Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s il existe u réel r > 0 tel que : ] a r, a + r [ V. Défiitio 2 Soit A ue partie de R. U poit x R est adhéret à A si tout voisiage de x cotiet u poit de A. L esemble A des poits adhérets à A est appelé l adhérece de A et o a : A A. O dit que A est fermé si o a : A = A. Défiitio 3 Soit A ue partie de R. U poit x R est itérieur à A si A est u voisiage de x. L esemble A des poits itérieurs à A est appelé l itérieur de A et o a : A A. O dit que A est ouvert si o a : A= A. 2 Limites et cotiuité Soit A ue partie de R et f : A R ue applicatio. L esemble A, souvet oté D f, fait partie itégrate de f : aisi, la foctio f : R R défiie par f(x) = x 2 et sa restrictio f + à R + sot des objets mathématiques disticts et ot pas les mêmes propriétés, puisque f + est croissate alors que f e l est pas. Défiitio 4 Soit a R u poit adhéret à D f et soit l R. O dit que f admet l comme limite au poit a si pour tout réel ε > 0, il existe u voisiage V de a tel que : f(x) l < ε pour tout x V D f. Das ce cas, le réel l est uique et o ote : lim f(x) = l. x a Défiitio 5 Soit B ue partie de R et soit a R u poit adhéret à D f B. O dit que f(x) ted vers l quad x ted vers a e restat das B si la restrictio de f à B D f admet la limite f au poit a. Das ce cas, o ote : l = lim f(x). x a, x B Si o a respectivemet B = ] a, + [, B = ], a [ ou B = R \ {a}, o ote aisi : lim f(x) = x a + lim f(x), lim f(x) = x a, x>a x a lim f(x) et lim f(x) x a, x<a x a, x a et les deux premières sot appelées la limite à droite et la limite à gauche de f au poit a. La troisième est souvet utilisée comme défiitio de la limite au iveau uiversitaire (alors que ous adoptos ici les covetios utilisées au lycée), ce qui red mois tautologique la défiitio suivate. Défiitio 6 Soit a u poit de D f. O dit que f est cotiue au poit a si f admet f(a) comme limite au poit a. E effet, si f est défiie au poit a et admet ue limite e ce poit, cette limite e peut être que f(a) d après otre défiitio, cotrairemet au cas suivat. Défiitio 7 Soit a u poit de D f. O dit que f est cotiue à droite (resp. à gauche) au poit a si f admet f(a) comme limite à droite (resp. à gauche) au poit a. 1
Propositio 1 Soit a u poit de D f. La foctio f e cotiue e a si et seulemet si elle est cotiue à droite et à gauche au poit a. Défiitio 8 O dit que la foctio f est cotiue si elle est cotiue e tout poit de so domaie de défiitio D f. Théorème 1 Soit a u poit de D f. La foctio f est cotiue au poit a si et seulemet si : pour toute suite (u ) à valeurs das D f covergeat vers a, la suite (f(u )) coverge vers f(a). Exercice 1 Démotrer ce théorème : pour la réciproque, o pourra raisoer par cotraposée. Défiitio 9 O suppose qu il existe u réel c tel que D f cotiet l iervalle ] c, + [, et soit l R. O dit que f admet l comme limite e + si pour tout réel ε > 0, il existe u réel A tel que : pour tout x D f vérifiat x > A, o a : f(x) l < ε. O ote alors : lim f(x) = l. x + Exercice 2 Soiet l R et a R u poit adhéret à D f. Écrire les défiitios de : lim f(x) = l, lim f(x) = ± et lim f(x) = ±. x x a x ± Exercice 3 Soit I u itervalle de R et soit f : I R ue foctio mootoe. a) Motrer qu e tout poit itérieur à I, la foctio f admet ue limite à droite et ue limite à gauche. Que se passe-t-il aux bores de l itervalle? b) O suppose que f(i) est u itervalle. Motrer que f est cotiue (o pourra raisoer par cotraposée). 3 Foctios cotiues sur u itervalle Théorème 2 Théorème des valeurs itermédiaires. Soit I u itervalle de R et soit f : I R ue foctio cotiue. Alors f(i) est u itervalle. E d autres termes, pour tous poits a, b I et tout réel λ compris etre f(a) et f(b), il existe u réel c compris etre a et b tel que : f(c) = λ. Théorème 3 Théorème de la bijectio mootoe. Soit I u itervalle de R et soit f : I R ue foctio cotiue et strictemet mootoe. Alors f défiit ue bijectio de I das l itervalle J = f(i) et sa bijectio réciproque f 1 : J R est cotiue et a la même mootoie que f. Théorème 4 Théorème sur l image d u segmet. Soit I u segmet de R et soit f : I R ue foctio cotiue. Alors f(i) est u segmet. E d autres termes, toute foctio cotiue sur u segmet (itervalle fermé et boré) est borée et atteit ses bores. Défiitio 10 Soit f : D f R ue applicatio. O dit que f est uiformémet cotiue si : pour tout réel ε > 0, il existe u réel δ > 0 tel que pour tous poit x, y D f vérifiat x y < δ, o a : f(x) l < ε. Théorème 5 Théorème de Heie. Soit I u segmet de R et soit f : I R ue foctio cotiue. Alors f est uiformémet cotiue. 2
Exercice 4 Démostratio du théorème des valeurs itermédiaires. Soit I u itervalle de R et soit f : I R ue foctio cotiue. Soiet a < b deux poits de I vérifiat f(a) < f(b) et soit λ u réel tel que : f(a) < λ < f(b). O pose : A = {x [a, b] / f(x) < λ}. a) Motrer que A admet ue bore supérieure c [a, b] et qu o a : f(c) λ. b) Motrer que a < c < b et que pour tout x ] c, b] o a : f(x) λ. c) E déduire le théorème des valeurs itermédiaires. d) E déduire le théorème de la bijectio mootoe. Exercice 5 Démostratio du théorème sur l image d u segmet. Soiet a < b deux réels et f : [a, b] R ue foctio cotiue. a) O suppose que f est pas majorée : motrer qu il existe ue suite (x ) de poits de [a, b] telle que f(x ) pour tout N. E utilisat le théorème de Bolzao-Weierstrass, obteir ue cotradictio. E déduire que f est borée. b) O pose M = sup(f) : motrer qu il existe ue suite (x ) 1 de poits de [a, b] vérifiat : f(x ) > M 1 pour tout etier 1. E utilisat le théorème de Bolzao-Weierstrass, obteir ue cotradictio. E déduire que f atteit ses bores. Exercice 6 Démostratio du théorème de Heie. Soiet a < b deux réels et f : [a, b] R ue foctio cotiue. O suppose que f est pas uiformémet cotiue. a) Motrer qu il existe u réel ε > 0 et deux suites (x ) 1 et (y ) 1 de poits de [a, b] vérifiat : f(x ) f(y ) ε et x y < 1 pour tout etier 1. b) Motrer qu il existe ue suite (x σ(p) ) p N extraite de (x ) 1 qui coverge vers u poit c [a, b]. Motrer que la suite (y σ(p) ) p N coverge aussi vers c. c) E utilisat la cotiuité de f au poit c, obteir ue cotradictio. Coclure. Exercice 7 Soit f : R R ue foctio cotiue qui admet des limites fiies e + et e. Motrer que f est borée. Exercice 8 Soit f : R R ue foctio cotiue. Les affirmatios suivates sot-elles vraies ou fausses? a) Si I est u itervalle ouvert, alors f(i) est u itervalle ouvert. b) Si I est u itervalle fermé, alors f(i) est u itervalle fermé. c) Si I est u itervalle ouvert, alors f 1 (I) est u itervalle ouvert. d) Si I est u itervalle fermé, alors f 1 (I) est u itervalle fermé. Exercice 9 Soit T > 0 u réel et soit f : R R ue foctio T -périodique. a) Motrer que si f est mootoe, alors elle est costate. b) Motrer que si f admet ue limite e + ou e, alors elle est costate. c) Motrer que si f est cotiue, alors elle est borée et atteit ses bores. d) Motrer que si f est cotiue, alors elle est uiformémet cotiue. 3
4 Dérivatio Défiitio 11 Soit a u poit de R et soit f ue foctio à valeurs réelles défiie sur u voisiage V de a. O dit que f est dérivable e a si la foctio g : V \ {a} R défiie par : g(x) = f(x) f(a) x a admet ue limite réelle au poit a. Cette limite se ote alors f (a) et est appelée la dérivée de f e a. O dit que f est dérivable si D f est ouvert et f est dérivable e tout poit de D f. Propositio 2 Si f est dérivable au poit a, alors elle est cotiue e a. E effet, pour tout x D f \ {a} o a : f(x) f(a) = g(x) x a et si g admet ue limite au poit a, elle est borée au voisiage (époité) de a ce qui motre qu il existe ue costate positive C telle que pour tout poit x a assez proche de a, o a : f(x) f(a) C x a doc f(x) ted vers f(a) quad x ted vers a. La réciproque est bie sûr fausse, et o peut même costruire des foctios cotiues sur R qui e sot dérivables e aucu poit. Les théorèmes ci-dessous reposet sur la remarque fodametale suivate. Propositio 3 Si f est dérivable e a et admet u extremum local au poit a, alors o a : f (a) = 0. Remarquos tout d abord qu il est essetiel ici que le domaie de défiitio D f soit u ouvert. E effet, la foctio f : [0, 1] défiie par f(x) = x admet des extrema (globaux) e 0 et e 1, mais sa dérivée e s aule ulle part! Pour prouver ce résultat, o raisoe par cotraposée e supposat f (a) 0. La foctio g est alors de sige costat (celui de f (a)) sur V \ {a} où V est u voisiage de a et o a : f(x) f(a) = g(x) (x a) pour tout x V \ {a} doc la foctio f f(a) chage de sige sur tout voisiage de a doc f e peut pas avoir d extremum local au poit a. Théorème 6 Théorème de Rolle. Soiet a < b deux réels et soit f : [a, b] R ue foctio cotiue qui est dérivable sur ] a, b [. Si o a : f(a) = f(b), alors il existe u réel c ] a, b [ tel que : f (c) = 0. Théorème 7 Théorème des accroissemets fiis. Soiet a, b deux réels tels que a < b et soit f : [a, b] R ue foctio cotiue qui est dérivable sur ] a, b [. Il existe u réel c ] a, b [ tel que : f(b) f(a) = (b a) f (c). Théorème 8 Théorème sur le ses de variatio. Soit I u itervalle et soit f : I R ue foctio cotiue qui est dérivable à l itérieur de I. Alors : 1) f est costate si et seulemet si o a : f (x) = 0 pour tout x I, 2) f est croissate si et seulemet si o a : f (x) 0 pour tout x I, 3) si o a : f (x) > 0 pour tout x I, alors f est strictemet croissate. E chageat f e f, o e déduit les cas de décroissace e reversat les iégalités, et il faut oter que le troisième poit d admet pas de réciproque comme le motre l exemple de f : R R défiie par f(x) = x 3. Exercice 10 Soiet a < b deux réels et soit f : [a, b] R ue foctio cotiue qui est dérivable sur ] a, b [. O suppose que f x) 0 pour tout x ] a, b [ et que f e s aule qu e u ombre fii de poits de ] a, b [. Motrer que f est strictemet croissate. 4
Défiitio 12 Soiet a, r deux réels tels que r > 0 et soit f : [a, a + r [ R ue foctio. O dit que f est dérivable à droite e a si la foctio g : ] a, a + r [ R défiie par : g(x) = f(x) f(a) x a admet ue limite à droite réelle au poit a. Cette limite se ote alors f d (a) et est appelée la dérivée à droite de f e a. O défiit de même la dérivée à gauche, et ue foctio f défiie au voisiage de a est doc dérivable e a si et seulemet si elle est dérivable à droite et à gauche e a et f d (a) = f g(a). Exercice 11 Soiet a, r deux réels tels que r > 0 et soit f : [a, a + r [ R ue foctio cotiue qui est dérivable sur ] a, a + r [. O suppose que sa foctio dérivée f admet au poit a ue limite à droite réelle l. Motrer que f est dérivable à droite e a et que f d (a) = l. Exercice 12 Soit f : R R ue foctio dérivable. Les affirmatios suivates sot-elles vraies ou fausses? E doer ue démostratio ou u cotre-exemple. a) Si f admet u miimum local au poit a, alors il existe u réel r > 0 tel que f soit décroissate sur ] a r, a] et croissate sur [a, a + r [. b) Si f admet ue limite fiie e +, alors f ted vers 0 e +. c) Si f admet ue limite fiie l e +, alors o a : lim x + 5 Dérivées d ordre supérieur f(x) x = l. Soit I u itervalle ouvert de R et soit f : I R ue applicatio. Défiitio 13 O dit que f est cotiûmet dérivable (ou de classe C 1 ) si elle est dérivable et si la foctio f est cotiue. O dit que f est deux fois dérivable si f est dérivable et si la foctio f est dérivable : sa dérivée otée f ou ecore f (2) est alors appelée la dérivée secode de f. Plus gééralemet, les dérivées successives sot défiies de maière récursive e posat f (0) = f : Défiitio 14 Pour tout etier 1, o dit que f est fois dérivable si f est 1 fois dérivable et si la foctio f ( 1) est dérivable : sa dérivée f () = f ( 1) est alors appelée la dérivée -ième de f. O dit que f est de classe C si elle est fois dérivable et si la foctio f () est cotiue. Nous avos supposé coues les règles de calcul sur les limites, les foctios cotiues et les foctios dérivables (qu il est commode d appeler théorèmes gééraux das ue copie). Rappelos cepedat : Propositio 4 Formule de Leibiz. Soit u etier aturel. Si les foctios f, g : I R sot fois dérivables, alors la foctio f g est fois dérivable et o a : ( ) () ( ) f g = f (k) g ( k). k k=0 6 Exercices complémetaires Exercice 13 Soit f : R R la foctio défiie par : f(x) = x si x Q et f(x) = 1/x si x R \ Q. a) Motrer que f est bijective. b) Motrer que f est cotiue e 1 et e 1. c) Soit a R \ { 1, 1} : motrer que f est pas cotiue e a. 5
Exercice 14 Soit I R u itervalle et soiet f, g : I R deux foctios cotiues. Motrer que les foctios mi(f, g) et max(f, g) sot cotiues. Exercice 15 Soit f : R R ue foctio cotiue vérifiat : f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous x, y R. a) Motrer qu o a : f() = f(1) pour tout N. b) Motrer qu o a : f(p) = p f(1) pour tout p Z. c) Motrer qu o a : f(r) = r f(1) pour tout r Q. d) Motrer qu o a : f(x) = x f(1) pour tout x R. E coclure que f est liéaire. Exercice 16 Soit f : R + R ue foctio cotiue telle qu il existe u réel l < 1 vérifiat : f(x) lim x + x = l. Motrer qu il existe u réel x R + tel que : f(x) = x. Exercice 17 Soit f : [0, 1] R ue foctio cotiue vérifiat f(0) = f(1) et soit u [ etier aturel o ul. Motrer qu il existe u réel c 0, 1 1 ] ( tel que : f c + 1 ) = f(c). ( Idicatio : o pourra poser f (x) = f x 1 ) [ f(x) pour tout x 0, 1 1 ] et exprimer f(1) f(0) à l aide de la foctio f. Exercice 18 Soit f : R + R ue foctio cotiue qui est dérivable sur R + et vérifie : lim f(x) = f(0). x + Motrer qu il existe u réel x 0 R + tel que : f (x 0 ) = 0. Exercice 19 Pour tout etier 4, o cosidère la foctio f : R R défiie par : f(x) = x + x 1 + x 2 + x 1. a) Motrer qu il existe u uique réel positif x tel que : f (x ) = 0. b) Motrer que la suite (x ) 4 est croissate et majorée par 1. c) Motrer que (x ) 4 coverge vers l uique racie positive de l équatio x 2 + x 1 = 0. Exercice 20 Soit u etier aturel o ul et soit f : R R ue foctio fois dérivable admettat racies distictes. Motrer que la foctio f () s aule au mois ue fois. 6