Terminale S.T.I. 1 / 12 I. INTRODUCTION 1. Buts de la résistance des matériaux La résistance des matériaux a trois objectifs principaux : la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (comportement sous l effet d une action mécanique) l'étude de la résistance des pièces mécaniques. (résistance ou rupture) l'étude de la déformation des pièces mécaniques. Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation et de résistance requises. II. 2.1 Traction 2.1.1 Définition Une poutre est sollicitée en simple lorsqu'elle est soumise à deux forces égales et directement opposées, appliquées au centre de surface des sections extrêmes et qui tendent à l'allonger. A A B B E R y (S) A A Nx R x G E 1 z
Terminale S.T.I. 2 / 12 Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par : { T ( E2 E1) } coh 2.1.2 Contraintes = G Nx ( x, y, z ) avec Nx > Soit (E1) le morceau de la poutre (E) issu de sa coupure par un plan orthogonal à sa ligne moyenne. A A Le morceau (E1) est en équilibre sous l'action de A et des efforts de cohésion dans la section droite (S). Soit «S» l'aire de la section droite (S). On définit la force de cohésion en projection sur x appelée contrainte normale (SIGMA NOMINAL) dans la section droite (S) par la relation : = Nx S avec : contrainte normale NOMINALE d'extension ( > ) en MPa. Nx : effort normal d'extension en Newton. S : aire de la section droite (S) en mm 2. Dans chaque section droite, il apparaît un champ de contrainte normale dont la répartition est UNIFORME sur toute la section de coupure. (même valeur de en tout point de la section de coupure).
Terminale S.T.I. 3 / 12 En R.D.M. on recherche toujours la valeur de la contrainte maxi à laquelle doit résister le matériau Dans le cas de la ou de la compression, la valeur de est la même en tout point d une même section. Mais d une section à l autre, peut changer. En effet en regardant la relation = Nx S Nous pouvons remarquer que dépend de : «Nx», souvent constant tout au long de la poutre. «S», la section peut varier le long de la poutre. o sera maxi à dans la section de coupure ou «Nx» est maxi et ou «S» est mini. Exemple : Soit une poutre «E» soumis à deux forces A(1 E) directement opposée de direction (A,B) On donne A = B = 1N et B(2 E) égales et A(1 E) B(2 E) 1 Une étude de l équilibre de E1 montre que { Tcoh( E2 E1) } = G Sur toute la longueur de la poutre. R
Terminale S.T.I. 4 / 12 Or la section «S2» est plus petite que «S1» La contrainte normale sera donc plus importante dans «S2» Vérification : Calcul de dans «S1» = Nx S1 = 1 =12.43 Mpa π.32 2 4 Calcul de dans «S2» = Nx S2 = 1 =49.73 Mpa π.16 2 4 2.1.3 Concentration de contraintes Lorsque les poutres étudiées présentent de brusques variations de sections (trous, gorges, épaulements...), les formules précédentes ( = Nx / S) ne sont plus applicables. Au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes n'est plus uniforme (ou constante) et présente un minimum et un maximum. Le maximum est atteint pour les points situés à proximité des variations. On dit qu'il y a concentration de contraintes en ces points. La valeur est : K t, est appelé le coefficient de concentration de contrainte. K t dépend de la forme de la section et du type de la variation. La valeur de K t est déterminée à l aide d abaques. (Voir annexes fig. 16 à 21)
Terminale S.T.I. 5 / 12 Exemple : Déterminons maxi près de l'épaulement, au niveau de la section S, pour la pièce proposée. 2.1.4 Caractéristiques mécaniques d'un matériau Résistance limite élastique en extension e C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique, appelée aussi limite d'élasticité Re. Pour l'acier, cette valeur est voisine de 3 MPa. Résistance limite de rupture en extension r C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette, appelée aussi nommée résistance à la R. Pour l'acier, cette valeur est voisine de 48 MPa.
Terminale S.T.I. 6 / 12 2.1.5 Coefficient de sécurité. Pour être certain qu une pièce mécanique résiste parfaitement aux actions mécaniques auxquelles elle doit faire face durant toute sa durée de vie, il faut connaître parfaitement les conditions de fonctionnement du mécanisme auxquels elle appartient. Or une surcharge accidentelle est toujours possible. Exemple : Un moteur peut faire un sur régime lors d un changement de vitesse raté. Le câble qui soulève un ascenseur peut subir une surcharge accidentelle si la masse des personnes à transporter dépassent la valeur inscrite dans la cabine. Pour palier à ces incertitudes, on adopte un coefficient de sécurité noté «s». Ce coefficient sert à calculer une «limite élastique virtuelle» Cette limite est appelée RESISTANCE PRATIQUE A L EXTESION et notée p. p est donné par la relation suivante = p e s p :Résistance pratique à l extension en Mpa e :Résistance élastique du matériau en Mpa S : Coef. De sécurité (sans unité). La valeur du coefficient de sécurité dépend du domaine d application du mécanisme auxquelles appartient la pièce. Exemple : Mécanique courante : S est compris entre 3 et 6 Aérospatial, formule 1, compétition : S est compris entre 1.2 et 2.5 Génie civil (ponts, viaduc immeubles etc..) S est compris entre 1 et 2
Terminale S.T.I. 7 / 12 2.1.6 Condition de résistance Pour vérifier si la pièce étudiée qui soumise à des forces de ou de compression est compatible avec le matériau prévu (qui résiste dans le domaine élastique), il faut comparer deux valeurs : max i qui dépend des forces, des dimensions de la pièce et de sa forme p qui dépend de la résistance élastique e et du coef. De sécurité. Pour que la pièce résiste face aux sollicitations de ou de compression il faut vérifier la condition de résistance suivante. max i p Avec = p e s max i p e r
Terminale S.T.I. 8 / 12 III) DEFORMATION D UNE POUTRE SOLLICITEE A LA TRACTION. 1. Déformation longitudinale. DOMAINE D ETUDE : Dans la zone de déformation élastique. a. RELATION ENTRE L EFFORT ET L ALLONGEMENT D UNE EPROUVETTE DE TRACTION. Avant d exercer un effort de, l éprouvette a une longueur initiale «L» Si on lui applique deux efforts F égaux et opposés, sa longueur est plus importante, elle a pour valeur «L». L allongement est : = L L Dans le domaine élastique, le graphe expérimental donnant l allongement de l éprouvette en fonction de l effort de F = f() est le suivant : L allongement est proportionnel à l effort de. F= K.
Terminale S.T.I. 9 / 12 b) RELATION ENTRE LA CONTRAINTE NORMALE ET L ALLONGEMENT D UNE POUTRE UNITAIRE. Isolons une poutre unitaire de forme cubique noyée au sein de l éprouvette précédente. Ses dimensions initiales (avant déformation) sont de 1mm de coté. 1mm Poutre unitaire de 1mm2 de section et de 1mm de long. ETAT REPOS SOUS UNE CHARGE F - εx Lorsque l éprouvette de longueur «L» s allonge d une valeur sous l action de deux efforts «F» égaux et opposés, la poutre unitaire quant à elle s allonge d une valeur εx sous l action de deux contraintes égales et opposées. Dans le domaine élastique, le graphe donnant l allongement de la poutre unitaire en fonction de la contrainte normale =f (εx) est le suivant : (N/mm2 ) Il y a proportionnalité entre la contrainte et l allongement Unitaire. εx
Module de Young. Terminale S.T.I. 1 / 12 Le coefficient de proportionnalité entre et εx est noté «E» «E» s appel : MODULE D ELASTICITE LONGITUDINAL. ou : MODULE DE YOUNG. Ce module est une constante pour chaque famille de matériaux. Exemple : E aciers = 21MPa E alu = 7MPa E cuivre = 12MPa Loi de Hooke. La loi de proportionnalité entre la contrainte et l allongement unitaire εx est appelée LOI DE HOOKE. MPa MPa mm/mm ou sans unité mm Elle s écrit : = E. εx avec ε x = L mm Ou «E» est appelé MODULE D ELASTICITE LONGITUDINALE ( ou encore MODULE DE YOUNG).
Terminale S.T.I. 11 / 12 c) RELATION EFFORT DEFORMATION LONGITUDINALE D UNE POUTRE DROITE. Ceci est valable en comme en compression. Rappel : En, l effort normal Nx > En compression, l effort normal Nx < Reprenons la loi de HOOKE = E. εx Nous avons vu dans le cour précédent que la contrainte était donnée par la relation suivante : Et comme : Alors : Nx = S εx = L Nx = E. S L La relation donnant la déformation longitudinale d une poutre est la suivante : Avec : : Allongement de la poutre en «mm» Nx : Effort normal de sur la poutre en «N» L : Longueur initiale de la poutre en «mm» S : Section initiale de la poutre en «mm2» E : Module de Young en «Mpa» = Nx. L S. E La longueur «L» de la poutre après déformation est : En : L = L + En compression : L = L
Terminale S.T.I. 12 / 12 2. Déformation transversale. L allongement de la poutre provoque une con transversale de cette dernière (C est à dire une diminution des dimensions extérieures de chaque section droite). ETAT REPOS 1mm d 1mm εx SOUS UNE CHARGE F - d-δd 1 - εy Pour la poutre. Soit «d» la dimension transversale initiale de la de la poutre. Sous un effort de «F» elle s allonge d une valeur. Ce phénomène s accompagne d une diminution de «do». Cette «con» de «d» est noté «Δd». Pour la poutre élémentaire L allongement d une valeur «εx» de la poutre élémentaire s accompagne d une diminution de sa dimension transversale d une valeur notée «εy» appelée con transversale unitaire. «εy» est donnée par la relation : Relation entre «εx» et «εy». ε y = Δd d Le coefficient de POISSON noté ν permet de lier ces deux valeurs par la relation suivante : εy = ν. εx Pour les matériaux isotropes (mêmes résistance dans toutes les directions) ν =.3 Relation générale donnant la con d une poutre. Δ d = ν. d. Lo