Chapitre 09 Diagramme de Bode de systèmes linéaires

Chapitre 09 Diagramme de Bode de systèmes linéaires Capacités exigibles : Tracer et exploiter le diagramme de Bode d un système linéaire. Exploiter la réponse fréquentielle d un système linéaire pour identifier ses paramètres caractéristiques (amplification, facteur de qualité, ordre). Définir la fonction et les gabarits des filtres idéaux. Choisir un type de filtre en fonction d un traitement fréquentiel donné. Calculer et mesurer les principales caractéristiques d un filtre: fréquence de coupure à -3dB, bande passante, fréquence centrale, gain statique et amplification statique. Tracer et exploiter un diagramme de Bode pour identifier les propriétés d un filtre. Rappels sur les systèmes linéaires : Un système linéaire qui permet de laisser passer ou de couper certaines fréquences d un signal d entrée périodique est appelé filtre. Il peut aussi produire un déphasage du signal de sortie par rapport au signal d entrée. On appelle transmittance isochrone complexe (ou fonction de transfert complexe) le rapport entre le signal de sortie et le signal d entrée d un système linéaire soumis à un régime sinusoïdal forcé. On la note H(jω) e(t) Système H(jω) = s(t) e(t) s(t) Dans la suite du chapitre, on choisit ces notations pour les signaux sinusoïdaux alternatifs (RSF): Signal d entrée Signal de sortie Expression réelle e(t) = E cos(ωt) s(t) = U m cos(ωt + φ) Expression complexe e(t) = Ee jωt s(t) = U m e j(ωt+φ) E est l amplitude du signal d entrée, dont l unité est le volt. U m est l amplitude du signal de sortie, dont l unité est le volt. φ est le déphasage du signal de sortie par rapport au signal d entrée, dont l unité est le radiant. H(jω) = U m E Le module de H(ω) est donc le rapport de l amplitude de la tension de sortie sur l amplitude de la tension d entrée, pour la pulsation ω étudiée. Arg (H(jω)) = φ L argument de la fonction de transfert H(ω) est donc le déphasage du signal de sortie par rapport à l entrée, pour la pulsation ω étudiée. 1

I. Qu est-ce le gain en décibel? A. Définition du gain en régime sinusoïdal forcé : Les variations de H(jω) = U m, en fonction de la pulsation du signal d entrée ω, étant souvent importantes, E on préfère en réalité créer une nouvelle grandeur à partir de H(jω) appelée gain en décibel, notée G db. Gain en décibel : (à connaître par cœur) G db = 20 log H(jω) ou encore G db = 20 log ( U m E ) avec G db : gain en décibels, dont l unité est notée db H(jω) : module de la transmittance isochrone du système, sans unité et égal à U m E. Remarque : Dans le chapitre 05, le gain en tension était défini par la relation G db = 20 log ( U S,eff U E,eff ). En RSF, les deux signaux sont sinusoïdaux alternatifs : G db = 20 log ( U S,eff U E,eff ) = Si H(jω) > 1 alors G db > 0 : le système est amplificateur Si H(jω) < 1 alors G db < 0 : le système est atténuateur Si H(jω) = 1 alors G db = 0 db : le système est passeur - 3 db : une perte particulière B. Exemple du filtre passe-bas idéal : Un filtre passe-bas idéal laisse passer sans les atténuer les signaux sinusoïdaux alternatifs «de basses fréquences/pulsations», ceux dont la pulsation est inférieure à la pulsation de coupure ω c du système : pour chacune de ces pulsations, U m = donc H(jω) = U m E = Un filtre passe-bas idéal atténue parfaitement les signaux sinusoïdaux alternatifs «de hautes fréquences/pulsations», ceux dont la pulsation est supérieure à la pulsation de coupure ω c du système : pour chacune de ces pulsations, U m = donc H(jω) = U m E = 2

Tracé de H(jω) : Le tracé de H(jω) = U m E en fonction de la pulsation du signal d entrée pour un filtre passe-bas idéal, donne : H(jω) ω (rad/s) Tracé de G db (ω) : Le tracé de G db (ω) en fonction de la pulsation du signal d entrée pour un filtre passif passe-bas idéal, donne : G db 0 ω (rad/s) Si les filtres passe-bas (passifs) étaient idéaux, seules deux valeurs de G db seraient possibles : G db = 0 db pour les signaux sinusoïdaux alternatifs de «basses fréquences» G db tend vers pour les signaux sinusoïdaux alternatifs de «hautes fréquences». Conclusion (à retenir) : Afin de rendre compte de ce phénomène, on étudie le diagramme de Bode du système (voir II de ce chapitre). C. Comment obtenir l expression du gain en décibel pour un système réel? Méthode générale : comment obtenir l expression littérale de G db en fonction de ω, à partir de la transmittance isochrone H(jω)? 1 ère étape : avoir déterminé H(jω) par les méthodes vues dans le chapitre 08 2 ème étape : déterminer le module de H(jω), noté H(jω), en utilisant les formules suivantes z = a + j b alors z = a 2 + b 2 et z = z 1 z 2 = z 1 3 ème étape : utiliser enfin la formule du gain en décibels G db : G db = 20 log H(jω) On connaît ainsi G db (ω). Le tracé complet ne peut se faire cette année qu à l aide d un logiciel. z 2 3

II. Diagramme de Bode d un système : A. Qu est-ce que le «diagramme de Bode d un système»? Le diagramme de Bode est une représentation graphique qui permet en un coup d œil de se rendre compte du comportement du système étudié, quelle que soit la fréquence. Il s agit de l une des représentations possibles de H(jω) (nombre complexe) en fonction de la pulsation ω du signal d entrée (on choisit la pulsation plutôt que la fréquence car c est elle qui apparaît naturellement dans les calculs en complexes comme cela a été vu précédemment). Comme H(jω) est un nombre complexe, on choisit de le représenter par deux graphes : 1 er graphe : le gain en décibels G db (lié au module de H(jω)), en fonction de la pulsation ω du signal d entrée. 2 ème graphe : l argument de H(jω) (c est-à-dire le déphasage φ du signal de sortie par rapport au signal d entrée) en fonction de la pulsation ω du signal d entrée. Un diagramme de Bode est donc en réalité, l association de ces deux graphes : 1 er graphe : G db (ω) 2 ème graphe : φ(ω) En ordonnées G db φ Type d échelle pour les ordonnées Échelle linéaire Échelle linéaire En abscisses ω ω Type d échelle pour les abscisses Échelle logarithmique Échelle logarithmique G db φ ω (rad/s) ω (rad/s) Remarques : Le déphasage sera toujours choisi tel que : π φ π. Un axe linéaire est donc suffisant pour cette grandeur. L axe des abscisses peut être un axe représentant la fréquence f du signal d entrée (en Hz). 4

B. Exploitation du diagramme de Bode pour le gain en décibel G db (ω): bande passante Pulsation de coupure ω C : Méthode : comment déterminer graphiquement la (ou les) pulsation de coupure(s) d un système? 1 ère étape : On détermine graphiquement la valeur maximale du gain du système, noté G max,db 2 ème étape : On lui soustrait 3 db : on calcule donc G max,db 3dB 3 ème étape : Sur le graphe, on cherche le point (ou les points) de la courbe ayant pour ordonnée G max,db 3dB. Son abscisse a pour valeur ω C ( ou ω b et ω h ) Dans le cas représenté à gauche, il y a deux pulsations de coupure notées ω b et ω h : ω b : pulsation de coupure basse ω h : pulsation de coupure haute Largeur de la bande passante à 3dB d un système : On appelle largeur de bande passante à 3dB, notée ω, (dont l unité est le rad/s), la grandeur : ω = ω h ω b Par abus de langage, on utilise fréquemment le terme «bande passante» pour désigner ω. Remarque : On peut définir aussi la bande passante avec les fréquences de coupure à la place des pulsations. C est ce qu on fait en général en travaux pratiques puisqu on mesure des fréquences et non des pulsations. Dans ce cas, la largeur de la bande passante est f = f h f b Il arrive qu il n y ait qu une pulsation de coupure : Le gain est supérieur à G db,max 3 pour les pulsations inférieures à ω C. La pulsation de coupure ω C est donc une pulsation de coupure haute. Puisqu il n y a pas de pulsation de coupure basse, la bande passante est [0, ω C ] et la largeur de bande passante : ω = ω C 0 = ω C Le gain est supérieur à G db,max 3 pour les pulsations supérieures à ω C. La pulsation de coupure ω C est donc une pulsation de coupure basse. La bande passante est [ω C, + ] et la largeur de bande passante n est donc pas définie. 5

Sens physique de la bande passante à 3dB : (à retenir) P E : puissance moyenne du signal d entrée P S : puissance moyenne du signal de sortie Dans la bande passante, on a P S : le signal conserve plus de la moitié de sa puissance à la traversée du système. En dehors de la bande passante, on a P S < : le signal perd plus de la moitié de sa puissance à la traversée du système. C. Exploitation du diagramme de Bode pour le gain en décibel G db (ω): asymptotes Pentes des asymptotes de la courbe G db (ω) : Méthode : comment déterminer la pente d une asymptote à partir du graphe G db (ω)? 1 ère étape : Tracer l asymptote (droite tangente à la courbe) à hautes fréquences/pulsations nommée G THF db. Tracer l asymptote à basses fréquences/pulsations nommée G TBF db. 2 ème étape : Si l asymptote est parallèle à l axe des abscisses, sa pente est nulle et vaut donc 0 db/décade. Si l asymptote est parallèle à l axe des ordonnées, sa pente est infinie et n est donc pas définie. 3 ème étape : Si l asymptote n est pas parallèle à l un des axes, repérer sur l axe des abscisses deux valeurs de fréquences ou pulsations multiples de 10 (par exemple, à hautes pulsations, 10 10 3 rad/s et 10 10 4 rad/s). Cet intervalle est appelé une décade. 4 ème étape : Sur cette décade et sur l asymptote, déterminer la valeur de la variation du gain G db. Attention au signe de la variation! 5 ème étape : En déduire la pente de l asymptote en db/décade. Sens physique de la pente d une asymptote : La pente de l asymptote évalue l atténuation pour un filtre. Par exemple, un filtre passe-bas passif ayant une pente d asymptote à hautes fréquences de 60 db/décade attenue davantage les hautes fréquences qu un filtre passe-bas passif ayant une pente d asymptote à hautes fréquences de 20 db/décade Intersection des asymptotes : Pour les systèmes d ordre 1, l intersection des asymptotes G THF db et G TBF db a pour abscisse, la pulsation de coupure du système ω C. Pour les systèmes d ordre 2, l intersection des asymptotes G THF db et G TBF db a pour abscisse, la pulsation propre du système ω 0. 6

D. Exploitation du diagramme de Bode pour le gain en décibel G db (ω): amplification Méthode générale : comment déterminer graphiquement H 0? 1 ème étape : avoir déterminer la nature du filtrage réalisé par le système. H 0 a un sens différent selon le filtre : Pour un filtre passe-bas, H 0 est nommé amplification statique. Pour un filtre passe-haut, H 0 est nommé amplification à hautes fréquences. Pour un filtre passe-bande, H 0 est nommé amplification à la pulsation propre (ou de résonance) 2 ème étape : Sur l axe des ordonnées, on déterminer la valeur du gain, notée G 0,dB (en db) Pour un filtre passe-bas, G 0,dB est la valeur pour du gain à basses fréquences (quand ω tend vers 0 rad/s) Pour un filtre passe-haut, G 0,dB est la valeur pour du gain à hautes fréquences (quand ω tend vers + ) Pour un filtre passe-bande, G 0,dB est la valeur pour du gain à la pulsation centrale (ou à la pulsation propre nommée aussi pulsation de résonance) 3 ème étape : On en déduit H 0, par un calcul, en utilisant la formule suivante : H 0 = 10 G 0,dB 20 Pour aller plus loin : démonstration de la formule de H 0 dans le cas d un passe-bas d ordre 1 Pour un basse-pas d ordre 1, H 0 correspond à l amplification statique, c est-à-dire à la valeur de H(jω) quand ω tend vers 0 rad/s. On sait que : H 0 G db (ω) = 20 log 1 + ( ω ω ) 2 C On remplace donc ω par 0: G db (0) = 20 log H 0 1 + ( 0 2 ω ) C = 20 log H 0 1 = 20 log H 0 On a G db (0) = G 0,dB : G 0,dB = 20 log H 0 On obtient finalement : log H 0 = G 0,dB 20 H 0 = 10 G 0,dB 20 7

E. Exploitation du diagramme de Bode pour le déphasage φ(ω): ordre du système Définition Δφ : On appelle domaine de variation du déphasage, noté Δφ, la grandeur suivante : Δφ = φ HF φ BF φ HF : valeur du déphasage pour les hautes fréquences du signal d entrée φ BF : valeur du déphasage pour les basses fréquences du signal d entrée Propriété importante : comment déterminer l ordre d un système à l aide d un diagramme de Bode? (à retenir) Si Δφ = π alors le système étudié est d ordre 1. 2 Si Δφ = π alors le système étudié est d ordre 2. Si Δφ = 3π alors le système étudié est d ordre 3. 2 Si Δφ = nπ alors le système étudié est d ordre n. 2 III. Les particularités des systèmes d ordre 2 : A. Passe-bas d ordre 2 : Allure de G db : Contrairement au passe-bas d ordre 1, l expression de G db dépend du facteur de qualité Q du système. Il faut donc tracer G db pour plusieurs valeurs du facteur de qualité. Pour H 0 = 1 et ω 0 = 1000 rad/s, on obtient les courbes suivantes : 8

Grandeurs caractéristiques pour chaque courbe de gain : Q 0,10 0,70 5,0 ω 0 (rad/s) 1000 1000 1000 G 0,dB 0 0 0 Quelques soient les valeurs de Q, on retrouve une pente de 40 db/décade pour l asymptote à la courbe du gain à hautes fréquences. Phénomène de résonance et pulsation de résonance ω r : Si Q est supérieur à 0,707 c est-à-dire si Q > 1, il y a apparition d un phénomène nommé résonance. On 2 observe une valeur maximale du gain, pour une pulsation nommé pulsation de résonance ω r : Pour H 0 = 1 et ω 0 = 9000 rad/s : Détermination graphique de ω r pour chaque courbe de gain : A retenir : Q 20 5,0 2,0 ω r (rad/s) 9000 8800 8300 Pour un filtre passe-bas du second ordre, si Q > 1, il y a apparition d un phénomène nommé résonance. 2 Pour ω = ω r, le gain est maximal : il y a donc une amplification maximale du signal d entrée. Plus le facteur de qualité Q augmente, plus la résonance est aigue et plus la pulsation de résonance est proche de ω 0. Une étude théorique du gain nous donne l expression suivante : ω r = ω 0 1 1 2Q 2 9

L intérêt d un filtre passe-bas est d atténuer les hautes fréquences ; or s il y a résonance, on voit sur le diagramme que la courbe réelle rejoint moins rapidement l asymptote. On s arrange donc en général pour que le facteur de qualité Q soit inférieur à 1 2. Pulsation de coupure et bande passante : Pour le passe-bas du second ordre avec Q = 0,10 ; H 0 = 1 et ω 0 = 1000 rad/s : Pour le passe-bas du second ordre avec Q = 0,707 ; H 0 = 1 et ω 0 = 1000 rad/s : On remarque que : ω = La pulsation propre du système est identique à la pulsation de coupure du système si Q = 0,707. 10

B. Passe-haut d ordre 2 : Contrairement au passe-haut d ordre 1, l expression de G db dépend du facteur de qualité Q du système. Il faut donc tracer G db pour plusieurs valeurs du facteur de qualité. Pour H 0 = 1 et ω 0 = 1000 rad/s, on obtient les courbes suivantes : Quelques soient les valeurs de Q, on retrouve une pente de +40 db/décade pour l asymptote à la courbe du gain à hautes fréquences. Grandeurs caractéristiques pour chaque courbe de gain : Q 0,10 0,70 5,0 ω 0 (rad/s) 1000 1000 1000 G 0,dB 0 0 0 Comme pour le passe-bas du second ordre, si Q est supérieur à 0,707 c est-à-dire si Q > 1, il y a apparition 2 d un phénomène nommé résonance. On observe une valeur maximale du gain, pour une pulsation nommé pulsation de résonance ω r : Pour un filtre passe-haut du second ordre, si Q > 1, il y a apparition d un phénomène nommé résonance. 2 Pour ω = ω r, le gain est maximal : il y a donc une amplification maximale du signal d entrée. Plus le facteur de qualité Q augmente, plus la résonance est aigue et plus la pulsation de résonance est proche de ω 0. Une étude théorique du gain nous donne l expression suivante : ω r = ω 0 1 1 2Q 2 11

L intérêt d un filtre passe-haut est d atténuer les basses fréquences ; or s il y a résonance, on voit sur le diagramme que la courbe réelle rejoint moins rapidement l asymptote. On s arrange donc en général pour que le facteur de qualité Q soit inférieur à 1 2. Pulsation de coupure et bande passante : Dans le cas général, la pulsation de coupure du système est différente de sa pulsation propre sauf si Q = 0,707. Pour le passe-haut du second ordre avec Q = 0,10 ; H 0 = 1 et ω 0 = 1000 rad/s : La pulsation propre du système est identique à la pulsation de coupure du système si Q = 0,707. La largeur de la bande passante n est pas définie pour le passe-haut du second ordre (n ayant pas de limite haute). C. Passe-bande d ordre 2 : Allure de G db (ω) : On remarque que l expression de G db dépend du facteur de qualité Q du système. Il faut donc tracer G db pour plusieurs valeurs du facteur de qualité. Pour H 0 = 1 et ω 0 = 1000 rad/s, on obtient les courbes suivantes : 12

Grandeurs caractéristiques pour chaque courbe de gain : Q 0,10 0,70 5,0 ω 0 (rad/s) 1000 1000 1000 G 0,dB 0 0 0 Quelques soient les valeurs de Q, on retrouve une pente de 20 db/décade pour l asymptote à la courbe du gain à hautes fréquences et une pente de +20 db/décade pour l asymptote à la courbe du gain à basses fréquences. Pour un facteur de qualité Q élevé, la courbe est beaucoup «plus resserrée» autour de ω 0. Le filtre est dans ce cas dit sélectif, c est-à-dire que la largeur de la bande passante est de plus en plus faible. 13

Pulsation de coupure et bande passante : Théoriquement, on obtient : Pour un passe-bande d ordre 2, on a : Δω = ω 0 Q ou encore Δf = f 0 Q Plus le facteur de qualité augmente, plus la bande passante est faible. IV. Filtres idéaux et gabarits : En première approximation, on peut considérer qu un filtre coupe les composantes du signal dont la pulsation est hors bande passante et laisse passer celles dont la pulsation est dans la bande passante. On aboutit ainsi au diagramme de Bode en gain, d un filtre idéal. A. Première approximation : filtres idéaux Le filtre idéal permet de transmettre sans atténuer une partie du spectre (celle contenue dans la bande passante) et bloque toutes les autres parties (bande coupée), avec un passage abrupt entre ces deux parties (discontinuité de G db (ω)). 14

Passe-bas passif idéal ω C Passe-haut passif idéal ω C Allure de G db (ω) Pente de G db (ω)à basses fréquences Pente de G db (ω)à hautes fréquences Expression de G db (ω) Expression de H(jω ) 0 db/décade G db = { 0 pour ω < ω C pour ω > ω C 0 db/décade G db = { pour ω < ω C 0 pour ω > ω C H = { 1 pour ω < ω C 0 pour ω > ω C H = { 0 pour ω < ω C 1 pour ω > ω C Passe-bande passif idéal ω b ω h Allure de G db (ω) Pente de G db (ω)à basses fréquences Pente de G db (ω)à hautes fréquences pour ω < ω b Expression de G db (ω) G db = { 0 pour ω b < ω < ω h pour ω > ω h 0 pour ω < ω b Expression de H(jω ) H = { 1 pour ω b < ω < ω h 0 pour ω > ω h Le filtre idéal avec une discontinuité n est pas physiquement réalisable. Les filtres réels présentent donc des imperfections avec lesquelles il faut trouver des compromis en fonction de son application : Irrégularité du gain dans la bande passante gain différent de dans la bande coupée 15

B. Deuxième approximation : gabarits des filtres du premier ordre Le filtre fait en général parti d une chaine de traitement du signal (le système «filtre» est donc une sous partie d un système plus complexe). Le concepteur de l ensemble du système fixe un cahier des charges pour le filtre. Ce cahier des charges est regroupé sur un graphique appelé, gabarit du filtre. Ce gabarit fixe donc les limites tolérées par le concepteur du système étudié. Type de filtre Représentation symbolique Gabarit Passe-bas Passe-haut Passebande 16

V. Synthèse d un filtre passe-bas d ordre n: A. Filtres passe-bas d ordre n : On généralise les résultats du passe-bas d ordre 1 et 2. Ainsi, pour un filtre passe-bas d ordre n : n = 2 ; la pente de l asymptote à haute fréquence est de 40 db/décade. n = 3; la pente de l asymptote à haute fréquence est de 60 db/décade. n = 4; la pente de l asymptote à haute fréquence est de 80 db/décade. Remarque : On généralise les résultats du passe-bande. Ainsi, pour un filtre passe-bande d ordre n : n = 2 ; les pentes des asymptotes sont de 20 db/décade et + 20 db/décade. n = 4; les pentes des asymptotes sont de 40 db/décade et + 40 db/décade. n = 6; les pentes des asymptotes sont de 60 db/décade et + 60 db/décade. Comment obtenir une atténuation importante tout en conservant la même fréquence de coupure à 3dB? B. Approximation de Butterworth : Une fonction d approximation recherche à approcher le gabarit en ayant le degré le plus faible. Définition : Les filtres de Butterworth d ordre n, ont pour transmittance isochrone complexe : H(jω) = 1 f(s), avec s = j ω ω C avec n : ordre du filtre ω C : pulsation de coupure du filtre à 3dB Ordre Expression de f(s) avec s = j ω ω C En pratique : Pour réaliser des filtres électriques analogiques qui ont une pulsation de coupure à 3dB, notée ω C, de rang n, on exprime la fonction de transfert complexe en fonction des paramètres (R, L, C). Puis par identification avec la forme de Butterworth de cette fonction de transfert, on calcule les valeurs de paramètres R, L et C. Il ne reste plus qu à réaliser alors le circuit. 17

C. Approximation de Chebyshev : Définition : Les filtres de Chebyshev d ordre n, ont comme transmittance isochrone complexe, pour une atténuation de 1dB dans la bande passante: H(jω) = 0,891 f(s), avec s = j ω ω C avec n : ordre du filtre ω C : pulsation de coupure du filtre à 1dB Ordre Expression de f(s) avec s = j ω ω C Remarque : Il existe des filtres de Chebyshev pour une atténuation dans la bande passante à 0,1dB ou à 0,5 db. En pratique : Pour réaliser des filtres électriques analogiques qui ont une pulsation de coupure à 1dB, notée ω C, de rang n, on exprime la fonction de transfert complexe en fonction des paramètres (R, L, C). Puis par identification avec la forme de Chebyshev de cette fonction de transfert, on calcule les valeurs de paramètres R, L et C. Il ne reste plus qu à réaliser alors le circuit. 18

Chapitre 09 : ce qu il faut savoir Connaître la définition du gain G db Connaître la fonction réciproque de log ainsi que les propriétes du log Déterminer le module d un complexe Connaître le lien entre le signe de G db et les mots «passeur, atténuateur, amplificateur» Si Δφ = π alors le système étudié est d ordre 1. 2 Si Δφ = π alors le système étudié est d ordre 2. Connaître les conditions de résonance pour le passe-bas et le passe-haut d ordre 2. Connaître les avantages et les inconvénients des approximations de Butterworth et Chebyshev. Chapitre 09 : ce qu il faut savoir faire Savoir déterminer l expression littérale de G db (ω) à partir de celle de H(jω). Savoir tracer les asymptotes à G db (ω) et déterminer leur pente. Savoir déterminer graphiquement ω C, H 0 et ω 0 Savoir déterminer ω r. Savoir déterminer graphiquement le domaine de variation du déphasage Δφ Savoir déterminer la bande passante d un filtre Savoir tracer un gabarit pour un filtre donné. Savoir tracer le graphe G db (ω) pour des filtres idéaux 19