IDENTIFICATION DES PARAMETRES MECANIQUES DU SOL RENCONTRE LORS DU CREUSEMENT D UN TUNNEL PAR ANALYSE INVERSE

Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l'ingénieur - JNGG' 2006 Lyon (France) IDENTIFICATION DES PARAMETRES MECANIQUES DU SOL RENCONTRE LORS DU CREUSEMENT D UN TUNNEL PAR ANALYSE INVERSE Stéphanie ECLAIRCY-CAUDRON 1, Daniel DIAS 1, Richard KASTNER 1, Laurent CHANTRON 2 1 INSA LYON, Villeurbanne, France 2 CETU, Bron, France RÉSUMÉ L utilisation de techniques d analyse inverse en temps réel sur les observations effectuées en cours de travaux peut être un moyen de lever les incertitudes existantes sur la valeur des paramètres du terrain rencontré et d adapter les procédés de creusement. Dans cet article, un logiciel d optimisation, SiDoLo, couplé à un logiciel de calcul aux éléments finis, est évalué sur la modélisation du creusement d un tunnel en déformations planes. 1. Introduction Les méthodes d analyse inverse tentent d identifier les paramètres du sol à partir de résultats d essais ou/et de mesures expérimentales réalisées durant la construction. Différentes méthodes existent. Hicher (Hicher, 2002) en distingue trois types: les méthodes analytiques, les méthodes à base de corrélations et les méthodes d optimisation. Les méthodes analytiques consistent à utiliser les équations du modèle de comportement de façone à obtenir un système d équations linéaires dont les inconnues sont les paramètres recherchés. C est l approche dite inverse. Des travaux récents ont utilisé cette méthode avec la loi élastoplastique de Nova (Mestat et al, 2000). Les méthodes à base de corrélations sont utilisées bien souvent en complément d une approche par optimisation. Elles donnent une première estimation des paramètres du sol qui peut constituer la valeur initiale des paramètres introduits dans une démarche d optimisation. Les méthodes d optimisation sont appliquées lorsque les paramètres d un modèle de comportement se prêtent mal à une approche directe par construction graphique ou approche analytique. Un algorithme d optimisation est utilisé pour minimiser une fonction qui dépend de l ensemble des paramètres et qui mesure l écart entre la réponse numérique et la réponse expérimentale. Les résultats expérimentaux peuvent être d origines diverses : essais de laboratoire, essais in situ, mesures de convergences en tunnel Des travaux d identifications à partir d essais pressiométriques ont été réalisés ces dernières années (Zentar, 2001). Malgré le développement croissant des méthodes d identification, peu ont été employées sur un ouvrage réel (Jeon et al, 2004 ; Finno et al, 2005). Cet article présente l application d une méthode d optimisation au creusement d un tunnel simulé par une modélisation bidimensionnelle en déformations planes. Le logiciel d optimisation testé est couplé au code de calcul CESAR-LCPC qui fournit la réponse numérique. Cet article permet de mettre en évidence l influence de la valeur initiale des paramètres sur le résultat de l optimisation. Pour cela, plusieurs valeurs initiales sont étudiées. Cette étude n est pas fondée sur un cas réel et a pour but de compléter l évaluation du logiciel préalablement effectuée pour l appliquer à un ouvrage souterrain réel. En effet, ce logiciel a déjà fait l objet de tests sur des essais simples (Eclaircy-Caudron et al, 2006b) et sur la modélisation du creusement d un tunnel en conditions axisymétriques (Eclaircy-Caudron et al, 2006a). Tout d abord, nous allons présenter la méthode d optimisation, le logiciel utilisé ainsi que la démarche suivie. Puis, nous présenterons le modèle numérique réalisé. Enfin, nous donnerons les principaux résultats obtenus. Session 1 - Risques géotechniques sur les ouvrages de génie civil et industriel I - 105

S. Eclaircy-Caudron et al. 2. Présentation générale 2.1. La méthode d optimisation : principes et recommandations Le problème inverse est illustré en figure 1. Il s agit de déterminer les paramètres (P) du modèle de comportement adopté (M) connaissant la réponse du système (S) sous les sollicitations imposées (A). L identification se ramène à la résolution d un problème d optimisation non linéaire. Le procédé d optimisation tente de minimiser une fonction coût qui mesure, pour un jeu de paramètres donné, l écart entre les prévisions du modèle et la réalité physique représentée par les observations expérimentales (réponse mesurée en figure 1). Les prévisions du modèle sont obtenues par des simulations numériques (réponse calculée en figure 1). Le processus s arrête quand la fonction coût est inférieure à une valeur fixée au préalable. Le jeu de paramètres correspondant est alors le jeu de paramètres recherché. Chargement (A) Système (S) Conditions initiales Conditions aux limites Modèle de comportement (M) Réponse calculée Jeu de paramètres initial Données d entrée CESAR-LCPC INTERFACE Résultats numériques Paramètres (P)? Réponse mesurée Résultats d essais Auscultations Réponse mesurée SiDoLo Jeu de paramètres optimum Figure 1. Principe du problème inverse Figure 2. Principe du couplage Avant d avoir recours à des procédés d analyses inverses, il faut mener une étude de sensibilité des paramètres afin de cerner les paramètres qui ont une influence sur la réponse du modèle de comportement. Seuls ces paramètres pourront être identifiés. De plus, il faut évidemment disposer de mesures fiables sans quoi les paramètres identifiés seront erronés. Le modèle numérique qui sert à calculer la réponse doit être adapté au problème. La loi de comportement adoptée doit être représentative du chemin de contrainte suivi par le massif. Les conditions initiales et aux limites doivent êtres fidèles à la réalité. La géométrie doit être également la plus proche possible de la géométrie réelle. 2.2. Le logiciel d optimisation Le logiciel utilisé : SiDoLo (Pilvin, 1983) est en fait un outil de simulation et d optimisation. Il permet de programmer très simplement les équations d un modèle explicite ou différentiel et d obtenir les réponses de ce modèle à diverses sollicitations. Mais, pour les modèles qui nécessitent la résolution d autres types d équations, il convient de le coupler à un code de calcul extérieur et de n utiliser que sa fonction d optimisation. Dans cet article, nous le couplons avec CESAR-LCPC. Le principe du couplage est illustré en figure 2. Pour faire le lien entre les deux logiciels, il est nécessaire d écrire un programme interface. La fonction identification de SiDoLo permet une estimation de tous les paramètres du modèle de comportement. En effet, le nombre de paramètres à identifier n est pas limité. Il est aussi possible de limiter le domaine de variation de certains paramètres en définissant des bornes. Des contraintes d optimisation peuvent également être introduites. Ces contraintes sont définies par des inégalités et sont fonctions des paramètres. Le nombre d itérations peut être limité si nécessaire afin de conserver des temps de calcul acceptable. Le logiciel utilise un algorithme d optimisation I - 106 Session 1 - Risques géotechniques sur les ouvrages de génie civil et industriel

JNGG 2006 hybride qui combine deux techniques classiques de minimisation : la méthode du gradient et une variante de la méthode de Lavenberg-Marquardt pour accélérer la convergence lorsque la solution est proche. 2.3. Démarche suivie Afin d évaluer la capacité du logiciel à identifier les paramètres mécaniques d un modèle de comportement, la réponse calculée avec un jeu de paramètres de référence est considérée comme la référence expérimentale. Cette approche permet de nous affranchir des problèmes liés à la représentativité du modèle de comportement adopté et des conditions aux limites simulées. La valeur de référence des paramètres que nous allons tenter d identifier est présentée dans le tableau I. Les différentes valeurs initiales considérées pour chaque paramètre sont également répertoriées dans le tableau I. En effet, différents jeux de valeurs initiales ont été introduits afin de montrer leur influence sur les résultats de l optimisation. Un modèle de comportement linéaire élastique parfaitement plastique avec un critère de rupture de Mohr-Coulomb est adopté. Tableau I. Valeurs initiales et de référence de chaque paramètre Paramètres Valeurs de valeurs initiales référence Jeu 1 Jeu 2 Jeu 3 Jeu 4 E (MPa) 200 100 300 150 250 C (kpa) 100 75 150 75 125 Φ ( ) 35 17,5 45 26,25 43,75 Ψ ( ) 0 9,75 9,75 5,5 5,5 Dans un premier temps, les paramètres sont identifiés avec peu de variables observées puis le nombre d observations est augmenté afin de montrer l influence de la quantité de mesures disponibles sur les résultats obtenus. 3. Présentation du modèle 3.1. Le modèle numérique Le tunnel est modélisé en déformations planes. Le maillage réalisé s étend sur 100 m (=7D) dans le sens de la hauteur et sur 75 m (=5D) dans la direction transversale afin de limiter l influence des conditions aux limites. Il comporte environ 3300 nœuds et 1600 éléments. Le modèle réalisé est illustré en figure 3. Le champ de contraintes initiales est anisotrope. Le coefficient de pression des terres est pris égal à 0,7. Une hauteur de couverture de 25 m est simulée au dessus de la clé de voûte. Après la phase d excavation, un soutènement de 0,2 m d épaisseur est activé. 3.2. Les observations expérimentales La figure 4 situe les différents points de mesures expérimentales utilisés pour l optimisation. Trois d entre eux correspondent à la convergence et au nivellement de la paroi du tunnel dans une section transversale donnée (points 1 à 3 en figure 4). Cinq mesures sont observées pour ces trois points : nivellement pour les trois points et convergence pour les points 2 et 3. La section transversale étudiée est supposée suffisamment éloignée du front de taille pour que l équilibre soit atteint. Le taux de déconfinement introduit est alors celui calculé par la méthode convergence confinement (Panet, 1995) et est pris égal à 0,784. Le taux de déconfinement correspondant de la section étudiée pourrait également constituer un paramètre supplémentaire Session 1 - Risques géotechniques sur les ouvrages de génie civil et industriel I - 107

S. Eclaircy-Caudron et al. à identifier. Les autres points correspondent aux déplacements mesurés le long de deux extensomètres radiaux à une distance de 1 m, 2 m, 4 m, 6 m, 8 m et 10 m de la paroi de l excavation en clé de voûte (extensomètre 1 en figure 4) ou dans la partie circulaire (extensomètre 2 en figure 4). Pour chaque extensomètre, six mesures sont observées. Finalement, cinq (mesures de convergence et de nivellement), six (mesures relevées sur un extensomètre), douze (mesures issues des deux extensomètres) ou dix-sept (toutes les mesures) observations expérimentales sont utilisées pour l optimisation. Extensomètre 1 9 R=7 m 8 7 0,2 m 6 7D 5D 3,7 m 1 5 4 2 10 11 12 13 Extensomètre 2 14 15 2,5 m 3 Figure 3. Le maillage global Figure 4. Localisation des points de mesure 4. Résultats 4.1. Etude de sensibilité des paramètres Tableau II. Influence des paramètres sur les variables observées Paramètres Convergence Nivellement Extensomètre en voûte Extensomètre au milieu de la voûte E ++ ++ ++ C + + + Φ +++ +++ +++ ν -- - - Ψ - + - Avant de recourir à l analyse inverse, une étude de sensibilité a été réalisée afin de mettre en évidence les paramètres qui ont une influence sur la valeur des variables observées. Seuls ces paramètres pourront être identifiés par la méthode d optimisation. L influence de chaque paramètre sur les variables observées est notifiée dans le tableau II. Finalement, ce sont le coefficient de Poisson et l angle de dilatance qui ont le moins d influence sur les variables observées. Leur influence est très faible sur les mesures de convergences et de nivellement. Par conséquent, ces paramètres ne seront pas identifiés à partir des mesures de convergences et de nivellement seules. L influence de ν sur les déplacements mesurés le long des extensomètres est également très faible. Donc, ce paramètre ne pourra pas être identifié. Il sera pris égal à 0,3, ce qui correspond généralement à la valeur observée pour les sols. Par contre, l angle de dilatance influence les déplacements mesurés le long de l extensomètre situé en clé de voûte. Donc, ce paramètre pourra être identifié en présence des déplacements mesurés sur l extensomètre situé en clé de voûte. Les trois autres paramètres pourront tenter d être identifiés quelles que soient les variables observées considérées. I - 108 Session 1 - Risques géotechniques sur les ouvrages de génie civil et industriel

JNGG 2006 4.2. Analyse inverse En élastoplasticité, un nombre important de tests a été réalisé. Les mesures de convergence et de nivellement ou les mesures issues d un extensomètre suffisent seules pour identifier chacun des paramètres du modèle de manière individuelle avec les différents jeux de valeurs initiales. Le nombre d itérations nécessaire à l optimisation de chacun des paramètres varie selon le paramètre considéré et la valeur initiale introduite. Les paramètres sont identifiés avec une bonne précision puisque la valeur optimisée par SiDoLo diffère d au plus 0,01 % de la valeur de référence quel que soit le paramètre. Comme chacun des paramètres peut être identifié individuellement quelles que soient les variables observées considérées, l identification de plusieurs paramètres simultanément a été tentée. Les résultats obtenus sont présentés en fonction des variables observées considérées. 4.2.1. Mesures de convergence - nivellement Le tableau III présente les tentatives d identifications de couples réalisées en présence des mesures de convergence et de nivellement comme variables observées (points 1 à 3) et les résultats obtenus. Tableau III. Tests réalisés à partir des mesures des points 1 à 3 Paramètres Succès E, Φ non E, C non C, Φ non Les résultats présentés dans le tableau III montrent que l identification de couples de paramètres à partir des mesures de convergence et de nivellement seules n est pas possible. En effet, les couples de paramètres identifiés par SiDoLo dépendent de la valeur initiale des paramètres introduite. Le processus d optimisation converge vers un couple solution qui n est pas toujours celui attendu. La solution du problème d optimisation n est donc pas unique. 4.2.2. Mesures issues d un extensomètre Tableau IV. Tests réalisés à partir des mesures des points 4 à 9 Paramètres Succès E, Φ non E, C non C, Φ non E, Ψ non C, Ψ non Φ, Ψ non A partir des mesures de l un des deux extensomètres, les mêmes résultats sont obtenus. Les résultats présentés dans les tableaux IV et V montrent en effet que l identification de couples de paramètres à partir de ces mesures n est pas possible. Le processus d identification converge vers une solution qui n est pas toujours celle attendue. Donc, la solution du problème n est pas unique comme le montre la figure 5 qui compare, pour l optimisation du couple E, Φ, la réponse calculée avec le jeu de référence à la réponse numérique calculée à partir d un jeu de paramètres E, Φ fourni par SiDoLo qui ne correspond pas au jeu de référence. Bien que le couple solution ne soit pas le jeu de référence, la réponse numérique calculée est proche de la réponse de référence. Il faut donc disposer d un plus grand nombre de mesures pour identifier plusieurs paramètres du modèle simultanément. Des essais d identifications des paramètres à partir des mesures des deux extensomètres ont donc été menés. Session 1 - Risques géotechniques sur les ouvrages de génie civil et industriel I - 109

S. Eclaircy-Caudron et al. Tableau V. Tests réalisés à partir des mesures des points 10 à 15 Paramètres Succès E, Φ non E, C non C, Φ non -4-4 Déplacement (mm) -3.8-3.6-3.4-3.2-3 Réponse de référence Réponse numérique après optimisation -2.8 pt 4 pt 5 pt 6 pt 7 pt 8 pt 9 Déplacement (mm) -3.5-3 -2.5 Réponse de référence Réponse numérique après optimisation -2 pt 4 pt 5 pt 6 pt 7 pt 8 pt 9 Figure 5. Comparaison des réponses obtenues après optimisation du couple E, Φ pour une valeur initiale des paramètres égale à celle du jeu 3 (cf. tableau I). Figure 6. Comparaison des réponses obtenues pour l extensomètre 1 après optimisation des paramètres E, Φ, Ψ pour une valeur initiale des paramètres égale à celle du jeu 2 (cf. tableau I). 4.2.3. Mesures issues des deux extensomètres Tableau VI. Tests réalisés à partir des mesures des points 4 à 15 Paramètres Succès Ecart ou valeur maximal E, Φ oui E : 15 % ; Φ : 8 % E, C oui E : 11 % ; C : 11 % C, Φ oui C : 4 % ; Φ : 2% E, Ψ oui E : 2 % ; Ψ=0,2 C, Ψ oui C : 2 % ; Ψ=0,6 Φ, Ψ oui Φ : 0,7 % ; Ψ=0,3 E, C, Φ non E : 33 % ; C : 25 % ; Φ : 31 % E, Φ, Ψ non E : 37 % ; Φ : 12 % ; Ψ=6,6 E, C, Ψ oui E : 12 % ; C : 12 % ; Ψ=1,4 C, Φ, Ψ non C : 30 % ; Φ : 10 % ; Ψ=4,5 Le tableau VI résume l ensemble des tentatives d identification réalisées en présence des mesures issues des deux extensomètres (point 4 à 15). Les résultats indiqués montrent qu à partir des mesures des deux extensomètres radiaux il est possible d identifier tous les couples de paramètres. La différence maximale entre la valeur de référence et le couple optimisé est de l ordre de 15 % et est obtenue pour le couple E, Φ. Cette différence reste faible bien que le processus d optimisation ne soit pas toujours terminé au bout du nombre limité d itérations. Les résultats obtenus dans le tableau VI montrent aussi qu il est possible d identifier avec ces mesures les trois paramètres E, C et ψ simultanément. Les résultats obtenus lors de l identification de ces trois paramètres sont répertoriés dans le tableau VII. Le processus d identification conduit à d assez bons résultats même si l optimisation n est pas terminée à la dernière itération. En effet, la valeur optimisée fournie par SiDoLo diffère d au plus 12 % de la valeur de référence. Pour les autres ensembles de trois paramètres, les résultats obtenus sont dépendants de la valeur initiale des paramètres introduite dans l algorithme sauf pour le I - 110 Session 1 - Risques géotechniques sur les ouvrages de génie civil et industriel

JNGG 2006 paramètre Φ qui est toujours identifié avec une bonne précision puisque sa valeur optimisée diffère d au plus 13 % de sa valeur de référence. Cette observation peut s expliquer par le fait que ce paramètre est celui qui influence le plus les variables observées. Bien que la valeur fournie par SiDoLo pour les autres paramètres ne s approche pas de la valeur de référence la réponse numérique calculée avec le jeu optimisé est toujours proche de la réponse de référence comme l illustre la figure 6 lors de l identification des paramètres E, Φ, ψ pour une valeur initiale. Cela signifie donc que le module d Young et l angle de dilatance n influencent pas assez les variables observées pour être identifiés en même temps que l angle de frottement avec une bonne précision. Pour identifier simultanément tous les ensembles de trois paramètres, Il semble donc nécessaire de disposer de mesures complémentaires. Tableau VII. Résultats obtenus lors de l identification des paramètres E, C et ψ à partir des mesures des deux extensomètres Valeurs initiales Valeurs optimisées E C Ψ ( ) E (MPa) C (kpa) Ψ ( ) 1,5Eo 1,5Co 9,75 176 108 1,29 0,5Eo 0,75Co 9,75 204 96 0,6 1,25Eo 1,25Co 5,5 214 88 1,4 0,75Eo 0,75Co 5,5 206 93 0,9 4.2.4. Mesures issues des deux extensomètres et mesures de convergence - nivellement Les tentatives d identification réalisées à partir de tous les points de mesures et les résultats obtenus sont présentés dans le tableau VIII. Tableau VIII. Tests réalisés en élastoplasticité à partir des mesures des points 1 à 15 Paramètres Succès E, C, Φ non E, Φ, Ψ non E, C, Ψ non C, Φ, Ψ non Dans le cas de l optimisation des paramètres E, C et ψ, il semble que le nombre de mesures disponibles soit surabondant puisque les trois paramètres E, C et ψ qui étaient identifiés à partir des mesures issues des deux extensomètres ne sont pas toujours identifiés en présence de l ensemble des mesures. En effet, le résultat obtenu dépend de la valeur initiale des paramètres introduite car pour un jeu initial de paramètre (Jeu 1 dans le tableau I) la solution fournie n est pas celle attendue. Pour les autres ensembles de trois paramètres, deux phénomènes apparaissent. Soit SiDoLo converge vers une solution qui n est pas toujours celle attendue bien que la réponse calculée avec les paramètres fournis soit encore proche de la réponse de référence. Soit, il fourni une bonne valeur pour Φ mais pas pour les autres paramètres comme en présence des deux extensomètres seuls. L identification de trois paramètres ou plus ne semble pas envisageable pour des projets classiques mais l est probablement pour des projets de recherches où l instrumentation est plus importante. 5. Conclusions L étude présentée permet de mettre en évidence pour certaines identifications l influence de la valeur initiale introduite dans le processus d optimisation sur les résultats obtenus. En effet, quelque fois le processus converge vers des minimums locaux différents de ceux espérés. Cet article permet aussi de montrer les difficultés qui peuvent être rencontrées lors de l identification de paramètres qui influencent peu les variables observées. Finalement, les résultats présentés permettent de déterminer les paramètres que nous pouvons espérer identifier en fonction des Session 1 - Risques géotechniques sur les ouvrages de génie civil et industriel I - 111

S. Eclaircy-Caudron et al. variables observées dont nous disposons avec une modélisation bidimensionnelle en déformations planes et de les limiter au nombre de deux. 6. Références bibliographiques Eclaircy-Caudron S., Billat E., Dias D., Kastner R. (2006a) Inverse analysis on an axisymetric model of a tunnel. First Euro Mediterranean in Advances on Geomaterials and Structures, Hammamet (Tunisia), 3-5 May 2006. Eclaircy-Caudron S., Dias D., Chantron L., Kastner R. (2006b) Evaluation of a back analysis method on simple tests. Fouth International FLAC Symposium on Numerical Modelling in Geomechanics, Madrid (Spain), 29-31 May 2006. Finno R.J., Calvello, M. (2005) Supported Excavations: the Observational Method and Inverse Modeling. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering 131 (7), 826-836. Hicher P.Y., Shao J.F. (2002) Modèles de comportement des sols et des roches 2: lois incrémentales, viscoplasticité, endommagement. Hermès Science Publications. Itech (2002) Cleo2D user s manual. Jeon Y.S., Yang H.S. (2004) Development of a back analysis algorithm using FLAC. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences 41 (1), 447-453. Mestat Ph., Arafati N. (2000) Modélisation des sables avec la loi de Nova: détermination des paramètres et influence sur les simulations. Bulletin des LCPC 225, 21-40. Panet M. (1995) Le calcul des tunnels par la méthode convergence-confinement. Presses de l école nationale des Ponts et Chaussées. Pilvin P. (1983) Modélisation du comportement d assemblages des structures à barres. Thèse, Université Paris VI, Paris, France. SiDoLo version 2.4495. (2003) Notice d utilisation. Laboratoire Génie Mécanique et Matériaux de l Université de Bretagne-Sud, Lorient, France. Zentar R. (1999) Analyse inverse des essais pressiométriques : Application à l argile de Saint- Herblain. Thèse, Ecole Centrale, Nantes, France. I - 112 Session 1 - Risques géotechniques sur les ouvrages de génie civil et industriel