EXERCICES SUR LES FONCTIONS LOGARITHMES Exercice 1 Partie A : Calcul du niveau sonore Afin d améliorer les conditions de travail dans un atelier, l entreprise réalise une étude concernant les nuisances sonores dues au fonctionnement de trois machines identiques. Les mesures sont effectuées à la même distance des trois machines. I Le niveau sonore L d un bruit est donné par la relation : L = 10 log 10 12. où : log désigne le logarithme décimal ; L est exprimé en décibels (db) ; I intensité acoustique, est exprimée en watts par mètre carré (W/m²). 1) Une seule machine est en fonctionnement, l intensité acoustique est alors : I 4 = 2 10 W/m². a) Vérifier qu alors le niveau sonore pour cette machine peut s écrire : 80 + 10 log 2. b) Calculer la valeur de L arrondie à 0,1 db. 2) Les trois machines sont en fonctionnement. Le niveau sonore de l ensemble des trois machines est alors 87,8 db. Calculer l intensité acoustique I de l ensemble, arrondie à 10-4 W/m². Partie B : Utilisation d une échelle logarithmique Partie B1 : Tracé sur une échelle logarithmique Le port d un casque protecteur efficace permet d obtenir une diminution de la nuisance subie par l utilisateur. La diminution de la nuisance dépend du temps pendant lequel le casque est porté. Le tableau suivant a été établi : x : temps de port, en pourcentage du temps d exposition 95 98 99,5 99,9 y : diminution de la nuisance, en db 13 17 23 30 1) Placer les points de coordonnées (x ; y) dans le plan rapporté au repère orthogonal pour lequel : en abscisses, on a le temps de port, en pourcentage du temps d exposition sur une échelle logarithmique : en ordonnées, on a la diminution de la nuisance sur une échelle linéaire avec pour unité graphique 2 cm pour 5 db. 2) Soit la droite donnant la tendance de la nuisance subit par l utilisateur. Tracer la droite. Exercices sur les fonctions logarithmes 1/12
Partie B2 : Lecture sur une échelle logarithmique La courbe plus complète de cette diminution de la nuisance, en fonction du temps pendant lequel le casque est porté, est représenté ci-dessous. Le temps de port du casque est exprimé en pourcentage du temps d exposition, sur une échelle logarithmique. Pour les deux questions suivantes, les traits de construction doivent apparaître sur la représentation graphique suivante. Exercices sur les fonctions logarithmes 2/12
1) Le casque est porté pendant 90 % du temps d exposition. Déterminer la diminution de la nuisance. 2) On désire obtenir une diminution de la nuisance de 20 db. Déterminer graphiquement le pourcentage de temps de port du casque. Exercice 2 (D après sujet de Bac Pro Artisanat et métier d art Session septembre 2002) La «droite de TAYLOR» permet de modifier : la vitesse de coupe en fonction du temps ; le temps en fonction de la vitesse de coupe ; de prévoir le changement ou l affûtage d un outil. En utilisant «la droite de Taylor» dans le repère à échelles logarithmiques ci-dessous, déterminer graphiquement en laissant les traits de construction apparents : 1) Le temps de coupe pour une vitesse de 300 m/min. 2) La vitesse de coupe pour un temps de coupe de 10 min. 100 909 808 707 606 T durée de vie (min) 505 404 303 202 10 99 8 77 66 55 44 33 22 1 100 200 300 400 500 600 700 1 000 2 000 3 000 10 000 Vc Vitesse de coupe (m/min) (D après sujet de Bac Pro productique mécanique option usinage Session 2004) Exercices sur les fonctions logarithmes 3/12
Exercice 3 Dans le repère ci-après, on se propose de représenter le profil du pare-brise et du capot d une automobile. Partie 1 : Equation de droite (profil du pare-brise) 1) Dans le repère, placer les points B (7,5 ; 6) et C (12,2 ; 8,7) 2) Tracer le segment [BC]. 3) L'équation de la droite (BC) est de la forme y = ax + b a) Déterminer les valeurs de a et b. Donner les résultats arrondis à 10-2. b) Donner l'équation de la droite. Partie 2 : Droite représentative d'une fonction (1 er tracé intermédiaire pour obtenir la représentation du profil du capot) Soit la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 7,5] par : f(x) = 0,03 x + 3,72 1) Tracer la courbe (C 1 ) représentative de la fonction f sur l'intervalle [1 ; 7,5]. 2) f est-elle une fonction affine ou linéaire? Justifier votre réponse. Partie 3 : Etude d'une fonction logarithme : (2 ème tracé intermédiaire pour obtenir la représentation du profil du capot) Soit la fonction g définie sur l'intervalle [1 ; 7,5] par : g(x) = ln x 1) Utilisation des propriétés de la fonction logarithme On donne ln 2 0,693 ln 3 1,098 Calculer ln 6 à partir de ln 2 et ln 3. On posera le calcul et on donnera le résultat arrondi à 10-1. 2) Donner la dérivée et le tableau de variation de g sur l'intervalle [1 ; 7,5] a) Compléter le tableau ci-dessous. (Donner les valeurs arrondies à 10-1 ) x 1 1,5 2 3 5 6 7,5 g(x) 0,7 1,1 b) Tracer la courbe (C 2 ) représentative de la fonction g dans le repère précédent. Exercices sur les fonctions logarithmes 4/12
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x Partie 4 : Représentation du profil du capot Le profil du capot est obtenu par la représentation de la somme des fonctions f et g. (f étant la fonction définie dans la partie 2). A partir des courbes (C 1 ) et (C 2 ) construire la courbe (C) représentative de f + g sur le repère. (D après sujet de Bac Pro M.S.M.A. Session 1999) Exercices sur les fonctions logarithmes 5/12
Exercice 4 Partie 1 Le sonomètre est un appareil qui permet de mesurer le niveau sonore atteint par une machine. Le résultat est donné en décibels. Le décibel a pour symbole db. Le graphique ci dessous est extrait d une documentation sur le bruit éditée par l INRS : Institut National de Recherche et de Sécurité. Il donne le niveau sonore, avec une certaine précision, atteint quand on augmente le nombre de machines identiques fonctionnant simultanément. 1) Lecture du document Compléter le tableau récapitulatif des données. Nombre de machines identiques fonctionnant simultanément 1 10 Niveau sonore atteint (db) 90 100 Augmentation du niveau sonore par rapport au niveau sonore d une seule machine (en db) 0 2) Étude d une fonction On considère la fonction f définie pour tout x de l intervalle [1 ;10], par f ( x) = 10logxoù log désigne la fonction logarithme décimal. a) Compléter le tableau de valeurs. x 1 2 3 4 5 6 8 10 valeur de f(x) arrondie à 0,1 b) Sachant que la fonction logarithme décimal est une fonction croissante dans l intervalle [1 ;10], reproduire sur votre copie le tableau suivant après l avoir complété. Exercices sur les fonctions logarithmes 6/12
x 1 10 sens de variation de la fonction log sens de variation de la fonction f c) Dans le plan rapporté au repère orthonormal (Ox, Oy) donné tracer la courbe représentative de la fonction f. y 5 1 x O 1 5 d) Dans le même plan rapporté au repère (Ox, Oy), placer les points A, B, C, D, E, F et G de coordonnées respectives : (1 ; 0), (2 ; 3), (3 ; 5), (4 ; 6), (5 ; 7), (6 ; 8) et (10 ; 10). 3) Utilisation d une modélisation On considère que la fonction f modélise la situation de départ concernant l augmentation du niveau sonore. Ce qui signifie que, pour n machines identiques fonctionnant en même temps, l augmentation, en db, du niveau sonore par rapport au niveau sonore, en db, d une seule de ces machines est telle que = f(n). a) À l aide de l étude précédente, indiquer, parmi la liste suivante, l arrondi pratiqué par le concepteur du document INRS : arrondi à 10-2, à 10-1, à l unité, à la dizaine. Exercices sur les fonctions logarithmes 7/12
b) Par une lecture graphique, en utilisant la courbe représentative de la fonction f, donner une évaluation, en db, de l augmentation du niveau sonore pour 9 machines identiques fonctionnant simultanément par rapport au niveau sonore, en db, d une seule de ces machines ; laisser apparents les traits nécessaires à cette lecture. c) Calculer l augmentation du niveau sonore pour 9 machines identiques fonctionnant simultanément par rapport au niveau sonore, en db, d une seule de ces machines ; exprimer le résultat arrondi à 0,01 db. Partie 2 Dans la même documentation de l INRS, on trouve l information suivante : Les niveaux sonores en décibels ne s additionnent pas. Pour connaître le niveau sonore résultant de plusieurs sources différentes, on peut utiliser un tableau ou un diagramme. Différence (*) entre les niveaux sonores de 2 éléments (en db) Valeur à ajouter au niveau le plus élevé (en db) 0 1 2 3 5 7 9 10 11 12 13 3 2,55 2,10 1,75 1,2 0,78 0,52 0,41 0,35 0,27 0,23 Valeur à ajouter au niveau le plus Exemple : Supposons qu en un lieu donné, deux machines de niveau sonore 81 db et 87 db fonctionnent en même temps. La différence des niveaux est de 6 db. Dans le tableau on lit que pour une différence de 6 db, il faut ajouter 1 db au niveau le plus élevé, ce qui donne un niveau sonore de 88 db. (*) La différence est la différence entre le niveau sonore le plus élevé et le niveau le plus bas. 1) En utilisant le document précédent, déterminer par une lecture graphique et un calcul simple : a) le niveau sonore atteint quand on fait fonctionner ensemble deux tronçonneuses dont les niveaux sonores sont respectivement 100 db pour l une et 104 db pour l autre, b) le niveau sonore atteint quand on fait fonctionner ensemble 2 machines identiques dont le niveau sonore commun est 87 db. Exercices sur les fonctions logarithmes 8/12
2) On se propose de retrouver par un calcul la valeur, en db, du niveau sonore résultant (88) trouvée dans l exemple présenté dans le document précédent. A cet effet : a) Calculer la valeur de 10 log(10 (0,1 87) + 10 (0,1 81) ), b) Donner le résultat arrondi à 0,01 puis à l unité. Exercice 5 (D après sujet de Bac Pro M.E.M.A.T.T.P.J. Session 2002) -4 2 Une scie produit une intensité sonore I = 7 10 W/m à une distance de 10 m. L'intensité sonore varie comme l'inverse du carré de la distance d entre la source et le récepteur. k La relation est I = (k étant une constante) 2 d 1) Calculer la valeur de la constante k. 2) On se propose d'étudier la variation de l'intensité I en fonction de la distance d sur l'intervalle [ 3 ; 15] 0,07 I = 2 d a) Remplir le tableau de valeurs à 10-4 près. d (m) 3 4 6 9 12 15 I (W/m 2 ) b) Tracer la courbe représentative de la fonction I sur l'intervalle [ 3 ; 15 ] Echelles : axe des abscisses : 1 cm pour 1 m axe des ordonnées : 1 cm pour 5.10-4 W/m 2 c) Déterminer graphiquement le sens de variation de cette fonction sur l'intervalle [ 3 ; 15 ]. d) Déterminer graphiquement à quelle distance se trouve-t-on quand l'intensité reçue est -4 2 de 28 10 W/m. e) Vérifier ce résultat par le calcul. 3) Le niveau L d'intensité acoustique est donné par la relation suivante : L = 10log I avec I 0 = 10-12 W/m 2 I en W/m 2 et L en db I 0 a) Calculer au décibel près, le niveau L d'intensité acoustique pour une intensité sonore -4 2 I = 7 10 W/m. Sachant que le seuil de tolérance est de 85 db, le port du casque est-il souhaitable? b) Calculer l'intensité sonore I correspondant à un niveau d'intensité acoustique de 90 db. A quelle distance de la scie se trouve-t-on alors? (Donner le résultat au mètre près) Exercices sur les fonctions logarithmes 9/12
I x 10-4 (W/m²) 75 50 25 5 d(m) 0 1 5 10 15 (D après sujet de Bac Pro Aménagement finition Session 2001) Exercices sur les fonctions logarithmes 10/12
Exercice 6 Le coefficient d absorption α varie avec la fréquence (exprimée en hertz) du son émis. Une série de mesures a permis d établir le tableau de valeurs suivant : La valeur de la fréquence est notée f. I) Représentation graphique f 250 500 2 000 4 000 α 0,67 0,75 0,92 1,00 Deux représentations graphiques vont être réalisées en utilisant deux repères différents. 1) Premier cas : placer les points de coordonnées (f ; α), dans le plan rapporté au repère cartésien ci-dessous (papier millimétré). 2) Deuxième cas : placer les points de coordonnées (f ; α), dans le plan rapporté au repère cartésien ci-dessous (papier semi-logarithmique). 3) Indiquer le cas où les quatre points sont alignés. 4) Tracer la droite joignant ces quatre points. Exercices sur les fonctions logarithmes 11/12
II) Modélisation mathématique On modélise la détermination du coefficient d absorption α à partir de la fréquence f par la fonction g. g est la fonction définie pour tout nombre réel f appartenant à l intervalle [250 ; 4 000] par : g( f) = 0,12 ln f où ln symbolise la fonction logarithme népérien On a doncα = 0,12 ln f. On considère α 1 tel que α 1 = g(1 000).. 1) Calculer α 1 arrondi à 10-3. 2) Déterminer graphiquement une valeur de α 1 arrondie à 10-2 en faisant apparaître les tracés qui permettent la lecture graphique. (D après sujet de Bac Pro E.O.G.T. Session 2001) Exercices sur les fonctions logarithmes 12/12