Taux de croissance Compléments de cours au chapitre 1 Caroline De Paoli Cours de TQF - février 2009 Un des objectifs principaux lorsqu on a une série de données qui varient dans le temps est de comprendre le taux de variation ou taux de croissance que suit la variable considérée, soit sur la période complète, soit sur une partie de la période considérée. Par ailleurs, de façon à pouvoir comparer les taux de variation de plusieurs séries de données, il faut obtenir des taux de croissance comparables : pour ce faire, on veut avoir des taux de croissance annuels. Avec le fichier du cours, on a trois objectifs : 1. calculer le taux de croissance du CAC40 sur la période complète 2. calculer le taux de croissance mensuel moyen 3. projeter l évolution récente du CAC40 sur les mois à venir pour faire une prévision de croissance, en comprenant que la prévision dépend de l hypothèse que l on fait sur la façon dont le futur va ou non ressembler au passé. Dans le cas développé en classe, on suppose que le CAC40 dans les 6 mois à venir va évoluer en moyenne comme dans les six derniers mois. 1
1 Calcul du taux de croissance sur la période complète En classe, nous avons vu 3 méthodes équivalentes et alternatives pour calculer un taux de variation ou taux de croissance 1 que l on note r tot. on calcule la variation en pourcentage en prenant les données brutes contenues dans la colonne du cours. r tot = 2696, 92 4790, 66 4790, 66 = 0, 437 On obtient la variation en pourcentage en multipliant par 100 : 0, 437 100 = 43, 7% on utilise les indices établis en prenant comme période de référence la période initiale. Cette méthode n est pas développée dans l exemple du CAC40, par contre nous l avons vu sur l exemple du taux de change en classe. Calculons l indice i fev09/fev08. Nous avons i fev09/fev08 = 2696, 92 4790, 66 = 0, 5629 C est un indice en base 1. Cela signifie que le CAC40 en février 2009 vaut 56,29% du CAC40 de février 2008. Pour obtenir le taux de variation, on utilise la formule : taux de variation=indice sur la période initiale-1 Nous avons donc r tot = 0, 5629 1 = 0, 437 On utilise les indices glissants ou indices instantanés. Dans le cours on a vu que i fev09/fev08 = i fev09/jan09 i jan09/dec08 i dec08/nov08 i nov08/oct08 i oct08/sep08 i sep08/aou08 i aou08/jui08 i jui08/juin08 i juin08/mai08 i mai08/avr08 i avr08/mar08 i mar08/fev08 On obtient donc i fev09/fev08 en multipliant les valeurs de la colonne indice entre eux. On a i fev09/fev08 = 0, 5629 d où r tot = 0, 437. 1. Remarque : s agissant de données financières, on peut aussi appeler ça un taux de rentabilité. 2
Remarque : certains d entre vous ont remarqué que ce chiffre de r tot 43, 7% ne correspond pas à un taux de variation annuel car il est construit à partir des données sur 13 mois (de février 2008 à février 2009 inclus). C est donc, pour etre très précis, le taux de croissance de la période complète et non le taux de croissance annuel. Le taux de croissance annuel est calculé en prenant les valeurs comprises entre mars 2008 et février 2009, c est à dire en omettant la première. Essayer de recalculer ce taux. Réponse : r totann 42, 7%. 2 Calcul du taux de croissance mensuel moyen La colonne des rentabilités instantanées donne le taux de variation effectif du CAC40 d un mois sur l autre. Chercher le taux de croissance mensuel revient à résumer les informations contenues dans cette colonne en une seule. Il s agit bien d une moyenne, mais pas d une moyenne arithmétique. On ne peut donc pas l obtenir en faisant la somme des variations et en divisant par le nombre d observations. Le taux de croissance mensuel, r mens est le taux tel que, si le CAC40 avait varié chaque mois de r mens, on obtiendrait à la fin de la période une variation totale égale à la variation totale observée, c est à dire r tot = 43, 7%. On pose le problème ainsi : d où (1 + r mens ) 13 = 1 + r rtot r mens = (1 + r rtot ) 1/13 1 = 0, 0432 Interprétation : si tous les mois entre février 2008 et février 2009 le CAC40 avait perdu exactement 4,32%, à la fin de la période on observe bien une perte totale égale à celle observée, soit 43, 7%. C est donc bien la perte mensuelle moyenne. 3
3 Un peu de prévision : calcul du taux de variation annuel attendu. Bien sûr, on ne sait pas ce qui va se passer dans les mois à venir, mais il est légitime de faire un exercice en partant de l hypothèse : et si... le CAC40 se comporte dans les mois à venir comme par le passé, que peut-on attendre comme taux de croissance dans 6 mois? Pour pouvoir comparer des taux de variation, on a dit qu on veut un taux annuel. On cherche donc à calculer le taux de variation annuel du CAC40 en septembre 2009 (donc par rapport au CAC40 en septembre 2008) si le taux de croissance pendant les six prochains mois est égal au taux de croissance des six derniers mois. Etape 1 : calcul du taux de croissance des 6 derniers mois, r 6mois : on applique la même méthode que celle développée au 1. et on calcule r 6mois = 2696,92 4032,1 4032,1 = 0, 3984 Interprétation : le CAC40 a perdu 39,8% au cours des six derniers mois. Etape 2 : calcul du taux de croissance annuel prévisionnel, r prev : On applique la même méthode que celle développée au 2. On se demande quel taux de croissance au final on aura si on a par deux fois (6 mois puis 6 mois) 39, 8% : (1 + r 6mois ) 2 = (1 + r prev ) d où r prev = (1 + r 6mois ) 2 1 = 0, 638 Interprétation : si le CAC40 perd entre février 2009 et septembre 2009 autant qu il a perdu entre septembre 2008 et février 2009, on aura subi en septembre 2009, par rapport à septembre 2008, une perte globale de 63,8%. Exercice complémentaire : calculer r prev (i) sous l hypothèse que le CAC40 se stabilise au cours des six prochains mois à sa valeur de février 2009 et (ii) 4
sous l hypothèse que le taux moyen de croissance au cours des six prochains mois soit égal au taux de croissance moyen entre février 2008 et juillet 2008 (avant le gros de la crise). Réponses : (i) 39, 8% (ii) 45, 2% Remarque : on peut comparer r prev et r totann. Le fait que r prev soit plus faible que r totann signifie que le plus gros de la baisse du CAC40 a eu lieu pendant la deuxième période servant de calcul à r totann. Comprenez-vous pourquoi? 4 Colonne du logarithme Il faut retenir que la colonne logarithme est obtenue en prenant le logarithme népérien de l indice glissant et non pas du cours. Pourquoi donner les valeurs en logarithme? parce que si le taux de croissance est suffisamment petit, on peut approximer le taux de croissance de la série initiale (du CAC40) par la somme des logarithmes de l indice. Ici, la somme de la colonne des logarithmes donne 0, 57 qui est l approximation (pas très satisfaisante) de r t ot. 5