TD: Optique géométrique Exercice 1: Télescope à deux miroirs sphériques Soit deux miroirs concaves M 1 (sommet S 1, centre C 1 ) et M 2 (sommet S 2, centre C 2 ) de même axe optique. On cherche à obtenir la formation de l'image d'une étoile par ce système dans le plan de front passant par S 1. On note R 1 le rayon algébrique du miroir 1. L'étoile est vue sous un diamètre angulaire. Le rayon se réfléchie d abord sur M 1 puis sur M 2. 1. Déterminer la position et le rayon du miroir 2 pour que l'image finale soit inversée et trois fois plus grande que l'image intermédiaire. 2. Représenter, sur un schéma les rayons lumineux issus de l'étoile et leur chemin dans le télescope si R 1 = 16 cm R 1 =16 cm. Exercice 2 : Association de miroirs On réalise un système optique constitué par l association de deux miroirs sphériques M 1 (concave sommet S 1, centre C 1 ) et M 2 (convexe ; sommet S 2, centre C 2 ) de même axe optique, les centres C 1 et C 2 sont confondus (figure). M 2 M 1 C 1 =C 2 S 2 S 1 Le miroir M 1 est percé en son sommet S 1 d un petit trou permettant à la lumière de passer, mais ne modifiant pas les propriétés. Les distances focales f 1 et f 2 des deux miroirs sont telles que f 1 = 3m et f 2 =2m On note 1. Déterminer d pour que tout rayon incident parallèle à l axe optique et réfléchi par les deux miroirs passe par S1. Vérifier le calcul par une figure à l échelle de 2cm pour 1m. Dans la suite, on conservera cette valeur de d. 2. Déterminer la position des foyers F et F de ce système optique. 3. Vérifier graphiquement que ce système optique est équivalent à une lentille mince dont on donnera les caractéristiques : centre optique et foyers. Exercice 3 :Miroir équivalent On considère un système optique constitué d une lentille mince convergente L (centre O 1, distance focale f 1 =1.5m) et d un miroir sphérique concave (sommet S 1, rayon R=1m avec ) Montrer que ce système est équivalent à un miroir sphérique unique, miroir dont on précisera le centre et le sommet. DCSM Sup. MPSI TD: Optique géométrique 1
Exercice : Appareil photographique 1. On assimile l objectif d un appareil photographique à une lentille mince convergente de distance focale f 1 =135 mm. On désire photographier une toile de maitre située à 3 m en avant de l objectif. A quelle distance p >0, en arrière de l objectif, faut-il placer la pellicule photographique pour obtenir une image nette de la toile? A.N. 2. Cet appareil photographique est utilisé pour photographier le ciel nocturne. Son format est le 24x36, ce qui signifie que la pellicule photographique mesure 24 mm de hauteur et 36 mm de largeur. Quel est le champ du ciel photographier? On vous demande de déterminer les angles θ 1 et θ 2 exprimés en degré. Champ : θ 1 Xθ 2 3. Calculer, en minute d arc ( ; 1 =60 =60 minutes ; 1 =60 =60secondes), le diamètre apparent q du disque lunaire par l objectif de l appareil photographique. On supposera la lune sphérique, de rayon 1740 km, et de centre situé à 384000 km de l objectif. 4. Avec cet appareil, on photographie la pleine lune, l axe optique de l objectif étant dirigé vers le centre du disque lunaire. On effectue un tirage de la pellicule sur du papier de format 10x15 cm 2. Quel est le diamètre d du disque lunaire sur le papier? 5. L objectif d un projecteur de diapositive est assimilé à une lentille mince convergente qui donne, d un objet réel, une image inversée et de même dimension sur un écran placé à 0,2 m de l objet. Calculer la distance focale image de cet objectif. 6. Le projecteur précédent forme l image d une diapositive de format 24x36 mm 2 sur un écran situé à 4,5 m de distance de la diapositive. Quelle est la taille de l image sur l écran? Exercice 5 : Méthode de Bessel et Méthode Silbermann Soient un objet AB et un écran E distants de D. On utilise une lentille convergente L pour former l image AB sur l écran. 1. Montrer qu il existe deux positions de L distantes de d qui permettent d obtenir une image nette. 2. Exprimer la distance focale de L en fonction de D et de d et en déduire une méthode de mesure de cette distance focale (méthode de Bessel). Déterminer l incertitude sur f sachant que ΔD=1mm et Δd=1mm (on effectuera une différenciation logarithmique), D=40cm et d=10cm. 3. Examiner le cas particulier où les deux positions sont confondues (méthode de Silbermann). Exercice 6 : Le viseur Un viseur est constitué d un objectif L 1 (assimilé à une lentille mince convergente de distance focale f 1 =10cm) et d un oculaire L 2 (assimilé à une lentille mince convergente de distance focale f 2 =2cm). La distance D entre L 1 et L 2 est réglable. 1. Déterminer D pour que le système soit afocale (réglage pour la vision à l infini : un objet à l infini sur l axe a son image à l infini sur l axe). Représenter la marche d un pinceau lumineux venant d un point à l infini dans une direction faisant un angle α avec l axe du viseur. Calculer le grandissement angulaire de l appareil (α est l angle que font les rayons émergents avec l axe). 2. On règle maintenant le viseur pour que l œil d un observateur, regardant à travers l oculaire, voit nettement, sans accommoder, un objet AB situé à 20cm en avant de la face d entrée de l objectif a. Déterminer la nouvelle valeur de D. DCSM Sup. MPSI TD: Optique géométrique 2
b. L observateur voit alors l image de AB sous un angle α. Calculer, en dioptries, la quantité c. En accomodant, l œil peut voir des objets situés au-delà d une distance minimale dm=20cm. L œil de l observateur ayant sa pupille dans le plan de l image de L 1 donnée par L 2, quelle région de l espace objet peut être vue nettement par l observateur regardant à travers le viseur? Exercice 7: le prisme. On appelle prisme un milieu transparent que nous supposerons homogène et isotrope d'indice n limité par deux dioptres plan non parallèles. On appelle arête du prisme la droite selon laquelle se coupent les deux dioptres et plan de section principale tout plan perpendiculaire à l'arête. La figure cicontre est faite dans un plan de section principale. Nous supposerons que le prisme est baigné par l'air d'indice 1. Un rayon SI est dans le plan de section principale. + Montrer que le rayon I'R, lorsqu'il existe, est dans le plan de section principale. 1. Ecrire les lois de Descartes en I et I'. 2. Calculer A en fonction de r et r'. 3. La déviation du prisme est l'angle D que fait I'R (lorsqu'il existe) avec SI. Calculer D en fonction de i, i' et A. 4. Montrer que lorsque i varie D passe par un minimum de déviation D m. Exprimer alors n en fonction de A et D m. 5. On mesure D m et A avec les incertitudes ΔDm et ΔA. Calculer l'incertitude correspondante sur la valeur de n. Montrer que si ΔDm =ΔA=ε, alors. A.N.: ε=6' d'angle=1.8 10-3 rad, n=1.732, A=60, D m =60 Correction: 1. R 2 = -3R 1 /8 ; R1=-16cm ; R 2 =6cm ; 2. 2.1. :d=-2m ; 2.2. :foyer image F =S 1, foyer objet F ; 2.3. Lentille centre optique O=C 1 =C 2, foyer image F =S 1, 3. Le centre du miroir équivalent Meq est C eq =O 1. Ce miroir est placé tel que C eq S eq = 2O 1 F 1 = 3m soit C eq F eq = O 1 F 4. 4.1. p =141 mm ; 4.2 θ 1 xθ 2 =10 x15 ; 4.3. θ=31 ;4.4 ;d=5,1mm ; 4.5.f P =5cm ; 4.6. image : 2,1x3,2 m 2 5. 6.1. D=f 1 +f 2 =12cm ; G=α /α=-f 1 /f 2 = -5 ; 6.2. a D=22cm,b P=, 6.2.c DCSM Sup. MPSI TD: Optique géométrique 3
Exercices traités en cours : Exercice Miroir sphérique: Le rétroviseur Un rétroviseur est assimilable à un miroir sphérique convexe de vergence V=2δ=1/f 1. Préciser la position de l image d un objet situé à 20m du miroir et le grandissement. 2. Ce rétroviseur est observé par l œil du conducteur placé à 1m et il est diaphragmé par un cercle de rayon r=6cm. Calculer le rayon R du champ visible à 20m du rétroviseur. Exercice Lentille: Appareil photographique 24x36 L objectif d un appareil photographique est assimilable à une lentille de distance focale f =5cm. L émulsion sensible est disposée sur une plaque rectangulaire centrée sur l axe, de dimension 24mmx36mm. 1. La mise au point est faite sur l infini, ce qui définit une position P o pour la plaque sur l axe. a. De combien et dans quel sens faut-il déplacer la plaque si l on veut photographier un objet placé à 5m de l objectif? b. La mise au point ne permet pas d éloigner la plaque à plus de 5mm de P o. Evaluer la distance minimale d un objet par rapport à l objectif pour obtenir une photographie nette. 2. Dans le cas a) de la mise au point, l objet étant à 5m, déterminer les dimensions de la portion de plan photographiée. Exercice : Le microscope Un microscope optique porte les indications suivantes : X40 sur son objectif ; x10 sur l oculaire. La notice constructeur précise : intervalle optique Δ=16cm. La signification de ces indications sera précisée dans la suite. Le microscope sera modélisé par deux lentilles minces convergentes, l objectif L 1 (de diamètre d=7,0 mm) et l oculaire L 2. Il est réglé pour donner une image à l infini d un objet réel AB, perpendiculaire à l axe optique, A étant placé sur l axe, légèrement en avant du foyer objet de l objectif. Cette image est observée par un œil emmétrope (cad normal) placé au voisinage de foyer image F 2 de l oculaire. L œil nu voit nettement des objets situés entre la distance δ=25cm et l infini. 1. Faire un schéma du dispositif (sans respecter l échelle), et tracer soigneusement la marche de deux rayons lumineux issus du point B de l objet AB. 2. L indication portée sur l oculaire (x10) est le grossissement commercial, c est à dire le rapport de l angle sous lequel on voit l image à l infini d un objet à travers l oculaire seul et de l angle sous lequel on voit ce même objet à l œil nu lorsqu il est situé à la distance minimale de vision distincte ; on notera ce grossissement G 2 =10. Déterminer f 2, distance focale image de l oculaire. 3. L intervalle optique est la distance F 1 F 2. La valeur absolue du grandissement de l objet AB par l objectif est : G 1 =40 (c est l indication X40). Calculer f 1, distance focale image de l objectif L 1. Calculer la distance O 1 A permettant de positionner l objet.- 4. Déterminer la latitude de mise au point, c est à dire la variation de la distance O 1 A compatible avec une vision nette de l image finale par l observateur, dont l œil est au foyer image de l oculaire. 5. Calculer le grossissement commercial G du microscope. 6. On appelle cercle oculaire l image de la monture de l objectif à travers l oculaire. Déterminer sa position par rapport à F 2 et son diamètre. On a intérêt à placer l œil dans le plan du cercle oculaire pour récupérer une image bien lumineuse. DCSM Sup. MPSI TD: Optique géométrique 4
Exercice Lentille On considère un banc optique sur lequel on dispose un objet de 20 cm de haut à 1 m d une lentille L 1 de vergence +5 δ. On met une lentille L 2 de vergence -10 δ derrière L 1 à une distance de 20 cm. 1. Déterminer graphiquement la position de l image A B de AB à travers le dispositif optique ainsi que le grandissement du montage. 2. Retrouver les résultats en utilisant les formules de conjugaison. 3. Dans quel sens faut-il déplacer L 2 pour agrandir l image A B? Calculer la distance entre les lentilles pour laquelle le grandissement du montage serait égale à -1. 4. 0ù faut-il placer L 2 pour rejeter l image A B à l infini? Exercice Association d une lentille et d un miroir plan: Un système optique est formé d une lentille mince de distance focale 0.3 m et d un miroir plan disposé à 0.15 m derrière la lentille. Déterminer la position de l image que ce système donne d un objet situé à 0.15m en avant de la lentille? Cette image est-elle virtuelle ou réelle? DCSM Sup. MPSI TD: Optique géométrique 5