Chapitre 2 Dilatation des solides, des liquides et des gaz La plupart des matériaux se dilatent quand la température augmente. Cette dilatation génère une augmentation du volume. C est précisément cette propriété, qui est utilisée dans le construction de la plupart des thermomètres. 2.1 Dilatation des solides Dilatation linéaire Chauffons une barre métallique et observons l évolution de la longueur de cette barre : Chauffage B Figure 2.1 Dilatation linéaire L extrémité est fixe tandis que l extrémité B est libre Expérience 1 17 1
température longueur l 0 + t l 0 + l 0 +2 t l 0 +2 l 0 Cette expérience montre que l allongement est proportionnel à l élévation de la température. Expérience 1 + t + 2 t l l Figure 2.2 Dilatation linéaire Expérience 2 l 0 2l 0 : + t l 0 + l 0 l 0 +2 l 0 Cette expérience montre que l allongement est proportionnel la longueur de la barre. 218
+ t + t 2 l Figure 2.3 Dilatation linéaire 2.2 Coefficient de dilatation linéaire La dilatation linéaire l l 0 d un matériau entre les températures et + t est proportionnelle à sa longueur initiale l 0 et à l élévation de température t : l l 0 = λl 0 t (2.1) λ : coefficient de dilatation linéaire On peut également écrire : l = l 0 (1+λ t) (2.2) La quantité 1 + λ t s appelle binôme de dilatation linéaire. 319
Coefficients de dilatation de quelques corps : Corps λ ( 1 ) Corps λ ( 1 ) 10 6 C 1 10 6 C 1 luminium 22,38 Laiton ( 2 ) 18,5 Cuivre 16,70 Invar ( 3 ) 1 Fer 11, 70 Verre ordinaire 7 Plomb 27, 26 Verre pyrex 3 Tantale 6, 46 Quartz 0,55 Tungstène 4,28 Porcelaine 3 zinc 35, 40 ( 1 ) coefficient de dilatation moyen entre les températures t = 0 C et t = 100 C ( 2 ) Laiton : alliage comprenant 65 % de cuivre et 35 % de zinc. ( 3 ) Invar : acier au nickel contenant 35 % de nickel. Remarques : 1. Pour les alliages, le coefficient de dilatation linéaire dépend de la composition de celui-ci. En particulier, pour les alliages de fer et de nickel, il varie de façon remarquable. Dans le cas de l invar (acier au nickel) cette courbe présente un minimum très marqué pour 35,6 % de nickel. 2. Les corps anisotropes n ayant pas les mêmes propriétés dans toutes les directions, ont également des coefficients de dilatation linéaires variables suivant les directions. Par exemple, le bois : parallèlement aux fibres λ = 3 à 610 6, tandis que perpendiculairement aux fibres λ = 30 à 6010 6. 2.3 Dilatation cubique Expérience : dilatation d une sphère On considère une sphère de cuivre pouvant passer exactement à travers un anneau de cuivre. Sionchauffelasphère,ellenepasseplusàtraversl anneau.sonvolume a augmenté. Le volume de la sphère a donc augmenté dans toutes les dimensions. 420
Si on chauffe simultanément la sphère et l anneau, le passage de la sphère s effectue comme à froid. La dilatation en volume d un solide s appelle dilatation cubique. L augmentation de volume V V 0 d un solide porté de la température (volume V 0 ) à la température t (volume V) est proportionnelle au volume initial V 0 et à l élévation de température t = t. V = V 0 (1+k t) = V 0 (1+k(t )) (2.3) 2.4 Relation entre le coefficient de dilatation cubique k et le coefficient de dilatation linéaire λ Considérons un parallélépipède de volume a 0 b 0 c 0 d un corps isotrope (le coefficient λ est le même dans toutes les directions). Élevons la température de ce corps de t, la longueur de chaque arête devient respectivement : a 0 b 0 c 0 a 0 (1+λ t) b 0 (1+λ t) c 0 (1+λ t) 521
Relation entre k et λ Le volume final vaut donc : V = a 0 b 0 c 0 (1+λ t) 3 = V 0 (1+k t) soit : (1+k t) = (1+λ t) 3 = (1+3λ t+3(λ t) 2 +(λ t) 3 ) Cas d une faible variation de température : Pour une faible variation de la température λ t 10 3 et donc en conséquence (λ t) 2 10 6 et (λ t) 3 10 9 et l on pourra dans ces conditions négliger (λ t) 2 et(λ t) 3 devant (λ t) Pour une faible variation de la température on aura donc : k = 3λ (2.4) 2.5 Variation de la masse volumique Considérons un corps quelconque : : masse m, volume V 0, masse volumique ρ 0. t : masse m, volume V, masse volumique ρ Seule la masse est invariable avec la température à ρ 0 = m V 0 à t ρ = m V = m V 0 (1+k(t )) Il vient donc : ρ = ρ 0 1+k(t ) (2.5) Conséquences de la dilatation des solides 622
Il faut prévoir les variations de longueur des rails de chemin de fer, des ouvrages métalliques, des canalisations de chauffage, etc... pour éviter les ruptures quand la température varie. Inversement, en procédant à chaud au cerclage des roues, au rivetage, on assure une bien meilleure adhérence. Pour réaliser des soudures verre métal dont l adhérence ne doit pas être détruite par des variations de températures, il faut que les deux corps aient des coefficients de dilatation assez voisin. C est le cas du verre ordinaire et du platine ou du verre pyrex et du tungstène. 2.6 Dilatation des liquides Dilatation apparente et dilatation absolue On considère un ballon surmonté d un tube de verre de faible diamètre. L eauemplitleballonetatteintunniveaudansletube.plongeonsleballon dans l eau très chaude, le niveau du liquide baisse jusqu en B et remonte ensuite en C au dessus du niveau. C 20 20 20 0 0 B 0 Dilatation de l enveloppe Dilatation de l enveloppe et du liquide Remarques : La descente de en B du liquide correspond à la dilatation du ballon. le liquide se dilate après le ballon. le liquide se dilate davantage que le ballon puisque le point C est au dessus du point. Dilatation apparente, dilatation absolue : définition La différence entre la dilatation du liquide et celle du ballon s appelle la dilatation apparente. 723
La variation réelle de volume du liquide, qui ne tient pas compte de la variation de volume de l enveloppe s appelle la dilatation absolue. 2.7 Coefficient de dilatation absolue L augmentation du volume réel d un liquide entre les températures et t est proportionnelle au volume initial V 0 et à l élévation de température t. V = V 0 (1+a t) = V 0 (1+a(t )) (2.6) a est le coefficient de dilatation absolue du liquide (1+at) est le binôme de dilatation absolue du liquide. Corps a Corps a ( 1 ) 10 4 C 1 10 4 C 1 Mercure 1, 82 Sulfate de C 11, 4 Glycérine 5, 0 Benzène 11, 8 lcool 11, 0 Chloroforme 11,0 Éther 16, 0 cétone 14,3 ( 1 ) coefficient de dilatation moyen entre les températures t = 0 C et 2.8 Coefficient de dilatation apparente d un liquide u cours de l élévation de température, la variation : : du volume de l enveloppe est : V env = V 0 k t du volume du liquide V réelle liq = V 0 a t apparente du volume du liquide est : V app liq = V 0 a t Les trois variations sont liées par : V app liq = Vliq réelle V env V 0 a t = V 0 a t V 0 k t 824
et de leurs a = a k (2.7) 2.9 Dilatation de l eau L étude de la dilatation de l eau en fonction de la température montre que l eau se dilate de façon anormale : son volume passe par un minimum au voisinage de 4 C où elle présente un maximum de densité 1 Volume massique de l eau en fonction de la température t [ C] 0 2 4 6 V/m [cm 3.kg 1 ] 1000,16 1000,06 1000,03 1000,06 10 20 40 60 80 100 1000, 30 1001, 80 1007, 85 1017, 08 1029, 02 1043, 16 Le minimum : 1,000027g.cm 3 pour t = 3,96 C 1. La structure précise de l eau à l état liquide reste hypothétique. De nombreuses représentations ont été proposées, qui rendent compte plus ou moins bien des différentes propriétés physiques de l eau, notamment de la masse volumique et de la viscosité et de leurs variations en fonction de la température et de la pression. Le plus simple et peutêtre le plus efficace de ces modèles admet que les molécules d eau sont rassemblées par amas ou grappes (clusters) flottant au milieu des molécules d eau isolées. Ces grappes rassemblant par des liaisons hydrogènes un nombre variable de molécules d eau auraient une structure mouvante, se brisant et se reformant perpétuellement. L existence de liaison hydrogène explique notamment que le point de fusion de l eau et son point d ébullition soient beaucoup plus élevés que ceux de composés identiques (H 2 S, H 2 Se, H 2 Te)...La superposition de l effet de tassement dû à la rupture des liaisons hydrogènes et de l effet de dilatation thermique expliquerait l existence du maximum de masse volumique de l eau à 4 C. Extrait de L eau dans tous ses états. Gérard Copin-Montégut. 925
V/m 3 cm /kg 1045 1040 1035 1030 1025 1020 1015 1010 1005 1000 0 20 40 60 80 100 Figure 2.4 Volume massique de l eau de 0 à 100 C 2.10 Dilatation des gaz Étude qualitative. t C Les dilatations des solides et des liquides ont été implicitement supposées produites par une élévation de température à pression constante. Pour les gaz une variation du volume entraine nécessairement une variation de la pression et de la température. Pour les gaz, on distingue les variations : à pression constante à volume constant 2.11 Dilatation à pression constante On considère une quantité invariable de gaz maintenue à la pression constante P 0. L augmentation de volume V V 0 d un gaz porté de la température (volume V 0 ) à la température t (volume V) est proportionnelle au volume initial V 0 et à l élévation de température t = t. 10 26
V/m 3 cm /kg 1000.3 1000.2 1000.1 1000 0 2 4 6 8 10 t C Figure 2.5 Volume massique de l eau de 0 à 10 C Remarques : V = V 0 (1+α t) = V 0 (1+α(t )) (2.8) Si = 0 C et si le gaz est un gaz parfait alors : α = α 0 = 1 T 0 = 1 273 La définition de la dilatation d un gaz à pression constante est similaire à la définition de la dilatation cubique d un solide, en remplaçant k par α. 2.12 Dilatation à volume constant On considère une quantité invariable de gaz maintenue à volume constant V 0. L augmentation de pression P P 0 d un gaz porté de la température (pression P 0 ) à la température t (pression P) est proportionnelle à la pression initiale P 0 et à l élévation de température t = t. 11 27
Remarques : P = P 0 (1+β t) = P 0 (1+β(t )) (2.9) Si = 0 C et si le gaz est un gaz parfait alors : β = β 0 = 1 T 0 = 1 273 La définition de la dilatation d un gaz à volume constant est similaire à la définition de la dilatation cubique d un solide, en remplaçant k par β. Tableau récapitulatif Solide linéaire l l 0 = λl 0 t cubique V V 0 = kv 0 t Liquide V V 0 = av 0 t Gaz P = C te V V 0 = αv 0 t V = C te P P 0 = βp 0 t 12 28