Première Maths FONCTIONS DE LA FORME f+g ET kf I- FONCTION DE RÉFÉRENCE Les fonctions de référence 1, et ² ainsi que leurs utilisations ont été abordées en classe de seconde. a) Fonction affine Elle est définie par f : + pour tout avec et des valeurs réelles fixées. La représentation graphique d une fonction affine est une droite. est appelé le coefficient directeur de la droite. Si >0 la fonction f est croissante. Si <0 la fonction f est décroissante. est appelé l ordonnée à l origine. Exemples : Voici les représentations graphiques de deux fonctions affines : = 0,5+4 et =2+1 La fonction est. sur R. La fonction est. sur R. Remarque : On retrouve la valeur de l ordonnée à l origine par lecture graphique des coordonnées du point d intersection entre la représentation graphique de la fonction affine et l axe des ordonnées. A (. ;.) B (. ;.) 1 Première Maths fonctions de la forme f+g et kf Cours ( 9 pages)
b) Fonction inverse 1 Elle est définie par f : x a pour x 0. x Voici la représentation graphique de la fonction inverse obtenue à l aide du logiciel GeoGebra : Remarque : 0 est une valeur interdite car n existe pas. Les variations de la fonction inverse sont : - La fonction inverse est.. sur l intervalle ].;.[. - La fonction inverse est.. sur l intervalle ].;.[. Voici le tableau de variation de la fonction inverse : x - 0 + = 1 Remarque : Application : A l aide des variations déterminées ci-dessus, compléter les inégalités suivantes par < ou >. 3 1 2 3 c) Fonction racine carrée Elle est définie par pour 0. 2 Première Maths fonctions de la forme f+g et kf Cours ( 9 pages)
Voici la représentation graphique de la fonction racine carrée obtenue à l aide du logiciel GeoGebra : Remarque : La racine carrée d un nombre négatif n existe pas. La fonction racine carrée est.. sur l intervalle [.;.[. Voici le tableau de variation de la fonction racine carrée : x 0 + = Application : A l aide des variations déterminées ci-dessus, compléter l inégalité suivante par < ou >. 4 5 d) Fonction cube Elle est définie par h " pour tout. Voici la représentation graphique de la fonction racine carrée obtenue à l aide du logiciel GeoGebra : La fonction cube est sur l intervalle [. ;.[. Voici le tableau de variation de la fonction cube : x - + h= " 3 Première Maths fonctions de la forme f+g et kf Cours ( 9 pages)
Application : A l aide des variations déterminées ci-dessus, compléter l inégalité suivante par < ou >. h 1 h0 II- FONCTION DE LA FORME f+g 1) Activité Une société achète un photocopieur couleur d une valeur de 70000. La dépréciation de cet appareil (c'est-à-dire la perte de valeur) au bout d un nombre de mois est donnée par l expression :=750+23000. Le coût de l entretien de l appareil au bout d un nombre de mois est donné par l expression : =25² 625+9400. Le prix de revient de l appareil au bout de mois est la somme de la dépréciation et de l entretien. On note h la fonction correspondant au prix de revient. a) Compléter le tableau ci-dessous à l aide du logiciel GeoGebra. 12 13 14 15 16 17 h Aide : Lancer le logiciel GeoGebra. Si le tableur n apparait pas, cliquer sur l onglet Affichage et cliquer sur Tableur. Reproduire et compléter le tableau : Saisir dans la cellule B2 la formule =750*B1+23000 et la recopier jusqu à G2 en faisant glisser le curseur. Procéder de la même manière pour la ligne suivante en choisissant la formule adaptée. Saisir dans la cellule B4 la formule =B2+B3 et la recopier jusqu à G4 en faisant glisser. b) En utilisant le logiciel GeoGebra, construire les représentations graphiques de et pour compris entre 12 et 50. Aide : Saisir dans la ligne de saisie f(x)=fonction[750x+23000,12,50]. Si un recadrage est nécessaire, clic droit, puis cliquer sur recadrer. Procéder selon la même méthode pour la fonction. 4 Première Maths fonctions de la forme f+g et kf Cours ( 9 pages)
c) Donner les variations de et de sur l intervalle [12 ; 50]. d) Sur le même graphique, construire, à partir des courbes de et de, la représentation graphique du prix de revient en fonction du nombre de mois. Aide : h=+ e) Donner la variation de h sur l intervalle [12 ; 50] et en déduire comment évolue le prix de revient du photocopieur en fonction du nombre de mois. f) Déterminer le prix de revient de l appareil au bout de 4 ans. Aide : Tracer la droite verticale d équation =48. Utiliser l outil intersection entre deux objet pour déterminer les coordonnées du point d intersection entre la représentation graphique de h et la droite verticale. 2) Variations d une somme de deux fonctions ayant même sens de variation Soient et, deux fonctions définies sur un intervalle I. Si et sont croissantes sur I, alors la fonction h définie par h=+ est croissante sur I. Si et sont décroissantes sur I, alors la fonction h définie par h=+ est décroissante sur I. Application : On considère la fonction h définie sur l intervalle [1 ; 20] par h= ) ) * +3. 1) Déterminer les variation de h. 2) Construire son tableau de variation. (à faire au dos de la feuille) 5 Première Maths fonctions de la forme f+g et kf Cours ( 9 pages)
III- FONCTION DE LA FORME kf 1) Activité Une société internationale spécialisée dans l électronique fabrique des puces pour téléphones portables. Pour une quantité de puces fabriquées comprises entre 0 et 1800, le coût total de fabrication, en euros, de ces puces est donné en fonction de par : += 0,01²+20+5000 Un nouveau procédé de fabrication abaisse ce coût de 10 %. a) On note + * le nouveau coût de fabrication. Comment passe-t-on de l ancien au nouveau coût de fabrication? b) À l aide du tableur de GeoGebra, compléter le tableau suivant :, -, -., 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 c) Tracer avec GeoGebra, la représentation graphique de +, puis celle de + *, sur l intervalle [0 ; 18000]. d) Donner les variations de + et de + * sur l intervalle [0 ; 1800]. e) Donner le coût maximum et le nombre de puces correspondant pour les fonctions + et + *. 6 Première Maths fonctions de la forme f+g et kf Cours ( 9 pages)
2) Variations d une fonction de la forme kf où k est un nombre réel donné Soit / un nombre réel donné. Si />0, alors / a même sens de variation que. Si /<0, alors / a un sens de variation opposé à. Exemple : Sur le graphique ci-dessus sont tracées les représentations graphiques des fonctions : 0,= 1, (Trait plein) ; 2,=3,4, (tirets) ; 5,=63,4, (pointillés) 0,5>0, donc la fonction a même sens de variation que la fonction. 0,5<0, donc la fonction h a un sens de variation opposéà celui de la fonction. 7 Première Maths fonctions de la forme f+g et kf Cours ( 9 pages)
IV- RÉSOLUTION GRAPHIQUE DES INÉQUATIONS DE LA FORME 0,>3 et 0, 2, 1) Inéquations de la forme >0 On considère une fonction f dont la représentation graphique sur l intervalle [-3,2 ; 3,2] est donnée cicontre. Déterminer, à l aide du graphique, les valeurs de pour lesquelles >0. Méthode : On cherche les valeurs de dont les images par f sont strictement positives, c'est-à-dire les abscisses de tous les points qui se situent au dessus de l axe des abscisses. 2) Inéquations de la forme Une entreprise fabrique des lecteurs DVD. Le coût total de production, en euros, varie en fonction de la quantité produite selon l expression : +=²+80+2000. La recette totale (en euros) est donnée par : 7=200. On cherche à connaître les valeurs de pour lesquelles la fabrication est rentable, c'est-à-dire les valeurs pour lesquelles la recette totale est supérieure au coût total de production. Voici les représentations graphiques de +(trait plein) et 7(pointillés) sur l intervalle [0 ; 120]. 8 Première Maths fonctions de la forme f+g et kf Cours ( 9 pages)
En utilisant le graphique, déterminer pour quelle quantité de lecteurs DVD la fabrication est rentable. Méthode : On traduit la question posée par une inégalité. Pour trouver l intervalle des solutions, on trace les droites verticales passant par les deux points d intersections des deux courbes. 9 Première Maths fonctions de la forme f+g et kf Cours ( 9 pages)