Systèmes à événements discrets Les systèmes comportent souvent une commande numérique réalisée par des circuits logiques de type FPGA (Field-Programmable Gate Array)( circuits intégrés reprogrammables) et/ou par des calculateurs de type microcontrôleur ou DSP (Digital signal processor). La description du comportement de ces systèmes à événements discrets peut être réalisée : en langage SysML par : o le diagramme de séquence (Sequence Diagram, acronyme : seq), o le diagramme d état (State Machine Diagram, acronyme : stm) étudié ici, o le diagramme d activité (Activity Diagram, acronyme : act) (hors programme), par un algorigramme, par une équation logique pour un système combinatoire. Diagramme d état Le diagramme d état est la description d une machine d état. Un état modélise une phase du fonctionnement d un système. Il n y a qu un seul état actif à chaque instant dans une machine d état en fonctionnement. Un diagramme d état représente des transitions possibles entre les différents états de la machine d état. Une transition est instantanée. 1.1 Exemple : commande d un moteur Pseudo-état initial (toujours présent) Etat Transition Action exécutée à l activation de l état Action exécutée pendant que l état est actif Action exécutée à la désactivation de l état Flèche de transition Pseudo-état final (peut être facultatif) 1.2 Etats Un état représente une période de la vie du système, pendant laquelle il peut accomplir une ou plusieurs actions. Un état composite décrit les évolutions internes d un état avec un autre diagramme. Cette structure de sous machine d état facilite la lecture. La sous machine contient un état initial qui est activé à l activation de l état composite. La sous machine n est active que si l état composite l est. Représentation dans laquelle le diagramme de la «sous-machine d état» est masqué (symbole en forme de lunette). Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 1
L état actif au moment de la sortie de l état composite peut être mémorisé (l état composite se réactive dans l état mémorisé). Symbole H ou H * (H * mémorise également les sous-états de niveaux hiérarchiques inférieurs) Un état orthogonal possède plusieurs régions, séparées par des pointillés et possédant chacune sa propre sous-machine d état. Ces deux machines sont totalement indépendantes l une de l autre. Il est possible d ajouter des points d entrée et de sortie dans un état composite. 1.3 Transition Les transitions sont représentées par des flèches orientées, et permettent de décrire les évolutions du système d un état source vers un état destination. A l occurrence de l événement, la transition est franchie uniquement si la condition de garde [condition] est vraie. L éventuelle activité associée à l état 1 est interrompue. Si la condition de garde est fausse, la transition n est pas franchie et sera donc franchie à une autre occurrence de l événement. A l occurrence de l événement, la transition est franchie. L éventuelle activité associée à l état 1 est interrompue. La transition est franchie si la condition de garde est vraie et si l éventuelle activité associée à l état 1 est terminée (l activité doit donc avoir une durée finie). S il n y a pas d activité associée à l état 1, la transition est franchie si la condition de garde est vraie. Identique à ci-dessus avec une condition de garde toujours vraie. Les deux transitions ne doivent pas pouvoir être franchies simultanément. Une jonction est un pseudo-état. Transition réflexive : l état source et l état pointé sont identiques. L état est désactivé et immédiatement réactivé. Une activité peut être associée à une transition. Elle est exécutée au franchissement. Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 2
Exemple de conditions ou d événements : événement condition Variable a ou when(a) [a] Equation /a. (b +c) [/a. (b +c)] Condition correspondant à l égalité de deux variables when(a==b) [a == b] Evénement se produisant deux secondes après l activation after(2 s) Evénement correspondant à une date (ici à 13 heures) at(13 :00) Condition associée à un état [in ETAT] Description par «algorigramme» 2.1 Syntaxe Symbole Désignation Symbole Désignation Début ou fin d un algorithme Symbole général de traitement (opération sur les données, instructions ou opération pour laquelle il n existe aucun symbole normalisé) Liaison Le cheminement va de haut en bas et de gauche à droite. Une cheminement différent est indiqué par une flèche oui non OU Branchement conditionnel (test) Sous-programme Entrée/sortie 2.2 Structures classiques Structure alternative : Début Structure itérative : Début Condition non Condition oui oui non Action 1 Action 2 Action Début Si Condition Alors Action 1 Sinon Acition 2 FinSi Début TantQue Condition Faire Action FinTantQue Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 3
Systèmes combinatoires 3.1 Définitions Variable logique : Une variable logique (ou binaire) est une variable qui ne peut prendre que deux valeurs : vrai ou faux (0 ou 1). Système combinatoire : Un système combinatoire est un système dont les variables binaires de sortie à un instant t sont uniquement fonction de l'état des variables binaires d'entrée à l'instant t. ss ii = ff ii (ee ii ) où ff ii est une application. EE Vecteur d'entrée SS Vecteur de sortie Remarques : En pratique, il existe un temps de propagation de l information à travers les circuits matérialisant le système. Plusieurs vecteurs d'entrée peuvent donner un même vecteur de sortie. 3.2 Table de vérité Toutes les combinaisons possibles des variables d'entrée sont répertoriées dans un tableau. Pour chaque entrée est donné l'état des variables de sortie. Exemple : système à trois variables d'entrée et deux variables de sortie. a b c SC S1 S2 Remarque : Si un système a n variables d'entrée, sa table de vérité a 2 nn lignes (il existe 2 nn vecteurs d'entrée possibles). a b c S1 S2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 3.3 Opérateurs logiques Opérateur Table Symbole logique Equation SS = aa "oui" a S 0 0 1 1 "non" a S 0 1 1 0 "et" a b S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 "ou" a b S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 "non et" a b S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 SS = aa SS = aa. bb SS = aa + bb SS = aa. bb Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 4
"non ou" a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 "ou exclusif" a b S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 "et inclusif" a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Remarque : "non", "ou" et "et" sont appelés opérateurs fondamentaux. SS = aa + bb SS = aa. bb + aa. bb SS = aa. bb + aa. bb 3.4 Propriétés des opérateurs logiques - Associativité de l'opérateur "et" : aa. (bb. cc) = (aa. bb). cc = aa. bb. cc - Associativité de l'opérateur "ou" : aa + (bb + cc) = (aa + bb) + cc = aa + bb + cc - Commutativité de l'opérateur "et" : aa. bb = bb. aa - Commutativité de l'opérateur "ou" : aa + bb = bb + aa - Distributivité de l'op "et" / l'op "ou" : aa. (bb + cc) = (aa. bb) + (aa. cc) = aa. bb + aa. cc - Distributivité de l'op "ou" / l'op "et" : aa + (bb. cc) = (aa + bb). (aa + cc) = aa + bb. cc - Elément neutre de l'opérateur "et" : aa. 1 = 1. aa = aa - Elément neutre de l'opérateur "ou" : aa + 0 = 0 + aa = aa - Identités remarquables aa. 0 = 0. aa = 0 aa + 1 = 1 + aa = 1 aa. aa = aa aa + aa = aa aa. aa = 0 aa + aa = 1 aa = aa aa + aa. bb = aa. (1 + bb) = aa. 1 = aa aa + aa. bb = aa. bb + bb = aa + bb - Théorème de DE MORGAN aa + bb = aa. bb aa. bb = aa + bb 3.5 Outils de description des systèmes combinatoires Table de vérité : Voir chapitre 3.2. Equation logique : Le fonctionnement du système est décrit grâce à des relations booléennes utilisant les fonctions de base. SS1 = aa. bb. cc + aa. bb. cc + aa. bb. cc + aa. bb. cc = bb. cc + aa. bb SS2 = aa. bb. cc + aa. bb. cc + aa. bb. cc + aa. bb. cc + aa. bb. cc = aa + bb. cc Logigramme : C'est la représentation graphique des équations logiques en utilisant les symboles des fonctions de base. Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 5
Schéma à contacts : Chaque variable binaire est matérialisée par un contact. SS = aa SS = aa. bb SS1 = bb. cc + aa. bb SS = aa + bb SS2 = = aa + bb. cc 3.6 Système de numération Dans un système de numération, un nombre s'écrit à l'aide de symboles auxquels sont affectés des poids. Exemple : Dans le système décimal (base 10) on utilise 10 symboles. Les poids affectés aux symboles sont les puissances de 10. 1996 = 1.10 3 + 9.10 2 + 9.10 1 + 6.10 0 Système Base Symboles Poids Binaire 2 0,1 2 n Décimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 10 n Hexadécimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 16 n Code Gray (Binaire réfléchi) Ce système binaire est tel que deux nombres adjacents ont un code où ne change qu'un seul chiffre. Décimal Gray Décimal Gray 0 0000 8 1100 1 0001 9 1101 2 0011 10 1111 3 0010 11 1110 4 0110 12 1010 5 0111 13 1011 6 0101 14 1001 7 0100 15 1000 Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 6
Annexe 1 : Symboles hydro-pneumatiques Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 7
Annexe 2 : Exemples de câblages des actionneurs pneumatiques EV SV SV SV EV Figure 1 Figure 2 Figure 3 SV EV SV EV Figure 4 Figure 5 Figure 6 EV EV Figure 9 SV SV EV Figure 8 T Figure 7 Figure 10 1. Vérin double effet, distributeur 5/2 bistable 2. Vérin double effet, distributeur 4/2 monostable 3. Vérin double effet, deux distributeurs 3/2 monostables 4. Vérin double effet, distributeur 4/3 monostable à centre fermé 5. Vérin double effet, distributeur 4/3 monostable à centre ouvert 6. Vérin double effet, distributeur 4/2 monostable, clapet de non retour piloté à l ouverture 7. Vérin simple effet, distributeur 3/2 bistable 8. Vérin simple effet, distributeur 3/2 monostable, réducteur de pression 9. Vérin simple effet, distributeur 3/2 monostable 10. Vérin rotatif, distributeur 3/2 monostable Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 8
Annexe 3 : Traitement de l'air comprimé Alimentation en air comprimé Groupe de conditionnement 1 2 3 M 4 5 6 7 8 9 10 1. Filtre, crépine 2. Compresseur 3. Refroidisseur ou réfrigérant 4. Moteur électrique 5. Purgeur à commande manuelle 6. Distributeur 3/2 bistable à commande manuelle 7. Filtre avec purgeur automatique 8. Régulateur de pression réglable 9. Manomètre 10. Lubrificateur Annexe 4 : Symboles électriques Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 9
Annexe 5 : Codeurs rotatifs industriels Un codeur rotatif, optique ou magnétique, est un capteur angulaire de position. Son disque est lié mécaniquement à l'arbre dont la position est mesurée. Le capteur fournit un nombre représentant la position angulaire de l'arbre. Codeurs incrémentaux Un disque, en liaison pivot avec la pièce fixe, possède une ou deux pistes comportant n traits et une piste comportant un seul trait pour l initialisation. Trois capteurs (A, B, Z) sont liés à la pièce fixe (Si le capteur est devant une partie colorée sa valeur est vraie). La structure de la chaîne d'acquisition est schématisée ci-dessous : Générateur incrémental A B Z Traitement des signaux Inc Déc RAZ Compteur Angle (entier) Le traitement des signaux A et B peut être «simple», «2» ou «4». Voir schéma cidessous. da/2 A a Z Référence mobile da/4 B Référence fixe da Sens + A a B Traitement simple Résolution 2π/n Traitement *2 Résolution π/n Traitement *4 Résolution π/2n i=n-1 j=2n-1 i=0 i=1 i=2 j=0 j=1 j=2 j=3 j=4 k=4n-1 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 a Sortie compteur : i α=i.2π/n Sortie compteur : j α=j.π/n Sortie compteur : k α=k.π/2n Proposer des équations logiques correspondant aux ordres d incrémentation et de décrémentation du compteur (la remise à zéro n'est pas à étudier) pour : 1. une détection de sens simple (résolution 2π/n, tester les fronts de la voie A). Réponse : IIIIII = aa. bb DDécc = aa. bb 2. une détection de sens 2 (résolution π/n, tester les fronts de la voie A). 3. une détection de sens 4 (résolution π/2n, tester les fronts des voies A et B). Codeurs absolus 7 0 7 0 Piste B0 Piste G0 Un codeur absolu Piste B1 Piste G1 Piste B2 1 Piste G2 1 délivre en permanence 6 6 un code qui est l'image de la position réelle de l'arbre (code binaire 5 5 2 2 B 1B 2B 3 ou code GRAY G 1G 2G 3). 4 3 4 3 résolution 2ππ/2 nn Le disque est lié à l arbre. Les détecteurs sont fixes (partie noire devant le détecteur : Bi vrai). Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 10
Annexe 6 : Compteur asynchrone Compteur asynchrone réalisé par des bascules JK Bascule JK : principe de fonctionnement Mise à 1 horloge Mise à 0 J K Q Sortie Entrées Etat futur Fonction J K Q réalisée 0 0 Q Maintien 0 1 0 Mise à 0 1 0 1 Mise à 1 1 1 Q Commutation Sans front montant sur ( ), la bascule conserve son état. 1. Compléter le chronogramme du document réponse. On considère le front montant de l horloge comme implicite. 2. Sur le document réponse, compléter la table de vérité donnant Q n+1 (état de la bascule après le front montant n de l horloge) en fonction de Q n (état de la bascule avant le front montant n), J et K. Nous allons maintenant nous intéresser à un compteur sur 3 bits. Le câblage des bascules est donné ci-dessous. 3. Compléter le chronogramme du document réponse (Initialement les 3 variables Q sont à 0). A quoi correspondent les variables binaires : Q 0, Q 1 et Q 2? Conclure. Compteur asynchrone réalisé par des bascules D Bascule D : principe de fonctionnement Données horloge D Q Sortie Entrées D Etat futur Q Fonction réalisée 0 0 Mise à 0 1 1 Mise à 1 En absence de front montant de l horloge ( ), la bascule conserve son état. D Q 4. Sur le document réponse, compléter le schéma du compteur asynchrone construit avec des bascules D (le comptage se fera sur les fronts montants de A et non descendant comme avant). Initialement, les 3 variables Q 0, Q 1 et Q 2 sont à 0. Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 11
Document réponse Q1 : Chronogramme Q2 : Table de vérité Q n+1 J K Q J K Q n Q n+1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 A Q3 : Chronogramme Q0 Q1 Q2 Q4 : Schéma du compteur asynchrone construit avec des bascules D D0 1 D1 1 D2 1? Q0 Q1 Q2 Lycée Alphonse Daudet Nîmes CPGE PSI et MP Evenements discrets.docx Page 12