PSI - 2013/2014 1 TD C2 - Correction 4 Impédance ramenée On multiplie le numérateur et le dénominateur par e jkz et on remplace r par son expression. Il vient : 1 + Z m Z a e jk(2z 2L) Z Z = Z m + Z a a soit : 1 Z m Z a Z m + Z a e jk(2z 2L) Z = Z a (Z m + Z a ) e jk(z L) + (Z m Z a ) e jk(z L) (Z m + Z a ) e jk(z L) (Z m Z a ) e jk(z L)
2 TD C2 - Correction Dans le cas où Z m = Z a on trouve : Z = Z a et r = 0 L'onde incidente n'est pas rééchie : tout se passe comme si l'onde se propageait dans un milieu illimité.
PSI - 2013/2014 3 5 Couche sonore anti-reet 1. (a) La dénition de l'impédance donnée en cours est Z = p v. Les unités des impédances de l'énoncé ont une unité qui convient à cette dénition 1. À vitesse donnée, la surpression est plus importante dans une phase condensée : Z m est donc l'impédance sonore des muscles et Z a celle de l'air (ce qui est cohérent avec la notation de l'énoncé). (b) Le facteur de transmission énergétique à l'interface air-muscle vaut 2 : T = 4Z az m (Z a + Z m ) 2 soit T = 9, 4.10 4 (c) Cette valeur est très faible : une onde ultrasonore ne quasiment pénètre pas le corps. C'est pourquoi il est nécessaire de rajouter une couche supplémentaire qui joue le rôle de couche anti-reet (voir question suivante) an de pouvoir réaliser une échographie. 2. (a) On parle d'impédance, donc on se place en régime sinusoïdal (ce que l'énoncé entend par "son pur") : les ondes ont la forme d'opph, ici en notation complexe, à la pulsation ω. On distingue deux types d'opph (en notation complexe) : celles en Ae j(ωt kx), qui se propagent selon les x croissants. celles en Ae j(ωt+kx), qui se propagent selon les x décroissants. où le vecteur d'onde k dépend du milieu dans lequel se propage l'onde 3. L'amplitude de chacune des ondes est a priori diérente. D'après l'énoncé, une onde arrive dans l'air et traverse la couche de graisse. À l'interface graisse - muscle, une onde est transmise et une onde est rééchie. L'onde transmise pénètre dans le muscle sans retour (milieu musculaire profond ). Il n'y a pas d'onde retour dans l'air si la couche fonctionne correctement (l'objectif est d'avoir une couche anti-reet, c'est-à-dire de supprimer l'onde rééchie dans l'air). (b) Avec notre dénition de l'impédance, on aura p = Zv pour une onde se propageant selon + u x et p = Zv pour une onde se propageant selon u x. On en déduit que : pour x < 0 : p(x, t) = Z a A a exp j(ωt k a x) pour 0 < x < e : p(x, t) = Z g A g exp j(ωt k g x) Z g B g exp j(ωt + k g x) pour x > e : p(x, t) = Z m A m exp j(ωt k m x) 1. Rappelons que l'on dénit parfois l'impédance comme Z = p Sv 2. Rappelons que cette expression de T n'est pas à savoir par c ur : il faut la redémontrer (cf. cours). 3. La pulsation ω est la même dans tous les milieux, car les équations reliant les diérentes grandeurs sont linéaires dans le cadre de l'approximation acoustique.
4 TD C2 - Correction (c) Les conditions aux limites imposent la continuité de v et p en x = 0 et x = e. On en déduit les quatre relations suivantes : A a = A g + B g (1) A g exp j(ωt k g e) + B g exp j(ωt + k g e) = A m exp j(ωt k m e) (2) Z a A a = Z g (A g B g ) (3) Z g (A g exp j(ωt k g e) B g exp j(ωt + k g e)) = Z m A m exp j(ωt k m e) (4) On les combine de la façon suivante : Z g (1) + (3) Z g (1) (3) = (Z g + Z a )A a (Z g Z a )A a = 2Z ga g 2Z g B g = Z g + Z a Z g Z a = A g B g (5) Z g (2) + (4) Z g (1) (3) = A g exp( 2jk g e) B g = Z g + Z m Z g Z m (6) On en déduit : (5) (6) = Z g + Z a Z g Z a }{{} réel >0 exp(2jk g e) = Z g + Z m Z g Z m }{{} réel <0 Les deux termes doivent être réels, donc sin(2k g e) = 0, de sorte que cos(2k g e) = ±1. Les signes des termes en "impédances" impliquent que cos(2k g e) = 1 soit 2k g e = π+2nπ On obtient donc : e = (2n + 1) π = (2n + 1) λ g 2k g 4 On a alors Z g + Z a Z g Z a = Z g + Z m Z g Z m soit : Z g Za Z m. A.N. Z g = 2, 6 10 4 kg.m 2.s 1 L'impédance à utiliser est intermédiaire 4 : Z a < Z g < Z m. Remarquons que l'épaisseur de la couche doit être telle que l'onde rééchie dans la graisse soit en opposition de phase par rapport à l'onde incidente au niveau du dioptre airgraisse : 2e = (2n + 1) λ g 2 4. On obtient un résultat analogue dans d'autres domaines (électrocinétique, optique,...).
PSI - 2013/2014 5 6 Son émis par un réacteur d'avion 1. L'onde acoustique plane progressive et sinusoïdale (OPPH) est de la forme : p(x, t) = p 0 cos(ωt kx) et v(x, t) = v 0 cos(ωt kx) La relation entre p 0 et v 0 s'obtient à l'aide de l'équation d'euler linéarisée : ρ 0 v t = p x soit ρ 0 v 0 ω sin(ωt kx) = p 0 k sin(ωt kx)
6 TD C2 - Correction soit : c = 340 m.s 1 Avec p e = I 0 ρ 0 c, il vient : p e = 2, 0.10 5 Pa 2. L'échelle d'intensité sonore en décibel (db) est dénie par : ( ) I I db = 10 log La référence (I db = 0 db) est donc prise pour I = I 0 (seuil d'audibilité pour une oreille moyenne pour des sons de fréquence 1 khz). Un son de 120 db correspond donc à une intensité I telle que : ( ) I log = 12 d'où I = I 0 10 12 = 10 12 10 12 soit I = 1 W.m 2 I 0 Remarque : Le facteur 10 (au lieu de 20) dans la dénition du db provient du fait que I db est dénie à partir de grandeurs énergétiques. Si l'on revient aux surpressions ecaces, sachant que pour une OPPH l'intensité I est proportionnelle à p 2 e (cf. question 1), on obtient : ( ) ( ) pe 2 pe I db = 10 log = 20 log p 2 e0 p e0 I 0 Assimilons la source à une source d'ondes sphériques, qui émet une puissance moyenne P m dans tout l'espace. À une distance d de la source, elle est répartie sur la sphère de rayon d, de sorte que : P m = I ds = 4πd 2 I sphere A.N. : Avec d = 20 m et I = 1 m.w 2, on obtient : Remarques : P m = 4π (20) 2 1 soit P m = 5, 0 kw On peut comparer l'intensité précédente de 1 W.m 2 à l'intensité des ondes électromagnétiques émises par le soleil à la surface de la Terre, qui est de 1000 W.m 2. L'énergie mise en jeu par les ondes sonores reste donc relativement faible, même pour le seuil de douleur. On notera que la puissance mise en jeu reste évidemment très importante par rapport à la puissance d'une chaîne Hi-Fi puisque les baes font en général quelques dizaines de Watts. Ceux-ci ne permettent heureusement pas d'atteindre le seuil de douleur à une vingtaine de mètres.
PSI - 2013/2014 7 7 La bouteille qui chante En remarquant que l'impédance de l'eau est très supérieure à celle de l'air du fait de la diérence de masse volumique (on rappelle que Z = µ 0 c), on peut assimiler l'eau à une paroi rigide qui impose un n ud de vitesse. L'ouverture de la bouteille sur l'atmosphère impose un noeud de surpression (puisque la surpression à l'extérieur, dans le milieu considéré comme inni, est nulle), et donc un ventre de vitesse (sur la gure ci-dessous, on a représenté l'amplitude de la vitesse). On en déduit que : L = (2n + 1) λ 4 avec f = c pour le fondamental. Lorsque la bouteille se remplit, la longueur L diminue, et le son devient plus aigu, car la fréquence 4L augmente. 8 Diapason Une extrémité est libre, l'autre fermée. Un n ud de surpression est imposé à l'extrémité ouverte. Un n ud de vitesse (donc un ventre de surpression) est imposé à l'extrémité fermée). Le mode fondamental des ondes sonores se propageant dans la direction des arêtes de plus grandes dimensions correspond à : L = λ 4, or λ = c ν L = c = 19, 3 cm proche de la valeur donnée par le texte. 4ν L pression Remarque : Ceci permet de comprendre la forme de la caisse de résonance d'une guitare. Les diérentes sections permettent de laisser résonner les diérentes fréquences émises par les cordes lors de leur vibration de façon la plus équilibrée possible, an de ne pas amplier une fréquence plus que l'autre. 9 Résonance sonore dans une burette L'impédance acoustique de l'eau étant beaucoup plus grande que celle de l'air, à l'interface air/eau, nous pouvons considérer que l'onde sonore est entièrement rééchie. Il y a à cet endroit un n ud de vitesse. À l'autre extrémité, il y a un n ud de surpression. L'air résonne avec le diapason quand la fréquence du diapason correspond à l'une des fréquences propres de la burette, qui joue ici le rôle de tuyau sonore. Les deux longueurs pour lesquelles il y a résonance correspondent donc à deux modes propres consécutifs, la diérence entre les deux est donc égale à une demi longueur d'onde. La fréquence du diapason est alors de : f = c = 686 Hz à T = 2 l 20 C avec c = 343 m.s 1. l