AUTOMATISME COMBINATOIRE - 1 - AUTOMATISME COMBINATOIRE 1 INTRODUCTION... 2 2 VARIABLES LOGIQUES :... 2 3 OPERATIONS LOGIQUES :... 3 4 FONCTIONS OU OPERATEURS LOGIQUES :... 4 5 REGLES DE SIMPLIFICATION... 5 5-1 REGLES DE MORGAN :... 5 5.2 IDENTITES REMARQUABLES :... 6 5.3 PROPRIETES DE L ALGEBRE DE BOOLE :... 6 5.4 APPLICATIONS :... 6 6 FORMES CANONIQUES... 7 6.1 Logigramme à base de NAND, compléter les logigrammes proposés et justifier les par leurs équations logiques... 7 6.2 Logigramme à base de NOR compléter les logigrammes proposés et justifier les par leurs équations logiques... 7 7 EXEMPLE DE LOGIGRAMME INDUSTRIEL :... 8 8 REGLES DE SIMPLIFICATION GRAPHIQUES (Tableau de Karnaugh)... 8 8.1 Cas d équations logiques utilisant deux variables :... 8 8.2 Cas d équations logiques utilisant trois variables :... 9 8.3 Cas d équations logiques utilisant quatre variables... 9 EXERCICES... 9.1 Affichage majorité d une décision :... 9.2 Aspiration dans une scierie :... 12 9.3 Surveillance de ventilateurs d un parking :... 13 9.4 Exemple tri de caisses :... 14 9.5 Exemple du transcodeur des nombres de 0 à 19 du binaire pur au BCD :... 15 9.6 Remplissage de camions... 16 9.7 Commande d une vanne... 18 9.8 Trémie de sable... 19
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 2-1 INTRODUCTION Un automatisme combinatoire est caractérisé par le fait qu à toutes les combinaisons des variables d entrée correspondent un seul état logique des variables de sortie : Entrées logiques SYSTEME COMBINATOIRE Sorties logiques 2 VARIABLES LOGIQUES : Une variable logique ou variable booléenne (algèbre de Boole 1815-1864) est une grandeur binaire égale à 1 ou à 0 (Un peu de logique de Boole cela ne fait pas de mal et cela évite de perdre la boule). Elle peut représenter l état d un objet, exemple moteur électrique : - à l état marche = 1, le moteur tourne. - à l état arrêt = 0, le moteur est arrêté. Elle peut représenter l état d un contact : Nature du contact Autre appellation Désignation Symboles Contact «travail» Contact à fermeture NO Contact «repos» Contact à ouverture NF ou NC Noté a Noté a Equation logique : Elle permet de traduire une relation entre grandeurs logiques : b CAS N 1 L b CAS N 2 L L = b Conventions de notation logique: L = b - si pas d action physique sur le capteur, l état physique est noté par la valeur «0» - si action physique sur le capteur, l état physique est noté par la valeur «1» - si le courant électrique ne circule pas dans le circuit, l état logique est noté par la valeur «0» - si le courant électrique circule dans le circuit, l état logique est noté par la valeur «1» Tableau des états logiques : CAS N 1 : (l état logique est égal à l état physique) b : état logique b : état physique L : état logique 0 Pas de courant Ouvert (au repos) 1 Fermé (à l action) CAS N 2 : (l état logique est le contraire de l état physique) L = b : état logique b : état physique L : état logique 1 Courant 0 Fermé (au repos) 0 Ouvert (à l action) L = b
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 3 - Exemple d application : MA EV Type NF Nmax LH Type NF - Si niveau supérieur au niveau maxi, alors LH=0 - Sinon LH=1 Deux réalisations possibles pour la commande de l électrovanne EV tant que l opérateur actionne le bouton poussoir MA (du type NO) et tant que le niveau LH n est pas recouvert. 1 réalisation par une commande électrique directe dite en technologie électrique câblée (à compléter): EV Equation logique : EV = 2 réalisation intégrée dans un système de contrôle commande piloté par un API dite en technologie programmée (à compléter) : Le langage graphique utilisé est le Ladder Diagram ou le langage à réseaux de contacts (normalisé CEI631-3) MA LH Entrées API Sorties (Automate Programmable Industriel) %I0.0 %I0.1 %Q1.0 EV ( %Q1.0 ) Conventions : Le contact est passant si la «v» variable «v»associé est à 1 «v» Le contact est passant si la variable «v» associé est à 0 3 OPERATIONS LOGIQUES : On utilise trois opérations : Désignation Opération logique Symbole Somme logique OU logique + Produit logique ET logique. Complément logique NON logique
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 4-4 FONCTIONS OU OPERATEURS LOGIQUES : DESIGNATION SYMBOLE EUROPEEN EQUATION SYMBOLE US S = a. b ET AND & OU OR 1 S = a + b NON INVERTER 1 S = a OU exclusif XOR =1 S = a + b S =a. b + a.b NON ET NAND NON OU NOR & 1 S = a. b S = a + b
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 5 - TABLES DE VERITE ET SCHEMAS ELECTRIQUES : compléter les états logiques de S Fonction logique (US) Schéma électrique Table de vérité a b S ET (AND) a b S 0 0 0 1 1 0 1 1 a S a b S OU (OR) 0 0 b 0 1 1 0 1 1 a S NON (NO) a S OU exclusif (XOR) NON ET (NAND) NON OU (NOR) a a b a r a b r b b S R S R S 0 1 a b S 0 0 0 1 1 0 1 1 a b S 0 0 0 1 1 0 1 1 a b S 0 0 0 1 1 0 1 1 5 REGLES DE SIMPLIFICATION 5-1 REGLES DE MORGAN : Le complément d un produit logique est égal à la somme des compléments de chacun des membres du produit, soit : a. b = a + b Avec 3 variables : a. b. c = Le complément d une somme logique est égal au produit des compléments de chacun des membres de la somme, soit : a + b = a. b Avec 3 variables : a + b + c =
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 6-5.2 IDENTITES REMARQUABLES : a. 0 = 0 a + 1 = 1 a + a = a a + 0 = a a. 1 = a a. a = a = a a + a. b = a a. ( a + b) = a 5.3 PROPRIETES DE L ALGEBRE DE BOOLE : Commutativité a + b = b + a a. b = b. a Associativité (a + b) + c = a + (b + c) (a. b). c = a. (b. c) Distributivité a. (b + c) = (a. b) + (a. c) a + (b. c) = (a + b). (a + c) 5.4 APPLICATIONS : Simplifier les équations booléennes suivantes : S 1 = a. b. d + b. c. d + a. b. d + b. c. d S 2 = ( a. c. d + a. c. d ). ( a + d ) S 3 = ( a. b. c + a. b.c ) + ( a + c ) S 4 = a. c + b. c + a. b
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 7-6 FORMES CANONIQUES Réalisation d une équation booléenne avec un seul type d opérateur logique 6.1 Logigramme à base de NAND, compléter les logigrammes proposés et justifier les par leurs équations logiques FONCTION Logigramme NON ET Décomposition NON S = a & S = a OU S = a + b & & & S = ET S = a. b & & S = 6.2 Logigramme à base de NOR compléter les logigrammes proposés et justifier les par leurs équations logiques FONCTION Logigramme NON OU Décomposition NON S = a a 1 S = a ET S = a. b 1 1 S = 1 OU S = a + b 1 1 S = Méthode : réaliser plusieurs doubles complémentation, jusqu à obtenir une équation logique avec un seul type d opération 6.3 Exemple : Représenter la fonction «OU exclusif» en utilisant des portes NON-ET à deux entrées (logigramme avec 5 portes) puis des portes NON-OU (logigramme avec 6 portes): S 1 = a.b + b. a
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 8-7 EXEMPLE DE LOGIGRAMME INDUSTRIEL : Exprimer les variables de sortie suivantes en fonction des variables d entrée nécessaires: Q28.5, Q28.4, Q28.3 et Q29.1 Q28.5 = Q28.4 = Q28.3 = Q29.1 = 8 REGLES DE SIMPLIFICATION GRAPHIQUES (Tableau de Karnaugh) 8.1 Cas d équations logiques utilisant deux variables : a Pour deux variables, il existe 2² combinaisons possibles, minterm il faut construire un tableau à quatre 4 cases. 0 1 0 ab ab b=0 a L équation d une case se déduit de l intersection d une b ligne et d une colonne. ab ab 1 b=1 a Pour n variables il faut construire un tableau de 2 n cases. a=0 a=1 b b
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 9 - Exemples : Simplifier par l algèbre de Boole, puis graphiquement les équations logiques suivantes : L 1 = a + a. b, L 2 = a + a. b, L 3 = a + a. b et L 4 = a. b + b + a. b + a. b Simplification graphique : L 1 = a + a. b On affecte d un «1»les cases correspondant aux termes de l équation. On affecte d un «0» les autres cases. On procède au regroupement des cases par 2 ou 4 des cases dites adjacentes (uniquement des regroupements de 2 n cases). b a 0 1 0 ab +ab = a.(b+b) = a, d où L 1 = a 1 0 1 0 1 L 3 = a + a. b L 2 = a + a. b L 4 = a. b + b + a. b + a. b 8.2 Cas d équations logiques utilisant trois variables : Pour trois variables, il existe 2 3 combinaisons soit un tableau de 8 cases. On utilise le code binaire réfléchi ou code Gray pour réaliser ce tableau (voir page suivante) c ab 00 01 10 0 1 Indiquer les cases adjacentes, c'est-à-dire ne différant que par la valeur d une seule variable, à la cellule grisée. En déduire les équations des trois regroupements possibles Exemples : Simplifier les équations logiques suivantes : L 1 = a. b. c + b. c + a. c L 2 = a. b. c + a. b. c + a. b. c Principe : Regrouper les cases adjacentes ou symétriques affectées du «1» logique afin de simplifier l équation Les regroupements des cases sont toujours des puissances de 2 cases ( 2, 4 ou 8 ) L expression simplifiée s obtient à partir des variables qui ne changent pas d état sur les regroupements. L 1 L 2
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 10 - Exemple réel : (cas des cases non utilisées d un point de vue technologique) Soit une balance permettant de vérifier la masse de paquets. Cette balance munie de trois capteurs de masse (a, b et c) associée à un voyant H dont le fonctionnement est le suivant: a b c Logigramme BALANCE? H Le voyant est allumé si : * absence de paquet * 1 < M < 3 kg Le voyant est éteint dans tous les autres cas. - Compléter la table de vérité ci-dessous : - Déterminer les différents cas réels et les traduire dans un tableau de Karnaugh. - En déduire l équation de H la plus simple, en notant d un X les cas impossibles technologiquement et procéder ou regroupement le plus judicieux. Masse a b c H 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Voyant H c ab b>1kg c>3kg H = a>50g 0 Conclusion : les cases non utilisées sont à affecter de façon à simplifier l équation au maximum Remarque : Code binaire réfléchi Pour le code Gray un seul chiffre change d une combinaison à l autre Code décimal Code binaire naturel Code binaire réfléchi Décimal codé binaire(bcd) 0 0000 0000 00000 1 0001 0001 00001 2 0010 00 00010 3 00 0010 000 4 0100 00 00100 5 0101 01 00101 6 00 0101 000 7 01 0100 001 8 1000 00 01000 9 1001 01 01001 10 1010 10000 10 10 10001 12 00 1010 10010 13 01 10 100 14 10 1001 10100 15 1000 10101 16 17 18 A compléter
AUTOMATISME COMBINATOIRE - - d abc 8.3 Cas d équations logiques utilisant quatre variables Le tableau comporte 16 cases (2 4 ), deux dispositions sont possibles : cd ab 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Retrouvez le regroupement particulier du tableau de droite sur le tableau de gauche et donnez en l équation logique simplifiée Exemple : Soit à simplifier algébriquement puis graphiquement l équation logique suivante : L = a. d + b. c. d + a. c. d + b. c + a. b Simplification graphique : cd ab 9 EXERCICES 9.1 Affichage majorité d une décision : Dans une commission qui se compose de trois membres ayant le droit de vote, les votes doivent être, entre autres, éval999uées à l'aide d'un API. Pour cela, chaque utilisateur dispose du droit de vote (BP à fermeture A, B, C). Si la majorité des participants génère un "OUI" (décision affirmative), alors la lampe (H1) s'éclaire. Si la majorité des participants génère un "NON" (décision négative), alors la lampe (H1) ne s'allume pas, elle reste éteinte. En Allemand SPS = Speicher Programmierbare Steuerungen En Anglais PLC = Programmable Logic Controller En Français API = Automate Programmable Industriel Compléter les tableaux ci dessous et proposer le programme le plus simple en ladder permettant la commande du voyant H1. OPERANDE MNEMONIQUE COMMENTAIRE A B C H1
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 12-9.2 Aspiration dans une scierie : Lors de la fabrication des fenêtres en bois, la sciure est automatiquement aspirée par un dispositif d'aspirateur central, dont la puissance d'aspiration est fixée par les machines connectées. La puissance d'aspiration sera déterminée par l'arrêt ou la marche de deux ventilateurs (Ventilateurs 1 et 2). Par rapport à la puissance totale P, la puissance aspirante des deux ventilateurs se répartit comme suit : Ventilateur 1: 1/3P; Ventilateur 2: 2/3P. Donc la fonction suivante est insérée dans le programme API: Si une machine est en marche, le ventilateur 1 est en marche, si les 2 machines sont en marche, le ventilateur 2 est en marche. Si les 3 machines sont en marche, les deux ventilateurs sont en marche. La mise en marche d'un ventilateur s'effectue par les contacteurs K1 (= Ventilateur 1) et K2 (= Ventilateur 2). Compléter les tableaux ci dessous et proposer les équations logiques permettant la commande des ventilateurs V1 et V2. OPERANDE MNEMONIQUE COMMENTAIRE E0.0 E0.1 E0.2 A0.0 A0.1
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 13-9.3 Surveillance de ventilateurs d un parking : Pour ventiler un parking souterrain, quatre ventilateurs sont installés, qui peuvent être mis en marche par les commutateurs S1 à S4. Le feu doit être vert si au moins 3 ventilateurs sont en marche. Si seulement 2 ventilateurs sont en marche alors le feu doit être orange. Si moins de 2 ventilateurs fonctionnent, la ventilation du parking souterrain n'est plus suffisante et le feu doit être rouge. Compléter les tableaux ci dessous et proposer le programme le plus simple en ladder permettant la commande des feux H1 rouge, H2 orange et H3 vert. OPERANDE MNEMONIQUE COMMENTAIRE E0.0 S1
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 14-9.4 Exemple tri de caisses : (d après SCIENCES INDUSTRIELLES EN CPGE aux éditions Casteilla) a b c d P M G commentaires
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 15-9.5 Exemple du transcodeur des nombres de 0 à 19 du binaire pur au BCD : Nombre de 0 à 19 codé en binaire sur 5 bits Transcodeur # # Nombre de 0 à 19 codé en BCD sur 5 bits ENTREES En binaire Seizaine 2 4 : a Huitaine 2 3 : b Quataine 2 2 : c Deuzaine 2 1 : d Unité 2 0 :e Transcodeur # # SORTIES en BCD Unité 2 0 : j décimale x10 1 Huitaine 2 3 : f Quataine 2 2 : g unité x10 0 Deuzaine 2 1 : h Unité 2 0 : i Etablir la table de vérité de ce transcodeur en respectant les notations. a b c d e j f g h i Simplifier les tableaux de Karnaugh des cinq variables de sortie de ce transcodeur Utiliser les tableaux suivants : de abc de abc Sortie i Sortie h
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 16 - de abc de abc de abc Sortie g Sortie f Sortie j 9.6 Remplissage de camions A0 Pour remplir un camion de sable A1 on utilise deux trémies A et B placées A B B0 au-dessus d'une balance pour poids B1 lourds. Un camion vide vient se placer sur la balance, puis l'opérateur appuie sur un bouton poussoir S0 pour mettre en marche le remplissage. Dés que le S0 camion est plein la balance fait passer à S1 l'état 1 le signal logique S1. L'opérateur doit appuyer sur S0 pendant toute la phase de remplissage ; si on relâche S0 ou si le camion est plein le remplissage s'arrête automatiquement. Le remplissage doit se faire en utilisant la plus remplie des deux trémies ou les deux ensemble si leur poids est identique. Les trémies peuvent être remplies à tout moment, indépendamment du reste du fonctionnement, et le système doit réagir en conséquence. Les deux trémies A et B sont montées sur un système de pesage qui donne le poids de sable en tonnes codé sur deux bits. Pour la trémie A les deux bits A1 et A0 valent respectivement : A1 A0 POIDS 0 0 Poids < 1 tonne de sable 0 1 1 tonne Poids < 2 tonnes 1 0 2 tonnes Poids < 3 tonnes 1 1 3 tonnes Poids La trémie B possède le même système de pesage avec les deux bits B0 et B1. L'ouverture des trémies est commandée par deux trappes TA et TB.
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 17-1) Pesage des trémies Le système de pesage des trémies est composé de trois capteurs P0, P1 et P2. Si la trémie contient moins d une tonne de sable, aucun capteur n'est actionné ; si la trémie contient entre 1 et deux tonnes de sable le capteur P0 P1 P0 est actionné. S'il y a entre deux et trois tonnes P2 de sable P0 et P1 sont actionnés et s'il y a trois tonnes ou plus de sable P0, P1 et P2 sont actionnés. A partir de ces trois capteurs on code le poids de la trémie sur deux bits A0 et A1. - Donnez l'équation de A0 et A1 en fonction de P0, P1 et P2. - Donnez le logigramme de A0 en utilisant que des fonctions NAND. P0 P1 P2 A1 A0 commentaires 2) Remplissage du camion - En respectant le fonctionnement du système, donnez en les justifiant les équations de TA et TB en fonction de A0, A1, B0, B1 S0 et S1. A1 A0 Poids A B1 B0 Poids B TA TB
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 18-9.7 Commande d une vanne Soit le schéma TI partiel suivant d une installation automatisée par un API : La vanne contrôlant le débit d entrée est pilotée par un servomoteur électrique à deux sens de marche piloté par deux contacteurs non représentés :KMO (pour l ouverture) et KMF (pour la fermeture). Cette vanne est munie de deux fins de courses type NF : SO (pour l ouverture complète) et SF ( pour la fermeture complète). L opérateur dispose de deux boutons poussoirs BOV (pour l ouverture de la vanne) et BFV (pour la fermeture de la vanne) Un capteur de niveau TOR fournit une information lorsque le niveau haut est atteint (LH=1 si N>Nmax). M Fdc :SO Fdc :SF BOV type NO Nmax Type NO LH BFV type NO 1) Faire un tableau des variables utiles d un point de vue partie commande (API) en distinguant les entrées et les sorties 2) Soit le cahier des charges des conditions particulières : - Tant que la cuve n est pas remplie, si appui simultané sur les 2 BP alors pas d effet sur la vanne. - Si niveau haut atteint, fermer la vanne quelque soit la position des BP. - Si appui sur un des BP alors l API commande l ouverture ou la fermeture de la vanne suivant le BP sollicité. Représenter les différents cas possibles de cet automatisme combinatoire dans une table de vérité sans tenir compte des fins de courses de la vanne. La table de vérité comportera donc 3 entrées et 2 sorties. Préciser le nombre de cas possibles en fonction du nombre de variables d entrée du système. 3) Traduire les combinaisons des variables de sortie KMO et KMF en équations logiques à partir de la table de vérité. 4) Si possible simplifier ces équations en utilisant le tableau de Karnaugh. 5) Compléter les deux équations de KMO et KMF avec les variables des deux fins de course. BOV BFV LH KMO KMF
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 19-9.8 Trémie de sable On actionne le bouton poussoir «marche» de type NO Le vibreur fait couler le sable dans la trémie. La chute du sable est détectée par la palette d, La trémie se remplit : le capteur a passe de 1 à 0, La trémie est pleine : le capteur b passe de 0 à 1, Alors, le vibreur s arrête, d passe à 0, ce qui déclenche l ouverture de la trappe de vidange T. La trémie est de nouveau vide, ce qui referme T. La fermeture est détectée par le capteur c. La trappe T est commandée par un pré actionneur monostable (vérin sorti au repos). Compléter le grafcet (en précisant les Silo conditions initiales de la trémie) à V sable vibreur Détecteur d d écoulement 0 Trémie de pesage T Trappe c Trémie vide : a = 1 Trémie pleine : b = 1 Capteur de fermeture 1 2 3 Compléter la table de vérité du fonctionnement : m a b c d V T Étape du processus 0 1 0 1 0 Attente 1 1 0 1 0 Mise en fonctionnement 0 1 0 1 1 Début d écoulement 0 0 0 1 Ecoulement 0 0 1 1 1 0 Fin de pesée 0 0 1 1 0 1 Fin d écoulement et vidange 0 0 1 0 0 Début de vidange 0 0 0 0 0 Vidange 0 1 0 0 0 Fin de vidange 0 1 0 1 0 Attente cd mab Compléter les tableaux de Karnaugh des sorties V et T en fonction de m, a, b, c et d et en déduire leurs équations logiques, en tenant compte des impossibilités technologiques pour leur simplification: mab cd Sortie V Sortie T