ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

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Tble des Mtières 1 Rppels.................................... 9 1.1 Nombres réels............................... 9 1.1.1 Corps commuttif......................... 9 1.1.2 Totlement ordonné....................... 9 1.1.3 Borne inférieure, supérieure................... 10 1.1.4 R est rchimédien......................... 11 1.1.5 Q est dense dns R........................ 11 1.2 Suites................................... 11 1.2.1 Définition de l limite...................... 12 1.2.2 Stbilité des limites........................ 12 1.2.3 Convergence monotone...................... 12 1.2.4 Suites de Cuchy......................... 13 1.2.5 Limites clssiques......................... 14 1.3 Limites de fonctions........................... 15 1.3.1 Intervlles............................. 15 1.3.2 Définition des limites....................... 15 1.3.3 Limites de fonctions et limites de suites............. 16 1.3.4 Stbilité des limites........................ 16 1.3.5 Limite et supremum....................... 17 2 Fonctions continues............................. 19 2.1 Définitions et propriétés élémentires.................. 19 2.2 Propriétés lgébriques.......................... 20 2.3 Propriétés des fonctions continues sur un intervlle compct..... 21 2.3.1 Le théorème de Weierstrss................... 21 2.3.2 Le théorème des vleurs intermédiires............. 22 2.3.3 Continuité uniforme....................... 23 2.3.4 Le théorème de Heine....................... 24 2.3.5 Fonctions en esclier....................... 24 3 Dérivtion.................................. 27 3.1 Définition de l dérivée en un point.................... 27 3.1.1 Dérivée en un point........................ 27 3.1.2 Dérivées à guche, à droite.................... 29

4 Tble des Mtières 3.1.3 Grphe et tngente........................ 29 3.2 Règles de clcul.............................. 30 3.3 Dérivées des fonctions usuelles...................... 31 3.4 Dérivée d une fonction composée.................... 31 4 Théorèmes des ccroissements finis, formules de Tylor...... 33 4.1 Extrem d une fonction.......................... 33 4.2 Théorème de Rolle, théorème des ccroissements finis......... 35 4.2.1 Théorème de Rolle........................ 35 4.2.2 Théorème des ccroissements finis................ 35 4.2.3 Fonctions réciproques des fonctions strictement monotones.. 36 4.2.4 Règle de l Hospitl........................ 38 4.3 Dérivées successives............................ 38 4.4 Formules de Tylor-Lgrnge et de Tylor-Young........... 40 4.4.1 Exemples et remrques...................... 41 4.4.2 L formule de Tylor-Young................... 41 5 Développements limités.......................... 43 5.1 Définition d un développement limité.................. 43 5.2 Développements limités usuels...................... 45 5.2.1 Fonction exponentielle...................... 46 5.2.2 Sinus et cosinus.......................... 46 5.2.3 Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique..... 47 5.2.4 L fonction (1 + x) α....................... 47 5.2.5 L fonction logrithme népérien................. 48 5.2.6 Exemples de d.l. u voisinge de 0............. 48 5.2.7 Développement limité u voisinge de l infini.......... 48 5.3 Opértions sur les développements limités............... 49 5.3.1 Développement limité d une combinison linéire de f et g.. 49 5.3.2 Développement limité du produit de f et g........... 49 5.3.3 Développement limité de l composée de f et g........ 50 5.3.4 Développement limité du quotient de f pr g......... 50 5.3.5 Division d un polynôme pr un utre suivnt les puissnces croissntes............................. 50 5.4 Exemples d utilistion des développements limités........... 51 6 Fonctions convexes............................. 53 6.1 Fonctions convexes............................ 53 6.2 Crctéristions des fonctions convexes................. 54 7 Intégrtion.................................. 57 7.1 Intégrle des fonctions en esclier.................... 57 7.2 Intégrle des fonctions continues..................... 58 7.3 Intégrle des fonctions continues pr morceux............. 61 7.4 Le théorème fondmentl du clcul intégrl............... 61 7.5 Primitives et intégrles.......................... 62

Tble des Mtières 5 7.5.1 Primitives d une fonction continue................ 62 7.5.2 Primitives usuelles........................ 63 7.5.3 Primitives d un développement limité.............. 64 7.6 Intégrtion pr prties.......................... 64 7.7 Chngement de vrible......................... 65 7.7.1 Résultts générux........................ 65 7.7.2 Trinômes du second degré.................... 66 7.8 Intégrtion des frctions rtionnelles.................. 67 7.8.1 Fctoristion complexe d un polynôme............. 67 7.8.2 Fctoristion réelle d un polynôme............... 68 7.8.3 Frctions rtionnelles....................... 69 7.8.4 Décomposition en éléments simples de première espèce.... 70 7.8.5 Décomposition en éléments simples de deuxième espèce.... 70 7.8.6 Intégrtion des frctions rtionnelles.............. 71 7.9 Quelques chngements de vrible clssiques.............. 71 7.9.1 Fonctions de l forme F(cosx, sin x)............... 72 7.9.2 Fonctions de l forme F(coshx, sinh x)............. 72 ( 7.9.3 Fonctions de l forme F ) 1/n ) x, ( x+b............. 72 cx+d 7.9.4 Fonctions de l forme F ( x, x 2 + bx + c )........... 72 8 Equtions différentielles linéires du premier ordre......... 73 8.1 Équtions différentielles linéires homogènes d ordre 1......... 73 8.2 Problème de Cuchy pour les équtions différentielles homogènes... 75 8.3 Équtions différentielles linéires non homogènes d ordre 1...... 75 8.4 Méthode de l vrition de l constnte................. 77 8.5 Rccord de deux solutions......................... 78 8.5.1 Un exemple élémentire..................... 78 8.5.2 Un deuxième exemple...................... 79 8.6 Applictions des équtions différentielles................. 80 9 Courbes plnes prmétrées....................... 81 9.1 Arcs de courbes prmétrés....................... 81 9.2 Dérivées, développements limités.................... 82 9.3 Tngente à un rc de courbe prmétré................. 83 9.3.1 Droites du pln.......................... 83 9.3.2 Tngente en un point d un rc de courbe prmétré...... 83 9.3.3 Tngente en un point sttionnire................ 84 9.4 Position de l courbe pr rpport à s tngente............ 85 9.5 Brnches infinies............................. 88 9.6 Exemple d étude d un rc prmétré.................. 89 Index....................................... 95

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Avnt-Propos L rédction de ce polycopié bénéficié de versions préliminires, d une prt le polycopié Suites Numériques de Jen-Pierre Dedieu et Jen-Clude Ykoubsohn qui servi de bse pour l rédction du chpitre 1 et d utre prt un cours polycopié de Solenn Autret correspondnt à cet enseignement. Nous remercions tout prticulièrement Solenn Autret qui nous fourni les fichiers des figures utilisées ici.

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1. Rppels 1.1 Nombres réels Définition 1.1 Le corps des nombres réels, que l on note R, est défini xiomtiquement de l fçon suivnte : c est un corps commuttif, totlement ordonné, qui vérifie l xiome de l borne supérieure. Dns les lignes qui suivent nous llons préciser ces termes. 1.1.1 Corps commuttif Définition 1.2 Un corps commuttif K est un ensemble équipé de deux opértions notées + et qui vérifient : (K, +) groupe commuttif + b = b + + (b + c) = ( + b) + c + 0 = 0 + = + ( ) = ( ) + = 0 (K, ) groupe commuttif b = b (bc) = (b)c 1 = 1 = 1 = 1 = 1, ( 0) (b + c) = b + c 1.1.2 Totlement ordonné Définition 1.3 Un corps (K, ) est totlement ordonné lorsque, pour tout, b, c K, l reltion vérifie :, b et b = b b et b c c b ou b réflexivité ntisymétrie trnsitivité ordre totl et lorsqu elle est comptible vec l ddition et l multipliction : b + c b + c b et c 0 c bc.

10 Rppels 1.1.3 Borne inférieure, supérieure Définition 1.4 Soit A une prtie de R et soit R. On dit que est un mjornt de A si pour tout x A on x, est un minornt de A si pour tout x A on x, A est mjoré s il un mjornt, A est minoré s il un minornt, A est borné s il est mjoré et minoré. Exemple 1.1 L intervlle ]0, 1] est borné : 2 est un minornt, 2 est un mjornt. Proposition 1.1 Lorsque A est mjoré et non-vide, l ensemble des mjornts de A est un intervlle illimité à droite : si est un mjornt de A et si b lors b est un mjornt de A. Axiome de l borne supérieure. Soit A R mjoré et non-vide. L ensemble des mjornts de A est du type [M, + [. On ppelle M l borne supérieure de A. On l note M = supa. Proposition 1.2 Lorsque A est minoré et non-vide, l ensemble des minornts de A est du type ],m]. On ppelle m l borne inférieure de A. On l note m = inf A. Définition 1.5 Si l borne supérieure M (resp. inférieure m) de A est un élément de A on l ppelle le mximum 1 ou le plus grnd élément de A (resp. le minimum ou le plus petit élément de A). On note lors M = mxa (resp. m = min A). Exemple 1.2 L ensemble des mjornts de ]0, 1[ est l intervlle [1, + [. Ainsi, sup ]0, 1[= 1 et mx ]0, 1[ n existe ps. L ensemble des mjornts de ]0, 1] est l intervlle [1, + [ mis cette fois-ci mx ]0, 1] = 1. Une crctéristion de l borne supérieure est donnée pr l proposition suivnte : Proposition 1.3 Soit A une prtie mjorée et non vide de R. Il y équivlence entre 1. M = sup A, 2. M est le plus petit des mjornts de A, 3. M est un mjornt de A et, pour tout ǫ > 0, il existe x A tel que M ǫ < x. On une proposition similire pour l borne inférieure : 1 Au féminin de l djectif le dictionnire de l Acdémie donne mxim et l lngue technique utilise tntôt mximum (vitesse mximum), tntôt mxim (tempérture mxim). Pluriel cournt des mximums, comme des lbums ou des pensums, le pluriel ltin mxim étnt réservé à l lngue scientifique. Les mthémticiens disent u pluriel des mxim, mis les grmmiriens demndent qu on trite le mot comme frnçis et qu on dise des mximums.

1.2 Suites 11 Proposition 1.4 Soit A une prtie minorée et non vide de R. Il y équivlence entre 1. m = inf A 2. m est le plus grnd des minornts de A, 3. m est un minornt de A et, pour tout ǫ > 0, il existe x A tel que x < m + ǫ. Définition 1.6 Soit f : E R où E est un ensemble quelconque. On note et idem pour min, sup et mx. inf f(x) = inf {f(x) x E} x E 1.1.4 R est rchimédien Théorème 1.1 R est rchimédien, c est à dire que, pour tout x R, il existe un entier n N tel que x < n. Démonstrtion. Si x 0 on prend n = 1. Supposons que x > 0. L ensemble A = {k N : k x} est mjoré pr x et contient 0. Nous pouvons donc considérer s borne supérieure M = sup A. Prenons ǫ = 1/2. D près l proposition 1.3 il existe k A tel que M 1/2 < k M de sorte que M < M +1/2 < k +1 et que k +1 / A (sns quoi M ne serit ps le supremum de A). Ainsi, k+1 > x et on prend n = k+1. 1.1.5 Q est dense dns R Proposition 1.5 Entre deux réels il y toujours un rtionnel : pour tout x et y R vec x < y, il existe un rtionnel p/q tel que x < p/q < y. On dit que Q est dense dns R. Démonstrtion. Pr le théorème 1.1, il existe un entier q > 0 tel que 1/(y x) < q insi qu un entier n > 0 tel que qx < n. L ensemble A = {n N : qx < n} est minoré pr 1 et non vide. Admettons que tout ensemble non vide d entiers, ici A N, possède un minimum. Notons p = min A. On donc p 1 qx < p de sorte que qx < p qx + 1 et x < p/q x + 1/q < y pr l première inéglité. 1.2 Suites Définition 1.7 Une suite numérique est une ppliction u : N R. On dit que v est une sous-suite d une suite u lorsque v = u k où k : N N est une ppliction strictement croissnte. Une suite u se note trditionnellement u = (u n ) n 0 (ou, plus simplement, (u n )) et une sous-suite v = u k = (u kn ) n 0.

12 Rppels 1.2.1 Définition de l limite Définition 1.8 On dit que l suite u = (u n ) n 0 dmet une limite l qund n tend vers l infini si pour tout ǫ > 0, il existe un entier n 0 0 tel que pour tout n n 0 on u n l ǫ. On dit ussi que l suite u converge vers l ou encore que l suite u est convergente et on note lim n + u n = l Définition 1.9 On dit que l suite u = (u n ) n 0 pour limite (resp. ) qund n tend vers l infini si pour tout M > 0, il existe un entier n 0 0 tel que pour tout n n 0 on u n M (resp. u n M). On note lim u n = ( resp. lim u n = ). n + n + Théorème 1.2 L limite d une suite est unique. 1.2.2 Stbilité des limites Proposition 1.6 Soient u = (u n ) n 0 et v = (v n ) n 0 deux suites ynt pour limites respectives l et m (finies ou infinies). Alors, pour utnt que les opértions envisgées soient définies, 1. L suite u + v pour limite l + m, 2. L suite uv pour limite lm, 3. Sous l condition u n 0 pour tout n et l 0, l suite 1/u pour limite 1/l, 4. L suite λu pour limite λl, 5. L suite u pour limite l. Noter que les formes suivntes sont indéterminées : +( ), 0, 1/0, /. Proposition 1.7 Soient u = (u n ) n 0 et v = (v n ) n 0 deux suites ynt pour limites respectives l et m (finies ou infinies). Si u n v n pour tout n 0 lors l m Attention! u n < v n pour tout n 0 n implique ps l < m! 1.2.3 Convergence monotone Définition 1.10 Une suite u est croissnte lorsque u n u n+1 pour tout n 0, décroissnte si u n u n+1 pour tout n 0. Une suite est mjorée (resp. minorée) lorsqu il existe A tel que u n A (resp. u n A) pour tout n 0. Une suite est bornée lorsqu elle est mjorée et minorée.

1.2 Suites 13 Théorème 1.3 Lorsqu une suite u est croissnte (resp. décroissnte) et mjorée (resp. minorée) elle converge vers l = sup {u n : n 0} (resp. l = inf {u n : n 0}). Lorsqu une suite u est croissnte (resp. décroissnte) et n est ps mjorée (resp. minorée) s limite est (resp. ). Définition 1.11 Deux suites u et v sont djcentes lorsque u est croissnte et v est décroissnte, lim n v n u n = 0 Proposition 1.8 Deux suites djcentes convergent vers l même limite l R. De plus u n l v n pour tout n 0. Théorème 1.4 (Bolzno - Weierstrss) Toute suite bornée possède une sous-suite convergente. 1.2.4 Suites de Cuchy Définition 1.12 Une suite u est de Cuchy si ( ǫ > 0) ( N N) ( n N) ( m N) u n u m ǫ. Remrque 1.1 Il revient u même de dire que ( ǫ > 0) ( N N) ( n N) ( p 0) u n u n+p ǫ. Cel revient à supposer que m n et à prendre m = n + p dns l définition précédente. Théorème 1.5 Une suite est convergente si et seulement si elle est de Cuchy. Démonstrtion. Soit u une suite de Cuchy. Notons N(ǫ) un entier tel que Cette suite est bornée. En effet, pour tout n N(1) 1 et ( n N) ( m N) u n u m ǫ. u n mx { u k, 0 k N(1) 1} u n u m 1 pour tout n et m N(1). On en déduit que u n u n u N(1) + u N(1) u n u N(1) + u N(1) 1 + u N(1)

14 Rppels pour tout n N(1). Ainsi, pour tout n N, on toujours u n mx { u 0,..., u N(1) 1, 1 + u N(1) }. En vertu du théorème de Bolzno-Weirstrss, il existe une sous-suite de u qui est convergente : il existe une suite strictement croissnte d entiers k = (k n ) telle que lim n u kn = l utrement dit, pour tout ǫ > 0, il existe un entier M(ǫ) tel que, pour tout k n M(ǫ) on u kn l ǫ. Montrons que u pour limite l. Donnons nous ǫ > 0 insi qu un terme de l soussuite u kp vec k p M(ǫ/2) et k p N(ǫ/2). Un tel entier existe puisque limk n =. Pour tout n N(ǫ/2) on u n l = (u n u kp ) + (u kp l) u n u kp + u kp l ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ et le théorème est prouvé. Exemple 1.3 Soit b un entier b 2. Pour tout n 1 on se donne un entier x n {1 b,..., 1, 0, 1,...,b 1}. L suite s n = n k=1 x k b k est convergente. 1.2.5 Limites clssiques 1. lim n + n, Z () Si = 0 lors l suite est constnte : n 0 = 1. (b) Si 1 lors n n et lim n = +. (c) Si 1 lors n = 1/n lors limn = 0. P(n) 2. lim, P et Q sont des polynômes n + Q(n) Supposons que vec d 0 et que P(x) = 0 + 1 x +... d x d Q(x) = b 0 + b 1 x +...b e x e vec b e 0. P(n) () Si d < e lors lim n + Q(n) = 0, P(n) (b) Si e < d lors lim n + Q(n) = ±, le signe étnt celui de d/b e,

1.3 Limites de fonctions 15 P(n) (c) Si d = e lors lim n + Q(n) = d. b d 3. lim n + rn, r R () Si r 1 cette suite n ps de limite. (b) Si r > 1 lors limr n = +. (c) Si 1 < r < 1 lors limr n = 0. 4. lim n + 1/n = 1, > 0 n 5. lim = +, > 1 et p N n + np 6. lim n + n n p = 0, > 1 et p N n 7. lim n + n! = 0. 1.3 Limites de fonctions 1.3.1 Intervlles On ppelle intervlle un ensemble du type ],b[, ],b], [,b[, [,b] vec < b < ou bien ],b[, ],b], ], [, [, [, ], [. Noter que =], [ et R =], [ sont des intervlles. Un intervlle est ouvert s il est du type ],b[, ],b[, ], [ ou ], [, Un intervlle est fermé s il est du type, [,b], ],b], [, [ ou ], [, Un intervlle est borné s il est du type ],b[, ],b], [,b[, [,b], Un intervlle est compct s il est fermé et borné donc du type [,b]. 1.3.2 Définition des limites Définition 1.13 (Limites finies) Soient f :], b[ R, c [, b] et l R. 1. (Limite) lim x c f(x) = l lorsque : pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec x c η et x c, on f(x) l ε. 2. (Limite à guche) lim x c,x<c f(x) = l lorsque : pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec c η x < c, on f(x) l ε. 3. (Limite à droite) lim x c,x>c f(x) = l lorsque : pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec c < x c + η, on f(x) l ε. 4. (Limite à l infini) Lorsque f :], [ R on dit que lim x f(x) = l lorsque : pour tout ε > 0, il existe M > tel que, pour tout x M, on f(x) l ε.

16 Rppels Définition 1.14 (Limites infinies) Soient f :], b[ R et c [, b]. 1. lim x c f(x) = lorsque : pour tout N > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec x c η et x c, on f(x) N. 2. (Limite à guche) lim x c,x<c f(x) = lorsque : pour tout N > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec c η x < c, on f(x) N. 3. (Limite à droite) lim x c,x>c f(x) = lorsque : pour tout N > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec c < x c + η, on f(x) N. 4. (Limite à l infini) Lorsque f :], [ R on dit que lim x f(x) = lorsque : pour tout N > 0, il existe M > tel que pour tout x M on it f(x) N. Proposition 1.9 (Unicité) L limite est unique. Proposition 1.10 L limite en un point existe si et seulement si les limites à droite et à guche existent en ce point et sont égles. 1.3.3 Limites de fonctions et limites de suites Théorème 1.6 Soient f : I R, c I et l R = R {, }. On lim x c f(x) = l si et seulement si lim n f(u n ) = l pour toute suite (u n ) telle que u n I et u n c pour tout n 0 et lim n u n = c. 1.3.4 Stbilité des limites Proposition 1.11 (Opértions lgébriques) Soient f, g : I R deux fonctions ynt pour limites respectives l et m (finies ou infinies) lorsque x c (c est dns I ou bien c est l une des bornes, éventuellement infinie, de I). Alors, pour utnt que les opértions envisgées soient licites, 1. lim x c f(x) + g(x) = l + m, 2. lim x c f(x)g(x) = lm, 3. Sous l condition f(x) 0 pour tout x I et l 0, lim x c 1/f(x) = 1/l, 4. lim x c λf(x) = λl. Proposition 1.12 (Composition des pplictions) Soient I et J deux intervlles et c I. Soit f : I J et supposons que que lim x c f(x) = l J. Soit g : J R tel que lim y l g(y) = m. Alors, on lim x c g f(x) = m. Proposition 1.13 (Inéglités) Soient f, g : I R deux fonctions ynt pour limites respectives l et m (finies ou infinies) lorsque x c (c est dns I ou bien c est l une des bornes, éventuellement infinie, de I). Si f(x) g(x) pour tout x I lors l m. Attention! f(x) < g(x) pour tout x I n implique ps l < m!

1.3 Limites de fonctions 17 1.3.5 Limite et supremum Proposition 1.14 Soient f : I R une fonction croissnte (pour tout x,y I, si x y lors f(x) f(y)). Notons b = supi si I est mjoré et b = sinon. Sous cette hypothèse, si f est mjorée sur I lim x b f(x) = supf(x) x I et sinon lim f(x) =. x b

18 Rppels

2. Fonctions continues Dns tout ce chpitre I désigne un intervlle. L définition de l continuité présentée ici est essentiellement due à Cuchy. Augustin Louis Cuchy, 1789-1857. 2.1 Définitions et propriétés élémentires Définition 2.1 Soit f : I R. f est continue à droite en c I lorsque f est continue à guche en c I lorsque lim f(x) = f(c). x c,x>c lim f(x) = f(c). x c,x<c f est continue en c I si et seulement si lim x c f(x) = f(c). f est continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point de I. On écrit ussi lim x c + f(x) et lim x c f(x) pour les limites à droite et à guche. Remrque 2.1 A l ide des quntificteurs, l définition de l continuité en c I se trduit insi : ( ε > 0) ( η > 0) ( x I) ( x c η f(x) f(c) ε). Le nombre η dépend à l fois de ε et de c ; on le note donc η = η(ε,c). f est discontinue en c lorsque ( ε > 0) ( η > 0) ( x I) ( x c η et f(x) f(c) > ε). Exemple 2.1 (Exemples de fonctions continues) 1. Les fonctions constntes (f(x) = ), 2. L fonction identité (f(x) = x), 3. L vleur bsolue (f(x) = x ), 4. Toute fonction lipschitzienne (f : I R est lipschitzienne s il existe λ > 0 tel que, pour tout x,y I, on it f(x) f(y) λ x y ).

20 Fonctions continues 5. Les polynômes, les frctions rtionnelles (suf ux pôles), 6. Les fonctions trigonométriques sin et cos, 7. Les fonctions puissnce (f(x) = x, x > 0), exponentielle (f(x) = α x, α > 0), logrithme. Proposition 2.1 Soient f : I R et c I. f est continue en c I si et seulement si f est continue à guche et à droite de c. Proposition 2.2 Soient f : I R et c I. f est continue en c si et seulement si pour toute suite (u n ) telle que u n I et lim u n = c on lim f(u n ) = f(c). Démonstrtion. Si f est continue en c lors pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que f(x) f(c) ε pour tout x I tel que x c η. Prenons une suite (u n ) dns I qui converge vers c et montrons que l suite (f(u n )) converge vers f(c). Soit ε > 0, soit η > 0 comme ci-dessus. Puisque l suite (u n ) converge vers c il existe N N tel que u n c η pour tout n N. Pr continuité de f on f(u n ) f(c) ε pour tout n N. Si f n est ps continue en c, il existe ε > 0 tel que, pour tout η > 0, il existe x η I vérifint x η c η et f(x η ) f(c) > ε. On construit une suite u n c en prennt u n = x η vec η = 1/n. Comme f(u n ) f(c) > ε pour tout n l suite (f(u n )) ne converge ps vers f(c). Exemple 2.2 (Exemples de fonctions discontinues) 1. L fonction f(x) = 1/x si x 0 et f(0) = 0 est discontinue en 0, 2. L fonction prtie entière (f(x) = E(x), encore notée x ) est discontinue en tout point entier, 3. L fonction définie pr f(x) = 0 si x R \ Q et f(x) = 1/q si x Q vec x = p/q, p Z, q N \ {0}, p et q premiers entre eux, est continue en tout point irrtionnel et discontinue en tout point rtionnel. Proposition 2.3 (Prolongement pr continuité) Soit f : I R R une fonction continue sur I =],b[. Supposons que lim x b f(x) = l R. Alors, l ppliction f définie pr f(x) = f(x) si x < b et f(b) = l est continue. On l ppelle le prolongement pr continuité de f à ],b]. Exemple 2.3 Puisque lim x 0 sin x/x = 1 on peut prolonger pr continuité l fonction sinx/x à R tout entier en lui donnnt l vleur 1 à l origine. 2.2 Propriétés lgébriques Proposition 2.4 L continuité est stble pr les opértions élémentires : si f et g sont continues en c I lors f + g, λ f (λ R), f g, f/g (si g(x) 0 pour tout x I) et mx(f,g) sont continues en c.

2.3 Propriétés des fonctions continues sur un intervlle compct 21 Démonstrtion. Pour l somme : notons η(c,f,ε) > 0 et η(c,g,ε) > 0 les nombres ssociés à f et g de l remrque 2.1. Soit ε > 0 et soit η = min(η(c,f,ε/2), η(c,g,ε/2)). Pour tout x I tel que x c η on x c η(c,f,ε/2) de sorte que f(x) f(c) ε/2. De l même mnière g(x) g(c) ε/2. Pr l inéglité du tringle on : (f(x) + g(x)) (f(c) + g(c)) f(x) f(c) + g(x) g(c) ε 2 + ε 2 = ε. Pour le mx : une première réduction consiste à écrire que mx(f(x),g(x)) = g(x) + mx(f(x) g(x), 0). Il suffit donc de prouver que si f est continue en c lors mx(f(x), 0) est continue en c. Pour ce fire on envisge trois cs : 1. f(c) > 0. L définition de l continuité vec ε = f(c)/2 prouve l existence d un η > 0 tel que f(c) f(x) f(c) f(c) 2 2 de sorte que f(x) f(c)/2 > 0 pour tout x I, x c η. Sur l ensemble I [c η,c + η] l fonction f est > 0 et donc mx(f(x), 0) = f(x) qui est continue en c. 2. f(c) < 0. On risonne de l même mnière mis ici mx(f(x), 0) = 0. 3. f(c) = 0. Dns ce cs mx(f(c), 0) = 0 et l on doit prouver que ( ε > 0) ( η > 0) ( x I) ( x c η mx(f(x), 0) ε). Comme mx(f(x), 0) f(x) il suffit de prouver que ( ε > 0) ( η > 0) ( x I) ( x c η f(x) ε) ce qui est donné pr l continuité de f en c. Proposition 2.5 Soient I et J deux intervlles, f : I J, g : J R et c I. Si f est continue en c et g continue en f(c) lors g f est continue en c. Démonstrtion. Soit ε > 0 et soit η > 0 tel que g(y) g(f(c)) ε si y f(c) η. Un tel η existe prce que g est continue en f(c). Soit θ > 0 tel que f(x) f(c) η pour tout x I dès que x c θ. Un tel θ existe prce que f est continue en c. On bien g(f(x)) g(f(c)) ε si x c θ. 2.3 Propriétés des fonctions continues sur un intervlle compct 2.3.1 Le théorème de Weierstrss Krl Theodor Wilhelm Weierstrss, 1815-1897.

22 Fonctions continues Théorème 2.1 Soit f : [,b] R une fonction continue. Alors l ensemble f([,b]) = {f(x) : x [,b]} est borné et il existe x m [,b] et x M [,b] tels que f(x m ) = inf x [,b] f(x) = min x [,b] f(x) et f(x M ) = sup x [,b] f(x) = mx x [,b] f(x). Remrque 2.2 Les hypothèses de ce théorème sont essentielles : Prenons f(x) = x si 0 x < 1, f(1) = 1/2. Alors sup 0 x 1 f(x) = 1 mis ce n est ps un mximum (f est discontinue en 1). L fonction f(x) = 1/x si 0 < x 1 n est ps bornée sur l intervlle considéré. Dns cet exemple f est continue, l intervlle considéré est borné mis n est ps fermé. Considérons f(x) = exp(x) si < x 0. On inf <x 0 exp(x) = 0 mis ce n est ps un minimum. Ici f est continue et l intervlle considéré est fermé mis il n est ps borné. Démonstrtion. Montrons que f est mjorée, risonnons pr l bsurde. Supposons que l ensemble {f(x) : x [,b]} ne soit ps mjoré. Pour tout n N il existe c n [,b] tel que f(c n ) n. L suite (c n ) est bornée. D près le théorème de Bolzno- Weierstrss (théorème 1.4) il existe une sous-suite (c kn ) de (c n ) qui converge vers une limite c. Comme c kn b pr pssge à l limite dns cette inéglité c b et puisque f est continue sur [,b], lim n + f(c kn ) = f(c). D utre prt, pr construction, f(c kn ) k n pr conséquent, f(c) = lim n + f(c kn ) = ce qui est bsurde. Notons M = sup x [,b] f(x). Pr l proposition 1.3, pour tout entier n > 0, il existe c n [,b] tel que M 1 < f(c n n) M. Pr le théorème de Bolzno-Weierstrss (théorème 1.4), il existe une sous-suite (c kn ) de (c n ) qui converge vers une limite x M [,b]. Pr continuité, lim n + f(c kn ) = f(x M ) et pr pssge à l limite dns l inéglité ci-dessus lim n + f(c kn ) = M. Ainsi, f(x M ) = M et le sup est tteint en x M, c est donc un mx! 2.3.2 Le théorème des vleurs intermédiires Ce théorème est du à Bolzno. Bernrd Plcidus Johnn Nepomuk Bolzno, 1781-1848. Théorème 2.2 Soit f : I R une fonction continue définie sur un intervlle I R, borné ou non, fermé ou non. Pour tout,b I et tout nombre y compris entre f() et f(b), il existe c [,b] tel que y = f(c). Démonstrtion. Soit y compris entre f() et f(b). L ensemble {x [,b] : f(x) y} est non vide (si pr exemple f() y f(b) lors est dns l ensemble) et il est

2.3 Propriétés des fonctions continues sur un intervlle compct 23 mjoré pr b. Il dmet donc une borne supérieure c = sup{x [,b] : f(x) y}. Montrons que y = f(c). Pr l proposition 1.3, pour tout entier n > 0, il existe x n [,b] vec f(x n ) y et tel que c 1 n < x n c. L suite (x n ) converge donc vers c. Puisque f(x n ) y et que f est continue, pr pssge à l limite dns cette inéglité on obtient f(c) y. Montrons mintennt que y f(c). Supposons que f() y f(b). Si c = b c est évident. Si c < b, puisque c est l borne supérieure, on y < f(x) pour tout x ]c,b]. En fisnt tendre x vers c et puisque f est continue, on obtient y f(c). Le cs f(b) y f() se trite de l même mnière. Corollire 2.1 1. Si f : [,b] R est continue et si f()f(b) 0 lors il existe c [,b] tel que f(c) = 0. 2. Tout polynôme à coefficients réels et de degré impir possède une rcine réelle. 3. Toute fonction continue g : [,b] [,b] dmet un point fixe : il existe c [,b] tel que g(c) = c. On peut résumer le théorème des vleurs intermédiires et le théorème de Weierstrss en l énoncé suivnt : Corollire 2.2 L imge d un intervlle pr une ppliction continue est un intervlle, l imge d un intervlle compct pr une ppliction continue est un intervlle compct. 2.3.3 Continuité uniforme Définition 2.2 Soit f : I R. On dit que f est uniformément continue sur I lorsque pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que pour tout x,y I tels que x y η on f(x) f(y) ε. Remrque 2.3 L définition «epsilonesque» de l continuité est ( x I) ( ε > 0) ( η(ε,x) > 0) ( y I) ( x y η f(x) f(y) ε) et celle de l continuité uniforme ( ε > 0) ( η(ε) > 0) ( x I) ( y I) ( x y η f(x) f(y) ε). Dns le premier cs η dépend de x et ε, dns le second cs η ne dépend que de ε. Proposition 2.6 Toute fonction uniformément continue est continue. Exemple 2.4 Toute fonction lipschitzienne f : I R est uniformément continue sur I. f(x) = x 2 n est ps uniformément continue sur R. Démonstrtion. Soit λ > 0 tel que f(x) f(y) λ x y pour tout x,y I ; on peut prendre η = ε/λ. Pour obtenir x 2 y 2 ε il fut que x y ε/ x+y. Il fut donc prendre η ε/ x+y pour tout x,y R tels que x+y 0. Héls inf {ε/ x + y : x + y 0} = 0 et un tel η ne surit être > 0.

24 Fonctions continues 2.3.4 Le théorème de Heine Heinrich Edurd Heine 1821-1881. Théorème 2.3 Toute fonction continue sur un intervlle compct est uniformément continue sur cet intervlle. Démonstrtion. Soit f : [,b] R continue. Si f n est ps uniformément continue lors il existe ε > 0 tel que pour tout η > 0 il existe x η et y η [,b] vec x η y η η et f(x η ) f(y η ) > ε. Prenons η = 1/n où n est un entier positif. On obtient insi deux suites (x n ) et (y n ) qui vérifient x n,y n [,b], x n y n 1/n et f(x n ) f(y n ) > ε. En utilisnt le théorème de Bolzno-Weierstrss (théorème 1.4) on peut extrire de ces suites deux sous-suites convergentes (x kn ) et (y kn ). Comme x kn y kn 1/k n elles ont une limite commune l. Comme ε < f(x kn ) f(y kn ) et puisque f est continue on ε lim n f(x kn ) f(y kn ) = f(l) f(l) = 0 ce qui est bsurde. Exemple 2.5 f(x) = x 2 est uniformément continue sur [0,M]. On peut prendre η = inf {ε/ x + y : 0 x,y M} qui est un nombre > 0. Que vut-il? 2.3.5 Fonctions en esclier Définition 2.3 Une fonction g : [,b] R est dite en esclier s il existe une subdivision de l intervlle [,b] : = 0 < 1 <... < n 1 < n = b et des nombres réels c k tels que g(x) = c k pour tout x ] k 1, k [ et 1 k n. Remrque 2.4 Les nombres c k n ont ucun lien vec les vleurs g( k ). Une telle fonction peut donc être discontinue ux points k mis elle possède en tout point une limite à droite et une limite à guche. Théorème 2.4 Toute fonction continue sur un intervlle compct peut être pprochée uniformément sur cet intervlle pr une fonction en esclier. Autrement dit : soit f : [,b] R continue et soit ε > 0. Il existe une fonction en esclier g : [,b] R telle que f(x) g(x) ε pour tout x [,b]. Démonstrtion. Pr le théorème 2.3 f est uniformément continue. Il existe donc η > 0 tel que x y η f(x) f(y) ε. Prenons n = (b )/η et définissons une fonction en esclier pr ( g(x) = f + k b ) [ lorsque x + k b [, + (k + 1)b, 0 k n 1, n n n