Comportements non linéaires des matériaux solides

1 Comportements non linéaires des matériaux solides I. Variété des comportements macroscopiques II. Diversité des mécanismes microscopiques. III. Critères IV. Exemples

2 I. Variété des comportements macroscopiques Essai de traction uniaxiale. Dans la zone utile de l éprouvette : σ = F S, ε = L L 0. F et L sont relatives à la structure. σ et ε sont relatives au matériau. Loi de comportement (matériau) = relation entre σ et ε (et leurs dérivées en temps...) Equilibre de la structure : Puissance de efforts intérieurs + puissance des efforts extérieurs = 0 Z V σ ε dω = F L.

3 Régime élastique (le plus souvent linéaire réversible) Faibles valeurs de la déformation : 0 ε 10 3 Relation linéaire entre contrainte et déformation uniaxiales σ = Eε. σ (MPa) E : Module d Young. Selon le matériau, E varie : de E = 2 MPa (Caoutchouc) à E = 400000MPa (Fibres de carbone HM ), E ε 0.001

4 Charge au-delà de la limite d élasticité (1) Matériaux fragiles (céramiques, métaux et polyméres à basse température...) ou endommageables (béton, certains composites...) σ σ Compression ε Traction ε Verre (fragile brutal) Béton (endommagement progressif) Fragilité : Faible aptitude à supporter des déformations au-delà du régime élastique. Endommagement : Dégradation des propriétés (raideur E notamment) au delà du régime élastique.

5 Charge au-delà de la limite d élasticité (suite) Matériaux ductiles (métaux, certains polymères...) σ (MPa) σ (MPa) σ 0 200 0.001 domaine de domaine non linéaire linéarité Acier inox ε 100 0.1 Acier doux 5 ε (%) Ductilité : aptitude à supporter des déformations élevées (qq % à qq dizaines de %).

6 Charge-décharge sur matériaux ductiles Plasticité : Aptitude à la mise en forme (sous entendu après déformation et décharge, il subsiste des déformations permanentes). σ σ A 0 σ O ε p B ε el A ε Charge O A. Décharge A B parallèle au trajet élastique. Déformation résiduelle en B : ε p. Charge B A A B. Limite élastique initiale (en partant de 0) : σ 0 Limite élastique actuelle (en partant de B) : σ A. Décomposition de la déformation ε : partie élastique ε el et partie plastique ε p ε = ε el + ε p. Ecrouissage : la limite d élasticité dépend de la déformation plastique.

7 Certains matériaux ont un comportement complexe : composite Carbone + epoxy [0,90] Composé de couches d unidirectionnels identiques mais croisées à 0 0 et 90 0 : Essai Traction à 0 0 : Comportement fragile Traction à 45 0 : Comportement plastique

8 Récapitulation. Premiers enseignements Il existe une grande variété de comportements.aux extrêmes, se situent le comportement fragile et le comportement élasto-plastique. Fragile : pas de déformation plastique avant rupture. Ductile (ou plastique) : déformations plastiques substantielles avant rupture. La nature du comportement (fragile, ductile) n est pas intrinsèque, mais dépend de la température ou d autres facteurs (hygrométrie pour le bois...). Dans tous les cas, il faut exprimer une transition entre un régime de comportement et un autre (limite d élasticité, seuil d endommagement). mécanismes microscopiques, essais multiaxiaux.

9 II. Diversité des mécanismes microscopiques Les mécanismes sont différents : - selon les comportements : fragile, ductile, - selon la microstructure des matériaux : métaux (cristallins), verres (amorphes), polymères, composites, céramiques... Métal = Matériau polycristallin Polycristal = Assemblage de grains élémentaires.

10 Rotation e 3 e 2 e 1 (a) (b) (c) a) Echelle atomique (nanomètre ou moins) : réseau périodique, structure cristallographique (cubique centrée, cubique faces centrées, hexagonale, hexagonale compact...). b) Echelle microscopique (1 à quelques dizaines de microns) : monocristal, orientation fixe du réseau. c) Echelle mésoscopique (centaine de microns) : polycristal. d) Echelle macroscopique (centimètre) : échelle du laboratoire (éprouvette). e) Echelle de l ingénieur (du centimètre au mètre) : structures.

11 Faciès de rupture fragile à l échelle du polycristal Clivage : surfaces lisses et planes. Dépendent de l orientation des grains. Formation de rivières à la jonction entre plans atomiques clivés.

12 Mécanisme de clivage à l échelle atomique Clivage : séparation le long d un plan atomique. U σ = U σ a a 0 Position déformée Position initiale a 0 a max a b U potentiel interatomique : Minimiser U(a) σ.a. Le clivage est activé par la contrainte normale aux plans atomiques faibles. Mécanisme dominant dans les matériaux fragiles.

13 Mécanismes de déformation plastique dans les métaux : glissement Traction sur monocristal de Zinc. compression sur monocristal d Aluminium.

14 Glissement τ U x Position initiale Position déformée b x a 0 x max b Le glissement est activé par la contrainte de cisaillement sur les plans atomiques dont les liaisons sont les plus faibles. Dans les matériaux cubiques faces centrées (CFC) ce sont les plans denses. Mécanisme dominant en Plasticité. Le glissement laisse le réseau globalement invariant ce qui permet de multiplier les glissements et d augmenter la déformation.

15 Glissement (suite) : L exemple du cuivre (structure cubique faces centrées). m m n m 4 plans denses, Le glissement respecte l invariance du réseau atomique : 3 directions invariantes par plan 12 systèmes de glissement.

16 Glissement en bloc? : Modèle de Frenkle. τ Contrainte de cisaillement périodique : τ τ max sin 2πx b, γ = x a 0. A l origine : x τ Position initiale Position déformée µ = τ γ = 2πa 0 b τ max, a 0 b τ max µ 2π µ 6 (a 0 b). Cette valeur théorique n est observée que dans les U x max b x τ max τ µ x max b x échantillons de très petite taille : whiskers. Valeurs communément observées : τ max µ/1000. Glissement en bloc impossible. Calcul et résultat analogue pour le clivage.

17 Glissement progressif : dislocations. τ Défauts dans la structure atomique du réseau 10 13 /cm 3! Dislocation Plan de glissement Principe de base : il est plus facile de déplacer un pli dans le tapis qu un tapis en bloc! Ordre de grandeur de la contrainte de cisaillement correct.

18 Enseignements à tirer pour un polycristal Orientation aléatoire des grains. Clivage : activé par la contrainte normale au plan sur lequel le clivage se produit. Glissement : activé par la contrainte de cisaillement dans la direction dans laquelle se produit le glissement. La présence de défauts est nécessaire pour expliquer les ordres de grandeur des contraintes de clivage ou de glissement. Microfissures, dislocations...

19 III. Critères (transition d un régime de comportement à un autre) Rappels : contraintes T (n) : densité surfacique d efforts exercés par Ω 1 sur Ω 2 sur la facette de normale n. x n Ω 1 T τ(n) σ n n τ(n) T(n) T ( n) = T (n) Action-réaction, σ = T.n = T i n i : contrainte normale, σ > 0 traction, σ < 0 compression, Ω 2 T( n) n σn τ(n) = T σn, contrainte tangentielle ou de cisaillement.

20 Tenseur des contraintes de Cauchy. L état de contrainte (traction, compression, cisaillement) dépend de la facette n sur laquelle on considère T (n) : σ R 3 R 3 : T (n) = σ.n. Le tenseur des contraintes σ jouit des propriétés suivantes : σ est symétrique. σ est diagonalisable : (e 1,e 2,e 3 ) : σ = σ 1 e 1 e 1 + σ 2 e 2 e 2 + σ 3 e 3 e 3. Propriété caractéristique : le cisaillement est nul sur les facettes principales de contrainte.

21 Quelques exemples (pour se rafraîchir la mémoire) Traction simple Cisaillement pur F e_ 2 _e 1 F e_ 2 τ τ +τ τ v_ u e 1 σ = σ e 1 e 1, σ = F/S. σ = τ (e 1 e 2 + e 2 e 1 ), σ = τ u u τ v v.

22 2. Critères basés sur le vecteur contrainte. Interfaces à résistance limitée. n_ I Ω 2 Interface σ τ Ω 1 Décollement (Contrainte normale) : σ(n I ) σ c. Cisaillement (Contraintes tangentielles) : τ(n I ) τ c. σ c et τ c : caractéristiques matériau de l interface.

23 Monocristal : critère de clivage Plans de clivage facile de normale n (p). n Si Sup σ(n (p) ) < σ c : pas de clivage, Sup σ(n (p) ) σ c p = 1,..,P p = 1,..,P Si p tel que σ(n (p) ) = σ c : clivage sur le(s) plan(s) p où la contrainte critique est atteinte.

24 Monocristal : critère de glissement P plans de glissement, N systèmes de glissement (n (k),m (k) ). m m n m Cission réduite sur le système k : τ (k) = (σ.n (k) ).m (k) = m (k).σ.n (k). Si Sup τ (k) < τ c : pas de glissement, Sup τ (k) τ c k = 1,..,N k = 1,..,N Si k tel que τ (k) = τ c : glissement sur le(s) plan(s) de normale n (k) et dans la direction m (k).

25 Polycristal isotrope : critère de clivage, critère de glissement. Orientation aléatoire des grains. Pas de plan privilégié. Matériau fragile : clivage. Matériau ductile : glissement. Clivage : Glissement : Sup n = 1 σ(n) σ 0. Sup n = 1 τ(n) k. Critère de la contrainte normale maximale. Critère du cisaillement maximal (Tresca).

26 Contrainte normale maximale. Dans la base principale de contrainte (σ 1 σ 2 σ 3 ) : σ = σ 1 0 0 0 σ 2 0, n = n 1 n 2, T (n) = 0 0 σ 3 n 3 σ 1n 1 σ 2 n 2 σ 3 n 3, σ(n) = σ 1 n 2 1 + σ 2n 2 2 + σ 3n 2 3 = σ 3 (σ 3 σ 1 )n 2 1 (σ 3 σ 2 )n 2 2. Maximum = σ 3 atteint pour n 1 = n 2 = 0, n 3 = 1. La contrainte normale maximale est égale à la plus grande contrainte principale σ 3. Elle est atteinte sur la facette principale de normale e 3. Sup n = 1 σ(n) = Sup 1 i, j 3 σ i = σ 3 σ 0. σ 0 contrainte limite en traction simple du matériau

27 Critère de Tresca (cisaillement maximal) : Sup τ(n) k. σ = σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3, n = n 1 n 2 n 3, T (n) = σ 1n 1 σ 2 n 2 σ 3 n 3, σ(n) = σ 1 n 2 1 + +σ 2n 2 2 + σ 3n 2 3 τ(n) 2 = T (n) 2 = τ(n) 2 + σ(n) 2 = σ 2 1 n2 1 + σ2 2 n2 2 + σ2 3 n2 3, ( σ3 σ 1 2 ) 2 ( σ(n) σ ) 1 + σ 2 3 (σ 2 2 σ 1 )(σ 3 σ 2 )n 2 2. Max atteint pour n 2 = 0, σ(n) = σ 1 + σ 3 2 2 i.e. n 2 1 = ± 2, n 3 = ± 2. Le cisaillement maximal est égal à la moitié de la plus grande différence entre contraintes principales. Il est atteint sur les facettes qui ont pour normale l une des bissectrices des directions e 1 et e 3. 2 Sup n = 1 τ(n) = Sup 1 i, j 3 σ i σ j = σ 3 σ 1 σ 0, où σ 0 = 2k. k contrainte limite en cisaillement. σ 0 contrainte limite en traction simple.

28 Propriétés du critère de Tresca Le critère de Tresca (ou du cisaillement maximal) est insensible à la pression : σ = σ pi σ 1 = σ 1 p, σ 2 = σ 2 p, σ 3 = σ 3 p. De façon plus générale : T (n) = T (n) pn, σ (n) = σ(n) p, τ (n) = τ(n). Ne dépend pas de la contrainte principale intermédiaire σ 2 : Sup n = 1 τ(n) = σ 3 σ 1. 2

29 3. Critères basés sur le tenseur de contrainte Contraintes principales lourdes à calculer. Accord du critère de Tresca avec l expérience pas toujours bon. On exprime souvent les critères en fonction du tenseur des contraintes. f (σ) 0. Fonction f permettant d exprimer une limitation du cisaillement? Décomposition orthogonale de σ en partie sphérique et déviateur : α3 α σ = σ m i + s, Deviateurs a α m p i i en utilisant la décomposition orthogonale de tout α R s R : α 2 α = α m i + a, α 1 α m = 1 3 tr(α), tr(α mi) = tr(α), tr(a) = 0, i : a = tr(a) = 0.

30 Critère de von Mises Rappel : l addition d une pression ne change pas le cisaillement σ = σ pi τ (n) = τ(n). En particulier (avec p = σ m ) σ et s ont même vecteur cisaillement sur toutes les facettes. Mesure du cisaillement par s 2 = s i j s i j, ou par la contrainte équivalente : Critère de von Mises : σ eq = ( ) 3 1/2 ( ) 3 1/2 2 s : s = 2 s i js i j. σ eq σ 0.

31 Exemples Traction simple Cisaillement pur F e_ 2 _e 1 F e_ 2 τ τ +τ τ v_ u_ σ = σ e 1 e 1, tr(σ) = σ, ( 2 s = σ 3 e 1 e 1 1 3 e 2 e 2 1 ) 3 e 3 e 3, D où le 3/2. σ eq = σ. _e 1 σ = τ (e 1 e 2 + e 2 e 1 ), tr(σ) = 0, s = σ, σ eq = 3 τ. σ eq est un scalaire qui permet de ramener un état de contrainte triaxial à un état de contrainte uniaxial équivalent (au sens de la norme du cisaillement). D où le facteur 3/2.

32 Propriétés du critère de von Mises Le critère de von Mises est insensible à la pression : σ = σ pi s = s, σ eq = σ eq. Le critère de von Mises dépend de la contrainte principale intermédiaire σ 2 : σ 2 eq = 1 [(σ 2 1 σ 3 ) 2 + (σ 2 σ 1 ) 2 + (σ 3 σ 2 ) 2] Il est donc différent du critère de Tresca. σ 0 est la limite (vis à vis du phénomène considéré) en traction simple du matériau. σ 0 / 3 est sa limite en cisaillement.

33 IV. Exemple : rupture en torsion d une craie M Partant de la forme de la surface de rupture, peut-on dire : Quel est le critère de rupture de la craie? o 45 Quel est le type de comportement de la craie? Rupture en cisaillement ou rupture en traction?

34 Analyse des déformations et contraintes z=h e_ z α z h α e_ z γ τ τ e_ θ z=0 Déformation : glissement simple entre les directions e θ et e z : ε = αr ( ) eθ e 2h z + e z e θ, Contrainte : cisaillement simple (ou pur) entre les directions e θ et e z : σ = µαr h ( eθ e z + e z e θ ).

35 Subtilités du cisaillement e_ 2 τ τ +τ τ v_ u e 1 σ = τ (e 1 e 2 + e 2 e 1 ), σ = τ u u τ v v. La facette à +45 0 de normale u est soumise à une traction d intensité τ. Le critère de rupture est donc un critère de contrainte normale maximale. La craie est donc de type fragile (surprise?).

36 Rupture d un matériau ductile Plastification et rupture par cisaillement. http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/virtual_lab/intro.shtml

37 Rupture d un matériau fragile Rupture par traction. http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/virtual_lab/intro.shtml

38 Conclusion Présence nécessaire de défauts microscopiques (microfissures, dislocations). Nécessité de traduire des transitions entre régimes de comportement. Matériaux fragiles sensibles au clivage. Critère de la contrainte normale maximale : Sup n = 1 σ(n) σ 0. Matériaux ductiles sensibles au cisaillement. Critère de Tresca Sup n = 1 τ(n) k. Critère de von Mises σ eq σ 0.