MACHINE DE RADIOGRAPHIE EN TROIS DIMENSIONS. 1. PRESENTATION. Dans le traitement des scolioses, la visualisation en trois dimenons du rachis des patients atteints de cette déformation de la colonne vertébrale est un apport important pour l'orthopédiste. L image en trois dimenons du rachis est construite sur station de travail à partir de radiographies conventionnelles fournies par un appareil clasque de prises de vues. Cette reconstruction tridimenonnelle est élaborée à partir de deux clichés du rachis pris pour deux potions du patient. Le patient effectue une rotation de 90 entre ces deux prises de vues. Le dispotif étudié dont une vue générale est donnée ci-dessus permet de : maintenir le patient pendant le cycle de prise de vues. présenter le patient à hauteur de l'appareil de prises de vues. amener le patient au plus prés de l'appareil de prises de vues. faire tourner de 90 (autour d'un axe vertical) le patient sans mouvement de sa part. Pour réaliser ces fonctions, le dispotif est constitué d'une plate-forme réglable en hauteur, d'un plateau tournant, d'un système de déplacement en translation du plateau tournant et d'un dispotif de maintien du patient. Les calculs de l'image tridimenonnelle à partir des clichés nécestent l'existence d'un référentiel de mesurage. Celui-ci est fourni par deux plaques de calibrage entre lesquelles le patient est installé. Ces deux plaques sont réalisées à partir de deux plaques de «Plexiglas» dans lesquelles sont incluses des billes de plomb imperméables aux rayons X. 2. ANALYSE FONCTIONNELLE DE LA MACHINE. Question 1 : Etablir le SADT niveau A-0 de la machine de radiographie en trois dimenons. Question 2 : Proposer un diagramme FAST relatif à la fonction globale en indiquant un seul niveau de décompotion de cette fonction et les moyens techniques associés. 3. ASSERVISSEMENT DU SOUS-ENSEMBLE DE ROTATION. La figure ci-dessous montre la commande du mouvement de rotation du plateau 4 par rapport à l'élévateur 3. L'actionneur est un moteur électrique à courant continu. Il entraîne en rotation l'arbre d'entrée 5 (non représenté) relié à un réducteur de vitesse constitué d'un train planétaire (R1) et d'un engrenage (R2) dont la roue de sortie est encastrée sur l'arbre 4 du plateau. Sciences Industrielles pour l Ingénieur Page 1/7
Une Génératrice tachymétrique peut être montée sur l'extrémité de l'arbre moteur. Les grandeurs phyques en jeu sont les suivantes : Vitesse angulaire de l'arbre moteur 5 / élévateur 3 : ω 53 ( Vitesse angulaire de la roue 4 / élévateur 3 : ω 43 ( Rapport de réduction du réducteur planétaire R1 : r 1 =1/50 Rapport de réduction de l engrenage R2 : r 2 = 1/8 Tenon de commande du moteur : u( Intenté du courant de commande du moteur : i( Réstance totale d'induit : R = 0,2 Ohm Inductance totale d'induit : L = 2.10-3 Henry Force contre-électromotrice (fcem) : e( Coefficient de couple du moteur : K T Coefficient de fcem du moteur : K E comme c'est souvent le cas, K E = K T, noté K : K = 0,5 N.m/A Moment du couple moteur : C m ( Moment du couple réstant équivalent ramené sur l'arbre moteur : C r ( Moment d'inertie équivalent ramené sur l'arbre moteur : J = 10-2 kg.m 2. Sciences Industrielles pour l Ingénieur Page 2/7
3.1. Etude du moteur seul. L i( R u( e( M Cm( J Cr( Les équations qui modélisent le fonctionnement du moteur sont les suivantes : Loi d'ohm dans le circuit d'induit : Equations de l électromagnétisme dans le moteur : Equations de la dynamique de l'arbre moteur : di u ( = e( + R. i( + L. ( dt C m e( = K. ω C m E ( = K T 53 (. i( (2) (3) dω53 ( Cr ( = J. ( dt (1) (4) Question 3 : Ecrire, les conditions initiales étant nulles, les transformées de Laplace des équations (1) à (4) numérotées (1 ) à (4'). La Partie Commande du système élabore la tenon d'entrée u( du moteur qui est transformée en une sortie «en vitesse angulaire» : ω 53 ( Question 4 : Reproduire sur votre copie et compléter alors le schéma bloc suivant. Cr(p) U(p) + - Ι(p) Cm(p) + - Ω 53 (p) E(p) Question 5 : Montrer que la loi d'entrée-sortie du moteur avec perturbation est de la forme : Ω 53 ( p ) = H U U. ( p ) H C.C r (p) où H U et H C sont des fonctions de p que l'on explicitera. Sciences Industrielles pour l Ingénieur Page 3/7
3.2. Etude du moteur non perturbé. Question 6 : En condérant le moteur non perturbé, exprimer la fonction de transfert du moteur. 3.3. Etude du réducteur seul. Question 7 : Déterminer en fonction de r 1 et r 2 la fonction de transfert H R du réducteur de vitesse constitué du train planétaire R1 et de l engrenage de sortie R2. Ω 53 (p) H R (p) Ω 43 (p) 3.4. Etude du système complet non perturbé : moteur et réducteur. L'entrée du système est la tenon de commande u( et la sortie la fréquence de rotation du plateau 4 par rapport à l'élévateur 3 : ω 43 ( Question 8 : Déterminer la fonction de transfert H(p) de l'ensemble moteur et réducteur de vitesse. Question 9 : Exprimer cette fonction de transfert sous forme canonique et préciser les valeurs des paramètres caractéristiques. Faire l application numérique. Question 10 : Déterminer la réponse Ω ( ) à une entrée échelon : u c 0 1 t < 0 43 p ( = u. u(, où u( =, et u0 0 = t 0 100 Volts Question 11 : Déterminer la valeur de convergence de ω 43 ( en régime permanent c'est-à-dire la vitesse atteinte par le moteur en régime permanent. Question 12 : La réponse temporelle ω 43 ( est donnée sur la figure suivante : Déterminer par identification à l aide de cette réponse les valeurs du gain, du coefficient d amortissement et de la pulsation propre de la fonction de transfert H(p). Sciences Industrielles pour l Ingénieur Page 4/7
3.5. Etude du système asservi en vitesse. Le déplacement du sujet sans heurt d'une potion à une autre doit obéir à une loi de vitesse précise choie à l'avance. Il est donc naturel de réaliser un asservissement de vitesse sur ω 43 ( à partir d'une congne de tenon élaborée par la Partie Commande. On assure le réglage de la stabilité, de la précion et de la rapidité par un correcteur. Sa fonction de transfert est notée H cor (p) Le placement de ce correcteur et l'asservissement en vitesse de l'ensemble conduit à concevoir le système comme l'indique le schéma-blocs ci-dessous : on munit l'arbre moteur d'un capteur de vitesse ou génératrice tachymétrique de gain a (a = 0,06 V/rd/s). La congne en tenon élaborée par la Partie Commande est maintenant V(p). 3.5.1. Utilisation d un correcteur proportionnel. Le correcteur utilisé est un correcteur «proportionnel». Sa fonction de transfert est Hcor = Kcor où Kcor est une constante. Question 13 : Mettre le schéma-blocs précédent sous la forme ci-contre. En déduire la fonction de transfert en boucle fermée du système complet Hv(p) en fonction de Kcor. Question 14 : Soit une entrée du système en échelon unitaire (pour C r =O) : v c 0 1 t < 0 ( = v. u(, où u( =, et v 0 0 = t 0 100 Volts Exprimer la valeur de la vitesse angulaire ω 43 ( acquise par le plateau en régime permanent en fonction de Kcor. Question 15 : Exprimer la valeur de l'écart statique ε s ou écart en régime permanent en fonction de Kcor. Sciences Industrielles pour l Ingénieur Page 5/7
Question 16 : La valeur de Kcor étant réglable, a-t-on intérêt à la choir grande ou petite? Justifier votre réponse en fonction des réponses aux deux questions précédentes. Question 17 : La réponse ω 43 ( à l'entrée précédente est représentée ci-dessous pour différentes valeurs de Kcor : réponse indicielle en boucle fermée du système corrigé. Comparer ces réponses à la réponse indicielle du système non corrigé, déterminée à la question 8 et conclure sur les avantages et/ou inconvénients du bouclage (ajout de la Génératrice tachymétrique et du correcteur). Comparer en particulier la vitesse angulaire ω 43 ( acquise par le plateau en régime permanent et l'écart statique ε s. Quel est à votre avis le meilleur réglage de Kcor pour le système étudié? 3.5.2. Utilisation d un correcteur proportionnel - intégral. Le correcteur utilisé est un correcteur «proportionnel - intégral». Sa fonction de transfert est : 40 H cor ( p) = 5. 1 + 0,5. p Question 18 : Exprimer la valeur de l'écart statique ε s ou écart en régime permanent du système équipé de ce nouveau correcteur. Question 19 : En déduire l avantage que procure ce correcteur pour le système. Sciences Industrielles pour l Ingénieur Page 6/7
3.6. Etude du système asservi en vitesse et en potion. La prise d origine de la potion du plateau 4 par rapport à l élévateur 3 est réalisé sur l appareil par un indexage mécanique. Une autre solution conste à rajouter un asservissement «en potion» du mécanisme. Pour cela, l arbre moteur est muni d un codeur donnant sa potion angulaire θ 53 ( par rapport à l élévateur 3. La congne en tenon élaborée par la Partie Commande est maintenant Vθ(p). Question 20 : Proposer en complétant le schéma-blocs ci-dessous une solution pour réaliser l asservissement en potion du système. On notera b la transmittance du codeur. Sciences Industrielles pour l Ingénieur Page 7/7