245 õ 6 134 å 150 û 166 ª 182 198 Æ 214 Ö 230 m 246 7 135 ç 151 ù 167 º 183 199 Ç 215 231 t 247» 8 136 ê 152 ÿ 168 184 200 È 216 Ø 232 F 248 9 137 ë 153 Ö 169 185 ¹ 201 É 217 Ù 233 q 249 A 138 è 154 Ü 170 186 º 202 Ê 218 Ú 234 W 250. B 139 ï 155 171 ½ 187» 203 Ë 219 235 d 251 Ö C 140 î 156 172 ¼ 188 ¼ 204 Ì 220 _ 236 252 n D 141 ì 157 173 189 ½ 205 Í 221 237 Æ 253 ² E 142 Ä 158 Pt 174 " 190 ¾ 206 Î 222 238 Î 254 F 143 Å 159 f 175 " 191 207 Ï 223 239 Ç 255 G. Capacités de stockage : Multiples Abréviation en français Abréviation en anglais Kilo-octet (1000 caractères) ko KB Mega-octet (1 million de caractères) Mo KB Giga-octet (1 milliard de caractères) Go GB Tera-octet (1000 milliards de caractères) To TB 19/20

H. Les nombres flottants : La notation en virgule flottante permet d'éviter de conserver un grand nombre de chiffres non significatifs tout au long d'un calcul. Le premier chiffre apparaît immédiatement après la virgule (0,00002014 = 0,2014 x 10-4 ). On peut coder la suite des décimales (mantisse) sur 3 octets, l'exposant sur 7 bits et le signe du nombre. 30,75 10 30,75 = 1 x 16 1 + 14 x 16 0 + 12 x 16-1 = 16 2 ( 1 x 16-1 + 14 x 16-2 + 12 x 16-3 ) La mantisse est : 1DC 16 => 1D 16 C0 16 00 16 sur 3 octets Le nombre est positif : le bit le plus fort est 0 L'exposant est égal à 2 10 : on le code en lui ajoutant 64 10 => 64 10 +2 10 =66 10 => 42 16 On obtient en binaire (sur 32 bits) : Signe Exposant Mantisse + 4 2 1 D C 0 0 0 0 100 0010 0001 1110 1100 0000 0000 0000 Pour coder -30,75 10, il suffit de modifier le bit de signe : Signe Exposant Mantisse - 4 2 1 D C 0 0 0 1 100 0010 0001 1110 1100 0000 0000 0000 Type et description Taille en bits Options pour le format : Plage et représentation des nombres (valeur minimale à valeur maximale) Exemple 20/20