Analyse de Fourier, analyse temps-fréquence, analyse en ondelettes Patrick Flandrin, CNRS, laboratoire de physique, ENS Lyon Séminaire FIP 7 novembre 2005 Rolland Joran Blanc Baptiste 22 novembre 2005 1
Cet exposé traite des principales techniques de traitement du signal. 1 Transformation de Fourier Un signal, par exemple un signal sonore, peut se trouver sous deux formes, un son pur ou un mélange. On caractérise un son pur sous forme sinusoïdale par sa fréquence et son amplitude. Un mélange est quant à lui une combinaison linéaire de divers fréquences, amplitude, phases. C est le point de vue de l analyse de Fourier qui décompose en somme de fonctions harmoniques les signaux dépendant du temps. Les signaux périodiques en somme discrète par les séries de Fourier, s(t) = avec les a n et b n donnés par + n=0 b n sin(2πnt) + a n cos(2πnt) a n = 1 2π f(t) cos(2πnt)dx 2π 0 b n = 1 2π f(t) sin(2πnt)dx 2π 0 et à tous les signaux on peut associer leur spectre (amplitude en fonction de la pulsation ) par la transformation de Fourier. g(ω) = 1 + s(t)e iωt 2π avec s le signal, et g son spectre. Les sommes de Fourier sont assez lourdes à calculer. Pour une somme de n terme, celà necessite un nombre d opérations proportionnel à n 2 (n opérations en calculant les intégrales en sommes de Riemann, multiplié par n le nombre d indices ). Le temps de calcul croit donc avec le carré du nombre de terme à calculer, beaucoup plus vite que la précision. L algorithme de transformée de Fourier rapide permet une réduction du nombre d opération et un temps de calcul proportionnel à n ln(n). L intégrale de la transformation de Fourier peut elle aussi être longue à calculer, le signal n étant généralement pas sous la forme d une fonction explicite. 2
2 Analyse temps-fréquence Il y a un écart entre la représentation mathématique des signaux par des fonctions sinusoïdales sur un intervalle infini en temps, et l intuition physique qu on a du signal, souvent transitoire. Une infinité de fréquences doivent être combinées pour obtenir les interférences destructives nécessaires à la restitution du signal transitoire. On a le même type de problèmes lors de l analyse de signaux subissant l effet Doppler ou autres signaux périodiques dont la période varie dans le temps. Ils sont représentés par des combinaisons linéaires de fonction dont la fréquence est constante. L analyse de Fourier donne des informations sur les fréquences mais pas sur le temps. A l opposé le signal relate l évolution de l amplitude en fonction du temps mais délaisse complétement les fréquences. On peut cependant vouloir rassembler ces trois informations (amplitude, temps, fréquence) dans un même graphique.c est la représentation mixte en temps et en fréquence. On décompose le signal, non plus en deux dimension pour l amplitude en fonction soit de la fréquence, soit du temps, mais en trois dimension, avec en abscisse et ordonnée la fréquence et le temps, et en troisième coordonnée la densité d énergie. Ainsi chaque point du plan temps/fréquence représente un objet mathématique contenant une information sur ces deux grandeurs. On retrouve les cas limites du signal et de la transformée de Fourier pour des intervalles de fréquence, respectivement de temps dont la largeur tend vers 0. Ici l amplitude est représentée par la couleur. De même qu avec Fourier, on projette le signal sur les fonctions sinusoïdales, on va projeter le signal sur ces "grains", puis recomposer le signal à partir d une combinaison linéaire de ces grains ( dont on peut déplacer la phase : si le signal est nul sur un intervalle de temps, on ne le représente pas sur cet 3
intervalle, ce qui permet des économies par rapport à la transformation de Fourier qui nécessitait des fonctions sinusoïdales dont les interférences seraient destructives sur cet intervalle. ) Cette idée reprend exactement celle de l écriture de la musique sur une partition. En effet, la hauteur sur la partition donne la fréquence, sa couleur/forme, l intervalle de temps, et les anotations, l amplitude de chaque note. Cette technique trouve ses limites : de la même manière que impulsion et position sont liés par une relation d incertitude en mécanique quantique, il y a une relation du même type entre temps et fréquence. Ainsi le choix exact d une fréquence en Fourier impose que les grains aient une largeur en temps infinie. 3 Analyse en ondelettes Peut-on trouver une meilleure représentation? Dans le cas de l analyse en ondelette on reprend le même type d objets mathématiques que pour l analyse temps - fréquence, en faisant varier pour chacun l intervalle de temps et de fréquence ensemble, en ne gardant que le nombre d oscillations comme invariant. Il n y a pas unicité de la méthode. Le choix se fait en fonction du type de signaux à analyser. Pour un signal de type parole par exemple, on se retrouve avec une redondance d information, avec Fourier, et on peut faire le tri avec des algorithmes de synthèse. pour un signal sonore du type écholocation des chauves souris, les signaux étant transitoires, l analyse de Fourier ne sera pas la plus efficace. 4 Applications On peut appliquer ces méthodes au débruitage des signaux. À partir de l espace transformé en trois dimension, on peut faire le tri entre l information pertinente et le bruit : en effet, seule l information pertinente va dépasser un certain seuil en densité d énergie, on peut alors faire le tri en ne gardant que les composantes qui ont une densité d énergie suffisante, et obtenir le signal débruité. On peut faire le même type de choses pour un mélange de deux ou plus signaux : en effet, les multiples signaux ne vont pas se projeter aux mêmes endroits dans l espace transformé en trois dimension. Il est alors aisé de séparer plusieurs signaux dans cet espace, selon leur localisation, et à partir des composantes séparées de recomposer les signaux séparés. Ces méthodes peuvent être appliquées à la compression des données : avec les diverses transformations, en faisant le tri dans les espaces tranformés entre les composantes pertinentes 4
et celle inutiles, on peut recomposer un signal très similaire, avec une assez bonne exactitude. Les différents types de transformations seront plus ou moins performantes pour donner un signal compressé de bonne qualité selon le type de signal. 5