La consigne en mathématiques à l'école maternelle CONFERENCE DE M. PIERRE EYSSERIC PIUFM site d'aix en Provence Compte rendu Philippe Joubert, CPC EPS Première description: Extrait de COPIRELEM, cahiers du formateur, tome 4 Il convient de distinguer ce qui relève des problèmes pratiques et ce qui relève des problèmes mathématiques. Les seconds sont forcément abstraits: même s'ils prennent appui sur la réalité, ils en proposent une modélisation, une représentation élémentaire.
Dans l'exemple donné, c'est une résolution pratique qui est proposée aux élèves (les nombres sont donnés, la maîtresse demande de compter, de montrer). Pour engager les élèves dans une résolution mathématique, il n'est pas besoin de leur indiquer combien (le nombre) il y a d'enfants, combien (le nombre) il y a de boites de lait. Il suffit d'annoncer que dans l'armoire se trouvent les boites de lait nécessaires. Ainsi, une résolution mathématique suppose 2 éléments: - le besoin de connaissances numériques pour résoudre le problème, - le travail sur des représentations des collections réelles (premier pas vers l'abstraction) Il faudra ensuite valider que ce qui a été anticipé avec des jetons est correct. Pour passer d'une résolution pratique à une résolution mathématique du problème, une contrainte doit empêcher la résolution pratique pour favoriser la représentation et l'anticipation, même en petite section. Notons que la correspondance terme à terme est un problème pratique. Dans une situation problème, la procédure pour atteindre la réponse n'est pas dans l'énoncé. L'exercice proposé est donc un exercice de dénombrement par le comptage et pas un problème. Les consignes données par rapport au savoir visé: Certaines relèvent de la tâche pratique ("demande qui en veut") et d'autres de la tâche mathématique ("vas y, compte!"). Seconde description: Matériel: - une centaine de voitures miniatures - une boite avec une centaine de cartons rectangulaires représentant des garages. - des grandes pochettes pour transporter une quinzaine de voitures Déroulement: Le PE distribue à chaque élève une pochette contenant 1 lot de voitures (ils ne savent pas combien). Les élèves doivent ensuite se procurer des garages pour ranger leurs voitures (elles ne sont pas visibles de l'endroit où sont déposés les garages). Consigne: " Tu dois apporter en une fois juste ce qu'il faut de garages pour ranger les voitures, il ne faut pas de garage vide." Eléments qui relèvent des savoirs mathématiques: - la résolution de problème: comparer des collections (ce qui renvoie à un dénombrement, à une mémorisation et à une anticipation) Remarque: la consigne donnée ne force pas l'utilisation du dénombrement, mais seul le nombre pourra permettre de réussir la tâche. C'est un problème car la procédure de résolution n'est pas dite. - la correspondance terme à terme au niveau de la vérification Remarque: il y a un fort enjeu mathématique dans la vérification; on ne vérifie pas parce que le maître le demande, mais parce que c'est le seul moyen de savoir si on a bon. Le nombre exact est absent de la consigne. Cet implicite est déterminant car on ne donne pas d'indice sur l'utilisation du nombre.
Dans la consigne, il est donc important d'éviter de donner aux élèves des indications chiffrées (les nombres du problème 1) et des indications sur la procédure à suivre ("montre", "compte", "combien", parler de "nombre"). Il faut amener les élèves à décider par eux mêmes que le nombre est un outil pertinent, les amener à construire une autonomie vis à vis du nombre (pouvoir qu'il faudra leur laisser savourer ensuite avec des exercices). Ainsi il est indispensable de poser les termes du problème pour que les élèves y soient réellement confrontés: - ils doivent apporter les garages nécessaires "en une seule fois", - chaque élève doit avoir un nombre suffisamment important de voitures pour éviter la reconnaissance globale directe de la quantité, - la collection de voitures ne doit pas être visible depuis le lieu où les élèves vont chercher les voitures. Donc, dans la consigne: - une tâche matérielle, - des contraintes obligeant à anticiper, - les critères qui permettent aux élèves de vérifier s'ils ont réussi ou non. La situation garage est un habillage d'un problème pour apprendre: situation fondamentale du nombre, où les élèves sont amenés à découvrir qu'ils vont devoir dénombrer et mémoriser le nombre d'éléments d'une collection pour résoudre le problème. La découverte de l'usage du nombre est à la charge des élèves (l'usage du code), mais pas sa construction (le code). Cette situation permettant l'apprentissage de l'utilisation de l'outil nombre pour résoudre un problème mathématique est proposable dans les autres sections maternelles avec des habillages différents. En moyenne section: les lapins et les carottes Lundi: Distribution d'un certain nombre de lapins (en fonction des connaissances numériques des élèves, entre 4 et 8). On laisse les élèves jouer librement, puis ils doivent ranger leurs lapins dans une boite étiquetée à leur nom. Jeudi: En atelier de 4 à 5 élèves de 10 minutes "On va nourrir les lapins et leur donner à chacun une carotte, mais attention, avant de leur apporter, il faut préparer dans une assiette la nourriture. Chaque lapin doit avoir une carotte." On sort la boite avec les lapins et on voit si c'est bon (si chaque lapin a 1 carotte). Tous les élèves échouent car ils n'ont pas pensé à compter leurs lapins. "Tous les jours, on aura un moment (5') pour jouer avec les lapins et on aura un moment pour leur donner à manger". Et certains élèves commencent à compter les lapins pour réussir. Mais le jour suivant, certains ne se souviennent plus de la quantité de lapins. Certains demandent: "est-ce que tu peux me l'écrire?". Ce que fait le maître, sous forme de constellation ou d'écriture chiffrée. Il peut parfois être utile face à certains échecs de faire réussir artificiellement les élèves: avant d'arrêter, on propose comme artifice affectif une situation "voitures / garages" avec des quantités qui permettent la réussite même sans compter.
En petite section: les animaux de la ferme On va nourrir les animaux de la ferme (de 1 à 3 à la fois, puis des collections plus difficiles seront proposées ne pas dire des nombres plus grands). Dans un premier temps, se pose un problème de correspondance terme à terme. Le principe est identique: on a de la nourriture pour les animaux, l'élève doit prendre un paquet pour chacun d'eux. Au début, les collections ne sont pas éloignées. Quand la correspondance terme à terme est maîtrisée, la nourriture est éloignée, l'élève doit préparer (donc anticiper) la quantité de paquets nécessaire pour les animaux. PROBLEME POUR APPRENDRE EN PS DE MATERNELLE: LE TRI DE GRAINE D'après un cdrom Hatier, "Apprentissages mathématiques à l'école maternelle: situation et analyse". Les élèves disposent de 3 à 5 boites fermées et indiscernables et d'une collection de graines de différentes sortes (5 à 10 par sorte). Ils doivent trier les graines dans les boites (une sorte de graines par boite). Quand la graine est mise dans la boite, l'élève ne la voit plus. Quel type de consigne donner aux élèves pour s'attacher aux apprentissages visés? Il est fondamental que les boites soient indiscernables et fermées pour ne pas indiquer de procédure aux élèves: rien n'est pris en charge dans le dispositif, les procédures à envisager sont à construire par les élèves et pas données par le maître. L'élève n'est pas certain de réussir. C'est lorsque les boites sont ouvertes qu'il va constater sa réussite ou son échec: c'est le retour à la situation, et non l'adulte, qui va amener l'élève a remettre en question ce qu'il a fait. L'enjeu de savoir n'est pas de même nature qu'avec des boites ouvertes: il ne s'agit pas de reconnaître les classes de graines, mais de construire la stratégie pour les classer. L'élève doit penser une collection qu'il ne voit pas, mais pas forcément la mémoriser: c'est le concept de collection qui est construit et pas les critères de tri. C'est un enjeu fondamental pour aller vers le nombre, enjeu indissociable de la construction mentale du nombre: cette collection doit en effet d'abord exister pour être quantifiée par la suite. L'élève acquiert ici un véritable pourvoir sur les éléments. Notons que la stratégie d'étiquetage n'apparaît quasiment pas car le concept de désignation viendra plus tard. Si cette stratégie est suggérée, la situation est tuée. QUELS SONT LES ELEMENTS À METTRE DANS LA CONSIGNE? - indiquer le tri nécessaire "Mets les grains x avec les grains x, les grains y avec les grains y". - donner un critère de validation (de réussite) "En ouvrant la boite, toutes les graines doivent être pareilles". L'élève doit identifier lui même sa réussite, pas le maître. - donner une contrainte "Tu n'as pas le droit d'ouvrir la boite tant que tu n'as pas terminé".
PLUS GENERALEMENT - un élément de la tâche matérielle - un élément de la réussite - un élément qui fixe la contrainte pour passer d'un problème matériel à un problème mathématique SITUATION BOITE OUVERTE ET SITUATION BOITE FERMEE POINTS COMMUNS ET DIFFERENCES D'après un article de J. Briand dans grand N spécial maternelle. Voir le diaporama de comparaison des deux situations "Tris de graines" Enoncé: 3 catégories à trier dans 3 boites Situation 1: tri boites ouvertes Situation 2: tri boites fermées Consigne: "mets les grains identiques ensemble dans une même boite" POINTS COMMUNS Un problème est posé aux élèves: Plusieurs procédures sont possibles. S'engager dans le problème sans maîtriser complètement le tri. L'observation permet de vérifier la réussite: L'observation permet de faire évoluer les stratégies. L'élève peut recommencer en modifiant sa procédure. S1: consigne suffisante S2: consigne insuffisante S1: s'approprier les critères de tri S2: s'approprier les critères de collection S1: à tous les instants S2: quand l'élève ouvre la boite Les situations doivent vivre longtemps dans la classe et être rencontrées souvent par les élèves. Reconnaître une catégorie de graines. DIFFERENCES S1: vérifier chaque dépôt de graine au fur et à mesure S2: vérification finale S1: le contrôle de la constitution de la collection est dévolu au dispositif S2: l'élève doit contrôler mentalement la constitution de la collection Les deux situations ont leur intérêt mais elles ne visent pas le même apprentissage. S1: contrôle des critères de tris Une stratégie efficace est de prendre une boite, d'y mettre une graine, de prendre une seconde boite, etc. L'élève doit énumérer ses graines, mais peu importe l'ordre car les boites ouvertes facilitent le contrôle de la tâche réalisée: une graine, une boite; une graine, une boite; etc. Le savoir visé est bien identifié: le nombre est absent dans la situation, l'élève n'a pas besoin de savoir compter (la question ne lui est pas posée en terme de "combien il y en a?").
S2: constitution mentale d'une collection Situation qui permet de concevoir la collection (avant 6 ans, une collection n'existe pas "naturellement", et le dénombrement suppose son existence). Ce n'est pas la mémoire qui joue (en terme de "se souvenir"), la mémorisation est au service de "penser la collection". L'élève va des objets matériels à une représentation mentale de ces objets. C'est la situation qui dit si que ce que a été fait est efficace ou pas, ça n'a pas besoin d'être dit par l'enseignant (et ça ne doit pas l'être). Un élève peut jouer devant les autres, l'enseignant demande au groupe de dire s'il a réussi et pourquoi. Mais l'enseignant ne valide pas le discours, il intervient le moins possible, la boite est ouverte pour constater la réussite: c'est la situation qui valide, et ce sont les élèves qui réinterprètent la situation: "faire ça, c'est efficace". Travail de l'énumération: Une collection de boites d'allumettes (8 à 20), non identifiables et percées d'un petit trou, est proposée à l'élève qui dispose d'un tas d'allumettes. Consigne: "Tu dois mettre une allumette dans chaque boite, quand tu auras terminé, on ouvrira pour vérifier." Variables possibles: boites collées, boites avec déjà une allumette dedans L'élève n'a pas besoin de savoir combien de boites ni combien d'allumettes sont à sa disposition, il doit énumérer chaque boite pour n'en oublier aucune: ce qui est géré c'est bien l'énumération. Le maître laisse l'élève mettre en acte sa stratégie, mais sans le perturber, sans intervenir. Lors de la vérification, le maître demande juste "gagné ou perdu?" et l'élève conclut en regardant le contenu des boites. De l'élève spectateur qui propose une procédure, il dit seulement: "tu penses qu'il a gagné parce qu'il a fait ça?" sans reprendre les propos; la vérification du contenu validera positivement ou négativement les propos de l'élève. Paroles et gestes sont importants dans la consigne: les boites ne doivent pas être trop éloignées pour ne pas induire de réponse (la correspondance terme à terme lorsque l'élève est amené à se saisir des boites une à une). Ce qui est visé, c'est l'autonomie de l'élève par rapport au savoir en leur permettant de décider d'utiliser ou non ce savoir.