Théorie des graphes pour l analyse de réseaux réels Bertrand Jouve Laboratoire ERIC - IXXI - Université Lyon 2
Plan 1 Entre théorie des graphes et réseaux réels 2 Partitionnement métrique Exemple d étude : organisation cortico-corticale 3 Décomposition en Clans Exemple d étude : procédure de vote 4 Graphes cospectraux Exemple d étude : modélisation de réseaux sociaux anciens 5 Réduction de graphe par démontabilité Exemple d étude : dynamique de parcellaires 6 Conclusion
Définition [Graphe] G = (V, E) où V est un ensemble non vide et E un ensemble de couples d éléments de V. [Réseau] Un réseau est un graphe dont les individus et les relations présentent des caractéristiques quantitatives ou qualitatives. [Système complexe] Grand nombre d entités en interaction formant un ensemble dont le comportement est imprévisible pour l observateur car résultant d interactions non triviales.
Définition [Graphe] G = (V, E) où V est un ensemble non vide et E un ensemble de couples d éléments de V. [Réseau] Un réseau est un graphe dont les individus et les relations présentent des caractéristiques quantitatives ou qualitatives. [Système complexe] Grand nombre d entités en interaction formant un ensemble dont le comportement est imprévisible pour l observateur car résultant d interactions non triviales. Deux objectifs pour l étude des sytèmes complexes : DESCRIPTIFS et PREDICTIFS.
La démarche générale 1 Etant donné un système complexe à étudier, définir les réseaux d interactions qui peuvent aider à sa compréhension. 2 Utiliser et enrichir l ensemble des outils mathématiques qui permettent l étude formelle de ces réseaux. 3 Appliquer aux systèmes à l étude et exploiter les résultats obtenus pour enrichir des approches SHS-centrées. 4 boucler sur 2. en particulier les apports et limites de la théorie des graphes : analyse des données, analyse spectrale, combinatoire, topologie. Des applications
et la différence par rapport à l analyse des réseaux classique...
Partitionnement métrique Problème : Partitionner le graphe en classes qui satisfont certaines propriétés définies à l avance en le plongeant dans un espace géométrique. Ce type d approche pour l analyse de graphes n est pas récent (Benzecri dans les années 70, Lebart dans les années 80,...) mais a été relancé dans les années 90 / 00 avec la construction de réseaux réels dans des domaines très variés.
G = (V, E) graphe non orienté. Objectif : Partitionner G en sous-graphes denses (communautés?). Principe de la méthode munir V d une dissimilarité d (souvent une comparaison des voisins) plonger (V, d) dans (R n, d 2 ) et étudier la forme du nuage plongé. projeter le nuage sur les 1 ères dimensions d une A.C.P. effectuer une Classification automatique des points de la projection. Exemple : d 2 (i, j) = V[i] V[j] V[i] + V[j]
Extension aux graphes orientés et ou pondérés. Objectif : Partitionner G en sous-graphes denses et différencier ceux qui sont des pseudo-sources ou pseudo-puits. La distance entre deux sommets i et j s écrit d 2 (i, j) = f ( V + [i], V + [j] ) + f ( V [i], V [j] ) ou plus généralement ) ) f (V + [i], V + [j], V + 2 [i], V +2 [j], + f (V + [i], V + [j], V + 2 [i], V +2 [j], Exemple : Si f est le carré de la métrique de Dice, d s écrit d 2 (i, j) = V[i] V[j] V[i] + V[j] d 2 (i, j) = V + [i] V + [j] V + [i] + V + [j] + V [i] V [j] V [i] + V [j] d est euclidienne ainsi que son extension aux graphes pondérés.
Résultats [1998 ; 2001] Si f est un indice de proximité pour tableaux de présence / absence, on construit des familles de dissimilarités pour graphes orientés qui héritent des propriétés de f. a =< a i, a j > b =< a i, 1 a j > c =< 1 a i, a j > d =< 1 a i, 1 a j > Exemple : d 2 = Résultats [2002] b+c 2a+b+c Dans certains cas, il est possible de déterminer formellement l information portée par les 1 ers axes factoriels de l A.C.P. Sous l hypothèse de 1 ères valeurs propres assez distantes, le graphe peut être perturbé.
Modèles jouets : G p=3,q=3 Les p premières dimensions portent le nombre de cliques Les p + 1 à p + q 1 dimensions suivantes portent les couplages. G GAR (4, 10, 0.6, 0.2)
Exemple d étude : organisation cortico-corticale Outils et résultats [1998 ; 2004] Extension sous contraintes du réseau neuronal. Questions : Représentation géométrique de réseaux orientés. SLN : associer hiérarchie et représentation bidimensionnelles. Quelle modularité corticale dans l organisation anatomo-fonctionnelle du cortex? Comment traiter une connaissance incomplète du réseau neuronal? Une ou plusieurs hiérarchies?
Exemple d étude : organisation cortico-corticale Questions : Quelle modularité corticale dans l organisation anatomo-fonctionnelle du cortex? Comment traiter une connaissance incomplète du réseau neuronal? Une ou plusieurs hiérarchies? Outils et résultats [1998 ; 2004] Extension sous contraintes du réseau neuronal. Représentation géométrique de réseaux orientés. SLN : associer hiérarchie et représentation bidimensionnelles.
Exemple d étude : organisation cortico-corticale Questions : Quelle modularité corticale dans l organisation anatomo-fonctionnelle du cortex? Comment traiter une connaissance incomplète du réseau neuronal? Une ou plusieurs hiérarchies? Outils et résultats [1998 ; 2004] Extension sous contraintes du réseau neuronal. Représentation géométrique de réseaux orientés. SLN : associer hiérarchie et représentation bidimensionnelles.
Notion de communautés La notion de communauté apparaît souvent centrale car elle permet une schématisation du réseau et donc une approche à un autre niveau de granulométrie. Pour autant elle n admet pas de définition unique. Si l on ne regarde que la structure du graphe, les définitions suivantes correspondent à des notions combinatoires bien étudiéees : Les sommets d une même communauté sont vus de la même manière par un invidividu extérieur à la communauté, Tous les éléments d une communauté se connaissent 2 à 2, Deux sommets d une communauté sont interchangeables....
Décomposition en clans Un tournoi est un graphe complet orienté. Problème : Etant donné un tournoi (ou un graphe orienté), comment peut-on le décomposer en ordres totaux (ou partiels) liés par des connexions en unidirection?
T est un tournoi. Définition Un Clan (ie. Intervalle) I de T est un sous-ensemble de sommets de T tel que tout sommet qui n est pas dans I soit domine soit est dominé par tous les sommets de T. Un 2-Clan est un clan à 2 éléments. Un tournoi sans clan non trivial (resp. 2-clan) est sommet-critique lorsque la suppression d un sommet quelconque crée un clan non trivial (resp. 2-clan).
T est un tournoi. Définition Un Clan (ie. Intervalle) I de T est un sous-ensemble de sommets de T tel que tout sommet qui n est pas dans I soit domine soit est dominé par tous les sommets de T. Un 2-Clan est un clan à 2 éléments. Un tournoi sans clan non trivial (resp. 2-clan) est sommet-critique lorsque la suppression d un sommet quelconque crée un clan non trivial (resp. 2-clan). Remarque : Un tournoi dont les clans acycliques sont triviaux sont les tournois sans 2-clans et réciproquement. Si d est bien choisie, l approche géométrique sur un tournoi exhibe un partitionnement dont les classes sont "proches" de clans acycliques [2005] : nous rigidifions le critère.
Objectif : Caractériser les tournois sans 2-clans et qui sont sommet-critiques pour cette propriété. Remarque : Les questions et résultats de décomposabilité et d indécomposabilité en clans et 2-clans pour les tournois s étendent aux structures binaires ([2012 soumis])
Etat de l art étudiés Tournois dont les clans sont triviaux [Schmerl and Trotter, 1993 ; Ille, 1997] caractérisés Parmi ces tournois, ceux qui sont sommet-critiques pour cette propriété [Ille, 1997] étudiés Les tournois dont une partition en ordres totaux admet r sous-ensembles et sommet-critiques pour cette propriété [Neumann-Lara, 1984] Résultats [2005 ; 2010] caractérisés Tournois sans 2-clans (ie. tous les clans acycliques sont triviaux) et sommets critiques pour cette propriété : T [ C k1, C k2,..., C kp ]. Exemple : O 3 [ C 3, C 5, C 7 ] =
Exemple d étude : procédure de vote Les tournois apparaissent notamment lors des procédures de votes. n candidats numérotés de 1 à n et p votants Chaque votant doit classer les candidats sans ex-æquo. L objectif est d agréger les p ordres totaux obtenus en un seul. Procédure de Condorcet (dite aussi vote majoritaire) : Les candidats sont les sommets d un tournoi T et il existe un arc de i vers j si une majorité de votant préfère i à j. Paradoxe de Condorcet : une telle procédure peut créer des cycles. Exemple : n = 4 et p = 3 Votant 1 : 1 > 2 > 3 > 4 Votant 2 : 3 > 1 > 2 > 4 Votant 3 : 2 > 3 > 1 > 4 Questions : Comment agréger les préférences?
Exemple d étude : procédure de vote Outils On cherche l ordre O à distance minimale du tournoi T. Si la distance est le nombre minimal d arcs à inverser (indice de Slater), on obtient un ordre de Slater. A un tournoi peuvent correspondre plusieurs ordres de Slater et la distance d(o, T) peut être importante. On cherche un partitionnement en clans acycliques.
Exemple d étude : procédure de vote Outils On cherche l ordre O à distance minimale du tournoi T. Si la distance est le nombre minimal d arcs à inverser (indice de Slater), on obtient un ordre de Slater. A un tournoi peuvent correspondre plusieurs ordres de Slater et la distance d(o, T) peut être importante. On cherche un partitionnement en clans acycliques.
Graphes cospectraux Croiser les méthodes pour trouver les communautés. Tout graphe peut être codé de façon biunivoque par une matrice binaire. Problème : Qu ajoute la connaissance d invariants, comme le spectre de la matrice d adjacence, sur la compréhension de la structure du graphe, de ses communautés? Dans quelle mesure, disposer des distributions de valeurs propres est-il une aide à la comparaison de 2 graphes? Remarque : On a déjà utilisé le spectre de matrices pour l ACP sur tableau de distances. On essaie ici de s affranchir de la métrique.
Définition Deux graphes sont dits cospectraux s ils ont même spectre Sp (ensemble des solutions en λ de l équation Au = λu). Objectif : Augmenter la connaissance sur les graphes cospectraux. En particulier, déterminer de nouvelles classes de graphes déterminés par leur spectre. Remarque : Deux graphes isomorphes sont cospectraux mais la réciproque est fausse. Exemple : Deux graphes non isomorphes cospectraux pour la matrice d adjacence et non cospectraux pour le Laplacien L = D A. Sp A = { 2; 0; 0; 0; 2} Dans la suite, on parlera de spectre d un graphe pour désigner le spectre de sa matrice d adjacence. Tous les graphes considérés sont connexes.
Etat de l art (un peu...) chemins : Les chemins sont déterminés par le spectre [Schen et al., 2005] arbres : Presque tous les arbres sont cospectraux [Schwenk, 1973] cycles : Les cycles sont déterminés par le spectre [Smith, 1970] monocles impairs : Les monocles de cycle impair sont déterminés par le spectre [Haemers et al., 2008] Résultats [2008] monocles pairs : Les monocles de cycle pair sont déterminés par le spectre. Exemple : L(6, 4)
Définition Une communauté parfaite d un graphe G est un sous-graphe complet de G qui est un intervalle de G. Résultat [Van den Heuvel and Pejic 2001] Si le laplacien L du graphe a une valeur propre λ non nulle de multiplicité au moins k 1 dont les vecteurs propres associés possèdent exactement les mêmes k coordonnées non nulles alors ces k coordonnées correspondent soit aux sommets d une k-communauté parfaite soit aux sommets d un k-ensemble stable.
Exemple d étude : modélisation de réseaux sociaux anciens
Exemple d étude : modélisation de réseaux sociaux anciens
Exemple d étude : modélisation de réseaux sociaux anciens Hypothèse : Les données de noms et de lieux présentes dans l ensemble de ces contrats permettent l émergence de réseaux de relations qui sont descriptifs de l organisation de la société.
Exemple d étude : modélisation de réseaux sociaux anciens Questions : 1 Identifier les réseaux sociaux dans le monde paysan des XIIIe-XVIe siècles. 2 Hiérarchiser les individus et leur rôle au sein de ces réseaux. 3 Analyser l évolution de ces réseaux (passage de la guerre de cent ans.
Exemple d étude : modélisation de réseaux sociaux anciens Outils et résultats BDD de contrats agraires (1250-1350 et 1450-1550) : 8706 individus et 11591 arêtes Mise en forme des données, définition des liens pour la construction des réseaux. Structure en communautés parfaites, club huppé et individus relais. Comparaison des graphes à différentes périodes.
Exemple d étude : modélisation de réseaux sociaux anciens Travaux en cours : dynamique et spatialisation
Exemple d étude : modélisation de réseaux sociaux anciens Travaux en cours : dynamique et spatialisation
Réduction de graphe par démontabilité Notion d homotopie en topologie : deux objets sont homotopes si on peut passer de l un à l autre par une déformation continue de l objet sur lui-même. Problème : dans quel mesure peut-on étudier la forme d un graphe en utilisant des outils de topologie comme l homotopie?
Il existe un lien assez classique entre les graphes et la topologie par le biais des complexes simpliciaux. Rappel : Un complexe simplicial K, d ensemble de sommets V, est une collection d ensembles non vides de V (les simplexes) telle que : V = σ K σ et (σ K, x σ)σ \ {x} K. Définition (G) est le complexe simplicial dont les k-simplexes sont les sous-graphes complets à k sommets. Une réduction élémentaire de (G) est la suppression d une paire de simplexes (σ,τ) avec τ face propre maximale de σ et τ libre (ie. face d aucun autre simplexe). Exemple :
Il existe un lien assez classique entre les graphes et la topologie par le biais des complexes simpliciaux. Rappel : Un complexe simplicial K, d ensemble de sommets V, est une collection d ensembles non vides de V (les simplexes) telle que : V = σ K σ et (σ K, x σ)σ \ {x} K. Définition (G) est le complexe simplicial dont les k-simplexes sont les sous-graphes complets à k sommets. Une réduction élémentaire de (G) est la suppression d une paire de simplexes (σ,τ) avec τ face propre maximale de σ et τ libre (ie. face d aucun autre simplexe). Exemple :
Il existe un lien assez classique entre les graphes et la topologie par le biais des complexes simpliciaux. Rappel : Un complexe simplicial K, d ensemble de sommets V, est une collection d ensembles non vides de V (les simplexes) telle que : V = σ K σ et (σ K, x σ)σ \ {x} K. Définition (G) est le complexe simplicial dont les k-simplexes sont les sous-graphes complets à k sommets. Une réduction élémentaire de (G) est la suppression d une paire de simplexes (σ,τ) avec τ face propre maximale de σ et τ libre (ie. face d aucun autre simplexe). Exemple :
Il existe un lien assez classique entre les graphes et la topologie par le biais des complexes simpliciaux. Rappel : Un complexe simplicial K, d ensemble de sommets V, est une collection d ensembles non vides de V (les simplexes) telle que : V = σ K σ et (σ K, x σ)σ \ {x} K. Définition (G) est le complexe simplicial dont les k-simplexes sont les sous-graphes complets à k sommets. Une réduction élémentaire de (G) est la suppression d une paire de simplexes (σ,τ) avec τ face propre maximale de σ et τ libre (ie. face d aucun autre simplexe). Objectif : construire une homotopie combinatoire sur les graphes identifiable à l homotopie sur les complexes simpliciaux, qui procède par élimination de sommets. L homotopie (simple) sur les complexes est une succession d ajouts et de réductions élémentaires.
Sommet simplicial Le voisinage fermé de i dans G est l ensemble V G [i] = V g (i) {i}. Définition Un sommet i est simplicial si V G [i] est complet. Un graphe G est démontable par sommets simpliciaux s il existe un ordre 1, 2,, n de ses sommets tel que i est simplicial dans G {1, 2,, i 1}. Proposition [Dirac, 1961] Un graphe fini G est triangulé (ou cordé) ssi G est démontable par sommets simpliciaux. Exemple :
Sommet simplicial Le voisinage fermé de i dans G est l ensemble V G [i] = V g (i) {i}. Définition Un sommet i est simplicial si V G [i] est complet. Un graphe G est démontable par sommets simpliciaux s il existe un ordre 1, 2,, n de ses sommets tel que i est simplicial dans G {1, 2,, i 1}. Proposition [Dirac, 1961] Un graphe fini G est triangulé (ou cordé) ssi G est démontable par sommets simpliciaux. Exemple :
Sommet démontable Définition [Quillot, 1983 ; Nowakowski and Winkler, 1983] Un sommet i est démontable s il existe j tel que V G [i] V G [j]. Un graphe G est démontable s il existe un ordre 1, 2,, n de ses sommets tel que i est démontable dans G {1, 2,, i 1}. Exemple : Remarque : un sommet simplicial est démontable. Proposition [Quillot, 1983 ; Nowakowski and Winkler, 1983] Un graphe fini G est policier-gagnant ssi G est démontable. Remarque : faux dans le cas infini (cf. arbre).
Sommet démontable
Sommet s-démontable Définition [2008] Un sommet i est s-démontable si V G (i) est démontable. Un graphe G est s-démontable s il existe un ordre 1, 2,, n de ses sommets tel que i est démontable dans G {1, 2,, i 1}. Exemple : ni sommet simplicial, ni sommet démontable. Remarque : simplicial démontable s-démontable Définition [2010] On dira que G et H ont le même type de s-homotopie s il existe s s s s G = J 1, J 2,, J k 1, J k = H tels que G = J 1 J 2... J k 1 J k = H où s représente l addition ou la suppression d un sommet s-démontable.
Sommet s-démontable Définition [2008] Un sommet i est s-démontable si V G (i) est démontable. Un graphe G est s-démontable s il existe un ordre 1, 2,, n de ses sommets tel que i est démontable dans G {1, 2,, i 1}. Exemple : ni sommet simplicial, ni sommet démontable. Remarque : simplicial démontable s-démontable Définition [2010] On dira que G et H ont le même type de s-homotopie s il existe s s s s G = J 1, J 2,, J k 1, J k = H tels que G = J 1 J 2... J k 1 J k = H où s représente l addition ou la suppression d un sommet s-démontable.
Sommet s-démontable Résultat [2008, 2010] G ց s H (G) ց s (H). Exemple : L implication inverse est fausse :
Sommet s-démontable Définition Deux complexes simpliciaux ont même type d homotopie simple si l on peut passer de l un à l autre par une succession de réductions et d expansions élémentaires. Résultat [BFJ 2010] [G] s = [H] s [ (G)] s = [ (H)] s Exemple :
Exemple d étude : dynamique de parcellaires Question : 1 Quelle lecture des paysages disparus donnent les compoix? 2 Dans les recherches sur les sociétés, l histoire du paysage ou du climat, le compoix peut-il remplacer la carte? 3 Comment comparer des documents cartographiés et non cartographiés pour étudier la dynamique de parcellaires sur une longue période?
Exemple d étude : dynamique de parcellaires Outils et résultats Comparer les graphes duaux de parcellaires Caler ces graphes sur des invariants connus
Conclusion Un positionnement volontaire dans le domaine de la combinatoire appliquée. Comment la théorie des graphes peut s accorder avec une science des réseaux qui doit traiter de la dynamique et du multiplexage?