Organisation et gestion de données, fonctions : «Un des objectifs est de faire émerger progressivement sur des exemples la notion de «fonction en tant que processus faisant correspondre un nombre à un autre nombre. Les «exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes «interdisciplinaires. Les fonctions linéaires et affines apparaissent alors comme des exemples «particuliers de tels processus. L utilisation des expressions «en fonction de» ou «varie «en fonction de» amorcées dans les classes précédentes est poursuivie et associée à «l introduction de la notation f(x).» Activité 1 Dans un magasin, une cartouche d encre pour imprimante coûte 15 Euros. Sur un site Internet, cette même cartouche coûte 10 Euros, avec des frais de livraison fixes de 40 Euros quel que soit le nombre de cartouches achetées. 1. De quelle grandeur dépend ces deux prix? 2. Compléter le tableau suivant : Nombre de cartouches achetées 2 5 11 14 15 20 Prix à payer en magasin en euros 75 Prix à payer par Internet en Euros 90 3. On veut pouvoir calculer plus rapidement le prix que l on va payer a) On appelle x le nombre de cartouches achetées dans un magasin et on appelle P(x) le prix à payer. Exprimer P(x) en fonction de x Calculer, à l aide de cette expression, le prix à payer pour 200 cartouches b) On appelle x le nombre de cartouches achetées par Internet et on appelle I(x) le prix à payer. Exprimer I(x) en fonction de x Calculer, à l aide de cette expression, le prix à payer pour 200 cartouches 4. Tracer les deux graphiques (unités pour les abscisses un demi -centimètre pour une unité et un centimètre pour vingt unités sur l axe des ordonnées), on placera en abscisse le nombre de cartouches et en ordonnée le prix de la commande. Placer en rouge les points correspondants à des achats sur Internet et en bleu les points correspondants à des achats au magasin. 5. Quel graphique représente une situation de proportionnalité? (La justification doit porter sur l aspect du graphique (bleu ou rouge) et non sur le tableau de données). Est attendue ici, une justification dans un français correct et lisible. Bilan : La situation de proportionnalité est représentée par la droite correspondant à l égalité : activité 2 : Le dynamomètre En physique, le dynamomètre est un instrument utilisé pour mesurer les forces. Les plus courants sont constitués d un ressort au bout duquel agit la force à mesurer. Un ressort a 8 cm de long. On y suspend des masses. Les allongements du ressort sont donnés dans le tableau ci-dessous.
Masses (kg) 10 20 30 40 50 60 Allongement du ressort (mm) 15 30 45 60 75 90 Longueur du ressort (mm) 1- Complète le tableau. 2- Représente sur un même graphique l allongement du ressort en fonctions des masses accrochées et la longueur totale du ressort également en fonction des masses accrochées. 3- Utilise diverses méthodes pour trouver l allongement et la longueur du ressort lorsqu une masse de 50 kg y est accrochée. Utilise diverses méthodes pour trouver la masse accrochée lorsque le ressort mesure 60 cm. 4- Y a-t-il proportionnalité entre les masses accrochées et les allongements du ressort? Y a-t-il proportionnalité entre les masses accrochées et les longueurs totales du ressort? 5- Ecris une relation exprimant l allongement «a» du ressort en fonction des masses «m» accrochées. Écris une relation exprimant la longueur «l» du ressort en fonction des masses «m» accrochées. 6- A l aide du graphique, trouve l allongement du ressort pour les masses 15 kg ; 32,5 kg ; 52 kg ; 63,45 kg. À l aide du graphique, trouve la masse qui correspond à une longueur de ressort de 96 mm, 125 mm, 143 mm. 7- Retrouve par le calcul les résultats trouvés. Rappels cours 6 et 4 Deux grandeurs sont proportionnelles si pour obtenir l une, on multiplie l autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité noté a. Une situation de proportionnalité entre deux grandeurs peut se présenter sous trois formes : - Une phrase - Un tableau - Un graphique Je reconnais une situation de proportionnalité : - à travers une phrase en faisant le test du double ex : «le prix de croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés» C est vrai car si le nombre de croissants double alors le prix double aussi. - à travers un tableau de deux lignes en divisant les nombres de la 2 ligne par les nombres de la 1 ligne, on obtient le même nombre a. - à travers un graphique, dans un repère formé par deux axes gradués et perpendiculaires, en plaçant les points dont les coordonnées sont dans le tableau (1 ligne = abscisse ; 2 ligne = ordonnée) et en les joignant, on obtient une droite qui passe par l origine du repère.
Cours de 3 : Chaque situation de proportionnalité est associée à une fonction dite «linéaire». La forme générale d une fonction linéaire est a x où a est le coefficient de proportionnalité et x la variable. Dans le tableau, les nombres de la 1 ligne s appellent «antécédents» et ceux de la 2 ligne «image». Une fonction est une relation qui à un nombre associe un autre nombre. Ex : f(x) = 4 x est la fonction qui à tout nombre x, associe son quadruple. f(x) est une notation qui se lit «l image de x par la fonction (relation) f est» CA p 72 n 2 En bus En 3, l objectif est d apprendre à déterminer l image et l antécédent d un nombre par une fonction représentée dans un tableau ou un graphique ou par une formule. Objectif 3 F1-3 F 1 bis : Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule Déterminer l antécédent d un nombre donné par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique 1) Vocabulaire : antécédent image fonction - Livre p 114 n 1 2 3-4 seulement a) et b) pour 2 3-4 - livre p 115 n 12 2) Déterminer l image et l antécédent - à partir d un tableau : CA p 58 n 1 2 3 4 5 CA p 62 n 1 - à partir d un graphique (courbe, droite) : - livre p 114 n 7 8 - livre p 115 n 14 - livre p 117 n 27 (Pour entraînement : CA p 59 n 1 2 / CA p 60 n 3 4 / CA p 62 n 2 / CA p 63 n 5 / CA p 64 n 6) - à partir d une formule : livre p 115 n 9 10 11-15 livre p 119 n 1 (1 partie : montage d une fonction) livre p 116 n 20 21 livre p 117 n 22 23-24 (pour entraînement : CA p 61 n 1 2 3 4 / CA p 62 n 3 / CA p 63 n 4 Fonction linéaire : Objectif 3 F 2 : Savoir émettre une hypothèse de proportionnalité dans une situation issue de la vie courante ou d une autre discipline (formulation du type «je multiplie par a») Objectif 3 F 3 : Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné par une fonction relevant de la proportionnalité (tableau) Objectif 3 F 4 : Déterminer l expression algébrique d une fonction linéaire à partir de la donnée d un nombre non nul et de son image.
Objectif 3 F 5 : connaître la relation y = a x entre les coordonnées (x, y) d un point M caractérisé par son appartenance à la droite représentant la fonction linéaire, où a est appelé coefficient directeur de la droite (indique la direction de la droite) Objectif 3 F 6 : Représenter graphiquement une fonction linéaire. Objectif 3 F 7 : Lire sur une telle représentation l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. Objectif 3 F 8 : Calculer le coefficient de proportionnalité dans le cas de pourcentages d augmentation ou réduction Objectif 3 F 9 : Connaître les propriétés d additivité et d homogénéité de la fonction linéaire (en lien avec les propriétés des tableaux de proportionnalité) Fonction affine : Objectif 3 F 11 : Etudier des situations ne relevant pas de la proportionnalité mais dont la représentation graphique est une droite, avec mise en évidence des accroissements de x et y Objectif 3 F 12 : Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné par une fonction (en lien avec le calcul littéral et la résolution des équations) Objectif 3 F 13 : Déterminer par le calcul une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images (verbalisation de : «je multiplie par a et j ajoute b») Objectif 3 F 14 : Représenter graphiquement une fonction affine ( a coefficient directeur de la droite et b ordonnée à l origine). Objectif 3 F 15 : Lire sur une telle représentation l image d un nombre donné et le nombre ayant une image donnée. Objectif 3 F 16 : Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère Objectif 3 F 17 : Lire et interpréter une telle représentation. FONCTION LINEAIRE Cours : (livre p. 118 119) Toute relation qui vient traduire une situation de proportionnalité est de la forme f(x) = a x, où a est le coefficient de proportionnalité. Cette relation s appelle une fonction linéaire de x. Une fonction f linéaire se note x a x = f(x) où a est le coefficient de proportionnalité. f(x) se lit «f de x», f(x) est l image de x par la fonction f. par une fonction linéaire, on multiplie l antécédent par un même nombre a pour obtenir l image de cet antécédent. Sa représentation graphique est une droite passant par l origine du repère. Elle a pour équation y = a x où a est appelé le coefficient directeur de la droite ou la pente de la droite. Expression algébrique d une fonction linéaire : x a x = f(x) x est l antécédent f(x) est l image par f de x - calcul de l image par f : je remplace x par ce nombre et j effectue le calcul ex : f(x) = - 3 x calculons f(2) = - 3 x 2 = - 6 - calcul de l antécédent : je résous une équation du premier degré ex : f(x) = - 3 x cherchons x tel que f(x) = 3 alors 3 x = 2 d où x = - 2/3 qui est l antécédent cherché.
Représentation graphique L équation de la droite est y = a x, droite qui est la représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = ax. Ex : y = - 3 x est l équation de la droite représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = - 3x. En calculant l image de 2 par f, je cherche l ordonnée du point dont je connais l abscisse qui est 2 et après calcul (voir au dessus) je trouve l ordonnée qui est -6 donc (2 ; - 6) est point de la droite d équation y = - 3x. En calculant l antécédent, je cherche l abscisse du point dont je connais l ordonnée 2 et après calcul (voir au dessus), je trouve 2/3 donc (-2/3 ; 2) est un point de la droite d équation y = - 3 x. Comment tracer la représentation graphique d une fonction linéaire? Une droite est formée par un ensemble illimité de points repérés par leurs coordonnées (abscisse ; ordonnée). Deux points suffisent pour tracer cette droite. Pour la tracer, je dois choisir un point lui appartenant puisque je connais un autre point lui appartenant qui est O(0,0) l origine du repère c est-à dire dont les coordonnées vérifient l égalité y = a x. Ex : f(x) = - 3 x. Pour tracer y = - 3x, je dois choisir deux points c est-à-dire deux valeurs d abscisses dont je calcule leur ordonnée en cherchant leur image. La fonction étant linéaire, sa représentation graphique passe par le point (0,0). Je dois donc en chercher un autre : par ex si x = 2 alors f(2)=-3x2= -6 donc je place le point de coordonnées (2, -6) et (0,0) puis je trace. Quand a est positif, la droite est croissante c est-à-dire quand x prend des valeurs croissantes alors y aussi. Ex : y = 3x plus x croit, plus y croit aussi. Quand a est négatif, la droite est décroissante. Ex : y = -3x plus x croit, plus y décroit. Comment lire la pente d une droite sur un graphique : Choisir deux points A et B dont les coordonnées sont faciles à lire. Compter le nombre d unités qui séparent les abscisses de A et de B. Compter le nombre d unités qui séparent les ordonnées de A et de B. Diviser Ce nombre est la pente cherchée de la droite. Comment trouver l expression algébrique d une fonction linéaire passant par un point A dont je connais les coordonnées : L expression algébrique d une fonction linéaire est f(x) = ax. Je dois trouver a. Or a est la pente de la droite qui passe par le point A. Et je sais que a = Ex : A (4 ; 5 ) La fonction linéaire cherchée a pour représentation graphique la droite y = a x avec a = or B est ici l origine puisque la fonction est linéaire, sa droite passe par (0,0) D où a = donc y = et f(x) =.
FONCTION AFFINE Expression algébrique d une fonction affine : Une fonction f affine se note x a x + b = f(x) où a et b sont deux nombres réels. Quand b = 0, f est alors une fonction linéaire. f(x) se lit «f de x» et f(x) est l image de x par la fonction f. Sa représentation graphique est une droite. Elle a pour équation y = a x + b où a est la pente de la droite et b l ordonnée à l origine (quand x = 0). Représentation graphique Une droite est formée par un ensemble illimité de points repérés par leurs coordonnées (abscisse ; ordonnée). Deux points suffisent pour tracer cette droite. Pour la tracer, je dois choisir un point lui appartenant puisque je connais un autre point lui appartenant qui est O(0,0) l origine du repère c est-à dire dont les coordonnées vérifient l égalité y = a x + b. Ex : f(x) = - 3 x + 1. Pour tracer y = - 3x + 1, je dois choisir deux points c est-à-dire deux valeurs d abscisses dont je calcule leur ordonnée en cherchant leur image. Par exemple : si x = 0 alors y = - 3x0 + 1 = 1 donc je place le point de coordonnées (0, 1). Je dois donc en chercher un autre : par ex si x = 2 alors f(2)=-3x2= -6 donc je place le point de coordonnées (2, -6) et (0, 1) puis je trace la droite qui passe par ces deux points. Quand a est positif, la droite est croissante. Quand a est négatif, la droite est décroissante. Connaissant l expression d une fonction affine, pour montrer qu un point dont je connais les coordonnées appartient à sa représentation graphique, je remplace dans son expression algébrique x par l abscisse du point et y par son ordonnée et je vérifie que l égalité est exacte. Ex : f(x) = 3 x 2 et A (6, 16) 6 x 3 2 = 14 vraie donc A appartient à la droite (Df) B (-3, 7) 3 x (-3) 2 = 7 faux donc B n appartient pas à la droite (Df) Comment trouver l expression algébrique d une fonction affine : (livre p. 119 n 1): une fonction affine est définie par f(x) = a x + b. il y a proportionnalité entre les accroissements de f(x) et ceux de x et on a a = différence des ordonnées f(x2) f(x1) où f(x1) est l image de x1 et f(x2) est l image de x2, différence sdes abscisses x2 x1 c est-à-dire (x1,f(x1)) et (x2,f(x2)) sont les coordonnées de deux points appartenant à la représentation graphique de la fonction f. Exemple : soit une fonction affine f tel que f(3) = 8 et f(5) = 12 alors a = f(5) f(3) 12 8 4 2 donc f(x) = 2 x + b il ne reste plus qu à trouver b en utilisant 5 3 5 3 2 par exemple f(3) = 8. Comme f(x) = 2 x + b alors pour x = 3 f(3) = 2x3 + b = 8 6 + b = 8 b = 8 6 = 2 alors la forme algébrique de f(x) est 2 x + 2 et sa représentation graphique est la droite d équation y = 2 x + 2