Lycée Saint Charles Session Février 2013 BAC BLANC Mathématiques Série ES Enseignement Obligatoire et de Spécialité. Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 ou 7 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. L utilisation d une calculatrice personnelle est autorisée. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. La feuille annexe ( Exercice 1 (partie B) et Exercice 4 non spécialistes) est à rendre avec la copie. p. 1
Exercice 1 Commun à tous les candidats. Les parties A et B sont indépendantes Partie A. Un site de jeux vidéo en ligne possédait, en 2010, 500 milliers d abonnés dans le monde. Un administrateur remarque que, chaque année, 20 mille nouvelles personnes s abonnent tandis que 10% ne se réabonnent pas. On note, pour tout entier naturel, le nombre d abonnés en 2010+. Ainsi = 500. 1. Calculer et 2. Exprimer en fonction de. 3. On note, pour tout entier naturel, a) Montrer que la suite est une suite géométrique. b) Exprimer en fonction de c) Montrer que pour tout entier naturel. 4. a) Etudier le sens de variation de la suite et interpréter le résultat. b) Etudier la limite de la suite et interpréter le résultat. Partie B. Algorithme. 1. Faire tourner l algorithme ci-dessous en prenant A = 1200 et u_1 =1000. Vous compléterez le tableau donné en annexe. 2. Que fait cet algorithme? p. 2
Exercice 2 Commun à tous les candidats. On étudie le trafic sur un tronçon d autoroute de contournement d une grande ville. On constate que la moitié des véhicules empruntant cette autoroute sont des camions et que 40% sont des voitures particulières. Les autres sont des motos. La société exploitant cette autoroute propose des abonnements aux usagers. Parmi les conducteurs de voitures particulières, 60% n ont pas souscrit d abonnement. 20% des conducteurs de motos et 20% des conducteurs de camions se sont abonnés. Un véhicule se présente au péage. On note les événements suivants : : «le véhicule est une moto» ; «le véhicule est un camion» ; : «le véhicule est une voiture particulière» ; : «le conducteur a souscrit un abonnement». Tous les résultats seront arrondis à 10-2 près. 1. a) Traduire l énoncé à l aide d un arbre pondéré. b) Donner. 2. a) Montrer que la probabilité que le conducteur arrivant au péage ait souscrit un abonnement est 0,28. b) Sachant que le conducteur est un abonné, calculer la probabilité que son véhicule soit une moto. 3. Douze véhicules arrivent au péage, indépendamment les uns des autres. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de véhicules dont le conducteur a souscrit un abonnement. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X? b) Calculer la probabilité que dix véhicules exactement soient ceux de dix abonnés. Arrondir à 10-4 près. c) Calculer la probabilité qu au moins un véhicule soit celui d un abonné.. Exercice 3. Pour tous les candidats Partie A. Soit la fonction définie sur par 1. Résoudre 2. a) Montrer que b) Etudier le signe de selon les valeurs de et dresser le le tableau de variation de. 3. a) Démontrer que, sur l intervalle, l équation admet une unique solution. b) Donner un encadrement de d amplitude 0,01. On admet que l équation admet une autre solution appartenant à l intervalle Partie B Une usine produit chaque mois entre 0 et 600 kilogrammes de poudre de perlimpinpin et vend toute sa production. Le bénéfice, en milliers d euros, est donné par la fonction, la production est donnée en centaines de kilogrammes. 1. Déterminer pour quelle production l usine a un déficit de 1000 euros. 2. Déterminer quelle doit être la production, au kilogramme près, pour que l usine soit bénéficiaire. 3. Déterminer pour quelle production le bénéfice de l usine est maximal et donner ce bénéfice à l euro prés. p. 3
Exercice 4 Pour les non spécialistes Toutes les réponses seront justifiées. La tangente T (question 1) sera construite sur la feuille annexe. p. 4
Exercice 4 Pour les spécialistes Les points de collecte d un camion d une société recyclant des «déchets papier», ainsi que les temps de trajet (en minutes) entre ces différents points, sont représentés par le graphe n 1. Le dépôt est représenté par le sommet A et les autres sommets représentent les différents points de collecte. Graphe n 1 1. Afin de rendre son plan plus lisible, le chauffeur du camion souhaite colorer les sommets du graphe représentant son réseau de manière à ce que deux sommets adjacents n aient jamais la même couleur. Peut-il utiliser seulement trois couleurs? Justifier. 2. On appelle M la matrice associée au graphe n 1, M étant construite en utilisant les sommets dans l ordre alphabétique. Combien y a-t-il de trajets possibles permettant d aller du dépôt A au point de collecte H en quatre étapes? Justifier la réponse. 3. Le conducteur doit se rendre du dépôt A au point de collecte H. Il cherche le chemin qui minimise le temps de trajet. Déterminer ce chemin en expliquant le procédé utilisé, et préciser le temps minimum de parcours obtenu. 4. Le point de collecte H est lui-même un lotissement résidentiel privé dont un plan est représenté à l aide du graphe n 2 (non pondéré). Les sommets sont les différents carrefours et les arêtes sont les voies de circulation. Graphe n 2 a. Justifier que ce graphe est connexe. b. Le conducteur du camion doit passer le long de chaque voie afin de collecter les déchets individuels de chaque habitation. Il entre dans le lotissement par le sommet 8 : lui est-il possible de parcourir le lotissement en empruntant voie une fois et une seule? Justifier. chaque p. 5
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Nom : Prénom : Classe : Annexe à rendre avec la copie. Exercice 1. Commun à tous. Partie B. A= 1200 Valeur de n Valeur de u_n Condition à vérifier Initialisation 1 1000 Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4 Exercice 4 pour les non spécialistes. Question 1 p. 7