Structure et Evolution des étoiles

Structure et Evolution des étoiles

Rayon = 0.697 10 6 km Luminosité = 3.826 10 26 W Notre Soleil Mesurable connaissant : - Sa distance d (mesure de parallaxe) - Son diamètre angulaire θ R = d tg θ/2 Mesurable connaissant : - Sa distance d (mesure de parallaxe) - Le flux reçu sur terre C L = 4π d 2 C Température effective = 5777 K ~ Température de surface Obtenue via sa définition : L = 4π R 2 σt eff 4 Masse = 1.989 10 30 kg Mesurable par la mécanique céleste, 3 ème Loi de Kepler : GM = 4π 2 a 3 /P 2

Caractéristiques interne des étoiles Symétrie sphérique Masse Une seule dimension spatiale : la distance au centre : r Masse de chaque coquille sphérique d épaisseur dr dm dm = ρ dv = ρ 4 π r dm dr = 4π ρ r 2 2 dr m Soleil : ~ 2 10 3 kg/m 3

Sphère de gaz à l équilibre hydrostatique Résultante des forces sur chaque volume matériel infinitésimal = 0

Sphère de gaz à l équilibre hydrostatique -P(r+δr) Résultante des forces sur un volume matériel infinitésimal de section unitaire : g δm P(r) δr Pression : -P(r+δr) + P(r) (force de surface) Pesanteur : -ρ g δr F r Equilibre des forces : = 0 dp dr = ρ g (force de volume) Forme intégrée : P( r) = R r g ρ dr = M m( r) Gm 4π r 4 dm

Etat de la matière stellaire Modèle à densité constante : ~ 5 10 14 Pa ~ 2 10 3 kg/m 3 Atomes d hydrogène neutre en contact H H H H H H d 0 ~ 10-10 m Mais la répulsion entre les atomes est-elle suffisante pour soutenir un tel poids? La matière est ionisée

Etat de la matière stellaire La matière stellaire est ionisée : plasma Distance moyenne entre particules ~ 10-10 m >> 10-15 m Taille des noyaux Equation d état d un gaz parfait : Estimation de la température centrale Poids moléculaire moyen : µ He = 4/3 µ H = 1/2 µ * ~ 0.615 Température suffisante pour les réactions de fusion nucléaire

Réactions nucléaires : Chaîne p-p 4 1 - H + 2 e He 1 2 4 γ e - e + e - γ e +

Température suffisante pour des réactions de fusion nucléaire? La barrière coulombienne Potentiel d un noyau E Cb r 0 : rayon nucléaire r min pour T ~ 10 7 K Le franchissement de la barrière coulombienne semble impossible

Température suffisante pour des réactions de fusion nucléaire? Certains noyaux peuvent franchir la barrière coulombienne grâce à : l effet tunnel E Cb r min Rappel : Barrière carrée : E V Probabilité de franchissement de la barrière carrée : Eq. Schroedinger :

Rôle des réactions nucléaires 1) Production d énergie Fusion de H 4 1-4 1H + 2 e 2He Chaleur fournie par la réaction E = M c 2 : Masse du noyau : Masse atomique

Rôle des réactions nucléaires 1) Production d énergie Energie de liaison par baryon : A : Nbre baryonique M : Masse atomique Energie de liaison par baryon Fusions Fer : exothermique Au-delà : endothermique

Rôle des réactions nucléaires 2) Nucléosynthèse des éléments de l univers Fusion de l hydrogène Fusion de l hélium Fusion du carbone Fusion de L oxygène Fusion du silicium 4 H He 4 (T ~ 10 7 K, Q = 26.73 MeV) 3 He 4 C 12 (T ~ 10 8 K C 12 + He 4 O 16 He 4 + Be * 8 C 12 + γ Q = 7.375 MeV) 2 C 12 O 16 + 2 He 4 (T ~ (0.5-1) 10 8 K, Q ~ 13 MeV) (Ne 20, Na 23, Mg 24, ) He 4 + He 4 Be 8 * 2 O 16 Si 28 + He 4 (T ~ 2 10 9 K, Q ~ 16 MeV) (S 32, Mg 24,...) 2 Si 28 Fe 56, (T ~ 3 x 10 9 K) équilibre thermodynamique nucléaire, T ~ 7 x 10 9 K)

Transport de l énergie du centre vers la surface 1) Radiation Sources d opacité Dans les étoiles : k T ~ h ν < kev transitions électroniques Transitions lié-lié Transitions lié-libre Libre-libre Diffusion E + E ν = E/h e - Continu E + χ ν > χ/h e - Z e - e - hν e - E E hν e - hν Libre parcours moyen des photons : l = (κρ) 1 < (0.02 1.7 2000 m -1 ) -1 ~ cm Les étoiles sont complètement opaques κ es + 0.02 (1 X ) m 2 /kg Fraction en masse d H

Transport de l énergie du centre vers la surface 1) Radiation Libre parcours moyen des photons ~ cm à l intérieur des étoiles! L intérieur des étoiles est complètement opaque et à l équilibre thermodynamique Le spectre de rayonnement est exactement celui d un corps noir dans les régions profondes

Transport de l énergie du centre vers la surface 1) Radiation Les photons se propagent dans toutes les directions, (libre parcours ~ cm) mais quel est le flux d énergie net? La température décroît vers l extérieur. La densité d énergie radiative décroît vers l extérieur. Cela conduit à un flux d énergie net du centre vers la surface. T+dT L = σ ( T + dt ) = 4 σ T 3 dt 4 σ T 4 ~ l = (κρ κρ) 1 Ce calcul était approximatif, la valeur rigoureuse est : T

Transfert de l énergie (du centre à la surface) 2) Convection Si ρ e < ρ m m T m T e ρ ρ m e P P T 0 ρ 0 m m P 0 Poussée d archimède vers le haut Milieu instable vis-à-vis De la convection

Transfert de l énergie (du centre à la surface) 2) Convection Milieu instable vis-à-vis de la convection ssi : ρ e < ρ m Equilibre de pression : Critère en température? P e = P m Gaz parfait P e = R ρ e T e = P m = R ρ m T m ρ e < ρ m T e > T m Critère d instabilité vis-à-vis de la convection en température

2) Convection Milieu instable vis-à-vis de la convection ssi : T e > T m Transport d énergie! On suppose une détente adiabatique du gaz pour l élément convectif : Gaz mono-atomique Milieu instable vis-à-vis de la convection ssi : ( ln P < 0!! ) Gaz parfait La convection apparaît quand le gradient de température est grand.

2) Convection Milieu instable vis-à-vis de la convection ssi : La convection apparaît quand le gradient de température est supérieur au gradient adiabatique. 2 64π σ r Cela sera le cas quand le milieu est très opaque; c est typiquement le cas dans l enveloppe des étoiles «froides». Les étoiles «froides» ont une enveloppe convective En général, le transport d énergie par la convection est très efficace dans les régions profondes de l étoile car la capacité calorifique (ρ T c p ) y est gigantesque un gradient à peine supérieur au gradient adiabatique suffit : dt dr = 3κ ρ LR T 3

Le Soleil r = 0 2/3 R : zone radiative r = 2/3 R R : zone convective

La granulation à la surface du soleil

La granulation à la surface du soleil

Equation de conservation de l énergie Bilan d énergie : Source volumique d énergie ds les étoiles : réactions nucléaires On définit ε n comme le taux de production d énergie nucléaire par unité de masse et de temps ε n dm est la quantité de chaleur fournie par les réactions nucléaires à la coquille sphérique de masse dm par unité de temps.

Equation de conservation de l énergie Bilan d énergie : Quantité de chaleur échangée par la coquille sphérique avec l extérieur / unité de temps : L(r+dr) L(r) = dl = dl/dr dr A l équilibre thermique : chaleur fournie = chaleur perdue dl = ε n dm d L/d m = ε n dl/dr = 4π r2 ρ ε n

Equations de structure d une étoile Conservation de la masse Equilibre hydrostatique Transfert d énergie Conservation de l énergie dm dr dp dr Radiation Convection dl dr = 4π ρ r Gρ m = 2 r dt dr dt dr = 4π ρ r 2 3κ ρ L = 2 64πσ r T = 2 ε - n 2 5 Gmρ T 2 r P 3

L évolution temporelle des étoiles

Formation des étoiles Nuages moléculaires

Nuages moléculaires Taille : ~ 4 a.l.

3 grands types de nuages interstellaires : 1) Nuages moléculaires H 2 majoritairement Masse : ~ 10 4 10 5 M. Taille : ~ 1 50 pc Température : ~ 10 15 K Densité en nombre : ~ 10 8-10 10 m -3 2) Nuages atomiques : régions HI H atomique majoritairement Les plus abondantes mais aussi les plus difficiles à détecter (raie à 21 cm) Température : ~ 30 80 K Densité en nombre : ~ 10 7-10 9 m -3 3) Nuages ionisés : régions HII H + majoritairement Température : ~ 8000 K Densité en nombre : ~ 10 2-10 6 m -3 10-25 ρ air

1) Nuages moléculaires H 2 majoritairement Nébuleuse d orion : Masse : ~ 10 4 10 5 M. Taille : ~ 1 50 pc Température : ~ 10 15 K Densité en nombre : ~ 10 8-10 10 m -3 2) Nuages atomiques : régions HI H atomique majoritairement Température : ~ 30 80 K Densité en nombre : ~ 10 7-10 9 m -3 3) Nuages ionisés : régions HII H + majoritairement Température : ~ 8000 K Densité en nombre : ~ 10 2-10 6 m -3 10-25 ρ air

Formation des étoiles Nuages moléculaires Si la densité du nuage interstellaire est suffisante et la température suffisamment basse, les atomes peuvent s associer et former des molécules. Nous avons un nuage moléculaire. Molécule la plus abondante : H 2. Problème : pas très détectable!! On les repère car leurs poussières cachent ce qu il y a derrière! Et grâce aux ondes radio provenant de la molécule CO.

Effondrement du nuage Les nuages ne s effondrent pas car il existe : - une force due au champ magnétique interstellaire. - un gradient de pression interne. - une force centrifuge. Mais ce n est pas un équilibre éternel!!! Masse : ~ 1-1000 M Taille : ~ 1 pc Barnard 68, un globule de Bok composé de gaz et de poussière. Les forces de gravité et de pression sont encore en équilibre, mais le nuage risque à tout moment de s'effondrer Facteurs pouvant rompre l équilibre : - Passage dans une zone de haute densité (bras spiraux). - Onde de choc due à l explosion d une supernova.

Effondrement du nuage Etape 1 : Effondrement gravifique Attraction gravifique : Gmρ/r 2 > gradient de pression : P La pression centrale augmente Le gradient de pression augmente Etape 2 : Equilibre hydrostatique Le gradient de pression devient suffisant pour compenser l attraction gravifique Equilibre hydrostatique

Contraction gravifique initiale d une étoile Théorème du Viriel Une intégration par partie de l équation d équilibre hydrostatique donne : Gaz parfait monoatomique Energie potentielle gravifique totale E g = - 2 E i Energie interne totale E i = - (1/2) E g La moitié de l énergie potentielle gravifique libérée lors de la contraction de l étoile conduit à une augmentation de son énergie interne totale.

Théorème du Viriel Equilibre hydrostatique P m = G m 4π r 4 Masse r = m 1 4π r 2 ρ Intégration par partie Gaz parfait ionisé dégénéré ou non, non-relativiste Energie potentielle gravifique totale E g = - 2 E i Energie interne totale : E i = 0M u dm

Contraction gravifique initiale d une étoile Théorème du Viriel Par conservation de l énergie totale, en l absence de réactions nucléaires, l autre moitié de l énergie potentielle gravifique libérée ne peut qu être rayonnée par l étoile. Lors de la contraction gravifique initiale : La moitié de l énergie potentielle gravifique libérée conduit à une augmentation de l énergie interne de l étoile. L autre moitié est rayonnée par celle-ci.

Contraction gravifique initiale d une étoile Contraction gravifique Théorème du Viriel La durée approximative de cette phase de contraction s évalue facilement, C est le temps d Helmholtz Kelvin : τ HK = (1/2) E g / L ~ GM 2 / (2 R L)

L évolution temporelle des étoiles Combustions nucléaires : oui ou non?

Naissance ou non des réactions nucléaires? Question : Lors de la contraction gravifique, T c augmente-t-elle toujours? Theorème du Viriel : r diminue u augmente a) Gaz parfait normal : u = c v T la température centrale augmente Quand elle est suffisante, réactions de fusion de l H : Une étoile est née!

La naissance des étoiles Amas des pléiades

Gaz dégénéré : Naissance ou non des réactions nucléaires? Dans des conditions de grande densité et «faible» température, le principe d exclusion de Pauli est très contraignant. Principe d exclusion de Pauli pour un gaz de fermions : maximum 2 particules identiques dans le volume de phase : dp x dp y dp z dx dy dz = h 3 n e ( r, p ) dx dy dz dp x dp y dp z : nbre. d électrons dans le volume dx dy dz dp x dp y dp z Princ. d excl. de Pauli : n e ( r, p ) h 3 2 n e ( r, p ) 2/h 3 Cas général : statistique de Fermi-Dirac Cas extrêmement dégénéré ( ρ, T ) : n e ( r, p ) ~ 2/h 3 pour p < p F Toutes les cases sont occupées jusqu à l impulsion de Fermi Composante x de l impulsion 2/h 3 Impulsion de Fermi x

Naissance ou non des réactions nucléaires? Gaz dégénéré : Principe d exclusion de Pauli : maximum 2 fermions identiques dans le volume de phase : dp x dp y dp z dx dy dz = h 3 Dans des conditions de grande densité et «faible» température, le principe d exclusion de Pauli est très contraignant. Toutes les faibles énergies sont occupées par des électrons. Les seules places encore disponibles correspondent à une énergie cinétique très élevée (E > E Fermi ). Lors de la contraction, l espace disponible diminue et il faut porter des électrons à ces très hautes énergies. L énergie gravifique libérée lors de la contraction n est pas suffisante pour accélérer les électrons aux énergies requises. L énergie manquante est puisée dans l énergie cinétique (~ 3/2 kt) des ions non-dégénérés de sorte que la température diminue!! 2/h 3 Impulsion de Fermi Composante x de l impulsion x

Evolution de la température centrale en fonction de la densité centrale pour des étoiles de différentes masses Gaz non-dégénéré Log T central M Gaz dégénéré Log ρ central

Panorama des scénarios possibles d évolution des étoiles Température centrale Combustion T 10 7 K de l Hydrogène M < 0.08 M Naine brune Densité centrale (augmente au cours du temps)

Panorama des scénarios possibles d évolution des étoiles Température centrale Combustion de l Helium T 10 8 K Combustion T 10 7 K de l Hydrogène 0.08 M < M < 0.5 M Naine blanche M < 0.08 M Naine brune Densité centrale (augmente au cours du temps)

Panorama des scénarios possibles d évolution des étoiles Température centrale Combustion du Carbone Combustion de l Helium T 6 10 8 K T 10 8 K Combustion T 10 7 K de l Hydrogène 0.08 M < M < 0.5 M Naine blanche M < 0.08 M Naine brune 0.5 M < M < 9 M Naine blanche Densité centrale (augmente au cours du temps)

Panorama des scénarios possibles d évolution des étoiles Température centrale Combustion du Silicium Combustion du Carbone Combustion de l Helium T 10 9 K T 6 10 8 K T 10 8 K Combustion T 10 7 K de l Hydrogène 0.08 M < M < 0.5 M Naine blanche M < 0.08 M Naine brune 0.5 M < M < 9 M Naine blanche Explosion en Supernova Densité centrale (augmente au cours du temps) M > 9 M

Le parcours des étoiles dans le diagramme de Hertzsprung-Russell 1) contraction gravifique La moitié de l énergie potentielle gravifique libérée lors de la contraction de l étoile conduit à une augmentation de son énergie interne. L autre moitié est rayonnée.

Le parcours des étoiles dans le diagramme de Hertzsprung-Russell 2) Séquence principale M ~ 100 M Phase la plus longue: Fusion de l hydrogène en hélium La plupart des étoiles sont dans cette phase M ~ 0.1 M C est le cas de notre soleil

Le parcours des étoiles dans le diagramme de Hertzsprung-Russell 2) Séquence principale M ~ 100 M Relation masse-luminosité Pression au cœur ~ G M 2 / R 4 Densité ~ M / R 3 Température ~ P/ρ ~ M/R M ~ 0.1 M L M ν

La séquence principale Relation Masse-Luminosité, conséquences : 1) M L 2) M L Durée de vie Q pp ~ 25 Mev τ nuc ~ (Q pp /4) 1000 N av (M/10) / L ~ 10 10 9 ans (soleil)

Le parcours des étoiles dans le diagramme de Hertzsprung-Russell 2) Séquence principale Contraction du cœur au fur et à mesure de la diminution de combustible et dilatation modérée de l enveloppe Faibles masses (M < 1.2 M 0 ) L, R, Teff? Grandes masses (M > 1.2 M 0 ) L, R, Teff

Evolution: Le parcours post-séquence des étoiles principale dans diagramme de Hertzsprung-Russell 3) Expansion rapide de l enveloppe Refroidissement (T eff ) L étoile traverse très rapidement le diagramme HR et devient une Géante rouge Temps de traversée << Phase séquence principale Fusion de l hydrogène en couche En-dessous, le cœur se contracte et la température centrale augmente lentement (faibles masses).

Evolution: Le parcours post-séquence des étoiles principale dans diagramme de Hertzsprung-Russell 4) L étoile grimpe le long de la Branche des Géantes Rouges. Faibles masses (M < 2.3 M ) Branche horizontale B R A N C H E D E S G E A N T E S R O U G E S - Le cœur se contracte et l enveloppe se dilate considérablement. - Combustion en couche de H - Quand M coeur ~ 0.45 M 0,T ~ 10 8 K Combustion de l hélium dans un Gaz d électrons dégénérés (volume figé) : flash de l hélium, structure bouleversée Redémarrage calme de la combustion sur la Branche Horizontale

Evolution: Le parcours post-séquence des étoiles principale dans diagramme de Hertzsprung-Russell 4) L étoile grimpe le long de la Branche des Géantes Rouges. Masses élevées (M > 2.3 M 0 ) La dégénérescence des électrons n apparaît jamais. Démarrage de la combustion de l hélium en douceur. L étoile fait une boucle dans le diagramme HR. Céphéides B R A N C H E D E S G E A N T E S R O U G E S

Les géantes et supergéantes rouges Grande enveloppe convective très diluée (taille > orbite terrestre!!) Bételgeuse Cœur très dense : R coeur ~ 0.01 R et chaud : T > 10 8 K R coeur ~ 10-5 R tot R tot ~ 600 R

Fin de vie : M < 9 M - Faible cohésion gravifique de l enveloppe : R GM/R 2 - Instabilités thermiques : pulses au niveau des couches de combustion de l hydrogène et de l hélium. Ejection «douce» de l enveloppe Phénomène de nébuleuse planétaire

nébuleuse planétaire

Variation du rayon du Soleil

Nébuleuses planétaires Phénomène de fluorescence du gaz chauffé par la naine blanche centrale

Nébuleuse planétaire de l hélice 2 Années lumières Nébuleuse de l hélice NGC7293 (HST)

Détail nébuleuse planétaire de l hélice (zoom) ~ 200 UA

Nébuleuses planétaires

Nébuleuses planétaires Nébuleuses Planétaires

Nébuleuses planétaires

Nébuleuses planétaires Nébuleuses Planétaires

Nébuleuses Planétaires

Nébuleuses Planétaires

Nébuleuses Planétaires

Fin de vie : M < 9 M nébuleuse planétaire naine blanche

La naine blanche Le cœur résiduel est une naine blanche. Le gaz d électron est dégénéré. R ~ 0.01 R sun ~ 6 000 km ~ planète M < 1.4 M, L ~ 0.001 L ρ ~ 1 tonne / cm 3 La contraction est stoppée. L étoile puise son rayonnement dans son réservoir thermique : dt/dt < 0 Sa température décroît lentement. Sa luminosité décroît naine noire Sirius B : 1 ère naine blanche découverte (1862) identifiée comme telle en 1915

Séquence de refroidissement des naines blanches log (L/L ) Ejnar Hertzsprung Henry Norris Russell (1910) log(t eff )

Fin de vie : M > 9 M Différentes couches de fusion nucléaire au coeur Structure en pelures d oignon

Cœur d une étoile massive Durée des phases ultimes (15 M ) : Fusion du Carbone : ~ 6000 ans Néon : ~ 7 ans Oxygène : ~ 2 ans Silicium : ~ 6 jours Fer Silicium Oxygène Carbone Hélium Hydrogène Structure en pelure d oignon

S u p e r n o v a e d e t y p e I I Quand la masse du coeur de Fe ~ 1.46 M, différents facteurs physiques conduisent à son effondrement : a) Gaz dégénéré d électrons relativistes : ils saturent à la vitesse de la lumière et ne peuvent plus soutenir le poids de l étoile. Prod uction d e neutrons et ém ission d e neutrinos b) Capture d e - par les noyaux et les protons libres : e - + p n + ν e M o in s d é le c tro n s p o u r so u te n ir le p o id s d e l é to ile e t perte d e l énergie em portée par les neutrinos c) Photo-désintégration du fer : endothermique! T et d onc P n augm entent plus assez lors d e la contraction Le coeur ne peut plus soutenir son propre poids et s effondre

S u p e r n o v a e d e t y p e I I C h r o n o lo g ie s t a n d a r d 1) C o lla p se d u c o e u r d e F e r : 10 m s << te m p s d e c h u te d e l e n ve lo p p e 2 ) F in d u c o lla p se, le s n e u tro n s so n t e n c o n ta c t e t sto p p e n t b ru sq u e m e n t l e f f o n d re m e n t u n e o n d e d e c h o c n a ît a u so m m e t d u c o e u r e f f o n d ré e t tra n sm e t l é n e rg ie d e l e f f o n d re m e n t à l e n ve lo p p e q u i e st é je c té e. 3 ) L e s n e u trin o s a rrive n t à s é c h a p p e r se u le m e n t a p rè s 10 s (d if f u sio n ) 4 ) L o n d e d e c h o c se p ro p a g e p lu s vite q u e la m a tiè re e x p u lsé e e t a rrive à la su rf a c e d e l é to ile e n :- 3 jo u rs p o u r u n e su p e rg é a n te ro u g e (R = 10 14 c m ) - 1 h e u re p o u r u n e su p e rg é a n te b le u e (R = 10 12 c m ) 5 ) D é b u t d e l é m issio n lu m in e u se ~ 1 0 11 L!! (ra y o n n e m e n t th e rm iq u e )

L e s s u p e r n o v a e d e t y p e I I L e c œ u r d e f e r s e t r a n s f o r m e e n u n c o e u r d e n e u t r o n s E f f o n d r e m e n t d u c œ u r E j e c t io n d e l e n v e lo p p e L e r é s id u e s t u n e é t o ile d e n e u t r o n s u n t r o u n o ir La nébuleusedu crabe l é t o ile e s t u n e s u p e r n o v a!

L e s s u p e r n o v a e d e t y p e I I ~ 1 0 m s!! ~ 1 0 m s!!

S u p e r n o v a e d e t y p e I I E n e r g i e r a y o n n é e : ~ 1 0 1 1 L

L a n é b u le u s e d u C r a b e

Tycho

SN1987a

Nébuleuse de la Tarentule dans le LMC et SN1987a SN1987a

SN1987a

SN1987a

La méduse

Le pinceau

La sorcière

Le voile

Trou noir CassA

captures de neutrons processus r captures de neutrons processus s

Enrichissement de la matière interstellaire

source: NASA/Marshall Space Flight Center L étoile de neutrons

L étoile de neutrons Croute (Epaisseur ~ 1 km, ~ 0.1 % de la masse) Immenses noyaux hyper-riches en neutrons (ex: 50 2000 Sn!), état solide Coeur (rayon ~ 10-15 km) Liquide dégénéré de neutrons Les pulsars Découverte : A. Hewish et J. Burnell : t ~ 20 ms D < c t ~ 6000 km Little Green Man Grand champs magnétique car B R 2 ~ constant et R ցց B րր générés par effet dynamo (courants induits par la rotation et la convection) B ~ 10 9 gauss (pulsar) B ~ 10 15 gauss (magnétar)

Relativité générale Les trous noir Espace plat, coordonnées sphériques Invariant spacio-temporel : Même valeur du point de vue de tous les référentiels en mouvement uniforme Espace courbe engendré par un trou noir (métrique de Schwarzschild) ds 2 Courbure du temps : Temps propre du point de vue d un observateur à une distance r : Rayon de Schwarzschild ~ 3 km pour 1 M Du point de vue d un obs. à l infini, tout se passe au ralenti près de r=r s. En r = r s, le temps semble s arrêter!!

Relativité générale Les trous noir Espace courbe engendré par un trou noir (métrique de Schwarzschild) ds 2 Courbure de l espace : Distance radiale : Rayon de Schwarzschild ~ 3 km pour 1 M Périmètre d un cercle = 2 π r < 2 π distance au centre! Trajectoire des photons : déviée par le trou noir! Géodésiques ds = 0 Direction radiale : La lumière ne peut sortir de la sphère de Schwarzschild!!