Feuille d'exercices : Ferromagnétisme P Colin 15 décembre 2016 1 Choix d'un matériau À l'aide du tableau 1, préciser si les matériaux proposés peuvent être utilisés dans : un transformateur basse fréquence ; un transformateur haute fréquence ; un aimant permanent. Composition µ 0 M sat (T) B r (T) H c (A.m 1 ) Résistivité (µω.cm) Fer - 3%Si 2,0 1,0 25 48 Acier 1,8 1,0 4.10 3 50 Fer - 50%Ni 1,6 1,0 1,0 45 Samarium 1 -Cobalt 1,7 0,75 5.10 5 55 Ferrite 1 0,35 0,1 18 10 6 Ferrite 2 0,6 0,4 2,2.10 5 10 7 Ferrite 3 0,48 0,15 30 10 8 Table 1 Choix d'un matériau 2 Électroaimant torique On étudie le champ créé dans l'entrefer d'un électroaimant torique (gure 1). Celui-ci est constitué d'un matériau ferromagnétique LHI de perméabilité magnétique µ r. Tout le matériau magnétique est recouvert d'un bobinage (N spires) parcouru par un courant d'intensité i. L'entrefer a une ouverture angulaire α susamment petite pour supposer que les lignes de champ ont la même géométrie que si l'entrefer n'existait pas. Le tore a un rayon moyen R et une section susamment petite pour que les rayons extérieur et intérieur soient tous les deux assimilables à R : a R, et on suppose que les champs sont uniformes sur une section du tore. 1. Le samarium (Sm) est l'élément chimique de numéro atomique 62, de symbole Sm. Il appartient au groupe des terres rares. Le corps simple samarium est un métal. 1
i R a α Figure 1 Électroaimant torique (vue de dessus) 1. En précisant les approximations faites, établir une relation entre les excitations magnétiques H 1 dans l'entrefer et H 2 dans le matériau magnétique. 2. Rappeler la relation de passage pour la composante normale du champ magnétique lors de la traversée d'une interface. Cette relation demeure-t-elle vraie en présence de matière aimantée? En déduire l'expression du champ magnétique B 1 dans l'entrefer de l'aimant. 3. Donner la valeur numérique de B 1 pour N = 800, i = 5, 0 A, µ r = 5, 0.10 3, α = 5, 0 et R = 10 cm. Commenter l'inuence des diérents paramètres sur l'intensité du champ magnétique dans l'entrefer. Conclure sur la géométrie la mieux adaptée pour produire un champ magnétique intense. 4. Pour réaliser un électroaimant, vaut-il mieux utiliser un matériau magnétique dur ou doux? 3 Électroaimant cylindrique On considère la structure schématisée sur la gure 2 : Le système est de révolution autour de l'axe Oz ; les dimensions sont données en mm. Il existe 200 spires parcourues par un courant d'intensité i 0. Le module du champ magnétique dans l'entrefer est noté B 0. 1. On donne sur la gure 3 la carte du champ magnétique engendré par une spire circulaire isolée dans l'air. En utilisant la géométrie du système, les propriétés connues des matériaux magnétiques sans ou avec entrefer, proposer une description qualitative des lignes de champ magnétique dans l'électroaimant. 2. Quelle valeur faut-il donner à l'intensité i 0 du courant pour avoir B 0 = 0, 2 T. Commenter ce résultat. 2
z entrefer 2 10 10 5 200 spires circulaires 9 6 11 Figure 2 Électroaimant cylindrique Figure 3 Champ magnétique d'une spire circulaire dans l'air. 4 Circuit magnétique à aimant permanent Un aimant permanent de forme cylindrique (hachuré sur la gure 4) de longueur l et section S est destiné à créer un champ magnétique de valeur B e = 1, 6 T, dans un entrefer de dimensions ε = 8 mm et s = 2 cm 2 auquel il est relié par un circuit magnétique en fer doux. On souhaite déterminer les valeurs de l et S en envisageant deux matériaux, dont les propriétés caractéristiques sont données dans le tableau 2. Les valeurs préconisées sont dénies pour chaque matériau en vue de rendre minimal le volume de l'aimant 1 pour une utilisation donnée. Cet exercice vise à montrer comment s'utilisent ces données et à en justier le choix. 1. Le volume de l'aimant est particulièrement important pour certaines utilisations : par exemple, un casque audio utilise deux petits haut-parleurs intégrant chacun un aimant et on comprend facilement l'intérêt de miniaturiser ceux-ci (volume mais aussi poids!). 3
Aimant Fer doux l S ε s Figure 4 Circuit magnétique à aimant permanent Alliage Champ rémanent B r (T) Excitation coercitive H c (ka.m 1 ) Champ préconisé B p (T) Sm-Co 0,8 500 0,38 300 Ni-Al-Co 0,8 100 0,4 80 Table 2 Propriétés des matériaux envisagés Excitation préconisée H p (ka.m 1 ) 1. Tracer l'allure des lignes de champ du champ magnétique dans le circuit magnétique, y compris l'entrefer. 2. Relier les normes des champs magnétiques B a dans l'aimant, B f dans le fer (dans la partie de même section S que l'aimant) et B e dans l'entrefer à l'aide du rapport des sections k = S s. 3. Établir une relation entre les valeurs de l'excitation magnétique H a dans l'aimant, H f dans le fer et H e dans l'entrefer faisant intervenir les longueurs l, ε et L, longueur moyenne des lignes de champ dans le fer doux. 4. Montrer que l'hypothèse L µ r ε permet de simplier la relation entre les excitations et en déduire une relation linéaire entre B a et H a, faisant intervenir k,l, ε et µ 0. 5. Rappeler l'allure de la caractéristique (B a, H a ) d'un matériau magnétique dur et montrer que la relation précédente conduit à deux points de fonctionnement possibles. 6. Montrer que le volume V a de l'aimant est proportionnel au volume V e de l'entrefer et à B 2 e. 7. En déduire que, pour B e et V e xés, on minimise le volume de l'aimant si H a B a est maximal (critère d'evershed). 4
Les valeurs de H a et B a qui rendent le produit H a B a maximal correspondent aux valeurs "préconisées" par le fabricant de l'aimant. 8. Pour chacun des matériaux dont les données sont fournies dans le tableau 2, calculer les volumes des aimants correspondants. 9. Déterminer pour l'aimant dont le volume est le plus petit sa longueur l et sa section S. 5 Énergie stockée dans l'entrefer d'un électroaimant On considère un circuit magnétique torique, de section S et rayon moyen R, réalisé en matériau ferromagnétique doux de perméabilité µ. Un entrefer d'épaisseur e est ménagé dans le circuit magnétique. On supposera que la largeur de l'entrefer est susamment faible pour que l'on puisse considérer que la géométrie des lignes de champ n'est pas modiée. D'autre part, les champs sont considérés uniformes sur une section, leur valeur étant déterminée à la distance R de l'axe du tore. Un circuit électrique de N spires enlace le tore, il est parcouru par un courant d'intensité I. On rappelle que l'énergie magnétique se distribue dans l'espace avec une densité volumique B2 2µ où B et µ correspondent au champ magnétique et à la perméabilité magnétique au point considéré. 1. Exprimer l'énergie magnétique emmagasinée dans le fer, dont on notera L = 2πR la longueur. On mettra le résultat en fonction du ux Φ du champ magnétique à travers une section du tore, de l'excitation magnétique H f dans le milieu et de la longueur L. 2. Faire de même avec l'entrefer. 3. Exprimer le rapport entre ces deux énergies et commenter. 4. Pour un matériau de perméabilité relative µ r = 1000 et un rapport e L = 0, 1, quelle erreur commet-on en considérant que l'énergie magnétique est totalement comprise dans l'entrefer? 6 Cycle d'hystérésis 5
On désire tracer expérimentalement le cycle d'hystérésis (B, H) d'un matériau se présentant sous la forme d'un tore sur lequel sont bobinés deux enroulements. L'enroulement primaire contient N 1 spires et l'enroulement secondaire contient N 2 spires. On note a son rayon moyen et S sa section. Dans les conditions expérimentales, N 2 i 2 N 1 i 1. On ne tiendra pas compte de la résistance des enroulements. H et B sont supposés uniformes dans le tore. On donne R 0 = 1 kω. 1. Déterminer la relation entre H et i 1. Montrer que la tension v X sur la voie X peut se mettre sous la forme v X = K 1 i 1. 2. Proposer un montage avec des amplicateurs linéaires intégrés permettant d'avoir i 2 0 et de réaliser la fonction intégration. On suppose qu'à t = 0, v Y = 0 et B = 0. Montrer que la tension v Y sur la voie Y peut se mettre sous la forme : v Y = K 2 B. Déterminer K 2. Le générateur branché sur le primaire délivre un courant périodique de valeur moyenne nulle et de période T. On alors observe sur l'oscilloscope la courbe suivante : 3. Commenter la forme de la courbe. À quoi correspondent les deux points A 2 et A 6? 4. Que représente la surface du cycle? Les composants donnent K 1 = 0, 030 S.I. et K 2 = 5, 0 S.I.. 5. Déterminer les valeurs numériques correspondant aux points A 2 et A 6. 6. Déterminer la puissance moyenne fournie par le générateur en fonction de l'aire du cycle d'hystérésis. 6