Term S Physique Chapitre 14 Ouverture au monde quantique Ce tableau de Kandinsky (Jaune, rouge, bleu, de 1925) illustre les bouleversements qui, dans le monde occidental au début du XX ème siècle, affectent les arts, comme la littérature, et les sciences, notamment à travers la «révolution quantique». En quoi a-t-on révolutionné la Physique? 1 L avènement d une nouvelle théorie 1.1 Analogie entre les interactions gravitationnelle et électrostatique L interaction gravitationnelle (Newton, 1687) Cette interaction fondamentale est décrite par la loi de gravitation universelle de Newton. Elle s exerce entre deux corps A et B, séparés de la distance AB = d, de par leurs masses respectives m A et m B. Elle est toujours attractive. On la modélise par un vecteur force de direction : la droite (AB) de sens : orientée vers le centre attracteur, A pour F A/B et B pour F B/A de valeur F A/B = F B/A = G m A m B d² ce qu on résume de la manière vectorielle suivante. A F B/A d où G = 6,67.10-11 N.m².kg -2 F A/B B m B u AB mam B FA / B FB / A G uab AB² u AB est orienté de où le vecteur A vers B comme sur le schéma. m A L interaction électrostatique (Coulomb, 1785) L interaction électrique (ou électrostatique) entre deux corps A et B, séparés d une distance AB = d, est due à leurs charges respectives q A et q B. Elle peut être attractive (entre charges de signes opposés) ou répulsive (entre charges de même signe). On la modélise par une force dite de Coulomb de direction : la droite (AB) de sens : attractive (charges de signes opposés) ou répulsive (charges de même signe) de valeur donnée par F = k q A q B où k = 9,0.10 9 N.m².C -2 d²
2 d B u AB Charges de signes opposés : attraction q A q B < 0 A F B/A F A/B q B q A d B F A/B Charges de même signe : répulsion q A q B > 0 F B/A A q B u AB q A On peut résumer la loi de Coulomb qa q B FA / B FB / A k u 2 AB AB u AB AB est un vecteur unitaire orienté de A vers B u AB AB u si q A et q B ont le même signe, et selon u si les charges sont opposées. AB AB F A B. On vérifie bien / que est orientée selon 1.2 Le modèle planétaire de l atome Après vingt siècles où la pensée d'aristote sur l'atome était prédominante, la renaissance ouvre l'ère de la physique classique. En cinquante ans de révolution industrielle, la matière a été soumise à toutes sortes d'expérimentations, d'observations et de manipulations réussies. Du côté de la physique, grâce à la thermodynamique, on sait décrire précisément les échanges de chaleur, le travail mécanique, les changements de volume et la pression des gaz. Du côté de la chimie, grâce aux travaux de John Dalton, on est convaincu que de parler en termes de particules élémentaires (atomes) est pratique pour organiser l'ensemble des connaissances accumulées. En 1808, il publie son hypothèse atomique dans son Nouveau système de philosophie chimique qui se résume ainsi : la matière est composée de particules infiniment petites et indivisibles appelés atomes. tous les atomes d'un même élément sont identiques ; ils possèdent les mêmes propriétés et ils ont la même masse. les atomes d'éléments différents ont des propriétés et des masses différentes. dans les réactions chimiques, les atomes se combinent dans des rapports simples pour former de nouveaux composés («atomes composés» selon l'appellation de Dalton). C'est la naissance de la théorie atomique moderne. Pour la réalisation et l'interprétation qu'il fit de ses recherches, ce grand chercheur fut surnommé le «père» de la théorie atomique. L italien Amedeo Avogadro est l'auteur de l'hypothèse selon laquelle à la même température et à la même pression il y a le même nombre de molécules dans des volumes égaux de gaz différents. Cette hypothèse, connue sous le nom de "loi d'avogadro", fait la distinction entre atomes et molécules, et est un des concepts de base de la chimie moderne. En 1865, James Clerk Maxwell, tente de décrire le mouvement des molécules et des atomes dans un gaz. La tentative est incomplète, mais deux ans plus tard, Ludwig Boltzmann, propose une théorie sur le sujet : il montre la loi des gaz parfaits, qui permet de prédire les changements de pression d'un gaz en fonction de la température. Depuis l'antiquité, on se doute, que si un litre d'air ou un gramme de matière est constitué d'atomes, alors il doit y en avoir beaucoup. Boltzmann est capable de répondre : environ 10 000 000 000 000 000 000 000. En 1869, Le chimiste russe Mendeleïev, construit un tableau qui classe les éléments chimiques (atome) connu ; le tableau périodique des éléments. Sa théorie est basée sur l observation d une
3 périodicité dans les propriétés des éléments. Il était convaincu qu'il restait à son époque des éléments encore inconnus car il y avait des vides entre certain éléments. Et on les découvrit par la suite. En 1873, la théorie corpusculaire de Maxwell trouve un nouveau succès à travers la publication de Johannes Van der Waals. Il s'intéresse à un défaut théorique de la loi des gaz parfaits : on observe un léger écart entre ce que la loi prédit et la réalité. La loi des gaz réels qui résulte de ses observations rend compte des écarts observés dans les expériences. En décrivant précisément le comportement des gaz, il donne une piste pour calculer la taille des grains de matière. L'hypothèse de l'existence de l'atome est alors prouvée. Mais en 1890, la vision corpusculaire est attaquée par deux scientifiques, Wilhem Ostwald et Ernst Mach. Comme dans l'antiquité, l'un des enjeux de la discussion est de savoir s'il existe une réalité objective, indépendamment de la perception que nous avons. Ostwald prétend ramener toutes sciences au seul concept d'énergie. Pour lui la notion d'atomes est sans objet : la matière n'est qu'une apparence, seul l'énergie a une réalité. Mach de son côté défend une autre position : selon lui, l'idée qu'il existe un monde matériel est d'ordre mystique ; le monde est fait de «sensation». Ostwald et Mach mènent donc un combat contre Boltzmann sur le terrain philosophique. En 1897, Thompson découvre le premier composant de l'atome: l'électron, particule de charge électrique négative. En 1904, il propose un premier modèle d'atome, surnommé depuis "le plum-pudding de Thompson". Il imagine l'atome comme une sphère remplie d'une substance électriquement positive et fourrée d'électrons négatifs "comme des raisins dans un cake". Dans l'ombre, deux jeunes physiciens : Jean Perrin et Albert Einstein. Perrin démontre que quelque soit la méthode utilisée, si on dénombre les molécules contenues dans une masse d'eau, on obtient le même résultat. Quant à Einstein, il s'intéresse au mouvement brownien : Einstein démontre que, même si la matière semble lisse, continue et inerte, elle peut être constituée d'un grand nombre de corpuscules microscopique. L'observation du comportement des gaz permet à Einstein d'expliquer pourquoi de microscopiques particules agitées de mouvement désordonnés gonflent un ballon de façon uniforme (paradoxe du ballon). En 1905, l'étude d'einstein met fin à la polémique de l'existence de l'atome. Belle victoire pour la théorie de Boltzmann. En 1911, une expérience désormais célèbre réalisée par l australien Ernest Rutherford met en défaut le modèle du plum-pudding admis jusque-là en prouvant l existence de vide à l intérieur des atomes. Faisceau invisible de particules. Tâches lumineuses de particules déviées Source émettrice de particules. Écran fluorescent Feuille d'or très fine
4 L analogie complète entre les interactions gravitationnelle et électrostatique le conduit à proposer un nouveau modèle de l atome : le noyau qui concentre l essentiel de la masse porte une charge positive opposée à la charge négative de tous les électrons qui «gravitent» autour de ce noyau à la manière des satellites autour d une planète : c est un modèle planétaire. 1.3 La révolution quantique Bien que l analogie entre les interactions gravitationnelle et électrostatique soit complète et puisse laisser croire à une similitude entre les systèmes planétaire et atomique, il n en est strictement rien. Voici un atome, un atome d hydrogène, le plus simple de tous les atomes. Le plus petit aussi, ne serait-ce que du point de vue de ses constituants. Son noyau se résume en effet à un simple proton, autour duquel un unique électron, minuscule, tourbillonne sous l effet de la force électrique attractive qui le lie au proton, de charge électrique opposée à la sienne. Ce système nous rappelle quelque chose que nous connaissons bien, le duo formé par le Soleil et la Terre. Imaginons que cette analogie soit exacte, que l atome d hydrogène soit effectivement un système planétaire miniature, microscopique même, dans lequel le proton jouerait le rôle du Soleil et l électron celui d une planète. En supposant ainsi qu il n y a entre ces deux systèmes qu une différence de taille (le premier étant la réduction à l identique, jusqu à des dimensions infimes, du second), nous faisons de l atome une sorte d objet familier. Mais avons-nous le droit à pareille métaphore? Si notre modèle est juste, alors l électron doit avoir une trajectoire bien définie, comme celle d une planète qui gravite autour du Soleil. Il se doit de tourner sans lassitude autour du proton selon une certaine orbite. C est en effet ce que conçoit la mécanique dite «classique», qui, suivant en la matière le sens commun, n envisage que des objets matériels précisément localisés dans l espace, soumis à des forces et ayant des trajectoires bien définies. Mais en réalité, pour l électron, les choses ne sont pas si simples. Du fait qu il tourne autour du proton, il subit une accélération radiale, comme une voiture dans un virage. Or, on sait [ ] que dans ces conditions l électron, parce qu il porte une charge électrique, perd de l énergie en émettant de la lumière. Jusque-là, rien de grave, au contraire même. Les atomes ne sont-il pas justement capables d émettre de la lumière? Notre modèle pourrait donner à ce phénomène un début d explication. Mais à bien y regarder, il y a là un hic gravissime : puisqu il perd de l énergie, l électron se rapproche inexorablement du proton en suivant une sorte de spirale, jusqu à finalement s écraser sur lui! C est la catastrophe. Notre modèle d atome, pourtant si approprié quand on l applique au Soleil et aux planètes (elles ne tombent pas sur le Soleil, tout du moins pas encore), est ici inapte à la durée. Le calcul montre que l électron ne mettrait qu une fraction de seconde à tomber sur le proton. Heureusement, cet ultimatum lancé à l atome ultime n est jamais respecté. Les atomes sont des édifices sagement stables. Extrait de La Physique quantique, Etienne KLEIN Flammarion, 1996. L atome ne peut pas être décrit de façon classique. Dès la fin du XIX ème siècle, plusieurs autres phénomènes physiques jettent l anathème et demeurent inexplicables par la mécanique élaborée depuis Newton. Le rayonnement de corps noir En 1864, l expérience de Tyndall montre que lorsque la température d un corps augmente, le rayonnement qu il émet s enrichit de radiations de courtes longueurs d onde et que, de plus, son intensité augmente considérablement. Cherchant à expliquer ces observations, les physiciens de la fin du XIXème siècle ont étudié le rayonnement de corps noir : celui-ci est un corps parfaitement absorbant. En pratique, une cavité, percée d un petit trou permettant au rayonnement d en sortir et d être étudié, est un corps noir. En 1900, il existe deux lois parfaitement contradictoires pour expliquer l expérience de Tyndall, La loi de Wien, qui stipule que la grandeur caractéristique du phénomène B T d émission est proportionnelle à e, colle très bien aux résultats expérimentaux lorsque λt est petit mais devient absurde quand la température devient infinie.
5 La loi de Rayleigh-Jeans, qui stipule que la grandeur caractéristique du phénomène d émission est proportionnelle à λt, recoupe l expérience lorsque λ est grande mais devient catastrophique pour les petites longueurs d onde (on parle de catastrophe ultraviolette). Cherchant une formule qui lève cette lourde contradiction, Max Planck, à la suite de calculs complexes, est conduit, en octobre 1900, à admettre que l énergie échangée par le corps noir ne peut prendre que des valeurs qui correspondent à un nombre entier de «quanta» (singulier : quantum) valant hν, introduisant ainsi la constante h portant son nom. Le modèle élaboré par Planck laisse son auteur perplexe devant l étendue des remises en question qu il induit : la révolution quantique. Il lui vaudra le prix Nobel de Physique en 1919. L effet photoélectrique La découverte expérimentale de l effet photoélectrique est due à Hertz en 1887 ; ce dernier a alors observé l émission d électrons par un métal sous l effet d une lumière pourvu que la fréquence (et non l intensité!) de celle-ci soit suffisante, c est-à-dire supérieure à un seuil. Ainsi, par exemple, si on imagine un métal dont la fréquence seuil est celle d une lumière jaune, aucun électron n en sera extrait avec une lumière rouge même très intense, alors qu une faible lumière bleue y parviendra. Pour expliquer ce surprenant phénomène, Einstein admet que la lumière est formée de corpuscules d énergie hν reprenant, pour la compléter, l hypothèse de Planck. Alors que le caractère ondulatoire de la lumière ne peut être remis en question (les interférences et la diffraction le prouvent parfaitement), force est de constater que la lumière présente aussi un caractère corpusculaire : c est la dualité onde-corpuscule de la lumière. L article faisant état de cette géniale découverte, publié en mars 1905, fut longtemps controversé par les collègues d Einstein mais lui vaudra tout de même, en même temps que trois autres articles publiés la même année, le prix Nobel de Physique en 1921. Pour donner une explication à ces phénomènes, le XX ème siècle accouche alors d une véritable révolution : plusieurs intuitions théoriques géniales se font jour et constituent les fondements de ce qui s appellera la physique quantique. La vérification expérimentale de ces prévisions, comme l expérience de Franck et Hertz en 1914, consacrera cette théorie. 2 Quantification des échanges d énergie 2.1 L idée de quantification En 1900, le physicien allemand Max Planck fait l hypothèse (curieuse) que la lumière et la matière ne peuvent échanger de l énergie que par quantités discrètes qu il appelle des quanta d énergie. L énergie E échangée entre la matière et un rayonnement électromagnétique de fréquence ν est positive et s exprime par E h où E est l énergie en joules (J) et ν la fréquence en hertz (Hz). La constante h = 6,626.10 34 J.s est appelée constante de Planck (ou quantum d action). Lorsque la matière absorbe ou émet de l énergie par rayonnement, elle ne peut échanger que des paquets d énergie multiples entiers de hν. 2.2 Conséquences 2.2.1 Lumière et quantification Développant l idée de Planck, Albert Einstein affirme en 1905 que la lumière elle-même est quantifiée : elle est constituée de quanta de rayonnement, des particules qui, pour une lumière de fréquence ν, possèdent une énergie E = hν. Ces particules sans masse seront baptisées photons à d autres fins, en réalité non acceptées par la communauté scientifique en 1926 par le chimiste Gilbert Lewis.
2.2.2 Matière et quantification C est au danois Niels Bohr que l on doit un modèle de l atome en accord avec les idées nouvelles de quantification : il propose en 1913 que les énergies des atomes n adoptent que certaines valeurs discrètes. C est l expérience de Franck et Hertz qui, en 1914, confirme cette hypothèse. Observer : http://web.phys.ksu.edu/vqm/software/online/vqm/html/franckhertz.html 6 Afin de mettre en évidence la quantification des niveaux d'énergie, on peut utiliser une triode, composée d'une cathode, d'une grille polarisée et d'une anode. Celle-ci nous permettant d'établir un faisceau d'électrons dans un tube à vide contenant du mercure gazeux. Les électrons, émis de la cathode, peuvent alors entrer en collision avec des atomes de mercure durant leur course entre la cathode et l'anode. Il y a deux types de chocs : Des chocs élastiques où il n'y a pas de transfert d'énergie des électrons du faisceau avec les atomes de mercure percutés, et les électrons gardent donc leur énergie. Des chocs inélastiques, et dans ce cas, les électrons émis par la cathode vont percuter les électrons de plus basse énergie des atomes de mercure, et ceux-ci vont passer sur une orbite d'énergie supérieure (suivant l'interprétation de Bohr). On mesure alors la variation de courant reçu par l'anode en fonction de l'énergie cinétique des électrons, et on peut en déduire les pertes d'énergie des électrons lors des collisions.
7 Suite à cette expérience, il nous est possible de représenter l'évolution de la ddp (différence de potentiel) qui résulte d'un convertisseur courant-tension (disposé en sortie de l'anode) en fonction de la ddp d'extraction des électrons (depuis la cathode). Plus simplement, cela revient à représenter l'intensité du courant reçu à l'anode en fonction de la ddp d'extraction, ce qui peut encore être vu comme le nombre d'électrons reçus pendant une unité de temps arbitraire en fonction de la ddp d'extraction. On observe alors que, lorsqu'il y a du mercure sous forme gazeuse dans l'enceinte, la courbe obtenue est une courbe sinusoïdale dont l'amplitude augmente en fonction de la ddp d'extraction. Et le plus marquant dans l'expérience est le fait que l'on observe une constance dans l'écart entre les creux. Et cette constante vaut 4,9 V. Explication La ddp d'extraction est en fait la mesure directe de la vitesse des électrons : plus la ddp est forte, plus les électrons vont vite, ie plus leur énergie cinétique est grande. La courbe est en fait la preuve que, pour une ddp d'extraction donnée, les électrons cèdent une énergie de valeur 4,9 ev à un atome de mercure. On observe alors un creux sur la courbe. Ainsi, un électron ayant 5,1 ev d'énergie cinétique n'aura plus que 0,2 ev d'énergie cinétique après un choc inélastique avec un autre électron d'un atome de mercure. Cet autre électron va alors monter en énergie et se retrouver, selon l'interprétation de Bohr, sur une orbite plus large. C'est la preuve de la quantification des énergies des électrons dans l'atome de mercure! Pour un électron de 15,6 ev, on pourra avoir 3 chocs inélastiques. Il lui restera alors, après ces 3 chocs, une énergie de 15,6 3 x 4,9 = 0,9 ev. Si la ddp de freinage est supérieure à 0,9 V, il ne pourra pas passer la grille et atteindre l'anode. Néanmoins, l'électron peut ne subir que 2 chocs et donc avoir une énergie de 5,8 ev au niveau de la grille. Il la passe alors sans problème. C'est cette probabilité de faire un certain nombre de chocs dans l'enceinte qui fait que les creux ont une certaine hauteur et que la courbe à, malgré ses oscillations, une forte tendance à monter. Les deux paramètres importants de l'expérience sont la température du mercure dans l'enceinte et la tension de freinage que l'on impose à la sortie de la grille. En effet, la température des atomes de mercure est directement reliée à l'agitation des atomes et donc à la probabilité de chocs entre les atome de mercure et les électrons extraits de la cathode. Plus la température sera élevée, plus les atomes de mercure seront mobiles, et plus ils rencontreront un grand nombre d'électrons. En augmentant la température du mercure, on fait donc diminuer la hauteur des creux de la courbe, ils se rapprochent alors de l'axe des abscisses. Le deuxième paramètre est la tension de freinage, celle-ci ne dépasse jamais quelques Volts. Mais elle est suffisante pour empêcher les électrons les moins énergétiques de passer la grille et atteindre l'anode. Ceci a aussi pour conséquence de faire baisser la hauteur des creux de la courbe et ainsi les rapprocher d'une amplitude nulle (aucun électron n'atteint l'anode). Les niveaux d énergie de l atome sont donc quantifiés : chaque niveau a une énergie bien déterminée, caractéristique de l entité, et est identifié par son nombre quantique n qui prend les valeurs n = 1, 2, 3, Le niveau tel que n = 1 est appelé niveau fondamental, il correspond au niveau de plus basse énergie Les niveaux tels que n > 1 correspondent aux niveaux excités Le niveau tel que n = + correspond à E = 0, l électron n est plus lié au noyau. Cette convention implique que tous les autres niveaux ont une énergie négative.
8 Les atomes, les molécules et les noyaux possèdent des niveaux d énergie discrets. Lorsqu ils échangent de l énergie, ils peuvent passer d un niveau d énergie E i à un niveau d énergie E j > E i et inversement. L énergie échangée E doit satisfaire la relation de Bohr, E E E avec E E j i i j 3 Spectres d émission et d absorption On appelle spectre d une lumière l ensemble des radiations dont elle est constituée, radiations caractérisées par leurs longueurs d onde dans le vide. 3.1 Spectre d émission atomique Lorsqu un atome passe d un niveau d énergie élevée E j à un niveau d énergie plus faible E i, l atome perd de l énergie qu il peut émettre sous forme de rayonnement. Toutes les transitions entre les niveaux d énergie de l atome sont envisageables, comme le montre le schéma ci-dessous. E E 3 hν = E 3 E 2 E 2 hν = E 3 E 1 E 1 hν = E 2 E 1 La fréquence ν d un rayonnement émis lors d une transition du niveau d énergie E j vers un niveau inférieur E i est donnée par la relation de Planck,
h E E avec E E j i i j 9 Spectre d émission et diagramme énergétique du mercure (Hg) Plus la différence d énergie E j E i est grande, plus la fréquence ν du rayonnement est grande et plus sa longueur d onde λ o dans le vide est petite. On rappelle que c o Faisons le calcul de la longueur d onde de la lumière issue de l émission associée à la transition E 4 E 3. E E1 Eo 3, 73 0,90 2,83eV ce qui correspond à 19 19 E 2,831, 602.10 4,53.10 J On peut en déduire la fréquence du rayonnement associée à cette transition énergétique, 19 E 4,53.10 14 6,83.10 Hz 34 h 6,626.10 puis la longueur d onde dans le vide correspondante, c 299792458 7 o 4,38.10 m 438nm 14 6,83.10 Cette radiation est donc dans le bleu, et correspond probablement (aux incertitudes près) à la deuxième raie présente dans le spectre visible. Les fréquences émises sont déterminées par les niveaux d énergie. Ainsi, sur un spectre d émission atomique, chaque raie monochromatique correspond à une transition entre deux niveaux d énergie. Les niveaux d énergie de l atome ne dépendent que de sa nature : celui-ci émet des radiations qui lui sont propres et qu il est par ailleurs capable d absorber. Le spectre d émission, comme le diagramme de niveaux d énergie, est caractéristique de l atome.
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11 3.2 Spectres d absorption Lors d une spectroscopie optique, on éclaire les atomes, molécules ou ions étudiés par une lumière. Lorsqu un atome passe d un niveau de faible énergie E i à un niveau d énergie E j supérieure à E i, l atome absorbe l énergie du rayonnement si la fréquence ν de celui-ci est proportionnelle à la différence d énergie E j E i (h étant la constante de proportionnalité). Si hν est inférieure à toutes les différences d énergie envisageables, le rayonnement traverse la matière sans perturbation. Si on analyse la lumière en sortie du dispositif, on obtient le spectre d absorption de la matière étudiée. On peut remarquer que le spectre d absorption est complémentaire du spectre d émission : l atome absorbe les rayonnements de longueurs d onde identiques à celles des rayonnements qu il est capable d émettre par désexcitation. E E 3 hν = E 3 E 2 E 2 hν = E 3 E 1 E 1 hν = E 2 E 1 La fréquence ν du rayonnement absorbé lors d une transition du niveau d énergie E i vers un niveau supérieur E j est donnée par E h E E avec E E j i i j Lors d une spectroscopie électronique, on bombarde l entité étudiée par un faisceau d électrons homocinétiques (qui ont tous la même vitesse). Si l énergie cinétique des électrons est suffisante, l entité étudiée passe de son état fondamental à un état excité de plus haute énergie. On représente fréquemment les études sous la forme suivante, appelée spectre d absorption.
12 L intensité lumineuse d une radiation absorbée diminue brusquement : cela se traduit sur le spectre par un pic inversé au niveau de la fréquence de la radiation considérée. Remarque : en absence, c est le nombre d onde σ qui est indiqué ; c est par définition l inverse de la longueur d onde, 1 Pour la raie se situant aux alentours de σ = 1 500 cm 1, nous avons 1 1 6 7, 000.10 m 7 000nm 2 1500.10 Nous sommes donc dans le domaine des infrarouges. Ce domaine est très utilisé en chimie organique, où les spectres IR permettent de caractériser les composés en présence. 3.3 Ordres de grandeur L ordre de grandeur de la fréquence ν de la radiation absorbée (on parle de la fréquence absorbée) varie selon la nature de l entité étudiée. Pour une molécule, la fréquence absorbée est de l ordre de 10 11 Hz et la longueur d onde de 10 3 m : elles sont caractéristiques du rayonnement infrarouge. L énergie est alors de l ordre du mev. Pour un atome, la fréquence absorbée est de l ordre de 10 14 Hz et la longueur d onde de 10 6 m : elles sont caractéristiques du visible. L énergie est alors de l ordre de l ev. Pour un noyau, la fréquence absorbée est de l ordre de 10 20 Hz et la longueur d onde de l ordre de 10 12 m : elles sont caractéristiques du rayonnement γ. L énergie est alors de l ordre du MeV. Plus l objet est petit, plus la longueur d onde du rayonnement qu il absorbe est petite : ce résultat est à rapproche du phénomène de diffraction. Par exemple, Robert Bragg a mis en évidence une technique de diffraction des rayons X (longueurs d onde de l ordre du nm, c est-à-dire de l ordre de grandeur de l atome) par les plans atomiques permettent d étudier la structure des cristaux.