Activité : Accéléromètre et sismographe La notion de filtrage concerne tout type de système : électrique, mécanique... Les sismomètres, les amortisseurs, les accéléromètres sont des filtres mécaniques. 1. Accéléromètre Le récent essor des appareils grand public utilisant des accéléromètres intégrés (manettes de jeu vidéo, smartphone...) nous amènent à examiner le cas d un composant fabriqué par la firme Analog Devices. Il s agit d une puce qui transforme une accélération mécanique en un signal électrique, qui pourra ensuite être exploité électroniquement par l appareil dans lequel elle est intégrée. Le modèle présenté est l accéléromètre ADXL330. Les deux premières lettres de cette dénomination désignent le fabricant. L ensemble des paramètres de fonctionnement est décrit dans un document public accessible par internet, nommé «datasheet» du composant. Consulter ce document, puis répondre aux questions suivantes : 1. Le composant ADXL330 mesure-t-il l accélération suivant un seul axe ou selon les trois coordonnées d espace? 2. Quelles sont les bandes passantes indiquées sur la notice constructeur? Proposer un graphe rendant compte de la réponse fréquentielle du capteur. 3. Qu arrive-t-il aux signaux dont la fréquence est située en dehors de cette bande passante? Une «Wiimote» exploite un accéléromètre ADXL330 de chez Analog Devices qui fournit trois tensions (numérisées) images des trois composantes de l accélération. 4. Un utilisateur de jeu vidéo normal (en existe-t-il?) peut atteindre quel ordre de grandeur en termes de fréquence d excitation? Les caractéristiques du capteur sont-elles compatibles avec cette valeur? 5. Pourquoi la bande passante doit elle être supérieure à la fréquence maximale d utilisation?
2. Sismographe La sensibilité des accéléromètres étudiés précédemment permet d envisager la détection de séismes de magnitude 3 à 4. Ici nous étudierons un modèle simple de sismographe à ressort. Etude d'un sismographe Un sismomètre est un capteur qui permet la détection et l'enregistrement des mouvements, à une dimension, de la surface sur laquelle il repose. Comme on souhaite en général disposer de la mesure du mouvement à 2 ou 3 dimensions du sol, on place plusieurs sismomètres selon différents axes orthogonaux et on reconstitue, à partir de leurs enregistrements, le mouvement multidimensionnel effectif. La structure complète d'un sismomètre est complexe et les phénomènes mis en jeu dans son fonctionnement ne peuvent pas tous être décrits à ce stade. Faute d'éléments théoriques, nous nous contentons donc d'une description sommaire. Un sismomètre est constitué d'un résonateur mécanique, à l'image de l'oscillateur harmonique ; l'excitation de cet oscillateur étant due aux mouvements du sol. Les mouvements de la partie mobile engendrent un courant électrique dans un bobinage, ce qui a deux effets importants : - amortir les oscillations mécaniques et éviter donc une prolongation excessive du mouvement après une excitation brève ; - fournir un signal électrique qui peut être aisément amplifié, enregistré et transmis. En résumé, la relation entre le mouvement de vibration du sol, décrit par une variable x(t) fonction du temps et le signal électrique ξ(t) récupéré en sortie traduit des phénomènes bien connus. Il est donc possible d'établir cette relation sous la forme d'une équation différentielle, c'est ce que l'on entreprend à présent. Aspect temporel : Le phénomène étant principalement dû à la mise en oscillation d'un ensemble mécanique, l'équation qui le régit est du second ordre. On a ξ + 2ηξ + ω s 2 ξ = x où ω s est la pulsation propre de l'oscillateur et η le coefficient d amortissement. Aspect fréquentiel : fonction de transfert On est dans le cas d un régime sinusoïdal forcé (onde du séisme) avec x(t) = X 0 cos (ωt). 6. Déterminer l'expression de la fonction de transfert. Tracer le diagramme de Bode. A quel type de filtre correspond le sismographe? Choix des paramètres Le concepteur du sismomètre doit définir les valeurs à donner aux deux paramètres ω s et η. Il adopte alors deux critères liés au domaine d'application :
- la bande passante doit correspondre à la gamme de fréquence des vibrations sismiques à détecter. En corollaire, les perturbations d'un autre type doivent si possible être éliminées par filtrage. - le comportement du sismographe ne doit pas privilégier de fréquence : il ne doit donc pas y avoir de résonance. 7. On souhaite avoir un amortissement critique, quelle valeur de η choisit on? Les ondes sismiques de composantes longitudinales ont des fréquences comprises entre 0,5Hz et 10Hz. Les ondes sismiques de composantes transversales ont des fréquences comprises entre 1Hz et 8Hz. Les ondes sismiques de composantes verticales ont des fréquences comprises entre 0,5Hz et 15Hz. 8. L accéléromètre peut-il détecter ces ondes sismiques? Pour ce qui concerne la bande passante, le sismologue doit tenir compte de l environnement qui est le sien. Les constructeurs proposent de ce fait une large gamme de sismomètres, dont les propriétés caractéristiques varient sensiblement. Diverses causes vont contribuer à mettre en oscillations le sol et vont de ce fait intervenir dans le fonctionnement des sismomètres. Certaines sont des parasites que le concepteur souhaite ne pas détecter, d'autres sont vues comme signal porteur d'information utile. Chacune doit donc être définie par ses propriétés spectrales, afin de permettre un choix judicieux de la bande passante du capteur. Un diagramme spectral permet de situer quelques-uns des domaines fréquentiels liés à ces diverses causes d oscillations du sol. 9. Comment doit-on choisir ω s? Quels phénomènes vont être observés en plus de l activité sismique? Examen d oscillogrammes tests On poursuit l'étude par l'examen d'un oscillogramme correspondant à un signal test usuel dans le domaine de la sismologie : le train d'onde. Le signal u(t) correspondant est représenté : - il est nul aux instants négatifs ; - puis oscille à la pulsation m à partir de t = 0. Pour éviter une discontinuité peu réaliste dans le cadre de phénomènes sismiques, on adopte l'expression x(t) = X 0 sin (ωt) 10. Simulées les réponses ξ(t) dans les cas ω = ω s, ω = 0,2ω s et ω = 3ω s.
Annexe : Datasheet ADXL330
Correction : 1. L accéléromètre est sensible sur les trois axes de l espace. 2. Les bandes passantes indiquées sur la notice constructeur sont de [0,5 Hz ; 1600 Hz] pour les axes x et y et de [0,5 Hz ; 550 Hz] pour l axe des z. 3. Les signaux situés en dehors de cette bande passante sont coupés, ils ne sont donc pas transmis, on ne peut pas les étudier. 4. Il est possible d atteindre 5 à 10 Hz. Les mouvements peuvent donc être étudiés. 5. En réalité le filtre n est pas idéal. Les pentes constituant la bande passante ne sont pas infinies. Il est donc important d avoir une marge sur la bande passante pour bien laisser passer la fréquence d utilisation. 6. On détermine l'expression de la fonction de transfert et le diagramme de Bode relatif au module (figure avec les coefficients d'amortissement 0.3, 0.7 et 1). H(jω) = ω² ω 0 2 +2jσωω 0 ω². Le comportement du sismomètre est celui d'un filtre passehaut du second ordre. 7. On choisi η = 2. 2 8. Les fréquences des ondes sismiques se trouve dans la bande passante de l accéléromètre, on peut donc les détecter. 9. On choisit ω s = 3 rad/s. On observera en plus de l activité sismique, les fréquences des alternateurs et un peu de celles de la houle. 10. Comparons les réponses simulées pour la valeur η = 2 et différentes pulsations 2 d'excitation (les ordonnées sont en unités arbitraires) : - ω = ω 0
On constate qu'après un bref régime transitoire, le signal de sortie oscille avec la même pulsation que l'excitation, mais en quadrature de phase. - ω = 0,2ω 0 La réponse présente une amplitude très faible : le signal est en dehors de la bande passante. - ω = 3ω 0 La fréquence d'excitation est dans la bande passante : en effet, après amortissement du régime transitoire, le signal reflète quasi fidèlement l'oscillation d excitation. Le très léger déphasage tient à ce que ω n'est pas très supérieur à ω 0.