Electricité Générale

Electricité Générale Electricité 1 Livret 4 Résistance Loi d Ohm Loi de Joule Mise à jour février 2007 *FC1207041.1* FC 1207 04 1.1 Centre National d Enseignement et de Formation A Distance

Réalisation : AFPA - Le Pont de Claix Avertissement au lecteur Le présent fascicule fait l objet d une protection relative à la propriété intellectuelle, conformément aux dispositions du Code du même nom. Son utilisateur s interdit toute reproduction intégrale, partielle ou par voie dérivée et toute diffusion dudit document sans le consentement exprès de l AFPA. Sous réserve de l exercice licite du droit de courte citation, il est rappelé que toute reproduction intégrale, partielle ou par voie dérivée de ce document, sans le consentement exprès de l AFPA, est constitutive du délit de contrefaçon sanctionné par l article L 335-2 du Code de la Propriété Intellectuelle. Dépôt légal juillet 1997 2

SOMMAIRE 1 - Dipôles électriques 1.1 Définition 1.2 Différents types de dipôles 1.3 Sens de câblage d'un dipôle 1.4 Association de dipôles 2 - Conducteur ohmique - Résistance - Loi d'ohm 2.1 Expérience 2.2 Loi d'ohm Exercices d'entraînement n 1 et n 2 3 - Calcul de la résistance 3.1 Les dimensions et la nature du conducteur ohmique Exercices d'entraînement n 3 et n 4 3.2 Influence de la température sur la résistance Exercice d'entrainement n 5 4 - Association de résistances 4.1 Equivalence 4.2 Association série - Résistance équivalente Exercice d'entraînement n 6 4.3 Association parallèle - Résistance équivalente Exercice d'entraînement n 7 4.4 Association série et parallèle - Problème traité Exercice d'entraînement n 8 4.5 Remarque 5 - Loi de Joule 5.1 Energie dissipée par une résistance 5.2 Puissance thermique Exercice d'entraînement n 9 Corrigé des exercices d'entraînement Devoir n 4 3

1 DIPOLES ELECTRIQUES 1.1 Définition On appelle dipôle tout composant électrique ou toute association de composants qui possède deux bornes (ou pôles). A B Les bornes A et B permettent de le raccorder dans un circuit électrique. 1.2 Différents types de dipôles On distingue des dipôles passifs et des dipôles actifs. - Un dipôle est dit passif s'il n'apparaît aucune tension à ses bornes quand il est hors circuit. Il ne fournira donc jamais d'énergie électrique mais par contre en absorbera. Les exemples sont nombreux : le haut-parleur, l'ampèremètre, l'ampoule électrique, le conducteur ohmique (dont nous allons reparler),... etc. Le dipôle passif est très fréquemment appelé récepteur. - Un dipôle est dit actif si, isolément, il apparaît une tension à ses bornes. Citons : les dynamos et alternateurs en rotation, les piles, les accumulateurs, qui sont encore appelés générateurs. Un dipôle actif pourra fournir de l'énergie à un circuit électrique. I U Energie Générateur Récepteur (dipôle actif) (dipôle passif) 4

1.3 Sens de câblage d'un dipôle - Dipôle symétrique : c'est un dipôle dont les bornes ne sont pas différenciées. Son sens de câblage est donc sans importance; le fait de le retourner n'a pas d'influence sur les grandeurs électriques (courants et tensions). Une ampoule électrique, un klaxon, un conducteur ohmique sont des dipôles symétriques. - Dipôle dissymétrique : ses bornes ne sont pas permutables; elles sont différenciées par des couleurs ou des symboles différents (borne rouge et borne noire; pôle + et pôle ; anode et cathode;... etc.). Si on retourne un dipôle dissymétrique le fonctionnement du circuit est modifié: les grandeurs électriques ne sont plus les mêmes. Une pile, un moteur à courant continu sont des dipôles dissymétriques. 1.4 Association de dipôles Un dipôle peut être constitué, dans certains cas, d'une association de dipôles. Les associations de base sont appelées association série et association parallèle. Rappelons que : - des dipôles sont associés en série lorsqu'ils sont câblés bout à bout comme indiqué ci-dessous : - l'intensité du courant est la même en tout point d'une branche constituée de dipôles associés en série. - des dipôles sont associés en parallèle lorsqu'ils sont câblés comme le montre la figure ci-dessous : - la tension est la même aux bornes de chacun des dipôles associés en parallèle. 5

2 CONDUCTEUR OHMIQUE - RESISTANCE - LOI D'OHM 2.1 Expérience Prenons un fil long et fin d'un alliage métallique (nickel-chrome par exemple) et réalisons le circuit suivant : A I Générateur de tension réglable U Fil Ni-Cr V Relevons les valeurs de U et de I indiquées par les appareils de mesure (voltmètre et ampèremètre) pour différents réglages de la tension délivrée par le générateur et effectuons le rapport U/I. U (V) 0 2 4 6 8 10 I (A) 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 U/I - 100 100 100 100 100 On constate que le rapport U/I est constant quelles que soient les valeurs du couple tension - intensité. Ce rapport est une caractéristique du fil étudié. On l'appelle résistance électrique. La résistance s'exprime en ohms dont le symbole est Ω. ( Ω, lettre grecque qui se prononce oméga). La résistance de l'échantillon de fil utilisé dans l'expérience est égale à 100 Ω. Tout dipôle passif et symétrique qui, à l'image du fil de nickel-chrome, donne un rapport U/I constant s'appellent conducteur ohmique. Représentation d'un conducteur ohmique : R Les métaux et leurs alliages sont des conducteurs ohmiques. Ils servent, ainsi que le carbone, à fabriquer des composants dont la résistance est normalisée; l'éventail des valeurs de résistances courantes va de quelques milliohms à quelques mégohms. 6

2.2 Loi d'ohm Traduisons le tableau de mesures précédent par le graphe représentant la tension U en fonction de l'intensité I. 10 U (V) 8 6 4 2 I (A) 0 0,05 0,10 La courbe caractéristique obtenue est une droite qui passe par l'origine. Elle traduit une relation de proportionnalité entre la tension U et l'intensité I du courant. Le coefficient de proportionnalité est la résistance définie précédemment. Cette relation (loi d'ohm) s'écrit : U = R x I U - s'exprime en volts (V); R - s'exprime en ohms (Ω); I - s'exprime en ampères (A). Cette loi est strictement vérifiée si l'échantillon est maintenu à température constante. L'appareil qui sert à mesurer la résistance s'appelle un "ohmmètre". Exercice d'entraînement n 1 Une expérience semblable à celle précédemment décrite a été réalisée avec un autre échantillon métallique. Une partie des mesures effectuées figure dans le tableau ci-dessous. Compléter ce tableau. U (V) 0 2 4 8 10 I (ma) 0 4 12 20 U/I (Ω) - 7

Exercice d'entraînement n 2 - Déterminer la résistance du conducteur ohmique dont la caractéristique figure ci-dessous. 50 U (V) 40 30 20 10 I (ma) 0 50 100 - Quelle est l'intensité du courant qui parcourt ce conducteur lorsque la tension à ses bornes est de 24 V? - Quelle est la tension aux bornes de ce conducteur lorsqu'il est parcouru par un courant de 80 ma? 3 CALCUL DE LA RESISTANCE Pour déterminer la valeur de la résistance d'un conducteur ohmique il convient de prendre en compte trois paramètres : ses dimensions, la nature du matériau qui le constitue et la température. 3.1 Les dimensions et la nature du conducteur ohmique La résistance d'un fil homogène de section constante est proportionnelle à sa longueur. Pour une section déterminée, la résistance d'un fil de 10 m est 10 fois plus grande que celle d'un fil de 1 m. La résistance d'un fil homogène de longueur constante est inversement proportionnelle à sa section. Pour une longueur déterminée, la résistance d'un fil dont la section est 0,1 mm 2 est 10 fois plus grande que celle d'un fil de section 1 mm 2 La résistance d'un fil est d'autant plus grande qu'il est plus long et plus fin. 8

Deux fils, d'égales dimensions mais constitués de matériaux homogènes différents, ont des résistances différentes. Pour une longueur et une section données, un fil de fer est environ trois fois plus résistant qu'un fil d'aluminium. Les métaux et leurs alliages sont caractérisés par un coefficient noté ρ (prononcé rho) qu'on appelle la résistivité. Celle-ci correspond à la résistance d'un échantillon de 1 mètre de longueur et de 1 m 2 de section. Ainsi la résistance d'un fil homogène de longueur l et de section s s'écrit : R = ρ x l s R - s'exprime en ohms (Ω); l - s'exprime en mètres (m); s - s'exprime en mètres carrés (m 2 ); ρ - s'exprime en ohms-mètres carrés par mètre ou en ohms-mètres (Ωm). Résistivité de quelques métaux et alliages à 0 C. Métaux ρ 0 (Ωm) Alliages ρ 0 (Ωm) Aluminium 2,62.10-8 Constantan (Cu-Ni) 49.10-8 Argent 1,50.10-8 Laiton (Cu-Zn) 7,5.10-8 Cuivre 1,59.10-8 Maillechort (Cu-Ni-Zn) 34.10-8 Fer 8,53.10-8 Nichrome (Ni-Cr) 100.10-8 Nickel 6,94.10-8 Or 2,19.10-8 Tungstène 5,00.10-8 Exercice d'entraînement n 3 Le fil de câblage utilisé en électricité bâtiment est en cuivre. Il est commercialisé en rouleaux de 100 m et avec les trois sections suivantes : 1,5 mm 2 ; 2,5 mm 2 ; 4 mm 2. - Calculer la résistance à 0 C d'un rouleau de fil de section 1,5 mm 2 ; - Calculer la résistance à 0 C d'un rouleau de fil de section 2,5 mm 2 ; - Calculer la résistance à 0 C d'un rouleau de fil de section 4 mm 2 ; Exercice d'entraînement n 4 La section du fil utilisé (nickel-chrome) dans l'expérience réalisée au chapitre 2. 1 est égale à 0,6 mm 2. - Quelle est la longueur de l'échantillon? 9

3.2 Influence de la température sur la résistance Généralement la résistivité dépend de la température. Quand celle-ci augmente la résistivité des métaux augmente. Cette dépendance peut se traduire par la relation ci-dessous dans laquelle ρ 0 est la résistivité à 0 C, α le coefficient de température propre au matériau et t la température. ρ et ρ 0 s'expriment en ohms-mètres (Ωm); t - s'exprime en degrés Celsius ( C); α - s'exprime en inverse de degrés ( C -1 ). Coefficient de température de quelques métaux et alliages. Métaux α Alliages α Aluminium 4,46.10-3 Constantan (Cu-Ni) # 0 Argent 3,89.10-3 Laiton (Cu-Zn) 1,6.10-3 Cuivre 4,27.10-3 Maillechort (Cu-Ni-Zn) 0,25.10-3 Fer 7,26.10-3 Nichrome (Ni-Cr) 0,4.10-3 Nickel 5,44.10-3 Or 3,65.10-3 Tungstène 5,24.10-3 Exemple : Calcul de la résistivité du tungstène à 100 C. On trouve ρ 0 et α dans les tables précédentes : ρ 0 = 5.10-8 Ωm et α = 5,24.10-3 ( C -1 ) ρ = ρ 0 (1 + a x t) ρ = 5.10-8 (1 + 5,24.10-3 x 100) = 7,62.10-8 Ωm Remarques : ρ = ρ 0 (1 + α x t) - La résistivité de certains métaux devient nulle en dessous d'une température très basse. Ce phénomène porte le nom de supraconductibilité. Par exemple, en dessous de 266 C, le plomb est supraconducteur. - Les semi-conducteurs sont des éléments dont la résistivité décroît quand la température s'élève. Citons le silicium et le germanium. - On pourra vérifier à titre d exercice complémentaire que la relation précédente concernant l évolution de la résistivité en fonction de la température est également valable pour le calcul de la résistance. Exercice d'entraînement n 5 Une bobine de fil d'aluminium possède les caractéristiques suivantes : longueur : 250 m; diamètre : 0,5 mm. Calculer la résistance du fil à 45 C. 10

4 ASSOCIATION DE RESISTANCES 4.1 Equivalence Deux dipôles ne contenant que des conducteurs ohmiques sont dits équivalents lorsque, soumis à la même tension, ils sont traversés par le même courant. 4.2 Association série. Résistance équivalente Lorque des conducteurs ohmiques sont branchés en série, ils sont traversés par le même courant. U1 U2 U3 U R1 R2 R3 I La loi d'ohm et la loi des mailles permettent d'écrire : U1 = R1 x I U2 = R2 x I U3 = R3 x I U = U1 + U2 + U3 = R1 x I + R2 x I + R3 x I U = (R1 + R2 + R3) x I = R(équ) x I R(équ) = R1 + R2 + R3 Le circuit peut être remplacé par le circuit équivalent suivant : U R(équ) I Exercice d'entraînement n 6 Trois conducteurs ohmiques dont les résistances sont respectivement R1 = 5 Ω, R2 = 8 Ω et R3 = 12 Ω sont câblés en série. - Calculer R(équ), la résistance équivalente à cet ensemble. - Dessiner le schéma réel et le schéma équivalent. - Calculer l'intensité I du courant circulant dans le circuit lorsque la tension U est égale à 10 V. - Calculer la tension aux bornes de chaque conducteur ohmique. 11

4.3 Association parallèle. Résistance équivalente Lorque des conducteurs ohmiques sont branchés en parallèle, ils sont soumis à la même tension. I I1 I2 I3 U R1 R2 R3 La loi d'ohm et la loi des noeuds permettent d'écrire : I1 = U R1 I2 = U R2 I3 = U R3 I = I1 + I2 + I3 = U + U + U R1 R2 R3 I = ( 1 1 1 1 + + ) x U = R1 R2 R3 R(équ ) x U 1 R(équ ) = 1 R 1 + + R 1 R 1 2 3 Le circuit peut être remplacé par le circuit équivalent suivant : I U R(équ) Exercice d'entraînement n 7 Trois conducteurs ohmiques dont les résistances sont respectivement R1 = 5 Ω, R2 = 8 Ω et R3 = 12 Ω sont câblés en parallèle. - Calculer R(équ), la résistance équivalente à cet ensemble. - Dessiner le schéma réel et le schéma équivalent. - Calculer la tension U aux bornes du générateur lorsque l'intensité I est égale à 2,04 A. - Calculer l'intensité du courant circulant dans chaque conducteur ohmique. 12

4.4 Association série et parallèle La méthode pour déterminer la résistance équivalente consiste à simplifier le schéma, étape par étape, en commençant par la branche la plus interne. Problème traité On souhaite déterminer la résistance équivalente au dipôle compris entre les points a et g dans le schéma ci-dessous. 2 Ω a 3,4 Ω R1 c b 0,8 Ω R2 8 Ω d R3 3 Ω R4 e f g R5 - Calculons la résistance Rde équivalente à R3 et R4 (association parallèle) 1 1 1 = + ; Rde = R 3x R 4 2 x 3 = = 1,2 Ω Rde R3 R4 R3 + R4 2 + 3 - Remplaçons R3 et R4 par la résistance équivalente Rde c 0,8 Ω d 1,2 Ω e a 3,4 Ω R1 b R2 8 Ω Rde f g R5 - Calculons la résistance Rce équivalente à R2 et Rde (association série) Rce = R2 + Rde = 0,8 + 1,2 = 2 Ω - Remplaçons R2 et Rde par la résistance équivalente Rce c 2 Ω e a 3,4 Ω R1 b Rce 8 Ω f g R5 13

- Calculons la résistance Rbf équivalente à Rce et R5 (association parallèle) 1 1 1 = + ; Rbf = R ce x R 5 2 x 8 = = 1,6 Ω Rbf Rce R5 Rce + R5 2 + 8 - Remplaçons Rce et R5 par la résistance équivalente Rbf a 3,4 Ω R1 b 1,6 Ω Rbf f g - Calculons la résistance Rag équivalente à R1 et Rbf (association série) Rag = R1 + Rbf = 3,4 + 1,6 = 5 Ω - D'où le schéma équivalent du dipôle compris entre a et g : a 5 Ω Rag g Exercice d'entraînement n 8 Une d.d.p U = 43 V est appliquée entre les bornes a et b du circuit cidessous : 2 Ω 7 Ω I2 a R2 R4 5 Ω I1 R1 6 Ω b R3 I3 Calculer : - la résistance équivalente au dipôle compris entre a et b; - l'intensité principale I1; 4.5 Remarque La résistance est une des caractéristiques d'un conducteur ohmique. Cependant dans la pratique, par raccourci de langage, on confond souvent la grandeur et l'élément. Ainsi lorsqu'on dit : "une résistance de 47 Ω...", il faut comprendre : "un conducteur ohmique dont la résistance R = 47 Ω...". 14

5 LOI DE JOULE 5.1 Energie dissipée par une résistance Un conducteur ohmique transforme en chaleur toute l'énergie électrique qu'il reçoit. Ce phénomène est exploité en particulier en chauffage domestique. La loi de Joule permet de calculer l'énergie dissipée sous forme calorifique par une résistance lorsqu'elle est parcourue par un courant électrique. Cette loi se déduit de la loi de l'énergie et de la loi d'ohm. d'où W = U x I x t avec U = R x I W = (R x I) x I x t = U x ( U R ) x t W = R x I 2 x t W = R U 2 x t W - s'exprime en joules (J); R - s'exprime en ohms (Ω); I - s'exprime en ampères (A); U - s'exprime en volts (V); t - s'exprime en secondes (s). 5.2 Puissance thermique Rappelons que la puissance est l'énergie dissipée par unité de temps. La puissance thermique se déduit de la loi de Joule en divisant l'énergie par le temps. P = 2 W R xi x t U 2 = = x t t t R t P = R x I 2 2 P = U R P - s'exprime en watts (W). Exercice d'entraînement n 9 Le fil chauffant d'une cafetière électrique a pour résistance R = 53 Ω; il est alimenté par une tension U = 230 V. Calculer le courant I parcourant le fil chauffant, la puissance P de la cafetière et l'énergie calorifique W dissipée pendant 5 minutes de fonctionnement. 15

CORRIGE DES EXERCICES D'ENTRAINEMENT Exercice d'entraînement n 1 U (V) 0 2 4 6 8 10 I (ma) 0 4 8 12 16 20 U/I (Ω) - 500 500 500 500 500 (Attention I est donné en miliampère). Exercice d'entraînement n 2 La résistance est donnée par la pente ΔU/ΔI de la droite. Pour ΔI = 100 ma on lit ΔU # 36 V. R = Δ U 36 = = 360 Ω ΔI 0,1 Pour U = 24 V, l'intensité I = U 24 = = 0,067A = 67 ma R 360 Pour I = 80 ma, la tension U = R x I = 360 x 0,08 = 29 V Exercice d'entraînement n 3 La résistivité du cuivre à 0 C est ρ 0 = 1,59.10-8 Ωm. La résistance de 100 m de fil de section 1,5 mm 2 est égale à : (1 mm 2 = 10-6 m 2 ) R = ρ 0 x l s = 100 1,59.10-8 x 1,5.1 0 6 = 1,06 Ω La résistance étant inversement proportionnelle à la section : pour s = 2,5 mm 2 on trouve R = 1,06 x 1,5 2,5 = 0,64 Ω pour s = 4 mm 2 on trouve R = 1,06 x 1,5 4 = 0,4 Ω Exercice d'entraînement n 4 Pour l'alliage Nichrome, la résistivité ρ à la température ambiante est peu différente de ρ 0 = 100.10-8 Ωm. R = 100 Ω = ρ x l s d'où l = R x s 100 x 0,6.1 0 = ρ 8 100.10 6 Longueur de l'échantillon: l = 60 m 16

Exercice d'entraînement n 5 Calcul de la résistivité de l'aluminium à 45 C. Les tables donnent : ρ 0 = 2,62.10-8 Ωm et α = 4,46.10-3 ( C -1 ) ρ = ρ 0 (1 + α x t) = 2,62.10-8 (1 + 4,46.10-3 x 45) = 2,62.10-8 x (1,2) = 3,14.10-8 Ωm Calcul de la section du fil à partir du diamètre : 2 d s = π x = 3,14 x (0,25.10-3) 2 2 m 2 Calcul de la résistance du fil à 45 C R = ρ x l s = 250 3,14.10-8 x 3,14 x (0,2 5.10 ) 3 2 = 40 Ω Exercice d'entraînement n 6 R(équ) = R1 + R2 + R3 R(équ) = 5 + 8 + 12 = 25 Ω Ce résultat confirme que la résistance équivalente d'un groupement série est toujours supérieure à la plus grande des résistances. U1 U2 U3 U 5Ω 8Ω 12Ω I U R(équ)= 25Ω I I = U 10 = = 0,4 A R( équ ) 25 U1 = R1 x I = 5 x 0,4 = 2 V U2 = R2 x I = 8 x 0,4 = 3,2 V U3 = R3 x I = 12 x 0,4 = 4,8 V On vérifie bien que U1 + U2 + U3 = U = 10V (loi des mailles) Exercice d'entraînement n 7 1 R(équ ) = 1 1 R + 1 1 R + 2 R = 1 3 5 R(équ) = 120 49 = 2,45 Ω 1 1 + + = 8 12 24 + 15 + 10 120 = 49 120 Ce résultat confirme que la résistance équivalente d'un groupement parallèle est toujours inférieure à la plus petite des résistances. 17

I I1 I2 I3 I U R1 R2 R3 5Ω 8Ω 12Ω U R(équ) 2,45Ω U = R(équ) x I = 2,45 x 2,04 = 5 V I1 = U 5 R = 1 5 = 1 A I2 = U 5 R = 2 8 = 0,62 A I3 = U 5 R = 3 12 = 0,42 A On vérifie bien que I1 + I2 + I3 = I = 2,04 A (loi des noeuds) Exercice d'entraînement n 8 c 2 Ω d 7 Ω e I2 a R2 R4 5 Ω I1 f g R1 6 Ω b R3 I3 - Calcul de la résistance équivalente Rab : R2 et R4 sont en série : Rce = R2 + R4 = 2 + 7 = 9 Ω Rce et R3 sont en parallèle : Rfg = R ce x R 3 9 x 6 = = 3,6 Ω Rce + R3 9 + 6 Rfg et R1 sont en série : Rab = Rfg + R1 = 3,6 + 5 = 8,6 Ω - Calcul de l'intensité principale I1 : U 43 I1 = R = ab 8,6 = 5 A Exercice d'entraînement n 9 P = I = U R 230 = = 4,34 A 53 ( 230) 2 2 U = = 1000 W R 53 ou P = R x I 2 = 53 x (4,34) 2 = 1000 W ou P = U x I = 230 x 4,34 = 1000 W W = P x t = 1000 x 5 x 60 = 300 000 J W = 300 kj = 83,3 Wh = 71,7 kcal 18

DEVOIR N 4 Effectuez le devoir sur la feuille de copie préimprimée que vous trouverez en encart au milieu du fascicule. Ne recopiez pas les énoncés et soignez la présentation de votre travail. Problème n 1 (2 points) On a mesuré le courant circulant dans un conducteur ohmique et la tension à ses bornes. Les deux couples de valeurs suivants sont retenus : I1 = 10 ma, U1 = 47 V et I2 = 20 ma, U2 = 94 V - Quelle est la valeur de la résistance R? - Calculer la tension U3 aux bornes du conducteur ohmique si le courant I3 = 30 ma Problème n 2 (6 points) On veut réaliser une résistance chauffante de 20 Ω avec du fil dont les caractéristiques sont les suivantes : diamètre d = 0,5 mm; ρ = 125.10-8 Ωm - Quelle longueur l de fil doit-on utiliser? (Montrer que l'usage de la calculette est inutile pour cette question). - Quelle est la puissance P de cette résistance chauffante quand on l'alimente sous une tension U = 24 V? - Dans quel rapport faut-il changer la tension U appliquée pour que la puissance soit multipliée par 4? - Quel diamètre de fil aurait-on dû choisir pour que la résistance soit 4 fois plus petite pour une longueur identique? Problème n 3 (4 points) Un fil métallique présente une résistance R = 80 Ω à 20 C. Le coefficient de température α du métal est de 6.10-3 ( C -1 ). - Quelle est la valeur de cette résistance à 113 C? (Conseil : Faire intervenir le calcul de la résistance à 0 ) Problème n 4 (4 points) Un moteur, alimenté par une tension de 230 V, demande un courant de 10 A. La résistance de son enroulement d'induit est de 0,6 Ω. Calculer : - la puissance Pa, absorbée par le moteur. - la puissance Pj, perdue dans l'induit par effet Joule. - la puissance utile Pu du moteur en sachant que les pertes totales valent 3 fois les pertes Joule. - le rendement η du moteur. Problème n 5 (2 points) Déterminer la résistance équivalente à n résistances identiques en parallèle. Présentation (2 points) 19

Impression AFPA - SEDEX