EXERCICE 1 Torsion : (3 points 15 min) On étudie ici une griffe de jardin, outil servant aux jardiniers du dimanche à aérer la terre ou à désherber. En fonctionnement, cet outil est planté (considéré encastré) dans la terre au niveau du point noté A, et l utilisateur exerce deux efforts perpendiculaires au manche (partie DC) aux points D et C que l on estime à 400 maxi chacun. On souhaite réaliser cette pièce à l aide de tube de diamètre D. On étudie la partie AB, sollicitée en torsion. Données géométriques : 200 1200 Données Matériau : 210 240 ح 150 85 7800 /3 1. Déterminer le moment de torsion appliqué à la barre AB C est un couple : 2.. 160. 2. Déterminer le diamètre minimal du tube permettant la résistance de l outil. Contrainte de cisaillement maxi dans la section : " #$% &'. *, " () + $-# avec./ 0.*1 2+ On en déduit l expression de D : ; 3 4 56.&' 0.7 89: 3 17,58 ITII 1/5
EXERCICE 2 Traction : (4 points 15 min) Une éprouvette de traction en alliage d aluminium de type AU4G (Caractéristiques matériau : 80 000 ; ν 0,32 ) de section carrée de coté et de longueur = 200 est soumise à un effort normal de 40. La contrainte σ >?@A vaut 200 MPa et l allongement % admissible vaut 20%, c'est-à-dire C C 0,2. Déterminez taille de la section D mini qu il faut pour respecter la contrainte admissible imposée et la taille de la section E% mini qu il faut pour respecter l allongement admissible imposé. Conclure. A la contrainte admissible : G #$% I $², G $-# 3 4 D 89: 3 14,14 A l allongement admissible : K #$% D :8L, M M.I M.$² N CO C $-# 3 P M.N Q Q O 89: 3 1,581 Conclusion : C est à la contrainte que la dimension de la section est la plus pénalisante. 3 14,14 ITII 2/5
EXERCICE 3 Torseur de cohésion : (6 points 45 min) La poutre ci-contre est posée sur deux appuis en A et C, soumise à une charge uniformément répartie R suivant ST de B à C, un couple T (intensité R. = + ) autour de UT en B. 1. Exprimez les actions aux appuis. Système matériel isolé : SMI={La poutre} On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en A autour de UT : Somme des forces sur ST : V W R. X. X V 2. =. YZ [ 0 YZ E V W R. X V YZ [ 0 C V 2 +. R. =² V 2. =. Y Z [ 0 YZ E V R. = V YZ [ 0 2. =. YZ [ \ \ 2 +. R. =+ \R. = + \ 2 +. R. =+ YZ E 5 ]. R. = YZ [ \ ^ ]. R. = 2. Exprimez les éléments différents de zéro du torseur d action de cohésion. Zone AB : Coté gauche _S`ab \cyz E d _S`ab \ 5 ]. R. = C eu`ab \c\yz E. ad eu`ab 5. R. =. a ] Zone BC : Coté droit _S`ab W R. X V YZ [ % _S`ab R. `2. = \ ab \ ^. R. = _S`ab \R. a V 2. R. = ] ] eu`ab W % R. `X \ ab. X V `2. = \ ab. YZ [ eu`ab R. `f%b² + \ ^. `2. = \ ab. R. = ] 3. Tracez les diagrammes de variation des éléments du torseur d action de cohésion en précisant les valeurs particulières. Ty Mfz ITII 3/5
EXERCICE 4 : Flexion (7 points 45 min) La poutre métallique ( 200 ) à section carrée de coté ci-contre est soumise à l action d une charge répartie (R 2048 /) orientée suivant l axe ST. Soit g 1,5. On peut montrer que le moment fléchissant est donné par la relation ci-dessous : eu`ab 5.R. + a+ \ 5.R. g. a + 1. Déterminer le lieu (sans calcul) et l expression de la flèche maxi. (Démarche à justifier) Lieu de la flèche maxi : La flèche est maxi au milieu puisque le problème est symétrique dans son chargement et dans sa géométrie. ypothèses : Matériau homogène, continu et isotrope ; Elasticité linéaire ; Petites perturbations Rotation de la section droite par rapport à la fibre neutre négligée. Cela implique que l on néglige l effort tranchant pour traduire le déplacement de la poutre. Ainsi i 0 -j -% k Déformations transversales :.. lm. -j`%bn.. -% n lm. -o`%b eu p.r. -% n a+ \ p.r. g. a n 1 ère intégration :.. lm. -j`%b p.r. -% q a2 \ p.r. g. a² V 1 5 2 nd intégration :.. lm. r`ab p.r. n1 a] \ p.r. g. pn a2 V 5. a V + Conditions aux limites pour déterminer les constantes 5 et + En a 0 il y a un appui, donc pas de déplacement r`0b 0. On détermine la constante + :.. lm s 0 p.r. n1 0] \ p.r. g. pn 02 V 5 s 0 V + + 0 En a g il y a un appui, donc pas de déplacement r`gb 0. On détermine la constante 5 :.. lm s 0 p.r. n1 `gb] \ p.r. g. pn `gb2 V 5 s g 0 5 p.r. g2 n1 Bilan.. lm. r`ab p n1.r. a] \ p pn.r. g. a2 V p n1.r. g2. a.. lm. -j`%b p.r. -% q a2 \ p.r. g. a² V p.r. g2 1 n1 La flèche maximale vaut donc : r N t + O r #$% 5 M.( uv. w p n1.r. Nt + O] \ p pn.r. g. Nt + O2 V p n1.r. g2 s N t + Ox r #$% ^.y.t1 2z].M.( uv ITII 4/5
2. La flèche maxi ne doit pas dépasser la portée divisée par 1000. Exprimer puis calculer la valeur de minimale. Détermination des dimensions de la section droite On connaît la flèche maxi autorisée : r #$% { t 5 ^.y.t 1 { t 2z].M.( uv 5 Quelle valeur pour.u? Dans le cas d une section carrée s, le moment quadratique.u est donné par la relation :.U $1 5+ Calcul de : 1 { 4 6+^.y.t; ].M { 48,205 ITII 5/5