ENSEIGNER LE CALCUL MENTAL EN CLASSE? 1
Plan de l animation 1) Le calcul mental : quelques éléments - Extraits choisis - Construction du nombre et calcul 2) Le calcul mental : pourquoi faire? 3) Le calcul mental : comment faire? 4) Activités / situations 2
1) Le calcul mental : quelques éléments «Les termes, d une époque à une autre ont quelque peu varié. En première approximation, on peut être tenté d opposer le calcul mental au calcul écrit... Mais parler de calcul mental ne signifie pas que tout se passe sans écrire.» «Ce qu on désigne sous le terme de calcul écrit ( l opération posée ) requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental. Il ne dispense donc pas de calculer mentalement, bien au contraire». 3
«l expérience atteste, depuis des dizaines d années, que les enfants ont souvent tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un établissement insuffisant du calcul mental préalablement à l apprentissage des techniques écrites qui sont souvent abordées trop tôt et, par la suite, à une prise de conscience insuffisante des différences de traitement entre calcul écrit et calcul mental.» 4 «L expression de calcul mental, signifie qu entre l énoncé du problème et l énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela n implique pas qu aucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat voire même dans le cours du calcul Les expressions calcul réfléchi et «calcul raisonné» insistent sur l importance donnée à la méthode (choix d une stratégie, élaboration d une procédure) plutôt qu à la rapidité d exécution, au moins en ce qui concerne les calculs complexes.»
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Construction du nombre en maternelle LA COLLECTION : regroupement d objets selon un critère défini. Concevoir une collection, c est accepter de voir un rassemblement d objets comme un tout. Cette connaissance prépare à l aspect cardinal du nombre. L ORDRE : position des objets d une collection selon un critère (sens, repérage spatio-temporel, ). Cette notion prépare à l aspect ordinal du nombre. L ENUMERATION : exploration exhaustive oralede tous les objets d une collection en un seule fois. Elle fait appel à l ordre. Cette connaissance prépare au comptage (qui entre dans le dénombrement). LA DESIGNATION : utilisation d un symbole pour identifier un objet ou une collection d objets. La désignation doit permettre de conserver une connaissance / une trace de l objet.. L aptitude à désigner prépare à l aspect nominal du nombre. 6
Quelques difficultés pour le calcul Une affaire de numération Numération de position Ex : valeur du zéro dans 34008 Quelle est la différence entre les 2 zéros? «Zéro, c est rien». Confusion chiffre / nombre. Beaucoup d élèves pensent 0 dizaines, 0 centaines Des sens de lecture différents sens de la lecture / file numérique Sens unités / dizaines / centaines / 457 7
Enfin, les irrégularités de la numération orale Les irrégularités de la seconde dizaine : onze, douze, treize, seize puis dixsept, dix-huit, (processus additif). Les irrégularités liées aux multiples de dix jusqu à soixante : vingt, trente, quarante, cinquante, soixante. Quel lien avec la dizaine?. Une irrégularité de 70 jusqu à 99. «Quarante-trois, c est «quarante plus trois». Après soixante-neuf, on ne comptabilise pas une nouvelle dizaine, mais on continue : soixante-dix, soixante et onze, A partir de 80 et jusqu à 99, notre numération orale est à la fois multiplicative et additive : quatre-vingt-six, c est quatre fois vingt plus six 8
Calcul mental : Voyons par nous même les ressources mobilisées par un jeu de calcul mental : Le 15 Vainc. 10
Le 15 Vainc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 joueurs. Une piste de 9 cases (ou 9 cartes), 3 jetons blancs, 3 jetons noirs. Chaque joueur, à tour de rôle, pose un de ses pions sur une case libre. Le but est de totaliser 15 en additionnant les 3 nombres associés aux 3 pions. Si personne n'a gagné lorsque les 6 pions sont posés, chaque joueur à tour de rôle, déplace un de ses pions vers une case libre, jusqu'à ce que l'un des joueurs obtienne le total de 15. 1 manche gagnée = 1 point. Le premier en 7 a gagné! 11
Savoir visé: Tables d'addition. Compléments à.. Cycle 2: Adaptations:10-Vainc, en 2 coups, Cartes (dos puis face) =>Vers stratégie 12
Lien internet pour jouer au quinze vainc : 13
Effort de réflexion Effort d attention Calcul Mental Effort de mémoire Effort opératoire 14
2) Le calcul mental : pourquoi faire? Au cycle 2 : MATHÉMATIQUES «La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1... La pratique régulière du calcul mental est indispensable à l acquisition de ces automatismes.» 1 - Nombres et calcul «Ils mémorisent et utilisent les tables d addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de l addition et de la soustraction, celle de la multiplication L entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés.» 15 Socle commun
Définitions Calcul (mental) automatisé : Nous faisons appel dans notre mémoire à un»répertoire» constitué. La grande majorité des répertoires se construisent par le calcul réfléchi! Calcul (mental) réfléchi : Nous utilisons consciemment des répertoires et une ou des procédures pour effectuer un nouveau calcul. 16
Objectifs du calcul automatisé - Connaître des «tables» - Automatiser des calculs simples, - Mémoriser des résultats pour faciliter d autres calculs (réfléchis, posés,...) 17
Conditions de mémorisation 1ère condition : compréhension par l élève des opérations en jeu. 2ème condition : prise de conscience de l intérêt de disposer d un répertoire de résultats / procédures qui se construit au fur et à mesure. 3ème condition : entraînement régulier 18
Calcul automatisé : Les compétences visées Procédures (résultats) mémorisées puis automatisées. - Restituer et utiliser les tables d addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; - Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples ; Compléments à la dizaine supérieure 19
Une énigme Comment peut-on reconnaître qu un nombre écrit en base 5 est divisible par 5? Rappel : 11 en base 10, c est 1 dizaine et 1 unité : on l écrit 11 11 en base 5, c est 2 «cinquaines» + 1 unité : on l écrit 21 20
Une autre énigme a = b a 2 = b 2 a 2 - b 2 = a 2 ab (a-b) (a+b) = a (a-b) (a+b) (a-b) = a (a-b) 2a = a 2 = 1 21
Objectifs du calcul réfléchi - Utiliser des répertoires constitués (résultats / propriétés / procédures) avec discernement pour construire des procédures. - Organiser puis effectuer des calculs à partir de ces répertoires. - «Découvrir et utiliser les propriétés des nombres et des opérations» 22
Différentes procédures utilisées 42 28: Ôter 20 puis 8 (décomposition); Ôter 30 puis ajouter 2 ; Aller de 28 à 42 (jalonnement); Calculer 44 30 ou 40 26 (décalage / écart constant). 23
Calcule sans poser 12 x 26 = 312 741-69 = 672 34 + 12 + 8 + 6 + 3 + 5 + 27 = 95 24
1643-76 =? = 1647 80 = 1667 100 = 1643-76 = 1567 25
Le calcul mental réfléchi L élève élabore mentalement une procédure adaptée au calcul proposé, en faisant appel à la réflexion et au raisonnement. Nécessité d une explicitation et confrontation de procédures possibles et efficaces dans la situation donnée. Attention à la saturation de la MCT : les résultats intermédiaires peuvent être écrits si besoin. 26
Calcul écrit Se rapprochent Calcul mental Connaissance de la numération décimale Maîtrise des tables et de résultats (intermédiaires) mémorisés Maîtrise d un mécanisme, d une technique opératoire induits / privilégiés Sont différents Se complètent Emploi réfléchi de la décomposition des Nb Emploi des propriétés des opérations Sollicitation de l attention et de mémorisation accrues Phases de calcul mental (ex : retenues) aide à la mémorisation intermédiaire 27
Pourquoi le calcul mental est-il si fondamental? Aspect social : calcul d usage, utile dans la vie ordinaire. INDISPENSABLE pour le calcul posé. Moyen utile pour validation d un calcul posé (ordre de grandeur). Aide à la résolution de problèmes : se ramener rapidement à un cas simple qui peut être traité mentalement. 28 D après Roland Charnay
3) Le calcul mental : comment faire? Dispositif Enoncé Calculs Résultats Ecrit permanent Ecrit temporaire Avec / sans support visuel (bande numérique, graduation, tableau de nombres, ) Ecrit Oral 29 Oral Avec ou non l écriture de résultats intermédiaires
Les séances d apprentissage ([re]découverte) séance longue( >> 15 mn) Séquence- type Ce sont plutôt des séances de calcul réfléchi avec recours possible à l écrit introduction de nouvelles procédures pour construire de nouvelles automatisations 30 Les séances d entraînement Séances courtes Les séances d évaluation Séances courtes Ce sont des séances de rapidité, concentration Entretien, révision, réinvestissement de nouvelles notions mémorisation de calculs (tables, ) Ce sont des séances à correction immédiate je vérifie la capacité de produire un résultat juste indépendamment de la procédure utilisée
La phase d apprentissage Echauffement présentant pas de difficulté trop importante, pour mettre les élèves en condition d écoute et de concentration et permettre un démarrage de tous Utilisation du procédé Lamartinière avec validation et correction rapide. Situation d apprentissage de nouvelles procédures à automatiser par la suite 31
La phase d entraînement calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, qui fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction. La phase d évaluation 32
Situations Les jeux (fiche / logiciels). - Les cartes magiques - Faire 20 - Computix (logiciel) -Trio. 33
Le calcul rapide sur fiche. Exemples: Les cascades additives Les cascades multiplicatives 34
35 Les cascades additives:
36 Les cascades multiplicatives:
Quelques activités autour des «grilles de nombres» Sur une même grille, différentes activités possibles en numération et calcul Différentes phases : recherche / entraînement / validation. Différenciation : grandeur des nombres, nombre d items, nature des items (oral / écrit), temps de réponses, aides admises,. 37
X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Quel nombre se cache sous 52? Quel nombre se cache sous 77? Entoure le nombre qui possède 6 dizaines et 9 unités Barre d une croix tous les nombres qui possèdent le chiffre 1 38 Quelle est la somme des trois nombres cachés sous les 75
Écris dans le tableau : 416 478 431 433 4 centaines 1 dizaine 6 unités < 432 < Le nombre qui se cache sous? 478 480 39
Cherche les cinq intrus dans la grille. 40
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Exemple d une activité élève et analyse des procédures. Dessine avec des flèches le chemin des calculs suivants : 400 + 10 + 2 412 42
Faire 20 (ou plus ) Le jeu consiste à associer des côtés de deux carrés de façon à ce que la somme des deux nombres soit égale à 20. Ce jeu peut être proposé de sous deux formes : Seul, essayer de construire la figure la plus complète possible. A plusieurs, utiliser le jeu comme des dominos. Pour plus de renseignements, voir le guide pédagogique de «Diagonale CE 1», p.61. 43
Les cartes magiques. 1) Le joueur A choisit mentalement un nombre compris entre 1 et 100. 2) Le joueur B lui présente ensuite les "cartes magiques«. 3) Le joueur A indique à B quelles sont les cartes sur lesquelles le nombre apparaît. 4) A additionne les nombres placés en haut à gauche des cartes correspondantes et trouve le nombre-mystère.. 45
46 Computix
D autres situations : Furet / Lucky Luke Lobo 77 Les TICE au service du Calcul Mental calcul@tice Gomaths Primaths Mathador : existe en mallette de jeu (Kid : maternelle, junior : cycle 2, standard : cycle 3)