FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 203 ET CORRIGÉ
MAT 203 TABLE DES MATIÈRES I.0 ÉQUATIONS. Résoudre des équations... Exercice... 4 2.0... 5 2. Définir une inégalité... 5 Exercice 2... 7 2.2 Représenter graphiquement des inégalités... 8 Exercice 3... 2.3 Énoncer les propriétés des inégalités...2 2.4 Définir une inéquation...5 Exercice 4...8 2.5 Résoudre des inéquations...9 Exercice 5...20 Exercice 6...22 Exercice 7...25 Exercice 8...28 2.6 Écrire l'inéquation correspondant à un énoncé...29 Exercice 9...3 2.7 Résoudre des problèmes pouvant se traduire par une inéquation... 32 Exercice 0...34 3.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT...35 DIAM94
MAT 203 TABLE DES MATIÈRES II BAPG\9803
MAT 203 THÉORIE.0 ÉQUATIONS. RÉSOUDRE DES ÉQUATIONS On appelle ÉQUATION une égalité qui comprend une ou plusieurs variables. Il existe quatre propriétés que l'on attribue aux égalités qui permettent la résolution des équations. er principe On peut additionner la même quantité à chaque membre d'une égalité sans briser l'égalité. Soit à résoudre a 6 = 8. a 6 = 8 a 6 + 6 = 8 + 6 Additionner 6. a + 0 = 24 a = 24 L'ensemblesolution est {24}.
MAT 203 THÉORIE 2 e 2 principe On peut soustraire la même quantité à chaque membre d'une égalité sans briser l'égalité. Soit à résoudre a + 6 = 8. a + 6 a + 6 6 a + 0 a = 8 = 8 6 = 2 = 2 Soustraire 6. L'ensemblesolution est {2}. e 3 principe On peut multiplier chaque membre d'une égalité par une même quantité sans briser l'égalité. Soit à résoudre a 5 = 7. a x 5 = 7 x 5 5 Multiplier par 5. a = 35 L'ensemblesolution est {35}.
MAT 203 THÉORIE 3 e 4 principe On peut diviser chaque membre d'une égalité par une même quantité sans briser l'égalité. Soit à résoudre 4a = 20. 4a = 20 Diviser par 4. 4 4 a = 5 L'ensemblesolution est {5}. Ces principes sont très utiles pour résoudre les équations.
MAT 203 EXERCICE 4. Résoudre les équations suivantes. a. b. c. x + 4 = 20 k = 4 5 y 6 = 2 l. k. y = 8 3 b +,5 = 6 m. 7 + a = 4 d. 5x = 30 n. 7y = 28 e. x = 7 o. y 3 = 9 f. a + 2 = 22 p. x + 2,4 = 0 g. h. x = 20 2,4 3a = 39 q. r. x = 9 6 2 + b = 9 i. j. x = 2 5 4 + y = 48 s. b 6,3 = 2 t. 3x = 8
MAT 203 THÉORIE 5 2.0 2. DÉFINIR UNE INÉGALITÉ INÉGALITÉ Une inégalité est une relation algébrique où figurent deux quantités dont l'une est plus grande que l'autre. Rappel des signes les plus usuels de la relation d'inégalité : < signifie est inférieur à; > signifie est supérieur à; # signifie est inférieur ou égal à; $ signifie est supérieur ou égal à. On utilise des phrases mathématiques pour exprimer des inégalités. Soit?le produit de 4 et 6 est plus petit que 25. On écrit à l'aide de symboles : 4 x 6 < 25. Il est essentiel de traduire en phrase mathématique afin qu'on puisse résoudre des problèmes.
MAT 203 THÉORIE 6 +)))))))), *Exemples*.)))))))) ) x < 25 signifie x est inférieur à 25. Alors si x appartient à l'ensemble des nombres naturels, l'ensemblesolution est égal à { 0,, 2, 3, 4,..., 24 }. 2) Trouver l'inégalité correspondant à l'énoncé suivant. Entrée gratuite pour les enfants ayant moins de 2 ans. Alors, x < 2. L'ensemblesolution est égal à {, 2, 3,..., 9, 0, }.
MAT 203 EXERCICE 2 7. Trouver les nombres naturels qui peuvent vérifier les inégalités suivantes. a. x < 9 d. b $ 7 b. y # 8 e. m > 2 c. a > 3 f. n < 5 2. Trouver les inégalités correspondant aux énoncés suivants. a. Prix spéciaux pour famille comprenant 4 personnes ou plus. b. Limite de 5 verres. c. Coût : au moins 0 $. d. Rabais pour personnes âgées de moins de 25 ans. e. Personnes pesant moins de 00 kg. f. Température minimale de 5EC. g. Cueillir au moins 5 paniers de pommes. h. Il faut avoir moins de 3 ans. i. Température de 0EC ou plus. j. Limite : moins de 7 personnes.
MAT 203 THÉORIE 8 2.2 REPRÉSENTER GRAPHIQUEMENT DES INÉGALITÉS Il est possible de représenter des inégalités sur la droite numérique des entiers. Soient quelques résultats possibles dans un tournoi de golf. Résultat Inégalité Représentation graphique plus de 2 x > 2 S))2))2))2))2))2))2))2))2))> audessus 2 0 2 3 4... du par 2 ou plus x $ 2 S))2))2))2))2))2))2))2))2))> audessus 2 0 2 3 4... du par ou plus x $ S))2))2))2))2))2))2))2))2))> audessus 2 0 2 3 4... du par moins de x < S))2))2))2))2))2))2))2))2))> audessus... 2 0 2 3 4 du par au plus 3 x # 3 S))2))2))2))2))2))2))2))2))> audessus... 2 0 2 3 4 du par Remarque Si on avait à représenter des inégalités sur la droite numérique des nombres naturels, on les représenterait de la même manière qu'on les représente sur la droite des entiers.
MAT 203 THÉORIE 9 Il est aussi possible de représenter des inégalités sur la droite numérique des nombres réels. Soient les durées de temps (heures) d'une partie de baseball. Durée Inégalité Représentation graphique plus de x > 3 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> 3 heures 4 3 2 0 2 3 4... 3 heures x # 3 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> ou moins... 4 3 2 0 2 3 4 moins de x < 2 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> 2 heures... 4 3 2 0 2 3 4 2 heures x # 2 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> ou moins... 4 3 2 0 2 3 4 Le petit cercle indique si le nombre est compris ou non dans l'ensemblesolution. S'il est plein le nombre est un élément de l'ensemblesolution. S'il est vide le nombre n'est pas un élément de l'ensemblesolution. Le trait foncé indique que tous les nombres, qu'ils soient des nombres naturels, des entiers, des rationnels ou des irrationnels, sont compris dans l'ensemblesolution. Les 3 petits points de suspension (...) indiquent la continuité de l'ensemblesolution.
MAT 203 THÉORIE 0 +)))))))), *Exemples*.)))))))) Représenter graphiquement les inégalités suivantes sur une droite numérique. ) x < 4, x 0 N Cette inégalité se lit : x est inférieur à 4, et x appartient à l'ensemble des nombres naturels. S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2) x > 2, x 0 Z Cette inégalité se lit : x est supérieur à 2, et x appartient à l'ensemble des entiers. 5 4 3 2 0 2 3 4 5... 3) x # 2, x 0 R Cette inégalité se lit : x est inférieur ou égal à 2, et x appartient à l'ensemble des nombres réels.... 5 4 3 2 0 2 3 4 5
MAT 203 EXERCICE 3. Représenter graphiquement les inégalités suivantes. a. x > 3, x 0 N f. x < 4, x 0 R b. x > 4, x 0 Z g. x # 4, x 0 R c. x >, x 0 R h. x $ 3, x 0 R d. x < 3, x 0 Z i. x # 3, x 0 Z e. x > 3, x 0 Z j. x # 5, x 0 Z
MAT 203 THÉORIE 2 2.3 ÉNONCER LES PROPRIÉTÉS DES INÉGALITÉS En connaissant les propriétés des inégalités, il est possible de résoudre des inéquations. Les propriétés suivantes permettent d'avoir une inégalité équivalente à une inégalité donnée. re propriété On peut additionner la même quantité à chaque membre d'une inégalité sans modifier l'ensemblesolution. +)))))))), *Exemple *.)))))))) 4 > 3. Inégalité vraie. 4 + 6 > 3 + 6 Additionner 6 à chaque membre de l'inégalité. 0 > 9 Inégalité demeure vraie. e 2 principe On peut soustraire la même quantité à chaque membre d'une inégalité sans modifier l'ensemblesolution.
MAT 203 THÉORIE 3 +)))))))), *Exemple *.)))))))) 3 > 2 Inégalité vraie. 3 5 > 2 5 Soustraire 5 à chaque membre de l'inégalité. 2 > 3 Inégalité demeure vraie. e 3 principe On peut multiplier chaque membre d'une inégalité par une même quantité positive sans briser l'inégalité. Quand on MULTIPLIE par une QUANTITÉ NÉGATIVE, on doit CHANGER le sens de l'inégalité. +)))))))), *Exemples*.)))))))) ) 2 > 2 2 x 2 > 2 x 2 24 > 24 Inégalité vraie. Multiplier par 2 chaque membre de l'inégalité. Inégalité demeure vraie. 2) 0 < 6 Inégalité vraie. 0 x 2 > 6 x 2 Multiplier par 2 chaque membre de l'inégalité, on a renversé le symbole d'inégalité. 20 > 32 Inégalité demeure vraie.
MAT 203 THÉORIE 4 e 4 principe On peut diviser chaque membre d'une inégalité par une même quantité positive sans briser l'inégalité. Quand on DIVISE par une QUANTITÉ NÉGATIVE, on doit CHANGER le sens de l'inégalité. +)))))))), *Exemples*.)))))))) ) 24 > 2 Inégalité vraie. 24 2 > 2 2 Diviser par 2 chaque membre de l'inégalité. 2 > 6 Inégalité demeure vraie. 2) 2 < 6 Inégalité vraie. 2 2 > 6 2 Diviser par 2 chaque membre de l'inégalité, on a renversé le symbole d'inégalité. 6 > 8 Inégalité demeure vraie.
MAT 203 THÉORIE 5 2.4 DÉFINIR UNE INÉQUATION INÉQUATION Une inéquation est une inégalité qui comprend au moins une variable. Cette inégalité est seulement vraie pour certaines valeurs des variables. Dans ce cahier, on se limitera à une seule variable. +)))))))), *Exemple *.)))))))) En utilisant la variable?x et un symbole d'inégalité, on est capable d'exprimer la situation mathématique suivante : les nombres plus petits que cinq. x < 5 les nombres plus petits cinq Conclusion L'expression mathématique x < 5 s'appelle une inéquation parce qu'elle contient un symbole d'inégalité (<) et une variable (x). Il faut aussi définir l'ensemble de référence, c'estàdire l'ensemble auquel il faut se référer pour choisir les éléments dont on a besoin.
MAT 203 THÉORIE 6 L'ensemblesolution dans une inéquation contient ordinairement un grand nombre d'éléments. C'est l'ensemble des réponses possibles pouvant satisfaire les valeurs de la variable dans l'inéquation. Il existe deux méthodes pour exprimer l'ensemblesolution d'une inéquation :. ensemblesolution en extension. En se référant à l'exemple x < 5 et en utilisant l'ensemble des nombres naturels, on est capable de dire x = { 0,, 2, 3, 4 }. Pour vérifier cet ensemblesolution, on donne à la variable?x les valeurs de cet ensemble. Si x vaut 0, 0 est un nombre naturel et 0 est plus petit que 5. On peut aussi dire : si x vaut, 0 N et < 5; si x vaut 2, 2 0 N et 2 < 5; si x vaut 3, 3 0 N et 3 < 5; si x vaut 4, 4 0 N et 4 < 5. Mais : si x vaut 5, 5 0 N mais 5 Û 5. 2. ensemblesolution représenté graphiquement sur une droite numérique. L'ensemblesolution sur la droite peut être représenté de la façon suivante : { x 0 R * x < 5 }... 3 2 0 2 3 4 5 6 7
MAT 203 THÉORIE 7 Remarquer que { x 0 R * x < 5 } est une manière courte pour écrire l'ensemblesolution d'une inéquation. On le lit : l'ensemble de tous les x appartenant à R tel que x est inférieur à 5. 0 signifie?appartenant à Le trait vertical * signifie?tel que L'ensemblesolution s'écrit toujours entre des accolades { }.
MAT 203 EXERCICE 4 8. Exprimer symboliquement les situations suivantes. a. a est supérieur à 5. b. x est plus petit que. c. y est plus grand ou égal à 3. d. x est plus grand que 6 et inférieur à 8. 2. Donner en extension l'ensemblesolution des inéquations suivantes. a. x # 5 et x 0 Z f. x < 5 et x 0 N b. y > 3 et y 0 N g. a > 5 et a 0 Z c. x $ 0 et x 0 N h. m # 2 et m 0 Z d. x > 2 et x 0 N i. 4 # y < 7 et y 0 N e. y < 6 et y 0 N j. r # 2 et r 0 Z
MAT 203 THÉORIE 9 2.5 RÉSOUDRE DES On résout des inéquations de la même manière que l'on résout des équations, c'estàdire en appliquant les quatre principes d'inégalités. principe d'addition On est capable d'additionner la même quantité à chaque membre d'une inéquation sans modifier l'ensemblesolution. +)))))))), *Exemple *.)))))))) Soit n > 4, n 0 R. n + > 4 + Additionner. n > 5 L'ensemblesolution est { n 0 R * n > 5 }. Vérification Remplacer n = 6, dans n > 4. On a 6 > 4. Donc 5 > 4. Représentation graphique Soit à représenter graphiquement n > 5 et n 0 R. 3 2 0 2 3 4 5 6 7...
MAT 203 THÉORIE 20
MAT 203 EXERCICE 5 2. Résoudre les inéquations suivantes. a. x 7 > 4 k. y 9 > 0 b. y 6 < 7 l. a 2 < 4 c. a 5 < 0 m. p 6 < 30 d. 9 + x < 2 n. a 2 < 4 e. b 3 # 7 o. x 8 < 9 f. x 2 $ 9 p. t 00 # 09 g. c 6 > 4 q. x 3 $ 25 h. k 7 > 9 r. a 9 > 9 i. c 0 > 5 s. n 28 $ 37 j. y 9 < 4 t. p 8 < 00 2. Résoudre les inéquations suivantes et représenter graphiquement l'ensemblesolution. a. x 2 < 7, x 0 R d. x 2 #, x 0 Z b. x 2 # 3, x 0 N e. x 7 $ 9, x 0 R c. x 7 > 9, x 0 Z f. x 5 > 4, x 0 N
MAT 203 THÉORIE 22 principe de soustraction On est capable de soustraire la même quantité à chaque membre d'une inéquation sans modifier l'ensemblesolution. +)))))))), *Exemple *.)))))))) Soit n + 3 > 9, n 0 R. n + 3 3 > 9 3 Soustraire 3. n > 6 L'ensemblesolution est { n 0 R * n > 6 }. Vérification Remplacer n = 7, dans n + 3 > 9. On a 7 + 3 > 9. Donc 0 > 9. Représentation graphique Soit à représenter graphiquement n > 6 et n 0 R. 2 0 2 3 4 5 6 7 8...
MAT 203 EXERCICE 6 23. Résoudre les inéquations suivantes. a. x + 7 > 4 k. x 3 < 9 b. x + 23 $ 7 l. x + 4 > 4 c. 9 + x < 2 m. f + 2 < 6 d. b + 3 < 6 n. x + 7 < 9 e. x + < 0 o. x + 2 # 3 f. 4 + y $ 9 p. x 7 $ 9 g. a + 4 > 6 q. 6 + y $ 2 h. p + 7 > 2 r. a + 6 < 4 i. x 5 # 0 s. k + 3 < 5 j. 9 + x < 2 t. c 6 > 4 2. Résoudre les inéquations suivantes et représenter graphiquement l'ensemblesolution. a. x + # 4, x 0 Z d. x + 8 $ 6, x 0 R b. x + 5 <, x 0 N e. x + 5 > 7, x 0 Z c. 3 + x $ 4, x 0 N f. 4 + x < 3, x 0 R
MAT 203 THÉORIE 24 principe de multiplication On est capable de multiplier les deux membres d'une inéquation par la même quantité positive sans modifier l'ensemblesolution. Cependant, si l'on MULTIPLIE par une QUANTITÉ NÉGATIVE, il faut CHANGER le sens de l'inéquation. +)))))))), *Exemples*.)))))))) ) Soit n < 2, n 0 R. 3 n C 3 < 2 C 3 Multiplier par 3. 3 n < 6 L'ensemblesolution est { n 0 R * n < 6}. Vérification Remplacer n = 3, dans n < 2. 3 On a 3 < 2. 3 Donc < 2. Représentation graphique Soit à représenter graphiquement n < 6 et n 0 R.... 2 0 2 3 4 5 6 7 8
MAT 203 THÉORIE 25 2) Soit n > 20, n 0 R. 2 2 n < 20 C 2 Multiplier par 2, on a renversé le symbole 2 d'inégalité. n < 40 L'ensemblesolution est { n 0 R * n < 40}. Vérification Remplacer n = 50, dans n > 20. On a 2 positif. Donc 25 > 20. 2 ( 50) > 20. Deux signes négatifs donnent un signe Représentation graphique Soit à représenter graphiquement n < 40 et n 0 R.... 49 48 47 46 45 44 43 42 4 40 39
MAT 203 EXERCICE 7 25. Résoudre les inéquations suivantes. a. x < 8 k. x > 8 7 3 b. a # 4 l. k < 7 3 7 c. x > 54 m. k < 33 6 3 d. x + 5 < 30 n. t 3 < 3 e. x # 0 o. s < 25 9 5 f. x # 00 p. n < 4 0 0 g. x 5 # 75 q. a + 33 < 3 h. x $ 66 r. m > 3 6 3 i. e > 20 s. z # 2 4 2 j. x # 22 t. n $ 4 2 22 2. Résoudre les inéquations suivantes et représenter graphiquement l'ensemblesolution. a. x # 0, x 0 Z d. x < 3, x 0 N 3 2 b. x $ 2, x 0 N e. x $, x 0 R 2 3 c. x >, x 0 Z f. x < 3, x 0 R 4 2
MAT 203 THÉORIE 26 principe de division On est capable de diviser les deux membres d'une inéquation par la même quantité positive sans modifier l'ensemblesolution. Cependant, si l'on DIVISE par une QUANTITÉ NÉGATIVE, il faut CHANGER le sens de l'inéquation. +)))))))), *Exemples*.)))))))) ) Soit 3n $ 9, n 0 R. 3 3n $ 9 Diviser par 3. 3 3 n $ 3 L'ensemblesolution est { n 0 R * n $ 3}. Vérification Remplacer n = 4, dans 3n $ 9. On a 3(4) $ 9. Donc 2 $ 9. Représentation graphique Soit à représenter graphiquement n $ 3 et n 0 R. 5 4 3 2 0 2 3 4 5...
MAT 203 THÉORIE 27 2) Soit 4n > 6, n 0 R. 4 4n < 6 Diviser par 4, on a renversé le symbole 4 4 de l'inégalité. n < 4 L'ensemblesolution est { n 0 R * n < 4}. Vérification Remplacer n = 5, dans 4n > 6. On 4( 5) > 6. Donc 20 > 6. Représentation graphique Soit à représenter graphiquement n < 4 et n 0 R. S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))>... 7 6 5 4 3 2 0 2 3 4
MAT 203 EXERCICE 8 28. Résoudre les inéquations suivantes. a. 3x < 27 k. x < 25 b. 7y < 49 l. x > 4 c. 9y $ 8 m. 8x < 32 5 d. x 9 # 0 n. 2n # 8 e. 5x < 30 o. 2x $ 4 f. 2x > 34 p. 2x < 2 g. 0m < 200 q. x 5 $ 25 h. 4y < 28 r. 7x < 63 i. 8v > 72 s. 22x < 44 j. y # 48 t. 3x # 5 3 2. Résoudre les inéquations suivantes et représenter graphiquement l'ensemblesolution. a. 2x > 8, x 0 R d. 4x > 6, x 0 Z b. 5x $ 25, x 0 N e. 6x # 36, x 0 Z c. 3x # 9, x 0 R f. 3x < 24, x 0 N
MAT 203 THÉORIE 29 2.6 ÉCRIRE L'INÉQUATION CORRESPONDANT À UN ÉNONCÉ Afin de résoudre des problèmes écrits, on doit être capable de les traduire en langage mathématique. Cette phrase mathématique s'écrira de la même manière qu'elle soit une équation ou une inéquation. Elle contiendra au moins une variable ainsi que des symboles empruntés de l'arithmétique. Pour traduire?vingt est plus grand qu'un nombre, on écrit :?20 > x où x représente le nombre. La démarche pour interpréter une situation est la même que celle utilisée pour les équations, soit :. lire attentivement l'expression donnée; 2. la décomposer; 3. identifier la variable; 4. exprimer la situation par des symboles mathématiques. +)))))))), *Exemples*.)))))))) Représenter les situations mathématiques suivantes. ) Un nombre augmenté de 4 est plus grand que 0. Un nombre augmenté de 4 est plus grand que 0 9 9 9 9 9 x + 4 > 0 Forme symbolique : x + 4 > 0
MAT 203 THÉORIE 30 2) Quatre fois un certain nombre est inférieur ou égal à neuf. Quatre fois un certain nombre est inférieur ou égal à neuf 9 9 9 9 9 4 C x # 9 Forme symbolique : 4 C x # 9 ou 4x # 9
MAT 203 EXERCICE 9 3. Écrire en langage mathématique chacun des énoncés suivants. a. y est plus grand que 9. b. Un nombre diminué de 7 est inférieur à 8. c. Le produit d'un nombre par 5 est plus grand ou égal à 25. d. r est plus petit que 4 fois 4. e. Un nombre divisé par 3 augmenté de 4 est supérieur à 22. f. Le triple d'un nombre moins deux est plus petit ou égal à vingtsept. g. Un nombre est plus petit que 5 mais plus grand que 2. h. La moitié d'un nombre augmenté de 6 est inférieur à 33. i. k est plus petit que 7. j. Le produit de x fois 5 est supérieur ou égal à 75.
MAT 203 THÉORIE 32 2.7 RÉSOUDRE DES PROBLÈMES POUVANT SE TRADUIRE PAR UNE INÉQUATION Toutes les notions acquises jusqu'à maintenant en mathématique et en algèbre permettent d'aborder la résolution d'un nombre de problèmes pouvant se traduire sous la forme d'une inéquation. Pour mathématiser et résoudre un problème à l'aide d'une inéquation, on utilise les mêmes étapes et stratégies qu'on a utilisées pour les équations. ÉTAPES DE LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES. Lire et relire le problème jusqu'à ce qu'on ait bien compris tous les détails de l'énoncé. Au besoin, faire un schéma. 2. Représenter l'inconnue par la variable?x ou une autre lettre. 3. Écrire l'inéquation qui fait la relation entre les données et la variable. 4. Résoudre l'inéquation en appliquant les méthodes élaborées pour trouver la valeur de la variable. 5. Écrire une phrase qui résume la réponse finale puisqu'on résout un problème écrit. S'il y a lieu, préciser les unités. 6. Vérifier l'inéquation afin de savoir si les racines satisfont à toutes les conditions qu'énonce le problème.
MAT 203 THÉORIE 33 +)))))))), *Exemples*.)))))))) ) Dans un enclos, le nombre de pattes de vaches est inférieur à 32. Combien peutil y avoir de vaches? Soit x le nombre de vaches. Donc 4x est le nombre de pattes. 4x < 32 8 4x < 32 4 4 x < 8 Il y a moins de 8 vaches dans l'enclos. 2) Le tiers de mon âge est inférieur à 5. Que pourrait être mon âge? Soit x mon âge possible. Donc x est le tiers de mon âge. 3 x < 5 3 3 C x < 5 C 3 3 x < 45 Mon âge est inférieur à 45 ans.
MAT 203 EXERCICE 0 34. Charles pèse 44 kg. Trouver que pourrait être la masse d'alban, si la somme des masses de Charles et d'alban est supérieure à 90 kg. 2. Claire a huit ans de plus que Jeannette. Si la somme de leurs âges est inférieure à 8, quels sont les âges possibles? 3. Mon avoir plus 25 est inférieur à 00. Que pourrait être mon avoir? 4. Quel peut être l'âge d'une personne si le triple de son âge est inférieur à 42? 5. Un double d'un nombre additionné à son triple est supérieur à 60. Quels sont les nombres qui peuvent vérifier cette inégalité? 6. Énumérer les différents carrés possibles dont les mesures des côtés sont des nombres naturels et dont le périmètre est inférieur ou égal à 20 cm? 7. Un nombre multiplié par 6 est supérieur à 48. Quel est l'ensemblesolution? 8. Un nombre moins 47 est inférieur à 8. Quels nombres naturels vérifient cette inéquation?
MAT 203 EXERCICE DE RENFORCEMENT 35 3.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT. Résoudre les équations suivantes. a. 3a + 6 = 30 f. x = 90 9 b. 7x + 4 = 32 g. x 25 = 75 c. 3x = 8 h. 8x = 24 d. 8b 2b = 24 i. y = 35 5 e. y,5 = 8 j. x 4 = 9 2. Représenter graphiquement les ensemblessolutions suivants. a. x $ 3, x 0 R c. x <, x 0 R b. x > 3, x 0 Z d. x > 2, x 0 N 3. Exprimer symboliquement les expressions suivantes. a. y est inférieur à 6. b. x est plus petit ou égal à 3. c. r est supérieur ou égal à 45. d. a est plus grand que 9. 4. Résoudre et représenter graphiquement l'ensemblesolution. a. 5x $ 0, x 0 R d. y + 3 < 7, y 0 N b. m 4 < 5, m 0 Z e. 3y $ 2, y 0 Z c. x < 0, x 0 R f. x 3 # 5, x 0 N 2
MAT 203 EXERCICE DE RENFORCEMENT 36 5. Résoudre. a. x 3 > 0 k. x + 4 < 4 b. t > 2 l. 9 + a < 8 c. m + 4 < 3 m. x + 5 > 5 d. 2y < 2 n. m 2 > 36 e. y + 5 > o. x $ 2 3 f. + x > 2 p. b # 4 2 g. x # 9 q. 2x < 4 h. 9x > 57 r. x # 0 i. 2x < 28 s. x > 49 7 j. y # 2 t. x 4 > 4 2 5 6. On enlève huit à un nombre et le résultat est plus de cinquantecinq, quels sont les résultats possibles? 7. Cinq fois un nombre donne un résultat inférieur à 40. Quels nombres vérifient cette propriété? 8. Si on ajoute dix à un nombre, le résultat est inférieur à 82. Quels nombres vérifient cette propriété? 9. Le tiers d'un nombre est supérieur ou égal à 99. Quels nombres vérifient cette propriété?
FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 203 CORRIGÉ (Cahier ) DINL920305
BAPG\9803
MAT 203 CORRIGÉ EXERCICE, PAGE 4. a. 6 k. 24 b. 20 l. 4,5 c. 8 m. 7 d. 6 n. 4 e. 8 o. 6 f. 34 p. 7,6 g. 48 q. 54 h. 3 r. 7 i. 30 s. 8,3 j. 44 t. 6 EXERCICE 2, PAGE 7. a. { 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } d. { 7, 8, 9, 0,... } b. { 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } e. { 3, 4, 5, 6,... } c. { 4, 5, 6, 7,... } f. { 0,, 2, 3, 4 } 2. a. x $ 4 f. x $ 5 b. x # 5 g. x $ 5 c. x $ 0 h. x < 3 d. x < 25 i. x $ 0 e. x < 00 j. x < 7
MAT 203 CORRIGÉ 2 EXERCICE 3, PAGE. a. 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0... b. 3 2 0 2 3 4 5 6 7... c. 5 4 3 2 0 2 3 4 5... d.... 6 5 4 3 2 0 2 3 4 e. 6 5 4 3 2 0 2 3 4... f.... 7 6 5 4 3 2 0 2 3 g.... 3 2 0 2 3 4 5 6 7 h. 3 2 0 2 3 4 5 6 7... i.... 7 6 5 4 3 2 0 2 3 j.... 3 2 0 2 3 4 5 6 7
MAT 203 CORRIGÉ 3 EXERCICE 4, PAGE 8. a. a > 5 c. y $ 3 b. x < d. 6 < x < 8 2. a. x = { 5, 6, 7, 8,... } f. x = { 0,, 2, 3, 4 } b. y = { 4, 5, 6, 7,... } g. a = { 4, 3, 2,,... } c. x = { 0,, 2, 3, 4,... } h. m = { 2, 3, 4, 5,... } d. x = { 0,, 2, 3, 4,... } i. y = { 4, 5, 6 } e. y = { 0,, 2, 3, 4, 5 } j. r = { 2,, 0,,... } EXERCICE 5, PAGE 20. a. x > 2 k. y > b. y < 3 l. a < 6 c. a < 5 m. p < 4 d. x < 2 n. a < 6 e. b # 0 o. x < f. x $ 2 p. t # 209 g. c > 0 q. x $ 22 h. k > 2 r. a > 0 i. c > 25 s. n $ 65 j. y < 5 t. p < 28 2. a. x < 9 b. x # 5 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))>... 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0
MAT 203 CORRIGÉ 4 c. x > 2 5 4 3 2 0 2 3 4 5... d. x #... 5 4 3 2 0 2 3 4 5 e. x $ 2 f. x > 9 5 4 3 2 0 2 3 4 5... 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0... EXERCICE 6, PAGE 22. a. x > 7 k. x < 2 b. x $ 6 l. x > 0 c. x < 3 m. f < 8 d. b < 9 n. x < 2 e. x < 00 o. x # 5 f. y $ 23 p. x $ 6 g. a > 2 q. y $ 8 h. p > 4 r. a < 0 i. x # 5 s. k < 8 j. x < 30 t. c > 2
MAT 203 CORRIGÉ 5 2. a. x # 5 b. x < 6 c. x $ d. x $ 2 e. x > 8 f. x < 7... 3 2 0 2 3 4 5 6 7 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0... 5 4 3 2 0 2 3 4 5... 9 8 7 6 5 4 3 2 0...... 9 8 7 6 5 4 3 2 0
MAT 203 CORRIGÉ 6 EXERCICE 7, PAGE 25. a. x < 26 k. x < 54 b. a # 2 l. k < 49 c. x > 324 m. k < 99 d. x < 35 n. t < 0 e. x # 0 o. s < 25 f. x $ 000 p. n > 40 g. x # 80 q. a < 30 h. x $ 396 r. m > 39 i. e < 80 s. z $ 4 j. x $ 44 t. n # 88 2. a. x # 0 b. x $ 4 c. x > 4... 5 4 3 2 0 2 3 4 5 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0... d. x < 6 6 5 4 3 2 0 2 3 4... S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0
MAT 203 CORRIGÉ 7 e. x # 3 f. x < 6... 5 4 3 2 0 2 3 4 5... 2 0 2 3 4 5 6 7 8 EXERCICE 8, PAGE 28. a. x < 9 k. x < 25 b. y < 7 l. x < 4 c. y # 9 m. x > 4 d. x # 9 n. n # 4 e. x > 6 o. x # 2 f. x > 7 p. x > g. m > 20 q. x $ 30 h. y < 7 r. x < 9 i. v > 9 s. x < 2 j. y # 44 t. x $ 5 2. a. x > 4 b. x $ 5 5 4 3 2 0 2 3 4 5... 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0...
MAT 203 CORRIGÉ 8 c. x $ 3 5 4 3 2 0 2 3 4 5... d. x > 4 4 3 2 0 2 3 4 5 6... e. x $ 6 f. x > 8 2 0 2 3 4 5 6 7 8... 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0... EXERCICE 9, PAGE 3. a. y > 9 f. 3x 2 # 27 b. x 7 < 8 g. 5 > x > 2 c. 5x $ 25 h. x + 6 < 33 2 d. r < 4 x 4 ou r < 6 i. k < 7 e. x + 4 > 22 j. 5x $ 75 3
MAT 203 CORRIGÉ 9 EXERCICE 0, PAGE 34. x > 46 6. x # 5 5 cm, 4 cm, 3 cm 2 cm et cm 2. Claire : inférieur à 3 7. x > 8 Jeannette : inférieur à 5 3. x < 75 8. x < 28 4. x < 4 5. x > 2 EXERCICE DE RENFORCEMENT, PAGE 35. a. 8 f. 80 b. 4 g. 00 c. 6 h. 3 d. 4 i. 75 e. 9,5 j. 5 2. a. 5 4 3 2 0 2 3 4 5... b. 5 4 3 2 0 2 3 4 5... c.... 5 4 3 2 0 2 3 4 5 d. 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0...
MAT 203 CORRIGÉ 0 3. a. y < 6 c. r $ 45 b. x # 3 d. a > 9 4. a. x # 2 b. m < c. x < 0 d. y < 4 e. y $ 4... 5 4 3 2 0 2 3 4 5... 5 4 3 2 0 2 3 4 5... 5 4 3 2 0 2 3 4 5 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 f. x # 2 5 4 3 2 0 2 3 4 5... S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))> 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0
MAT 203 CORRIGÉ 5. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. x > 3 t < 2 m < y < 6 y > 4 x > x # 0 x < 3 x > 4 y # 44 l. m. o. q. r. s. k. x < 0 a < 27 x > 20 n. m > 48 x $ 26 p. b $ 8 x < 2 x # 50 x < 343 t. x > 0 6. x > 63 8. x < 72 7. x < 8 9. x $ 297
FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 203 DEVOIR ET CORRIGÉ
MAT 203 DEVOIR. (20 pts) Résoudre les équations suivantes. a. x 9 = 25 f. 3x = 3 b. c. y = 22 3 2y = 34 g. h. y + 3 = 9 4 + x = 9 d. e. y = 9 9 2x + 4x = 2 j. i. x + 9 = 57 9r = 45 2. (5 pts) Exprimer symboliquement les expressions suivantes. a. x diminué de neuf est inférieur à dixsept. b. Un nombre divisé par 7 est supérieur à 8. c. y est supérieur ou égal à 45. d. n additionné à 0 est supérieur ou égal à 0. e. Le double de y est inférieur ou égal à 38. 3. (30 pts) Résoudre les inéquations suivantes. a. 3x # 8 b. x > 9 4 c. 3 + x > 39 k. d. y 9 $ 8 e. 4x > 36 f. x 4 < 4 i. x $ 4 4 j. 4 + c $ 5 x # 6 5 l. a < 5 5 m. x + 2 > 5 n. x # 4 g. x + 3 # 3 o. 3x # 62 h. y 23 # 23 DIAM98 BAPG\9804
MAT 203 DEVOIR 2 4. (5 pts) Résoudre et représenter graphiquement les ensemblessolutions suivants. a. x 2 < 3, x 0 R d. 2x # 0, x 0 R b. x + 3 < 7, x 0 N e. + x < 7, x 0 Z c. x # 0, x 0 Z 9 5. (20 pts) Résoudre à l'aide d'inéquations. a. La somme des âges d'une mère et de sa fille est inférieure à 60. Si la mère a 3 fois l'âge de sa fille, quels âges peuventelles avoir? b. Le périmètre d'un carré est inférieur à 24 cm. Trouver les valeurs possibles si la variable appartient à N. c. Le quart d'un nombre donne un résultat supérieur à treize. Quels nombres vérifient cette propriété? d. Sept fois un nombre est inférieur à 63. Illustrer graphiquement l'ensemblesolution dans les nombres réels.
MAT 203 CORRIGÉ DEVOIR. a. 34 f. b. 66 g. 2 c. 7 h. 5 d. 8 i. 48 e. 2 j. 5 2. a. x 9 < 7 d. n + 0 $ 0 b. x > 8 e. 2y # 38 7 c. y $ 45 3. a. x # 6 i. x # 6 b. x < 36 j. c $ c. x > 52 k. x # 30 d. y $ 27 l. a < 75 e. x < 9 m. x > 27 f. x < 0 n. x $ 4 g. x # 0 o. x $ 2 h. y # 46 4. a. x < S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))>... 5 4 3 2 0 2 3 4 5 b. x < 4 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 c. x # 0 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))>... 5 4 3 2 0 2 3 4 5
MAT 203 CORRIGÉ DEVOIR 2
MAT 203 CORRIGÉ DEVOIR 3 d. x $ 5 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 5 4 3 2 0 2 3 4 5... e. x < 4 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))>... 5 4 3 2 0 2 3 4 5 5. a. mère : inférieur à 45 fille : inférieur à 5 b. x < 6 cm, 2 cm, 3 cm 4 cm et 5 cm c. x > 52 d. x < 9 S))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))>... 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0