Interaction uide/structure : ambage d'un lament élastique dans un écoulement cellulaire

FORMATION Sciences de la Matière École Normale Supérieure de Lyon Université Claude Bernard Lyon I Stage 2008-2009 Nawal Quennouz M2 Physique Interaction uide/structure : ambage d'un lament élastique dans un écoulement cellulaire Résumé : J'ai étudié l'interaction entre un lament déformable et un écoulement à points de stagnation à bas nombre de Reynolds. Dans cet écoulement à réseau de points de stagnation, près des points de stagnation, le lament est soumis à une forte compression et peut donc être déformé. Tout au long de ce stage, je me suis intéressée conséquences du ambage du lament sur ses propriétés de transport aux temps longs. Diérentes techniques de mesures ont été utilisées (PIV, rhéologie) pour caractériser quantitativement l'écoulement et les propriétés du lament. Mots clés : Filament élastique, ambage, écoulement cellulaire, rhéologie, PIV Stage eectué au Laboratoire de Physique et Mécanique des Milieux Hétérogènes 10 rue Vauquelin, 75005 Paris du 6 avril au 31 juillet 2009 sous la direction de Olivia du Roure et de Anke Lindner

Je tiens à remercier vivement mes directrices de stage Olivia du Roure et Anke Lindner, qui m'ont accueillie et encadrée durant ces quatre mois de stage. Je tiens aussi à remercier José Lanuza et Guillaume Clermont qui ont contribué à l'amélioration du dispositif expérimental ainsi que Ramiro Godoy- Diana qui m'a aidé pour la réalisation des mesures de PIV. Et merci à tous les membres du laboratoire, qui m'ont réservé un excellent accueil. J'aurais, dans cet environnement, passé quatre mois très agréables. 2

Table des matières 1 Introduction 4 2 Simulation numérique 4 2.1 Modélisation.................................. 4 2.2 Transition de ambage............................ 5 2.3 Résultats numériques............................. 6 3 Dispositif expérimental 7 3.1 Écoulement à points de stagnation..................... 7 3.1.1 Montage expérimental........................ 7 3.1.2 Amélioration du dispositif expérimental............... 8 3.1.3 Caractérisation de l'écoulement : mesures de PIV......... 8 3.2 Filament.................................... 11 3.2.1 Rhéologie............................... 12 4 Résultats 13 4.1 Acquisition et traitement des images.................... 14 4.2 Résultats expérimentaux........................... 15 5 Perspectives 18 6 "Turbulence élastique" 19 6.1 Simulation numérique............................. 20 6.2 Résultats expérimentaux........................... 20 6.3 Expériences de détachement de gouttes................... 21 7 Conclusion 22 8 Annexes 25 3

1 Introduction Mon stage s'est déroulé au sein de l'équipe Mouillage & Colloïdes et de l'équipe Granulaires du Laboratoire de Physique et Mécanique des Milieux Hétérogènes (PMMH) de l'école Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles (ESPCI). Une des thématiques de recherche développée par ces équipes porte sur l'étude de l'interaction uide/structure qui correspond à l'étude du comportement d'un objet exible dans un écoulement. En eet, un écoulement peut agir sur un objet avec lequel il est en contact en le déplaçant ou en le déformant. Le déplacement et la déformation de l'objet peuvent, à leur tour, avoir une rétroaction sur l'écoulement environnant l'objet, qui se traduit par une modi- cation de l'écoulement. L'interaction uide/structure correspond donc à un problème de physique non linéaire. On trouve dans la littérature un nombre important d'études théoriques et de simulations numériques qui porte sur ce type de problèmes dynamiques ([1], [2]). On peut citer en particulier le travail réalisé par Micheal Shelley, et. al., qui ont simulé la dynamique d'un lament exible au sein d'un écoulement cellulaire à bas nombre de Reynolds an d'en étudier ses propriétés de transport [3]. C'est d'ailleurs à la suite d'un séminaire donné par Micheal Shelley au laboratoire qu'est né, il y a déjà deux ans, le projet sur lequel j'ai travaillé. Le dispositif expérimental que j'ai utilisé a été mis en place par Elie Wandersman lors de son post-doctorat durant lequel il a caractérisé la transition de ambage d'un lament élastique [4]. Au cours de ce stage, nous avons cherché à déterminer les propriétés de transport d'un lament élastique dans un écoulement cellulaire. C'est-à-dire étudier les conséquences du ambage du lament sur son transport aux temps longs. 2 Simulation numérique 2.1 Modélisation Dans [3], Yuan-Nan Young et Micheal Shelley ont simulé la dynamique d'un lament élastique dans un écoulement cellulaire 2D. Cet écoulement (cf gure (1)) est constitué par un réseau de points de stagnation générés par des vortex contrarotatifs en rotation en bloc. La formule analytique utilisée pour simuler cet écoulement périodique 2D est : [ ] sin(x)cos(y) U(x, y) = k (1) cos(x)sin(y) où les points (nπ, mπ, 0) avec n et m entiers, correspondent aux points de stagnation. Dans ce réseau quand le lament est transporté, il subit une forte compression en arrivant à proximité du point de stagnation qui peut éventuellement le faire amber. Le lament élastique est décrit par son rayon, r, sa longueur, L tel que r << 1 et son module d'young L Y. Sur la gure (2) on peut voir le comportement d'un lament au cours d'une simulation. A l'instant initial le lament est aligné avec l'axe de compression puis est transporté au niveau d'un point de stagnation. Au niveau de ce point de stagnation les forces visqueuses deviennent susamment élevées pour déformer le lament. Cette déformation permet au 4

lament de se positionner sur plusieurs lignes de courant. Il peut ainsi s'échapper du point de stagnation et explorer d'autres cellules du réseau. Fig. 1 Schéma de quatre cellules de l'écoulement cellulaire. Fig. 2 Simulation numérique d'un lament élastique au voisinage d'un point de stagnation : a) le lament arrive au point de stagnation où il est fortement comprimé, b) sous l'eet des forces visqueuses, il ambe, c) grâce à sa déformation le lament change de ligne de courant, d) puis il s'échappe [3]. 2.2 Transition de ambage La déformation du lament est déterminée par l'intensité relative des forces visqueuses, F v η ɛl 2, qui tendent à le déformer et des forces élastiques, F el Y r4, qui cherchent à L le maintenir droit. An de caractériser la transition de ambage, on introduit 2 un nombre sans dimension, le nombre élasto-visqueux ou plus fréquemment appelé "sperm number" Sp qui correspond au rapport des forces élastiques et des forces visqueuses : Sp = η ɛl4 Y r 4 (2) 5

avec η la viscosité du uide, ɛ le taux de compression de l'écoulement et L et r respectivement la longueur et le rayon du lament. Un calcul de stabilité linéaire [3] a mis en évidence que l'instabilité de ambage avait lieu pour un Sp critique égal à 150. Cette valeur est en accord avec les résultats expérimentaux d'elie Wandersman [4]. 2.3 Résultats numériques Les résultats des simulations ont montré que la exibilité du lament induit un changement dans ses propriétés de transport. En eet, comme on peut le voir sur la gure (3), le lament contrairement à un objet parfaitement ponctuel ne reste pas indéniment piégé sur la même ligne de courant fermée ou sur un point de stagnation. Mais, au contraire, il change de cellule (cf zoom de la trajectoire) et explore une grande partie de l'écoulement. La déformabilité du lament lui confère ainsi des propriétés de transport. Fig. 3 Trajectoire d'un lament (à gauche), zoom d'une portion de la trajectoire (à droite) (le code couleur dénit la longueur bout à bout du lament). Sur la gure (4) est représenté le déplacement quadratique moyen d'un lament en fonction du temps. Ces résultats ont été obtenus pour un même lament mais pour diérentes valeurs de nombre élasto-visqueux Sp. On peut tout d'abord noter que le déplacement quadratique moyen est linéaire en temps pour toutes les valeurs de Sp. Le ambage du lament lui confère donc le même comportement qu'un marcheur aléatoire. Cette gure montre aussi que la diusivité augmente avec la déformation du lament, car en eet plus Sp est élevée plus le lament se déforme (courbe 1, 2, 3, 4, 5). Mais si l'on continue d'augmenter Sp, le déplacement quadratique moyen i.e. la diusivité diminue (courbe 6 et 7) jusqu'à s'annuler. Cette décroissance peut s'expliquer par le fait que l'augmentation du nombre élasto-visqueux, donc des forces visqueuses, entraîne une déformation plus importante du lament jusqu'à atteindre une conguration en "pelote" et donc avoir un comportement qui se rapproche de celui d'un objet ponctuel, piégé par les lignes de courant. Ces simulations ont permis de mettre en évidence la richesse et l'originalité d'un tel système. 6

Fig. 4 Déplacement quadratique moyen du lament en fonction du temps (proportionnel au nombre de pas (cf gure (18)) pour diérentes valeurs de η (dans les notations de l'article [3] η correspond au nombre élasto-visqueux Sp). La courbe en pointillé correspond au déplacement quadratique moyen d'un marcheur aléatoire d 2 = 4Dt avec D = 0.38 [3]. Nous allons maintenant présenter une réalisation expérimentale de ce système. Pour cela, nous allons débuter par la présentation du montage expérimental. 3 Dispositif expérimental 3.1 Écoulement à points de stagnation 3.1.1 Montage expérimental Le réseau de points de stagnation de l'écoulement est créé par un forçage électromagnétique, la force de Lorentz : F = I B. Cette force est obtenue grâce à l'utilisation d'un réseau d'aimants de pôles Nord/Sud alternés 4 5 (cf gure (5)), de diamètre 3 cm, placés sous un électrolyte dans lequel passe un courant électrique d'intensité comprise entre 100 et 600 ma. Ce dernier est produit par un générateur de courant (Hewlett Packard 6644A DC Power Supply). L'électrolyte est un mélange dans les mêmes proportions en volume d'eau pure et de Polyéthylene Glycol (PEG) de masse molaire comprise entre 950 et 1050 g/mol, dans lequel on ajoute du chlorure de sodium jusqu'à saturation pour permettre une bonne conduction du courant. Le PEG permet d'atteindre une viscosité dynamique de 35 mp a.s. La solution est ensuite placée dans une cuve de dimension 15 cm 25 cm sous laquelle le réseau d'aimants a été placé. Sur les bords de la cuve sont xées deux électrodes en feutre de carbone reliées au générateur de tension. Un inverseur de courant est aussi intégré au 7

Caméra i~100 ma 600 ma Inverseur de courant Electrode en fibre de carbone Electrolyte visqueux η = 35 mpa.s mélange PEG 1000 / eau salée Réseau periodique d'aimants, orientation alternée (Nord / Sud) Dimensions : 150 x 250 mm Fig. 5 Schéma du montage expérimental circuit électrique an de pouvoir changer manuellement le signe du courant et donc le sens de rotation des vortex. 3.1.2 Amélioration du dispositif expérimental Au cours de ce stage, dans le but d'étudier les conséquences du ambage du lament sur ses propriétés de transport au temps longs, l'objectif a été de réaliser des expériences plus longues que celles faites auparavant par Elie Wandersman. Dans ce but, nous avons cherché à utiliser la totalité de l'écoulement. Dès les premières expériences, nous nous sommes rendus compte que les cellules des bords de la cuve étaient très déformées. En eet, comme on peut le voir sur les images de la gure (6) les cellules du bords mesuraient environs 4,6 cm alors que celles du centre mesuraient 3 cm. Pour résoudre ce problème, nous avons placé aux bords de la cuve des cales en plexiglas an d'adapter la dimension de la cuve à un multiple entier de la taille des aimants. La mise en place de ces cales a ainsi permis l'obtention d'un réseau de points de stagnation régulier. Cette modication de l'écoulement nous a contraint à refaire des mesures de vitesse an de le caractériser quantitativement. 3.1.3 Caractérisation de l'écoulement : mesures de PIV Principe PIV : Vélocimétrie par Imagerie de Particule 8

Fig. 6 Images d'une portion de l'écoulement sans cales (à gauche) et avec les cales (à droite). Ces deux images représentent les positions successives de bille de polystyrène de 250 µm de diamètre obtenues en projetant une pile d'images sur une seule image. Dans cette partie nous allons décrire de manière succincte une technique de mesure de vitesse, largement utilisée en hydrodynamique classique et adaptée au système étudié. Le principe de base de cette méthode est de suivre le déplacement d'un motif créé par un petit ensemble de traceurs, préalablement dispersés de manière uniforme dans le uide, entre deux images successives. Ainsi, connaissant le déplacement de la fenêtre du motif δx et l'écart de temps δt entre les images, nous accédons à la vitesse V = δx (gure (7)). δt Pour faire nos mesures de PIV nous avons utilisé des billes de polystyrène de 140 µm de diamètre éclairées par deux lampes halogènes. L'acquisition des images a été faite grâce à l'utilisation d'une caméra rapide (Phantom). Fig. 7 Principe de la PIV. Lors de mesure de PIV, il convient d'optimiser la durée séparant deux images et le temps expositions, an de réaliser des mesures de vitesse correctes : - La durée δt séparant deux images doit être adaptée à la vitesse de l'écoulement. Elle doit être assez courte pour pouvoir identier une même fenêtre sur deux images successives 9

et assez longue pour avoir un déplacement en pixel signicatif. - Le choix du temps d'exposition est aussi très important : il doit être assez grand pour que le rapport signal/bruit soit susant et susamment faible pour que le motif dans la fenêtre ne soit pas trop ou. En pratique pour des vitesses de 3 cm/s, un bon compromis est 10 ms pour le temps d'exposition. Enn, la mesure de la vitesse se fait grâce à une corrélation d'images via l'utilisation du logiciel commercial de PIV DaVis utilisant le formalisme des transformées de Fourier. Le principe consiste à calculer le déplacement d'un motif, créé par un ensemble de particules dans une petite fenêtre (pour le calcul de la PIV, nous avons pris une fenêtre de dimension 8 8 pixels), entre deux images successives par corrélation de portions d'images. Cette corrélation est réalisée par transformée de Fourier pour optimiser le calcul. Mesures de PIV : La gure (8) représente le champ de vitesse que j'ai mesuré pour un courant imposé d'intensité 400 ma ainsi qu'un zoom du champ centré sur un point de stagnation. L'écoulement est donc bien un écoulement cellulaire. La bidimensionnalité de l'écoulement a été vériée par le calcul de la divergence du champ de vitesse (cf gure (9)). Sur la gure (8), on voit les cellules de l'écoulement. La taille, W, des cellules est égale au diamètre des aimants i.e. W = 3 cm. Concernant l'écoulement, il est important de noter la diérence entre deux types de point où la vitesse s'annule (cf gure (8)). Certains correspondent à des points de stagnation (S) où l'écoulement est hyperbolique, alors que les autres (C) sont les centres des vortex dans lesquels le uide s'écoule en rotation pure. Fig. 8 Champ de vitesse expérimental de l'écoulement mesuré par PIV. S correspond à un point de stagnation et C correspond à un centre de vortex (à gauche), zoom du champ de vitesse centré sur un point de stagnation (à droite). Malgré sa complexité l'écoulement est très bien décrit par la formule de vitesse suivante : [ sin( πx πy )cos( U(x, y) = k ) ] W W cos( πx πy )sin( ) (3) W W 10

Fig. 9 Divergence de l'écoulement pour un courant imposé de 400 ma C'est d'ailleurs ce champ de vitesse qui a été utilisé pour réaliser les simulations numériques (cf partie 2.1). On en déduit ainsi à partir du tenseur des déformations le taux de compression de l'écoulement ɛ (i.e. la partie symétrique du tenseur des déformations) : ɛ = πk W cos(πx W )cos(πy W ) (4) Dans le but de décrire de manière précise cet écoulement complexe, j'ai représenté sur la gure (10) un zoom du champ de vitesse centré et le zoom du taux de compression correspondant calculés avec les équations (3) et (4). Contrairement à un écoulement hyperbolique pour lequel le taux de compression est constant, l'écoulement que nous utilisons a un taux de compression non uniforme du fait de la présence de la rotation en bloc. Dans la formule (3) du champ de vitesse, le paramètre k est la vitesse maximum de l'écoulement. Il peut être ajusté en faisant varier l'intensité du courant appliqué, I. Nous avons mesuré la vitesse maximum pour toutes les valeurs de courant imposées (cf gure (11)). Ces mesures ont montré que k est proportionnel à I, avec un coecient de proportionnalité α = 0.013. 3.2 Filament Les laments que nous utilisons pour nos expériences sont constitués de Polyvinyl siloxane (Zhermack elite double 8), matériau habituellement utilisé par les dentistes pour la réalisation des empreintes dentaires. Le polymère réticule dans des capillaires en verre (Drummond Microcaps) de 3, 5 cm de longueur et de 100 µm de rayon. La réticulation prend 10-20 minutes. Pour extraire, le lament il sut de casser une extrémité du capillaire puis d'extruder le lament à l'aide d'une pince. Cette étape se fait dans un bain d'éthanol an de faciliter l'extraction du lament en diminuant sa tension de surface. Les 11

Fig. 10 Champ de vitesse centré sur un point de stagnation (à gauche) et zoom du taux de compression (à droite) calculés à partir des équations (3) et (4) Fig. 11 Vitesse maximum en fonction de l'intensité du courant appliqué et ajustement par une loi linéaire (pente :α = 0.013). laments (cf gure 12) que nous utilisons ont ainsi une longueur L = 1.2 cm, un rayon r = 100 µm et un module d'young Y que l'on peut faire varier entre 90 et 270 kp a simplement en ajustant la proportion polymère/réticulant (cf tableau (1)). Du fait de sa faible densité et des forces capillaires le lament otte à la surface de l'électrolyte, permettant ainsi d'avoir un déplacement et une déformation uniquement bidimensionnels. 3.2.1 Rhéologie An de mesurer la valeur du module d'young des laments en fonction de la proportion polymère/réticulant, nous avons réalisé des mesures de rhéologie dans un rhéomètre classique (Thermo Haake RS100), dans lequel nous avons fait réticuler le polymère pen- 12

Fig. 12 Filament polymère/réticulant Y (kp a) 1 / 2 270 3 3 1 / 1 195 2 2 2 / 1 105 3 3 3 / 1 90 4 4 Ultimate* 3 4 / 1 4 21 Tab. 1 Valeurs du module d'young pour diérentes proportions polymère/réticulant (* Correspond à un autre type élastomère plus souple). dant 30 minutes an que le polymère ait totalement réticulé et que le matériau soit homogène, avant de réaliser les mesures des modules élastique et visqueux. Pour réaliser ces mesures nous avons appliqué une contrainte de 5 kp a, la déformation en résultant était de l'ordre de 1%. Sur la gure (13) sont représentés les modules élastique G' et module visqueux G" en Pascal en fonction de la fréquence des oscillations en Hertz, pour des gels ayant des proportions polymère/réticulant diérentes. Pour les deux proportion polymère/réticulant on peut observer que le module élastique est largement supérieur au module visqueux, le lament est donc très peu viscoélastique. Et faisant, l'hypothèse d'incompressibilité du matériau on peut déduire son module d'young [5] à partir de la formule suivante : Y = 3 G (5) 4 Résultats Cette partie est dédiée à la présentation des résultats expérimentaux portant sur les propriétés de transport d'un lament élastique dans un écoulement cellulaire. 13

Fig. 13 Module élastique G' et module visqueux G" (P a) en fonction de la fréquence des oscillations (Hz) pour une contrainte appliquée de 5 kp a et pour des proportions polymère/réticulant 1/ 2 (en trait plein) et 3/ 1 (en pointillé). 3 3 4 4 4.1 Acquisition et traitement des images L'acquisition des données de nos expériences a été réalisée en lmant l'évolution d'un lament au sein de l'écoulement cellulaire (cf gure (14)). Pour cela, nous avons pris 5 images par secondes avec un temps d'exposition de 30 ms grâce à l'utilisation d'une caméra PixeLink positionnée au dessus de l'écoulement. Fig. 14 Images d'un lament souple (3 s séparent les deux images, I = 150 ma) Les séquences d'images issues de chaque expérience sont ensuite analysées par un programme sous le logiciel ImageJ an d'en tirer des résultats quantitatifs. Cette analyse d'images nous donne accès à la position du centre de masse du lament, la position de ses extrémités, sa distance bout à bout, sa courbure moyenne et sa courbure maximum. La 14

connaissance de toutes ces données nous permettra d'étudier les propriétés de transport du lament. Comme nous l'avons déjà mentionné dans la partie (3.1.3) le taux de compression n'est pas constant. Grâce à la position du centre de masse du lament et à la valeur de la vitesse maximale on peut ainsi accéder à partir de l'équation (4) à la valeur du taux de compression à laquelle le lament est soumis à chaque instant. A partir des données issues de l'analyse des résultats nous avons pu tiré des premières informations sur le transport du lament dans un écoulement cellulaire. 4.2 Résultats expérimentaux Un grand nombre d'expériences a été fait (cf annexes tableau (2)). Dans cette partie, nous allons traiter en détail quelques unes. Sur les gures (15) et (16) sont représentés la position du centre de masse et la courbure moyenne de deux expériences d'une durée de 2 minutes pour une même intensité de courant imposée, en l'occurrence 400 ma mais pour deux laments de modules d'young diérents : la gure (15) correspond à un lament souple ayant un module de 90 kp a alors que la gure (16) correspond à un lament rigide de module d'young 270 kp a. On peut à partir de ces gures extraire des propriétés de transport du lament élastique (X(t), Y(t)) et les liées au fait qu'il ait ambé ou pas, par sa courbure. Fig. 15 Position du centre de masse du lament "souple" (Y = 90 kp a), sa courbure moyenne et seuil de courbure ajusté à la main (15.10 3 ) (ce seuil de courbure a été utilisé pour caractériser la transition de ambage). 15

Fig. 16 Position du centre de masse du lament "rigide" (Y = 270 kp a), sa courbure moyenne et seuil de courbure ajusté à la main (15.10 3 ). La première observation, que nous pouvons faire à partir de ces résultats sur la dynamique du lament aux temps courts, est que le lament peut ralentir lorsqu'il ambe (cf gure (15) (A)). Cette gure met aussi en évidence l'eet du ambage sur le déplacement du lament. En eet, comme on le voit sur la gure (15) les événements de ambage s'accompagnent souvent d'un changement de cellule du lament (A, B et C), ou précèdent un changement de cellule (D). Sur la gure (16) qui présente les résultats de l'expérience réalisée avec le lament rigide, on peut noter un changement de cellule du lament (F) malgré l'absence d'évènement de ambage. Ce changement de cellule est dans ce cas attribué à la taille du lament. Sur la gure (17), sont représentées les trajectoires ainsi que les courbures (en couleur) des deux laments des expériences présentées précédemment. On voit sur cette gure que l'espace exploré par le lament souple (Y = 90 kp a) est plus grand que celui exploré par le lament rigide. Il semblerait donc que la exibilité du lament lui confère un comportement plus diusif. Le rapport d'aspect ( r L ) semble aussi jouer un rôle sur les propriétés de transport du lament, il sera donc intéressant d'eectuer des expériences avec des laments plus courts an de préciser l'inuence du rapport d'aspect sur les propriétés de transport des laments. Au cours de mon stage, j'ai cherché à étudier le comportement du lament aux temps longs. Pour cela, nous avons mesuré le déplacement du lament dans la cuve pour des laments de module d'young diérents, an d'en tirer des conclusions sur leur comportement diusif en fonction de leur rigidité. Mais comme on peut le voir sur la gure (18) qui représente le déplacement du lament en fonction du temps, la durée de l'expérience 16

Fig. 17 Représentation de la trajectoire des deux laments (cf gures (15) et (16)) : à gauche lament rigide (Y = 270 kp a), à droite le lament souple (Y = 90 kp a), la courbure moyenne est représentée en couleur avec la même échelle. est trop petite, du fait de la taille réduite de notre réseau de points de stagnation. Cette diculté a été accentuée par le fait que, dans le but de faire le traitement des images, nous avons été contraint malgré l'amélioration de l'écoulement de réduire la zone exploitable, à cause de uctuations de l'éclairement au niveau des bords de la cuve (cf gure (19)). Dans le cas où nous gardions les bords de la cuve, lors du traitement des images, deux types d'erreurs avaient lieu : soit le lament n'était pas détecté, soit c'était la uctuation de l'intensité lumineuse qui était détectée. An de contourner ce problème de traitement d'images pour les expériences pour lesquelles nous avons exploité la totalité de l'écoulement, j'ai compté manuellement le temps durant lequel un lament reste dans la même cellule. Ce compte a été eectué pour deux laments diérents (un souple, Y = 90 kp a et un rigide, Y = 270 kp a) pour le lament rigide la valeur de l'intensité imposée était de 450 ma et pour le lament souple nous avons imposé des valeurs d'intensité de 450 et 150 ma. La dernière valeur d'intensité a été choisie de manière à avoir le même nombre élasto-visqueux que le lament rigide, pour tester si le nombre élasto-visqueux Sp est le paramètre de contrôle adapté à ce système. Les résultats de ce comptage sont représentés sur la gure (20). Là aussi, du fait d'un nombre très faible de donné il très dicile de pouvoir conclure sur ces résultats. Mais à terme, nous espérons qu'à partir d'un grand nombre de données, des propriétés sur le comportement et le transport des laments pourront être obtenues à partir de ce type de résultats, qui seront obtenus de manière automatisé dans un futur très proche (enn, je l'espère). 17

Fig. 18 Déplacement d'un lament rigide en fonction du nombre de pas eectués (I = 450 ma). Dénition d'un pas : un pas correspond au passage près d'un point de stagnation, chaque arc de couleur correspond à un pas (à droite). Fig. 19 Photographie d'un bord de la cuve :a) image brute, b) image de la moyenne de l'intensité lumineuse, c) image après soustraction de la moyenne : on note la persistance de la uctuation lumineuse sur le bord de la cuve. 5 Perspectives Comme je l'ai déjà mentionné à plusieurs reprises, la principale diculté à laquelle nous avons été confrontés est la taille très limitée de notre écoulement, qui nous a empêché de réaliser des expériences aux temps longs. Pour contourner ce problème, nous avons d'ores et déjà commencé la fabrication d'un dispositif expérimental constitué d'aimants trois fois plus petit (la taille des aimants est de 1 cm) (cf gure (21)), ce nouveau réseau nous permettra déjà de multiplier par neuf la taille du réseau de points de stagnation. Avec ce nouveau réseau d'aimants la taille des cellules de l'écoulement va elle aussi être divisée par trois et donc dans le but de garder le même rapport taille du lament sur taille des cellules nous allons devoir diviser par trois la taille du lament. Et comme on peut le voir sur l'équation (2), le nombre élasto-visqueux, Sp, est proportionnel au rapport d'aspect du lament. Ainsi, an que les laments soient toujours dans la même 18

Fig. 20 Distribution du temps (nombre de pas) durant lequel le lament reste piégé dans une cellule : : lament rigide (450 ma), :lament souple (150 ma), : lament souple (450 ma). Fig. 21 Réseau d'aimants de 3 cm de diamètre (à gauche), nouveau réseau d'aimants de 1 cm de diamètre (à droite). gamme de nombre élasto-visqueux, le rayon des laments doit lui aussi être trois fois plus petit. Des tests de fabrication de laments plus ns, grâce à une technique de ow focusing, ont déjà été fait par un stagiaire. La technique semble convaincante mais la réalisation n'est pas encore au point. 6 "Turbulence élastique" Au cours de mon stage, j'ai aussi réalisé des expériences de "turbulence élastique" dans un écoulement à bas Reynolds. En d'autres termes, nous avons cherché à savoir si d'autre eets que l'inertie pouvaient être à l'origine d'une turbulence bidimensionnelle, en particulier les eets viscoélastiques. Là aussi, cette idée d'expérience nous est venue à la suite d'un séminaire présenté par Micheal Shelley [6]. D'autant plus que le dispo- 19

sitif permettant de créer notre écoulement bidimensionnel s'y prêtait parfaitement, il a d'ailleurs été conçu à l'origine pour étudier la turbulence bidimensionnelle. 6.1 Simulation numérique Becca Thomases et Micheal Shelley ont réalisé une étude numérique de la dynamique à bas nombre de Reynolds d'un uide viscoélastique dans un écoulement à points de stagnation (cf gure (1)). La gure (22) est tiré de l'article [6], elle représente l'évolution du champ de vorticité. On voit qu'au temps t=100 l'écoulement est laminaire et symétrique. Cette symétrie est ensuite brisé (t=800), l'écoulement devient turbulent à cause des eets viscoélastiques. Fig. 22 Champ de vorticité de l'écoulement au instant t=100 pour (a), 800 pour (b), 1400 pour (c), 1700 pour (d) [6] An de vérier ces prédictions numériques nous avons réalisé des expériences avec le même système : écoulement cellulaire et uide viscoélastique. 6.2 Résultats expérimentaux Pour réaliser les expériences de "turbulence élastique" nous avons utilisé le même dispositif que celui présenté précédemment. Pour le uide viscoélastique, nous avons fabriqué une solution de polymère Polyacrylamide (PAA) de masse molaire 18.10 6 g/mol à 1000 ppm dans laquelle nous avons ensuite ajouté du chlorure du sodium jusqu'à saturation pour permettre une bonne conduction du courant. Les mesures de vitesse ont été faites par PIV, en utilisant des traceurs de 140 µm. L'acquisition des images a été réalisée avec une caméra rapide (Phantom), en prenant 50 images par seconde et avec un temps d'exposition de 10 ms. 20

Sur la gure (23), j'ai représenté le champ de vorticité calculé à partir des mesures de PIV. Ces résultats ont été obtenus pour une valeur de courant imposée égale à 600 ma. Fig. 23 Champ de vorticité à t = 10 s (à gauche) et pour t = 20 s (à droite) Sur cette gure, on observe donc le même comportement que celui obtenu par les simulations numériques, avec aux premiers instants (t=10 s) de l'expérience un écoulement symétrique, puis l'écoulement se déstabilise et perd son caractère symétrique. A partir des mesures de PIV nous avons pu calculer le nombre de Reynolds de l'écoulement Re = ULρ avec U = 5.3 cm/s, L = 3 cm la taille des cellules initiales de l'écoulement η ρ = 1158 kg/m 3 et η = 5 mp a.s. on trouve un nombre de Reynolds Re = 370. On en a donc déduit que nous n'étions pas dans les conditions d'écoulement à bas nombre de Reynolds, et que la turbulence observée était simplement dû aux eets inertiels. Parallèlement nous avons mesuré les propriétés viscoélastiques de la solution d'électrolyte contenant le polymère et constaté que le caractère viscoélastique est fortement diminué par le sel. La solution présente malgré tout un léger comportement viscoélastique (formation de laments quand une goutte se détache) qui nous a masqué ce résultat. 6.3 Expériences de détachement de gouttes Il a été démontré [7] que les expériences de détachement de gouttes permettent d'estimer les temps de relaxation de solutions de polymères. Pour un uide newtonien : goutte d'eau Le principe de l'expérience est le suivant : nous formons une goutte à l'extrémité d'un capillaire. Au fur et à mesure de l'augmentation du volume de la goutte, les forces capillaires deviennent insusantes pour maintenir la goutte en équilibre. L'interface devient instable et la goutte commence à se détacher, où l'on a un écoulement avec une très forte élongation. Maintenant les forces capillaires tendent à amincir le cou, H min, qui s'est 21

formé. Cet amincissement suit, pour un uide newtonien, la loi : H min ( γ ρ ) 1 3 (tc t) 2 3 (6) avec ρ la densité et γ la tension de surface. Le détachement de la goutte représente une singularité à temps ni. L'amincissement est donc représenté par rapport au temps de rupture t c. Pour un uide viscoélastique : goutte de polymère Les lois de rupture de polymères exibles présentent une dynamique diérente de celle des uides newtoniens aux temps longs. En eet, pour les solutions de polymère, ces derniers résistent à la forte élongation de l'écoulement et on a la formation d'une structure lamentaire. Dans ce cas il a été montré qu'aux temps longs la dynamique d'amincissement du cou de la goutte suit une loi exponentielle. H min exp( t τ ) (7) Où τ correspond au temps caractéristique de relaxation de la solution viscoélastique. Ainsi en mesurant l'amincissement du cou de la goutte (cf gure (24)) on a pu avoir accès en ajustant, aux valeurs mesurées de la taille du cou, une loi exponentielle (cf gure (25)). Fig. 24 Détachement d'une goutte de polymère [7] On a donc obtenu pour la solution de polymère sans sel un temps de relaxation de 500 ms et de 22 ms pour la solution de polymère saturé en sel. Ces mesures nous ont ainsi permis de constater la forte diminution du comportement viscoélastique du PAA lors d'ajout de chlorure de sodium, ce qui nous a donc empêchée de poursuivre cette expérience. 7 Conclusion Au cours de ce stage de quatre mois, j'ai étudié l'interaction uide/structure entre un lament élastique et un écoulement cellulaire, an d'étudier les conséquences du ambage du lament sur ces propriétés de transport. Grâce aux expériences que j'ai réalisées tout au long de ce stage, j'ai pu commencer à observer certaines conséquences du ambage sur la dynamique du lament, comme son ralentissement lorsqu'il se déforme. 22

Fig. 25 Évolution du diamètre du cou d'une goutte de solution de polymère (PAA) en fonction du temps (sans sel et saturé en sel) et ajustement par la loi exponentielle (équation (7)). Comme je l'ai déjà mentionné dans ce rapport, la taille réduite de l'écoulement nous a empêché de réaliser des expériences à des temps réellement longs comme ceux des simulations numériques, an de conclure sur le caractère diusif du lament au sein d'un écoulement cellulaire. Il reste donc encore de nombreuses améliorations à réaliser an de pouvoir réaliser des expériences aux temps longs. Certaines améliorations sont déjà en cours, comme l'augmentation du nombre de points de stagnation en diminuant la taille des aimants et la fabrication d'un lament plus n par la méthode de ow-focusing, et que j'aurais l'occasion de poursuivre durant ma thèse. Ce stage, qui a été eectué dans l'objectif d'être poursuivi en thèse, m'a permis de prendre en main l'expérience. Diérentes expériences préliminaires et améliorations du dispositif expérimental ont été réalisées (fabrication du dispositif expérimental, caractérisation de l'écoulement, caractérisation des élastomères, expériences avec des laments, expériences de viscoélasticité). Avec ce dispositif expérimental d'autres pistes d'expériences restent à être mises en place au cours de ma thèse comme l'étude de la dynamique de plusieurs laments, ainsi que celle de structure élastique de formes diverses (anneau,...). A terme, on souhaiterait caractériser la nature du mélange avec ce système. En eet, dans ce type d'écoulement à lignes de courant fermées, il n'y a pas de mélange (seule la diusion moléculaire peut être à l'origine d'un mélange)([8], [9] et [10]). Par contre, il semble évident que l'introduction d'un lament exible pourra mélanger le uide. 23

Références [1] Becker, L.-E. & Shelley, M.-J. Instability of elastic laments in shear ow yields rstnormal-stress dierences, Physical Review Letters, Volume 87, Number 19, 198301 (2001) [2] Bourdieu, L., Duke, T., Elowitz, M.-B., Winkelmann, D.-A., Leibler, S. & Libchaber, A. Spiral defects in motility assays : a measure of motor protein force, Physical Review Letters, Volume 75, 176179 (1995) [3] Young, Y.-N. & Shelley, M.-J. Stretch-coil transition and transport of bers in cellular ows, Physical Review Letters, Volume 99, 058303 (2007) [4] Wandersman, E., du Roure, O. & Lindner, A., Buckled in translation, en préparation (2009) [5] Oswald, P., Rhéophysique Ou Comment Coule La Matière, Belin, France (2005) [6] Thomases, B. & Shelley, J.-M. A transition to mixing and oscillations in a stokesian viscoelastic ow, soumis (2009) [7] Amarouchene, y., Étude de l'interaction polymère-écoulement, Thèse, Université Bordeaux 1 (2002) [8] Voth, G., Haller, G. & Gollub, J.-P. Experimental measurements of stretching elds in uid mixing, Physical Review Letters, Volume 88, 254501 (2002) [9] Rothstein, D., Henry, E. & Gollub, J.-P. Persistent patterns in transient chaotic uid mixing, Physical Review Letters, Volume 88, 254501 (2002) [10] Arratia, P.-E., Voth, G. & Gollub, J.-P. Stretching and mixing of non-newtonian uids in time-periodic ows, Physics of Fluids, Volume 17, 053102 (2005) 24

8 Annexes Expériences n Intensité (ma) Vitesse maximale (cm/s) Y (kp a) Sp maximum 1 à 14 48 à 54 400 5.9 90 499 140 à 144 15 à 21 25 à 37 400 5.9 270 166 55 à 66 83 à 88 22 à 24 38 à 47 400 5.9 195 230 67 à 76 102 à 105 77 93 100 0.8 270 23 78 à 79 200 2.1 270 59 80 à 82 300 4.2 270 118 89 à 92 500 6.7 270 189 94 110 100 0.8 195 31 95 à 96 200 2.1 195 82 97 à 101 300 4.2 195 164 106 à 109 500 6.7 195 261 111 128 100 0.8 105 58 112 à 115 200 2.1 105 152 116 à 119 300 4.2 105 304 120 à 124 400 5.9 105 427 125 à 127 500 6.7 105 485 129 150 à 151 100 0.8 90 68 130 à 134 200 2.1 90 178 135 à 139 300 4.2 90 354 145 à 149 500 6.7 90 565 152 154 à 156 150 1.5 90 126 160 à 162 153 157 à 159 450 6.3 90 532 163 à 169 450 6.3 270 177 Tab. 2 Récapitulatif des expériences réalisées. 25