Géométrie des images spatiales Modélisation OLIVIER DE JOINVILLE 2e partie
Table des matières I - Définitions 5 A. Définitions des principaux modèles...5 II - La modélisation physique 7 A. Connaissance des paramètres nécessaires à la modélisation physique...7 B. Connaissance des paramètres de prise de vue...7 C. Calcul du modèle direct...8 D. Calcul du modèle inverse...8 III - Affinage du modèle physique 9 A. Problématique...9 B. Comment affiner ce modèle?...9 1. Introduction...9 2. Equations de points d'appui...10 3. Equations de points de liaison...10 IV - La modélisation analytique 11 A. Principe...11 B. Avantages et inconvénients de la méthode...11 1. Avantages...11 2. Inconvénients...12 V - Recalage simultané d'un ensemble de scènes : la spatiotriangulation 13 A. Définition...13 B. Principe...13 C. Avantages...14 Conclusion 15 3
I - Définitions I Définitions des principaux modèles 5 A. Définitions des principaux modèles Définition En terme de géométrie des images spatiales, modéliser signifie trouver une relation mathématique reliant des coordonnées. Comme nous l'avons vu, il existe deux types de modèles : Définition : Modèle direct C'est la relation mathématique qui permet de localiser tout pixel de l'image au sol ayant une altitude h (ou Z). On a trois relations possibles : (x, y, h ) Repère terrestre = F (l,c,h ) avec (x, y, h ) coordonnées cartographiques du point au sol (,, h ) Repère terrestre = F (l,c,h ) avec (,, h ) coordonnées géographiques du point au sol (X, Y, Z ) Repère terrestre = F (l,c,z ) avec (X, Y, Z ) coordonnées cartésiennes du point au sol Définition : Modèle inverse C'est la réciproque, donc la relation mathématique permettant de savoir quel pixel (l,c) a observé tel détail du sol : (l,c ) = G (x, y, h ) Repère terrestre (l,c ) = G (,, h ) Repère terrestre (l,c ) = G (X, Y, Z ) Repère terrestre Définition Cette relation mathématique (directe ou inverse) peut s'exprimer de 2 manières différentes : Définition : Modèle physique On ne dispose au départ que des paramètres de prise de vue du système pour effectuer la localisation des pixels de l'image. La précision de ces paramètres peut être affinée par l'introduction de données exogènes, telles que des points au sol. Dans le cas des satellites modernes à très haute résolution ce n'est pas nécessaire car la précision de localisation intrinsèque au capteur est excellente (DORIS 1 ), ainsi qu'une excellente orientation grâce aux senseurs stellaires. Définition : Modèle analytique On ne connaît pas les paramètres de la prise de vue. On résout alors les modèles 1 - http://www.doris-engineering.com/ 5
Définitions directs ou inverses par des polynômes avec prise de points d'appui. Ce cas peut se produire si par exemple on essaie de géolocaliser une image récupérée sur Internet dont on a aucune métadonnée. 6
La modélisation II - physique II Connaissance des paramètres nécessaires à la modélisation physique 7 Connaissance des paramètres de prise de vue 7 Calcul du modèle direct 8 Calcul du modèle inverse 8 A. Connaissance des paramètres nécessaires à la modélisation physique Pour ce type de modélisation, il est nécessaire de connaître les paramètres suivants (données auxiliaires de l'image) : datation : instant d'acquisition du pixel ; position du satellite à cet instant par rapport à un repère fixe ; attitude (orientation) de la plate-forme du satellite ; direction de visée de l'instrument par rapport au satellite ; altitude du point visé. B. Connaissance des paramètres de prise de vue Dans la réalité, pour chaque scène on obtient : le temps t 0 d'une ligne de l'image (souvent la ligne centrale) ; l'écart de temps Δt entre chaque ligne ; la position et la vitesse du satellite (toutes les 30 sec.) ; les 3 angles d'attitude du satellite (8 hertz) ; les 3 angles d'orientation de l'instrument par rapport au satellite ; la géométrie interne du satellite. C. Calcul du modèle direct Par un jeu de translations et de rotations, on calcule ensuite la direction de visée par rapport au repère terrestre. Puis on intersecte cette direction de visée avec un MNT. 7
La modélisation physique Mais, dans la pratique on utilise plutôt un modèle de localisation inverse c'est-à-dire un modèle qui permettra de fournir la position d'un pixel de l'image à partir de sa position sur le terrain. D. Calcul du modèle inverse Le calcul du modèle inverse s'effectue en trois étapes : Projection d'une sous-grille de l'image brute (cf. figure 2) : connaissance pour chacun de ses points de la correspondance (l,c ) image (X,Y,Z ) terrain A partir de cette sous-grille, calcul d'un modèle polynomial donnant (l,c) à partir de (X,Y,Z). Pour un point de coordonnées (X,Y,Z) : - utilisation d'un prédicteur de localisation inverse (X,Y,Z) (l,c) estimés ; - utilisation du modèle de localisation direct (l,c) estimés (X,Y,Z) écarts (ΔX, ΔY, ΔZ) - utilisation du prédicteur de localisation inverse (X+ ΔX,Y+ ΔY,Z+ ΔZ) (l+ Δl,c+ Δc) - utilisation du modèle de localisation direct nouveaux écarts (ΔX', ΔY', ΔZ') - itérations jusqu'à convergence : (ΔX, ΔY, ΔZ) suffisamment faible. Complément Toutes ces étapes seront illustrées par un exemple concret dans la partie 3 consacrée à la rectification des images, dans le paragraphe sur le géocodage. 8
Affinage du modèle III - physique III Problématique 9 Comment affiner ce modèle? 9 A. Problématique Méthode Le modèle physique est imparfait la plupart du temps du fait de l'imprécision des paramètres de prise de vue : erreurs de restitution d'orbite : quelques mètres ; erreurs de restitution d'attitude (1mrad à 800 km 800 m en roulis) ; Conclusion méconnaissance des alignements senseur/satellite. Il faut donc rajouter des informations externes au système : points d'appui ou points de liaison. La prise en compte de ces points va améliorer la localisation absolue du modèle physique de manière significative. B. Comment affiner ce modèle? 1. Introduction Le but est d'améliorer les paramètres de la prise de vue fournis lors de la modélisation physique. Soient P 0 k ces paramètres, on va introduire des corrections d P k pour les affiner. Pour cela on va résoudre deux types d'équation par moindres carrés pour estimer ces corrections : 2. Equations de points d'appui Pour un point d'appui i de coordonnées image (l i, c i) et de coordonnées terrain (x i, y i, h i) on a : 9
Affinage du modèle physique { x =F i x l i,c i, h i,..., P k,i,... y i =F y l i, c i,h i,... P k, i,... avec P ki = P 0 ki d P ki, k [1,n ] et F modèle direct de l'image. Il y a n paramètres de prise de vue pour chaque point i. 3. Equations de points de liaison Soient 2 images (appelées image 1 et image2) ayant une zone de recouvrement sur lequelles on peut saisir des points de liaison. Pour un point de liaison j de coordonnées image (l j, c j) sur l'image 1 et de coordonnées image (l' j, c' j sur l'image 2 on a : { F ' ' ' ' ' x l j, c j,h j, P 1,..., P k,..., P n=f x l j, c j,hj, P 1,..., P k,..., P n' ' ' ' ' ' ' F y l j, c j,h j, P 1,..., P k,..., P n= F y l j, c j, hj, P 1,..., P k,..., P n avec F modèle direct de l'image 1 et F' modèle direct de l'image 2. On résout ces deux ensembles d'équations (linéarisation et estimation par moindres carrés) afin d'obtenir les valeurs des inconnues dp k et donc un modèle géométrique affiné { x= F x l, p,h, P 1,...,P k,..., P n y=f y l, p, h, P 1,..., P k,..., P n 10
La modélisation IV - analytique IV Principe 11 Avantages et inconvénients de la méthode 11 A. Principe Dans ce cas on ne connaît aucun paramètre de la prise de vue. On utilise donc des points d'appui au sol pour calculer les modèles de déformation. On mesure des points homologues sur la carte ayant une échelle appropriée ou sur une autre image (mieux résolue) PA n {o} 1 : (l 1... PA n {o} k : (l k On calcule alors un modèle qui passe au mieux par ces différents points. Ce modèle est la plupart du temps un polynôme dont le degré est défini en fonction de la précision souhaitée : l= p i, j X i Y j i, j c= q i, j X i Y j i, j Les coefficients du polynôme p i, j et q i, j sont estimés par moindres carrés. B. Avantages et inconvénients de la méthode 1. Avantages Cela fonctionne toujours : il est toujours possible de superposer une carotte sur une banane... On obtient une bonne précision globale. 2. Inconvénients Le modèle n'est valide que si la répartition des points d'appui est uniforme, 11
La modélisation analytique ce qui est rarement le cas. Cette méthode est souvent lourde et coûteuse en temps opérateur (saisie des points, contrôle qualité). 12
Recalage simultané V - d'un ensemble de scènes : la spatiotriangulation V Définition 13 Principe 13 Avantages 14 A. Définition Définition La spatiotriangulation est une méthode de recalage simultané d'un ensemble de scènes grâce à : des points d'appui qui assurent le recalage absolu des scènes par rapport au sol ; des points de liaison (points homologues) qui assurent le recalage relatif des scènes l'une par rapport aux autres. Les points d'appui sont parfaitement connus en X, Y et Z, ce sont des points GPS ou des points saisis avec le plus grand soin sur une carte ou une photo aérienne. Les points de liaison ne sont connus qu'en coordonnées images (l,c) et parfois en Z (pour lever les imprécisions en cas d'absence de MNT). La qualité du modèle dépend : du nombre de points d'appui ; de leur répartition dans l'image ; de l'exactitude du pointé des points d'appui et des points de liaison ; de la précision de la carte. B. Principe En pratique on identifie 6 à 10 points sur une scène SPOT. A chaque fois que l'opérateur identifie un nouveau point d'appui, le logiciel de spatiotriangulation calcule un nouveau modèle et fournit des résidus sur les points. L'opérateur peut éliminer des points d'appui «suspects» en cas de résidus trop importants. 13
Recalage simultané d'un ensemble de scènes : la spatiotriangulation La précision attendue est de 0,5 à 1,5 pixel. C. Avantages La spatiotriangulation nous permet : Exemple de réduire le nombre d'inconnues, donc le nombre de points d'appui à saisir ; d'assurer une bonne homogénéité de la précision géométrique dans le bloc grâce à l'utilisation des points de liaison ; de réaliser une extrapolation de la géométrie sur des zones peu ou mal cartographiées : on recale les images peu ou mal cartographiées par rapport aux images bien cartographiées grâce aux points de liaison (cf. schéma 04). Dans cet exemple, la spatiotriangulation nous permet de fournir des spatiocartes sur une zone dont la cartographie est soit inexistante, soit totalement obsolète. On cale le bloc avec des points d'appui sur les pays adjacents et on propage le modèle sur la zone non cartographiée avec des points de liaison. 14
Conclusion Le modèle physique de prise de vue direct est la relation géométrique permettant de localiser tout pixel de l'image au sol, en utilisant les paramètres de la prise de vue. Le modèle physique de prise de vue inverse est la relation géométrique permettant de savoir quel pixel de l'image a observé un détail terrain : il est déterminé par calcul itératif à partir du modèle direct. Lorsque les paramètres de prise de vue sont jugés peu fiables, on utilise des points d'appui et des points de liaison pour affiner et recaler le modèle physique. Si l'on a aucun paramètre de prise de vue on peut réaliser un modèle analytique avec des points d'appui. Voilà... maintenant que des modèles ont été élaborés, il ne reste plus qu'à les utiliser pour rectifier les images. 15