Chapitre 3 : La tormée de Laplace Filtrage de ignaux déterminite à temp continu I. Introduction En électronique, on a beoin de traiter de ignaux provenant de diérente ource (capteur de température, ignaux audio ). Un bruit indéirable provenant oit du canal de tranmiion, oit de compoant qui contituent le circuit électronique, peut e uperpoe à ce ignaux. II. La onction iltrage Le iltrage d un ignal électrique et l opération qui conite à éparer le compoante pectrale de ce ignal elon leur réquence. Exemple : L antenne d un récepteur radio imple capte pluieur ignaux provenant de diérent émetteur. Le ignal d entrée et contitué de la omme de pluieur ignaux émi et eule l utiliation d un iltre pae-bande permet de récupérer le ignal correpondant à la tation choiie. On peut conclure qu un iltre et un circuit qui apporte une modiication de l amplitude et (ou) de la phae de compoante pectrale d un ignal, donc c et un électeur de réquence et de réquence et la bande de réquence tranmie appelle la bande paante du iltre. On clae le iltre en deux grande amille : Le iltre analogique réalié à partir de compoant pai (réitance, inductance, condenateur) ou acti. Le iltre numérique réalié à partir de tructure intégrée micro programmable. Sonde Abdelmouleh 26
III. Filtre analogique III.1. Filtre idéal Un iltre idéal tranmet an déormation tout ignal dont la réquence appartient à la bande paante. On peut claer le iltre en quatre catégorie elon le réquence avorie et atténué. III.1.1. Filtre pae-ba Permet le paage de de réquence inérieur à une limite appelée réquence de coupure c,cette réquence et déinie comme la réquence pour laquelle l amplitude du ignal et atténuée de -3 db. V /Ve c Figure (3. 1) : Gabarit du iltre pae-ba. III.1.2. Filtre pae-haut Permet le paage de réquence upérieure à la réquence de coupure c. V /Ve c Figure (3. 2) : Gabarit du iltre pae-haut. III.1.3. Filtre pae-bande Permet le paage d un ignal de réquence comprie entre une réquence de coupure bae notée cb et une réquence de coupure haute notée CH. V /Ve CB CH Figure (3.3) : Gabarit du iltre pae-bande. Sonde Abdelmouleh 27
III.1.4. Filtre coupe-bande On dit aui réjecteur de bande.c et un iltre qui permet le paage de tou le réquence au celle comprie à l intérieur de l intervalle [ CB, CH ] V /Ve CB CH Figure ( 3. 4) : Gabarit du iltre coupe-bande. IV. Fonction de tranert Le comportement d un iltre et déini par l étude réquentielle de la onction de tranert entre la tenion de ortie et la tenion d entrée du iltre. On le caractérie par l ampliication et le déphaage qu il apporte ur le diérent harmonique du ignal d entrée. e(t) Filtre (t) Figure ( 3. 5) : Repréentation de l entrée et la ortie d un iltre. IV.1. Fonction de tranert d un iltre pae-ba de premier ordre : La onction de tranert d un iltre pae ba de premier ordre : *(2) (2) 3(2) *(+,) 4 1+52 4 1++,, Module : *(+,) - '/ 0 1 0 Phae : ᵩ arg (H(jω)) - arctg (ωt) IV.2. Fonction de tranert d un iltre pae-haut de premier ordre : La onction de tranert d un iltre pae ba de premier ordre : *(2) *(+,) 4 1%52 4 1%+,, Sonde Abdelmouleh 28
IV. 3. Fonction de tranert d un iltre pae-bande de econd ordre : La onction de tranert d un iltre pae-bande de econd ordre et : H(p) 9 : ' ;.8 < 6 7 ' < ; 6 7 ; avec 6 7 : la pulation propre ; 8 : Coeicient d amortiement ; K : Gain tatique. IV.4. Exemple d application : Exemple 1 : Soit le circuit RC de la igure ci-deou : i(t) R V e (t) c V (t) Figure (3.6) : Filtre RC. a- Déterminer la onction de tranert de ce montage. b- Déduire la nature de ce iltre. c- Déterminer v (t) pour un ignal d entré v e (t) 2 + co (2π 1.t) + co (2π 2.t). d- On donne : 1 2khz, 2 5khz et la réquence de coupure de ce iltre c 3.14khz. Répone : a- L équation de maille donne : v ( t) Ri( t) + v ( t) e d v De plu, pour le condenateur C, on a : i C. d t d v On en tire : R C + v v e. d t La tranormée de Laplace de cette expreion en uppoant que le condenateur et initialement déchargé à t 0 : RCpV ( p) + V ( p) V ( p) e Sonde Abdelmouleh 29
La onction de tranert de ce montage et : "(2) >(?) @(?) "(2) RCpV AB(2) ( p) V ( p) + AB(2) (C2+1)AB(2) 1 (C2+1) D où D(<) : EF<': b- F(p) F(jω) HIJ/ ' ' K L LM avec, HI C et l équation d un iltre pae- ba de premier ordre. c- On a v e (t) 2 + co (2π 1.t) + co (2π 2.t) 2 2. co (2π(0).t) ; 1 2 Khz < c 3.14khz et 2 5 Khz > c 3.14khz. D où v (t) 2 + co (2π 1.t) Exemple 2 : Soit le circuit RC de la igure ci-deou : i(t) V e (t) c R V (t) Figure (3.7) : Filtre RC. a- Déterminer la onction de tranert de ce montage. b- Déduire la nature de ce iltre. Répone : L équation de maille donne : TL v ( t) Ri( t) v ( t) 0 e C V e (p) - RI(p) V c (p) 0 De plu, pour le condenateur C, on a : N(O) PQ R () Or on ait que : ST P $(O)U 2.SV$(O)W 2."(2) I P P TL C.p V C Sonde Abdelmouleh 30
D où A @ % I? X%CX 0 A @ ( I? +C)X Or H(p) Z [ H ]^'H \ ' \ _R^ Donc *(+,) \ ' _R`L K L M L ab, HI C et l équation d un iltre pae- haut de premier ordre. V. Notion de linéarité, tationnarité, caualité et tabilité de iltre Il exite pluieur type de ytème qui peuvent être claé elon leur repréentation, leur répone, et leur comportement. Chaque clae de ytème poède e propre outil d étude, d analye et de ynthèe. A titre d exemple : Le ytème linéaire, le ytème continu, le ytème échantillonné(ou dicret). V. 1. Linéarité Un ytème et linéaire il poède la propriété uivante : Si ( ) et la ortie obtenue en appliquant e ( ) et ( ) et la ortie obtenue en appliquant 1 t 1 t 2 t l entrée e ( ), alor pour tout α réel et pour tout β réel, en appliquant l entrée : t 2 1 ( 2 t α e t) + βe ( ), le ytème génère la ortie : α t) + β ( ). 1 ( 2 t e 1 (t) e 2 (t) Sytème Sytème 1 (t) 2 (t) α e1 ( t) + βe2 ( t) Sytème α 1 ( t) + β2 ( t) Figure (3. 8) : Sytème linéaire. Cette propriété de ytème linéaire et aui appelée principe de uperpoition. V. 2. Stationnarité La tationnarité et l invariance dan le temp. On dit qu'un ytème et invariant lorque le caractéritique de comportement ne e modiient pa dan le temp. La répone du ytème à un ignal e (t) diéré d'un temp T et la même que la répone (t) du ytème mai diérée de T. Sonde Abdelmouleh 31
Entrée e(t) Entrée e(t-t) (t) T Sortie Sortie (t) (t-t) (t) T Figure (3.9) : Sytème invariant. Si le coeicient de l équation diérentielle reliant l entrée à la ortie ont contant alor le ytème et tationnaire. V. 3. Caualité : Pour tout ytème caual, la caue précède la conéquence, donc l entrée précède toujour la ortie. Si le ytème et caual alor la répone impulionnelle et égale à zéro i t<0 V.4. Stabilité : Un ytème et table i pour toute le entrée bornée, le ortie ont bornée, excité par une impulion de Dirac, le ytème partant de l état de repo revient à a poition initiale aprè un certain temp. Sonde Abdelmouleh 32