Plan du cours Automates cellulaires Guillaume Hutzler IBISC (Informatique Biologie Intégrative et Systèmes Complexes) Equipe LIS (Langages Interaction et Simulation) guillaume.hutzler@ibisc.univ-evry.fr http://www.ibisc.univ-evry.fr/~hutzler/cours/gbi_msa Introduction Exemples simples Petit historique Détail des choix de conception possibles Considérations théoriques Application à la modélisation et à la simulation de systèmes biologiques Conclusion Introduction Un exemple simple pour commencer Introduction - Un exemple simple pour commencer Les règles de transition L automate élémentaire à 1 dimension Modèle à 1 dimension Tableau de cellules à une dimension Espace d états limité Chaque cellule prend ses valeurs dans l ensemble {0, 1} Voisinage réduit Le voisinage d une cellule se réduit aux deux cellules adjacentes Règles de transition simples L automate progresse par générations successives L état d une cellule à la génération suivante est fonction de son état et de l état de ses voisines à la génération courante Toutes les cellules changent d état de manière synchrone Etudié de manière systématique par S. Wolfram Principe de base Pour une cellule donnée 8 configurations possibles (2 3 ) 2 nouveaux états possibles pour chaque configuration Au total 256 automates possibles (2 8 ) Diagramme espace-temps ex. : règle 18 f(111)=0 f(110)=0 f(101)=0 f(100)=1 f(011)=0 f(010)=0 f(001)=1 f(000)=0 n règle = f(111)f(110)f(101)f(100)f(011)f(010)f(001)f(000) Introduction - Un exemple simple pour commencer Un modèle de morphogénèse? Introduction - Un exemple simple pour commencer Considérations générales Observation Les patterns obtenus par certains automates ressemblent aux motifs exhibés par certains coquillages Peut modéliser un processus de diffusion simple [Meinhardt & Klingler 1987] «Shell patterns are time records of a one-dimensional pattern forming process along the growing edge. Oblique lines result from travelling waves of activation (pigment production). Branches and crossing result from a temporary shift from an oscillatory into a steady mode of pigment production...» Domaine très expérimental un automate est entièrement décrit par sa spécification Mais : impossible de prédire a priori l état d un automate sans l exécuter Mais également des résultats théoriques Classes de complexité Réversibilité Jardins d Eden et ensembles limites Lois de conservation Universalité Applications simulation de phénomènes spatio-temporels (physique, chimie, biologie mais aussi ingénierie, trafic, sociologie, etc.) traitement d image et classification 1
Introduction Petit retour historique (1) Introduction - S. Ulam La croix de Malte (1) Stanislaw M. Ulam S intéressait à l évolution de constructions graphiques engendrées à partir de règles simples Principe Espace à deux dimensions divisé en «cellules» (sorte de feuille quadrillée) Chacune des cellules pouvait avoir deux états : allumé ou éteint Partant d'une configuration donnée, la génération suivante était déterminée en fonction de règles de voisinage Ex. si une cellule donnée était en contact avec deux cellules allumées elle s'allumait sinon elle s'éteignait Résultats génération de figures complexes et esthétiques dans certains cas, ces figures pouvaient se répliquer Questionnements ces mécanismes récursifs peuvent-ils expliquer la complexité du réel? cette complexité n'est-elle qu'apparente, les lois fondamentales étant ellesmêmes simples? http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/qt/maltese/maltese.qt Introduction - S. Ulam La croix de Malte (2) Introduction Petit retour historique (2) http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/jpeg/maltese/maltese_obst.jpg [Greene 1991] John von Neumann Travaillait à la conception d une machine auto-réplicatrice, le kinématon Capable de produire n importe quelle machine décrite dans son programme, y compris une copie d elle-même, à partir de matériaux trouvés dans l environnement Problèmes autoréférence de la description La machine doit avoir une description d elle-même, donc également une description de la description... La description est considérée à la fois comme un programme et un composant La description est interprétée pour construire la nouvelle machine Elle est ensuite copiée Similaire au fonctionnement de l ADN (découvert plus tard) Conditions physiques de réalisation de la machine Introduction Petit retour historique (3) Introduction - Petit retour historique Les développements ultérieurs Les automates auto-reproducteurs Ulam a suggéré à von Neumann d'utiliser ce qu'il appelait les «espaces cellulaires» (cellular spaces) pour construire sa machine «En axiomatisant les automates [autoréplicateurs] de cette manière, on (...) s'est résigné à ne pas expliquer comment ces éléments sont constitués de choses réelles, particulièrement comment ces éléments sont constitués de particules élémentaires ou même de molécules (...) on considérera simplement que des particules élémentaires dotées de certaines propriétés existent. La question à laquelle on espère répondre, ou au moins examiner, est : quels principes sont mis en œuvre dans l'organisation de ces molécules dans les êtres vivants fonctionnels (...)» chaque cellule est un automate à états finis AC à 2 dimensions avec 200 000 cellules et 29 états Transport de signal Opérations logiques Architecture logique Un constructeur universel Une bande de cellules Développements dans différentes directions Complément des travaux de Von Neumann sur les automates cellulaires [Burks 70] Extension des travaux de Von Neumann sur les machines autoreproductrices [Codd 68, Langton 84] Jeux basés sur les automates cellulaires Jeu de la vie [Conway 70] Brian s brain [Silverman 84] Etude théorique des propriétés des automates cellulaires Extension du modèle originel (coupled map lattices) Application à la modélisation de systèmes complexes (biologie, physique, sociologie, etc.) 2
Introduction - Jeux basés sur les automates cellulaires Le jeu de la vie [Conway 1970] Introduction - Le jeu de la vie Un exemple simple Présenté à l origine comme un jeu mathématique grille carrée de cellules chaque cellule est dans l état «vivante» ou «morte» l état des cellules est initialisé de manière aléatoire à l instant t+1, l état de chaque cellule dépend de son propre état et de l état de ses 8 voisines à l instant t une cellule naît si elle possède trois cellules voisines vivantes (reproduction) une cellule meurt si elle possède moins de deux cellules voisines vivantes (mort par isolement) plus de trois cellules voisines vivantes (mort par sur-population) Résultat apparition de structures dynamiques émergentes variantes : différentes règles pour l évolution des cellules Cellules numérotées (vivantes en jaune, mortes en rouge) Nombre de voisins par cellule Voisinage de la cellule 12 Etat de l automate à la génération suivante Introduction - Le jeu de la vie Exemple de dynamique Introduction - Le jeu de la vie Structures particulières Structures stables (1-périodiques) Structures 2-périodiques Planeur Caractérisation des automates cellulaires Description informelle Caractérisation des automates cellulaires Exemple simple : Greenberg-Hastings Framework pour une large classe de modèles discrets à interactions homogènes Ces modèles ont les propriétés suivantes: Discrétisation spatiale : espace décomposé en une grille de cellules temporelle : évolution par pas de temps discrets Parallélisme les cellules évoluent simultanément et de manière indépendante Localité chaque cellule évolue en fonction de son propre état et de celui d un ensemble fini de cellules voisines Homogénéité la topologie des cellules est régulière la relation de voisinage est uniforme les règles de transition sont identiques pour toutes les cellules Modèle de milieu excitable état de repos (0) état d excitation (2) état réfractaire (ou de rémission) Paramètres de l automate réseau carré voisinage 4 voisins règles si pas de voisin si au 1 voisin 3
Caractérisation des automates cellulaires Evolution avec 1 cellule excitée Caractérisation des automates cellulaires Définition formelle Soit L un réseau régulier (ses éléments sont des cellules) S un ensemble fini d états N un ensemble fini d indices de voisinage (de taille n) tels que une fonction de transition : Un automate cellulaire est défini par le 4-tuple Une configuration est une fonction qui associe un état à chaque cellule du réseau Le rôle de la fonction de transition f est de changer en selon la relation : où désigne l ensemble des voisins de la cellule r Caractérisation des automates cellulaires Choix de conception Géométrie du réseau Géométrie du réseau Voisinage Conditions aux bords Conditions initiales Ensemble d états Règles de transition réseau régulier = pavage périodique d un espace à d dimensions les cellules remplissent entièrement l espace à d dimensions le réseau se reproduit à l identique par des translations dans d directions indépendantes solutions à 1, 2, 3 dimensions Espace à 1 dimension Espace à 2 dimensions (1) Une seule possibilité tableau linéaire de cellules 3 réseaux réguliers triangulaire carré hexagonal 4
Espace à 2 dimensions (2) Espace à 3 dimensions réseau triangulaire avantage = petit nombre de voisins (3) désavantage = difficile à représenter et à visualiser réseau carré avantage = représentation et visualisation simple désavantage = anisotropie Beaucoup de réseaux possibles plus simple = réseau cubique pas de réseaux suffisamment symétriques pour les pbs d hydrodynamique Problèmes spécifiques de visualisation représentation 3D réseau hexagonal avantage = plus faible anisotropie des trois désavantage = difficile à représenter et à visualiser représentation par tranches 2D Taille et forme du voisinage (1) Taille et forme du voisinage (2) voisinage de von Neumann voisinage = ensemble des cellules avec lesquelles une cellule donnée pourra interagir description du voisinage = ensemble des cellules qui font partie du voisinage de la cellule (i,j) voisinage de Moore voisinage de von Neumann généralisé (rayon r) voisinage de Moore généralisé (rayon r) Conditions aux limites Frontière périoique Définition formelle donnée dans le cadre de réseaux de dimensions infinies raisonnable et nécessaire du point de vue théorique inapplicable en pratique certains problèmes ont des frontières naturelles 3 types de frontières périodique réfléchissante à valeur fixe Extension périodique du réseau version à 1 dimension souvent utilisé car se rapproche le plus d un réseau de taille infinie version à 2 dimensions : tore pas possible d obtenir une sphère 5
Frontière réflechissante Conditions fixes Répétition du réseau à la frontière version à 1 dimension Valeur fixe donnée aux cellules qui constituent la frontière adapté lorsque le système à simuler a des frontières version à 2 dimensions Conditions mixtes Conditions initiales les 3 types de conditions peuvent être combinées les différentes frontières ont des conditions différentes si une frontière a un bord périodique, le bord opposé aura également les mêmes conditions une tube long peut être simulé en imposant des conditions périodiques dans une dimension et des conditions réfléchissantes dans l autre Autres solutions étendre le réseau quand les structures dans l AC touchent les bords pb = certaines structures se développent très rapidement adopter des règles de transition spéciales pour les frontières pb = potentiellement beaucoup de cas particuliers Les conditions initiales déterminent souvent l évolution future de l automate construction génération aléatoire Considérations importantes beaucoup d automates conservent certaines quantités propres au modèle : nb de particules, énergie, etc. particulières au réseau : nb de particules dans une ligne ou une colonne choix de manière à ce que les 1ères soient vérifiées les secondes ne soient pas gênantes Exemple : greenberg-hastings Espace d états si que des cellules rouges vague qui se propage et disparaît si barre rouge au-dessus d une barre jaune spirale sans fin à chaque extrémité de la barre cas particulier = une cellule rouge à côté d une cellule jaune -> centre d émission de vagues périodiques AC = automate à états finis nb d état fini en général petit pour pouvoir explorer systématiquement tous les ACs pour s états et n voisins, le nb d ACs est le nombre de spirales est conservé! pour pouvoir spécifier les règles de transition explicitement et les stocker dans une table (de taille ) grand nombre d état intéressant pour augmenter la précision mais on pourra préférer une modélisation par équations aux dérivées partielles si grande précision souhaitée ACs adaptés pour systèmes avec fluctuations, où les interactions locales sont importantes 6
Généralisation de greenberg-hastings Extension = Coupled-map lattices n états différents possibles Espace d états continu au lieu d être discret règle de transition: Période réfractaire plus grande Etats à plusieurs variables l espace d état S est le produit en croix des espaces de chacune des variables médium excitable caractérisé par variable d excitation u u=1 -> excité u=0 -> au repos variable de phase v u=1 -> v est le temps pendant lequel la cellule est excitée u=0 -> v est le temps avant que la cellule soit à nouveau excitable Règles de transition l aspect le plus important des ACs conditionné par la géométrie le voisinage l espace détats même si la règle de transition détermine directement l évolution de l AC, il est souvent impossible de prédire son évolution autrement qu en le simulant Spécification directe vs implicite Spécification directe + wildcards spécification directe = règles de transition pour tous les cas de voisinages possibles pour l automate à 1 dimension La même règle en utilisant des wildcards faire attention à ce que la spécification permette la construction de la table entière de manière consistante reste plus compliquée que la spécification donnée en introduction extension en ordonnant l application des règles long et pénible possible d introduire des «wildcards» spécification implicite = règles données sous forme de formules 7
Spécification directe + wildcards + symétrie simplification en groupant les états en fonction de la symétrie du réseau même nb de cas que dans la spécification donnée en intro encore plus important en 2 dimensions Petits changements dans la table un changement même infime dans la table des règles peut conduire à des modifications très importantes de la dynamique finale ex1: la 1ère règle est valide pour toutes les configurations obtenues par rotation du réseau la table complète a une taille de!!! Règles totalistiques (1) Beaucoup d ACs ne se préoccupent pas de la disposition des cellules mais seulement du nb de voisins dans un certain état permet de simplifier la table de transition AC totalistique ne tient compte que que de la somme des états des cellules du voisinage AC «outer totalistic» dépend aussi de l état courant de la cellule concernée Règles totalistiques (2) La plupart du temps, on ne somme que pour un sous-ensemble des états ex: greenberg-hastings = somme des cellules dans l état 2 dans l exemple: g(0) = 0 g(1) = 0 g(2) = 1 f(0,0) = 0 f(0, x>0) = 2 f(1,x) = 0 f(2,x) = 1 Un automate 1D totalistique à 3 états Règles probabilistes (1) le nouvel état de la cellule dépend de la configuration de son voisinage des probabilités associées aux différents états possibles (la somme des probabilités devant être égale à 1) les choix probabilistes des cellules sont indépendants les uns des autres La fonction de transition devient : G vérifiant en général, G n est non nul que pour quelques valeurs de sortie important pour simuler un grand nombre de systèmes dans lesquels le fonctionnement est bruité 8
Règles probabilistes (2) Un automate 1D probabiliste Exemple prend en compte le fait que la propagation ne s effectue pas toujours front irrégulier mais plus circulaire Considération théoriques - Classification Classification des automates [wolfram 84] Considération théoriques - Classification Classification des automates [wolfram 84] Classe I Classe II Pratiquement toutes les configurations initiales conduisent à la même configuration fixe et homogène Pratiquement toutes les configurations initiales conduisent à des configurations qui se répètent périodiquement Automate 1D élémentaire : k=2, r=1, Règle 160 Automate 1D élémentaire : k=2, r=1, Règle 108 Considération théoriques - Classification Classification des automates [wolfram 84] Considération théoriques - Classification Classification des automates [wolfram 84] Classe III Classe IV Pratiquement toutes les configurations initiales conduisent à des comportements qui apparaissent essentiellement aléatoires Emergence de structures localisées avec des interactions complexes Automate 1D élémentaire : k=2, r=1, Règle 126 Automate 1D élémentaire : k=2, r=1, Règle 110 9
Considération théoriques Retour sur les automates 1D élémentaires Modélisation de systèmes complexes Théorème Le jeu de la vie [Cook et Wolfram 02] La règle 110 est un calculateur universel n est pas réversible ne présente pas de lois de conservation (ni du moment, ni de l énergie, ni de rien d autre...) pas ou peu de comportement structuré à grande échelle Réversibilité [Margolus] Conservation [Margolus] Conservation de l information Pb de la conservation exacte la même information est visible depuis différentes positions pour inverser la dynamique, un n ème de l info de chaque voisin doit être replacée au centre Dans les automates cellulaires classiques, la conservation n est pas une propriété locale Solution Redéfinir les AC pour que la conservation soit une propriété manifestement locale AC = calcul régulier dans l espace et le temps Régulier dans l espace = structure répétée Régulier dans le temps = séquences répétées d étapes Réversibilité et conservation [Margolus] Exemple : règle de diffusion [Margolus] Double structure spatiale et temporelle de période 2 Découpage de l espace double structure de blocs 2x2 (lignes pleines et lignes pointillées) Découpage du temps distinction des pas de temps pairs (lignes pleines) et impairs (lignes pointillées) Lattice Gas Automata (LGA) Pas de temps pairs rotation aléatoire horaire ou contra-horaire Pas de temps impairs rotation aléatoire horaire ou contra-horaire 10
Exemple : règle de diffusion [Margolus] Exemple 2 : TM Gas [Margolus] Pas de temps pairs rotation horaire Pas de temps impairs rotation contra-horaire Sauf 2 uns sur la diagonale -> inchangé Etape 13 50 24 : carrés pointillés continus Exemple 2 : TM Gas [Margolus] Exemple 3 : dynamique de fluides [Margolus] LGA à 6 directions avec un obstacle Ex. 4 : Croissance d une structure cristalline [Margolus] Ex. 4 : Croissance d une structure cristalline [Margolus] Structure en échiquier or/argent Pas de temps pairs : mise à jour du sous-réseau or Pas de temps impairs : mise à jour du sous-réseau argent Mise à jour du sous-réseau or Diffusion du gaz et de la chaleur Mise à jour du sous-réseau argent Diffusion du gaz et de la chaleur Quand une particule de gaz diffuse à côté d une particule de cristal exactement, elle cristallise et émet une particule de chaleur. L inverse peut aussi se produire 11