7.1.1: Quel est l espace occupé? 8 e année Étude des cylindres Avec ton partenaire, détermine le volume et la capacité des cylindres fournis. Pensez aux différentes façons de trouver le volume et la capacité. Pouvez-vous prédire le volume ou la capacité d un cylindre en fonction de ce que vous savez déjà d un cylindre connexe (p. ex. : rouleau de papier essuie-tout et rouleau de papier hygiénique)? Nom de l objet Dimensions Mesurées (s'il y a lieu) Volume Capacité Lien entre le volume et la capacité (identique/différent) Pourquoi?
7.1.2: Quel est l espace occupé? 8 e année Volume et capacité à la maison Trouve 5 situations où on se sert du volume et de la capacité à la maison. Au moins 3 de ces exemples doivent avoir trait aux cylindres. Pour chacune des situations : Décris la situation. Comment utilise-t-on le volume? Comment utilise-t-on la capacité? Sont-ils identiques ou différents? Pourquoi? Situation (description) Exemple : Tasse de voyage thermale ressemble à un large cylindre sur le dessus d un cylindre plus petit avec une poignée. Volume (descripition) L espace occupé par la tasse en entier, y compris la base et la poignée. Capacité (description) L espace pouvant être rempli par le café que ma mère y verse. Identique/ différent? Différent Explique pourquoi Les parois de la tasse sont épaisses, donc sa capacité à contenir du liquide est inférieure à son volume. Je dois soustraire l épaisseur des parois du volume pour calculer la capacité.
7.3.1: Volume d un cylindre 8 e année A. Un cylindre a un volume de 10 m 3. Quelles pourraient être ses dimensions (hauteur, aire de la base, rayon et diamètre)? Indique 4 possibilités de cylindre. Volume = 10 m 3 Hauteur Aire de la base Rayon Diamètre Cylindre A Cylindre B Cylindre C Cylindre D Comment sais-tu si tes réponses sont correctes? Combien y a-t-il de possibilités? Pourquoi selon toi? B. Un cylindre a un diamètre de 10 cm. Quel pourrait être son volume? Donne le rayon, l aire de la base et la hauteur pour 4 volumes possibles. Diamètre = 10 cm Rayon Aire de la base Hauteur Volume Cylindre A Cylindre B Cylindre C Cylindre D Comment sais-tu si tes réponses sont correctes? Combien y a-t-il de possibilités? Pourquoi selon toi?
7.3.1: Volume d'un cylindre (suite) 8 e année C. La famille de Samir a décidé d'acheter une piscine hors terre cylindrique pour la cour arrière. Le meilleur endroit dans la cour pour l installer mesure 360 cm. La plus grande piscine qu ils peuvent acheter a une hauteur de 120 cm. Quel est le volume de la plus grande piscine qu ils peuvent acheter? Donne ta réponse en centimètres cubes (cm 3 ) et en mètres cubes (m 3 ). Les parois de la piscine se gonflent de 10 cm d épaisseur, mais le fond de la piscine est simplement fait d un morceau de vinyle. Quelle serait la pleine capacité de cette piscine? Les directives du fabricant avisent que la piscine doit être remplie à 90 % de sa capacité seulement. Combien faudrait-il d eau pour remplir la piscine à 90 % de sa capacité? Donne ta réponse en centimètres cubes (cm 3 ) et en litres. Remarque : 1 litre = 1000 cm 3.
BLM 7.3.1: Volume d un cylindre Exemple de réponses 8 e année A. Un cylindre a un volume de 10 m 3. Quelles pourraient être ses dimensions (hauteur, aire de la base, rayon et diamètre)? Indique 4 possibilités de cylindre. Volume = 10 m 3 Hauteur Aire de la base Rayon Diamètre Cylindre A 1 m 10 m 2 1,78 m 3,57 m Cylindre B 2 m 5 m 2 1,26 m 2,52 m Cylindre C 3 m 3,33 m 2 1,03 m 2,06 m Cylindre D 4 m 2,5 m 2 0,89 m 1,78 m Comment sais-tu si tes réponses sont correctes? À mesure que la hauteur du cylindre augmente, l aire de la base diminue, car le volume demeure le même. Cela signifie que le rayon et le diamètre diminuent également. Combien y a-t-il de possibilités? Pourquoi selon toi? Il existe un nombre infini de possibilités, parce que je pourrais me servir des fractions ou des décimales pour différentes hauteurs, ce qui me permettrait d obtenir différents cylindres ayant tous le même volume. B. Un cylindre a un diamètre de 10 cm. Quel pourrait être son volume? Donne le rayon, l aire de la base et la hauteur pour 4 volumes possibles. Diamètre = 10 cm Rayon Aire de la base Hauteur Volume Cylindre A 5 cm 78,54 cm 2 1 cm 78,54 cm 3 Cylindre B 5 cm 78,54 cm 2 2 cm 157,08 cm 3 Cylindre C 5 cm 78,54 cm 2 3 cm 235,62 cm 3 Cylindre D 5 cm 78,54 cm 2 4 cm 314,16 cm 3 Comment sais-tu si tes réponses sont correctes? L aire de la base doit demeurer la même, parce que le diamètre ne change pas. À mesure que la hauteur du cylindre augmente, le volume augmente dans les mêmes proportions. Combien y a-t-il de possibilités? Pourquoi selon toi? Il existe un nombre infini de possibilités, parce que je pourrais me servir des fractions ou des décimales pour différentes hauteurs, ce qui me permettrait d'obtenir différents cylindres ayant tous le même volume.
Exemple de réponses (suite) D. C. La famille de Samir a décidé d'acheter une piscine hors terre cylindrique pour la cour arrière. Le meilleur endroit dans la cour pour l installer mesure 360 cm. La plus grande piscine qu ils peuvent acheter a une hauteur de 120 cm. Quel est le volume de la plus grande piscine qu ils peuvent acheter? Donne ta réponse en centimètres cubes (cm 3 ) et en mètres cubes (m 3 ). Rayon = ½ du diamètre Rayon = ½ x 360 cm Rayon = 180 cm V cylindre = r 2 h [Remarque : Les calculs suivants se basent sur l utilisation de = 3,14.] Volume = 3,14 x 180 2 x 120 Volume = 12 208 320 cm 3 ou 12.21 m 3 (puisque 1 000 000 cm 3 = 1 m 3 ) Les parois de la piscine se gonflent de 10 cm d épaisseur, mais le fond de la piscine est simplement fait d un morceau de vinyle. Quelle serait la pleine capacité de cette piscine? Capacité de la piscine = volume à l intérieur de la piscine Diamètre de l intérieur de la piscine = diamètre à l extérieur de la piscine épaisseur des 2 parois Diamètre de l intérieur de la piscine = 360 cm (2 x 10) cm Diamètre de l intérieur de la piscine = 360 cm 20 cm Diamètre de l intérieur de la piscine = 340 cm Rayon = ½ du diamètre Rayon = ½ x 340 cm Rayon = 170 cm V cylindre = r 2 h Volume de l intérieur de la piscine (capacité) = 3.14 x 170 2 x 120 Capacité = 10 889 520 cm 3 ou 10.89 m 3 (puisque 1 000 000 cm 3 = 1 m 3 ) Les directives du fabricant avisent que la piscine doit être remplie à 90 % de sa capacité seulement. Combien faudrait-il d eau pour remplir la piscine à 90 % de sa capacité? Donne ta réponse en centimètres cubes (cm 3 ) et en litres. Remarque : 1 litre = 1000 cm 3. Capacité de la piscine = 10 889 520 cm 3 90 % de la capacité = 10 889 520 cm 3 x 0.9 90 % de la capacité = 9 800 568 cm 3 ou 9 800,57 litres
7.4.1: Fabrication d un cylindre (1 cercle par élève) 8 e année
7.4.2: D une extrémité à l autre 8 e année A. Shahmeen a acheté une affiche en cadeau à sa meilleure amie et veut l emballer pour lui faire une surprise. Shahmeen roule l affiche en cylindre et a tout juste assez de papier d emballage pour couvrir l affiche et les extrémités du cylindre sans que le papier ne se chevauche. Quelle est la quantité de papier d emballage dont dispose Shahmeen si le cylindre a une longueur de 60 cm et un diamètre de 4 cm? B. Mme Calcul, le professeur de mathématiques, possède un bâton de pluie d'une longueur de 80 cm qui imite le son de l'eau qui coule lorsqu'elle le tourne à l'envers. Lorsque les élèves entendent ce son, ils savent qu'ils doivent devenir attentifs. Son bâton de pluie est fait d un gros morceau de bambou pour la partie longue du cylindre et d embouts en bambou à chaque extrémité. Sa circonférence est de 22 cm. Quelle est l aire de la surface de son bâton de pluie en bambou?
e 7.4.2: D une extrémité à l autre Exemples de réponses 8 année [Remarque : Les calculs qui suivent se basent sur l utilisation de = 3,14] C. Shahmeen a acheté une affiche en cadeau à sa meilleure amie et veut l emballer pour lui faire une surprise. Shahmeen roule l affiche en cylindre et a tout juste assez de papier d emballage pour couvrir l affiche et les extrémités du cylindre sans que le papier ne se chevauche. Quelle est la quantité de papier d emballage dont dispose Shahmeen si le cylindre a une longueur de 60 cm et un diamètre de 4 cm? Rayon = ½ du diamètre Rayon = ½ x 4 cm Rayon = 2 cm AS cylindre = 2 r 2 + 2 rh AS = 2 x 3,14 x 2 2 + 2 x 3,14 x 2 x 60 AS = 25,12 + 753,6 AS = 778,72 cm 2 D. Mme Calcul, le professeur de mathématiques, possède un bâton de pluie d'une longueur de 80 cm qui imite le son de l'eau qui coule lorsqu'elle le tourne à l'envers. Lorsque les élèves entendent ce son, ils savent qu'ils doivent devenir attentifs. Son bâton de pluie est fait d un gros morceau de bambou pour la partie longue du cylindre et d embouts en bambou à chaque extrémité. Sa circonférence est de 22 cm. Quelle est l aire de la surface de son bâton de pluie en bambou? Diamètre = Circonférence/ Diamètre = 22 cm/3,14 Diamètre = 7,01 cm Rayon = ½ du diamètre Rayon = ½ x 7.01 cm Rayon = 3,51 cm AS cylindre = 2 r 2 + 2 rh Aire de la surface = 2 x 3,14 x 3,51 2 + 2 x 3,14 x 3,51 x 80 Aire de la surface = 77,37 + 1 763,42 Aire de la surface = 1 840,79 cm 2
7.6.1: Résolution de problème à l aide de l aire de la surface et du volume 8e année TÂCHE A Une cannette de boisson gazeuse est en partie remplie seulement (voir l'illustration). r = 3, 3 cm h = 12 cm h = 8 cm Question 1 : Quel est le volume total de la cannette? Question 2 : Quel est le volume de boisson gazeuse dans la cannette? Question 3 : Quel est le volume de la partie vide de la cannette? (le volume d air) Question 4 : Quel est le rapport de boisson gazeuse par rapport à la quantité d'air dans la cannette?
TÂCHE B Une entreprise tente de décider quel modèle utiliser pour son nouveau contenant de garniture pour tarte. Voici les deux possibilités : Option 1 Option 2 r = 4 cm r = 2 cm h = 8 cm Calcule : Le volume de chaque contenant. h = 32 cm Prédis : Selon toi, quel contenant de garniture pour tartes nécessitera la plus grande quantité d aluminium pour sa fabrication? Justifie : Pourquoi selon toi s agira t il du contenant que tu avais prédit? Prouve : Calcule l'aire de la surface de chacun des contenants à garniture pour tartes.
7.6.2: Activités à faire en classe ou à la maison 8 e année 1. Calcule l aire de la surface et le volume du cylindre ci-dessous : r = 8 cm Volume h= 31 cm Aire de la surface 2. Un piston occupe une partie d un cylindre d automobile (voir l illustration). Calcule le volume d air, aussi appelé volume de la chambre de compression, du cylindre. r = 2 Volume de la chambre de compression (AIR) 8 5 PISTON 3. Une entreprise doit concevoir une cannette cylindrique qui nécessite entre 50 cm 2 et 100 cm 2 d aluminium. À quoi pourrait ressembler la cannette? Dessine-la et calcule son volume.