Enseignement obligatoire

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PARIE A Propagation d une onde Les ondes mécaniques progressives Programme A PROPAGAION D UNE ONDE ; ONDES PROGRESSIVES ( P 9 HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Exemples de propagation d ondes mécaniques connues (vagues, ondes sonores, ondes sismiques, etc)* Présentation qualitative d ondes à une, deux et trois dimensions (corde, ressort, cuve à ondes, ondes sonores) omparaison du déplacement d un mobile et de celui d une perturbation mécanique afin d en montrer les différences fondamentales Illustration de l influence de l inertie et de la rigidité du milieu sur la célérité au moyen de dispositifs mécaniques simples (masses en mouvement plus ou moins grandes, ressorts plus ou moins rigides, cordes plus ou moins tendues, milieu plus ou moins compressible) Étude avec corde et ressort, cuve à ondes, son (clap) et ultrasons (salves) : mesure de retard, calcul de la célérité d une onde, influence du milieu Les ondes mécaniques progressives Introduction À partir des exemples donnés en activité, dégager la définition suivante d une onde mécanique : «On appelle onde mécanique le phénomène de propagation d une perturbation dans un milieu sans transport de matière» élérité Ondes longitudinales, transversales Ondes sonores comme ondes longitudinales de compression-dilatation Propriétés générales des ondes : une onde se propage, à partir de la source, dans toutes les directions qui lui sont offertes, la perturbation se transmet de proche en proche ; transfert d énergie sans transport de matière, la vitesse de propagation d une onde est une propriété du milieu, deux ondes peuvent se croiser sans se perturber Onde progressive à une dimension Notion d onde progressive à une dimension Notion de retard : la perturbation au point M à l instant t est celle qui existait auparavant en un point M à l instant t = t τ ; τ = M M/v, τ étant le retard et v la célérité (pour les milieux non dispersifs) * Activités pouvant donner lieu à l utilisation des technologies de l information et de la communication Définir une onde mécanique et sa célérité Définir et reconnaître une onde transversale et une onde longitudinale onnaître et exploiter les propriétés générales des ondes Définir une onde progressive à une dimension et savoir que la perturbation en un point du milieu, à l instant t, est celle qu avait la source au temps t = t τ, τ étant le retard (dans un milieu non dispersif) Exploiter la relation entre le retard, la distance et la célérité Exploiter un document expérimental (chronophotographies, vidéo) donnant l aspect de la perturbation à des dates données en fonction de l abscisse : interprétation, mesure d une distance, calcul d un retard et/ou d une célérité Exploiter un document expérimental (oscillogrammes, acquisition de données avec un ordinateur ) obtenu à partir de capteurs délivrant un signal lié à la perturbation et donnant l évolution temporelle de la perturbation en un point donné : interprétation, mesure d un retard, calcul d une célérité, calcul d une distance Savoir-faire expérimentaux Utiliser un dispositif expérimental pour mesurer un retard ou une distance lors de la propagation d une onde En particulier, utiliser un oscilloscope pour mesurer le retard d un clap sonore ou d une salve d ultrasons 6 Partie A - Propagation d une onde

Photo d entrée (p 9) Lorsqu une péniche se déplace sur un plan d eau, il y a transport de matière d un point à un autre du plan d eau Lorsqu une onde se propage à la surface de l eau, une portion d eau considérée oscille verticalement au passage de l onde, mais cette portion d eau reste à sa position initiale après le passage de l onde Lors du déplacement d une onde, il y a propagation d une information et d une énergie, mais il n y a pas de transport de matière d un point à un autre ours Découpage du cours Les ondes mécaniques progressives p Ondes transversales et ondes longitudinales p 3 Propriétés générales des ondes mécaniques progressives p 4 Ondes progressives à une dimension p 4 À l issue de cette étude, les élèves doivent pouvoir définir une onde mécanique et sa célérité De plus, il faut qu ils puissent définir et reconnaître une onde transversale et une onde longitudinale Le but du premier paragraphe est de définir quelques mots servant à la compréhension de l exposé qui suit : onde, onde progressive, perturbation, vibration es définitions sont introduites avec des exemples concrets pris dans la vie courante, afin que les élèves puissent bien se représenter le phénomène en question Le professeur indique également ce que l on entend par onde à une, deux et trois dimensions en illustrant toujours ces définitions par des exemples concrets Pour définir une onde mécanique progressive, on compare d abord le déplacement d un mobile avec celui d une onde En premier lieu, une expérience est nécessaire L onde choisie doit être connue de tout le monde, par exemple, une onde se propageant à la surface de l eau ou une onde le long d une corde élastique Le point important à retenir par les élèves est qu une onde est le phénomène de propagation d une perturbation dans un milieu, sans transport de matière, d un point à un autre de ce milieu Le professeur peut demander aux élèves de citer d autres exemples et vérifie ainsi si cette notion est bien comprise de tous Le programme demande de définir le déplacement moyen d une onde entre deux instants par le mot célérité, le mot vitesse étant réservé pour le déplacement moyen d un mobile entre deux instants Dans le 4, on a choisi de bien distinguer ces deux grandeurs en leur affectant deux désignations différentes, afin que les élèves ne les confondent pas La désignation de la célérité est V ; celle de la vitesse est v es deux grandeurs ont même équation aux dimensions et s expriment dans les unités du Système International en mètre par seconde (symbole : m s ou m/s) L expression de la célérité d une onde, supposée constante, est donnée par l expression : d V = τ outes les unités de cette expression sont bien définies et prises dans celles du Système International (unités SI) Pour illustrer cette relation, on peut choisir des exemples de calcul : relatifs à des expériences faites en classe, par exemple, celles effectuées au cours des activités expérimentales ; relatifs à des faits divers de la vie courante, par exemple, au cours d un orage Il est impératif que les élèves différencient les ondes mécaniques progressives transversales et longitudinales Les exemples les plus représentatifs étant : pour les ondes transversales, la perturbation transversale se propageant le long d une corde élastique tendue ; pour les ondes longitudinales, la perturbation longitudinale se propageant le long d un ressort tendu es expériences qualitatives seront nécessairement faites en classe Les ondes sonores sont des ondes mécaniques progressives qui nécessitent un milieu matériel pour se propager L expérience du téléphone portable dans la cloche à vide est facile à réaliser Elle met en évidence qu un milieu matériel, ici l air, est indispensable pour que les ondes sonores se propagent Les élèves donnent leurs interprétations expérimentales qui sont, si besoin, corrigées par le professeur hapitre - Les ondes mécaniques progressives 7

L onde sonore est un exemple d onde mécanique progressive transversale Le professeur donne et explique la modélisation au niveau d une tranche fictive d air ette dernière subit des compressionsdétentes lors de la propagation d une onde sonore 3 Dans la partie 3, un certain nombre de propriétés sont abordées Le programme exige que les élèves connaissent et exploitent ces propriétés générales des ondes Les connaissances exigibles sont les suivantes Une onde se propage, à partir de la source, dans toutes les directions du milieu de propagation qui lui sont offertes Quelques exemples tirés de la vie courante suffisent à illustrer cette propriété : ondes à la surface de l eau ; ondes sonores dans une salle ette étude peut se faire à l occasion d une activité ransmission de l onde de proche en proche : un transport d énergie sans transport de matière En plus des exemples cités dans le livre, le professeur anime la recherche d autres exemples dans lesquels l onde mécanique progressive transporte de l énergie sans transporter de la matière On peut alors envisager le cas des ultrasons en médecine : réduction en fragments des calculs rénaux et des calculs de la vésicule biliaire par ultrasons La célérité d une onde est une propriété du milieu de propagation L inertie d un milieu de propagation est définie aux élèves par la difficulté de mettre en mouvement ce milieu lors du passage d une onde Au cours d activités ou d expériences faites en classe, on peut montrer : l influence de l inertie du milieu de propagation ; l influence de la tension des cordes ; l influence de la rigidité des ressorts ; l influence de la compression du milieu ; l influence de la température (nécessité d accorder les instruments de musique en fonction de la température de la salle ou de l air en plein air) Dans le cours et sous forme de tableau, on montre l influence de la célérité de la propagation d ondes dans différents milieux en fonction de quelques facteurs Les milieux étudiés sont quelques solides, liquides et gaz Deux ondes peuvent se croiser sans se perturber out le monde a déjà observé, lors d une averse sur une surface d eau tranquille, les ronds sur l eau créés par la pluie eux-ci se croisent sans se perturber car les ondes restent toujours de forme circulaire Une expérience peut être proposée à ce sujet Pour cela, on peut utiliser une longue corde élastique, par exemple, de la corde utilisée en éducation sportive pour le saut en hauteur Deux expérimentateurs, placés à chaque extrémité de la corde tendue, provoquent en même temps une perturbation transversale L une dirigée verticalement vers le haut, l autre dirigée verticalement vers le bas Le phénomène observé est rapide, mais visible : les deux perturbations se croisent sans se perturber Faire abstraction des réflexions Si les moyens du laboratoire le permettent, on peut enregistrer le mouvement par l intermédiaire d une webcam ou d un magnétoscope 4 Le programme se limite à l étude d une onde progressive à une dimension se propageant sans changement de forme ela n est valable que pour les milieux dits non dispersifs pour lesquels la célérité des ondes sinusoïdales est indépendante de la fréquence Le milieu dispersif ou non dispersif abordé par la suite, ne sera exigible qu à la fin de l étude des ondes (conformément aux commentaires du programme) Dans le 4, les élèves retiennent la définition d une onde mécanique progressive à une dimension, connaissance exigible du programme On suppose que la propagation d une perturbation le long d une corde (ou d un ressort) est une onde mécanique à une dimension En première approximation, on peut également supposer que les ultrasons émis par un émetteur sont des ondes mécaniques à une dimension à partir de quelques décimètres de la source Au sujet des ondes mécaniques progressives à une dimension, on note la différence entre le libellé du contenu du programme et celui des connaissances exigibles de la part des élèves ontenu du programme Notion de retard : la perturbation au point M à l instant t est celle qui existait auparavant en un point M à l instant t = t τ : avec MM τ =, t étant le retard v et v la célérité (pour des milieux non dispersifs) onnaissance exigible pour les élèves La perturbation en un point du milieu, à l instant t, est celle qu avait la source au temps t = t τ, τ étant le retard (dans un milieu non dispersif) L exposé présenté dans le livre ( 4) reprend le libellé du contenu du programme Une fois la notion de retard assimilée par les élèves, le 8 Partie A - Propagation d une onde

professeur peut aborder, au cours d un exercice, le cas où l on considère la source S et un point M du milieu La connaissance exigible du programme citée précédemment doit être comprise de tous Les savoir-faire du programme exigent de la part des élèves qu ils sachent exploiter un document expérimental et, en particulier, utiliser un dispositif expérimental pour mesurer un retard ou une distance lors de la progression d une onde, en particulier avec un oscilloscope L expérience présentée dans le livre permet de mesurer un tel retard et de déterminer ainsi la célérité du son dans l air du laboratoire ette expérience peut être mise en œuvre facilement au cours de l exposé Activités Propagation d une onde mécanique (page 6) Les expériences présentées dans cette activité permettent de mettre en évidence la propagation d une onde mécanique dans des milieux à une, deux et trois dimensions est l occasion pour le professeur de définir un certain nombre de termes propres à la propagation d une onde AIVIÉ A Dans un milieu à une dimension Les expériences sont simples à réaliser par les élèves On peut enregistrer les différentes propagations par des moyens vidéo-techniques classiques utilisés au laboratoire Le milieu de propagation est dit à une dimension car le déplacement de l onde ne s effectue que dans une seule direction : le long de la corde tendue ou le long du ressort tendu Les études expérimentales montrent que plus une corde, une corde élastique ou un ressort sont tendus, plus le déplacement de l onde est rapide, et réciproquement 3 Pour la propagation d une onde le long d une corde ou d une corde élastique tendue, on constate que la direction de la déformation temporaire du milieu est perpendiculaire à celle de la propagation de l onde On dit que l onde mécanique progressive est transversale Pour la propagation d une onde le long d un ressort tendu, on constate que la direction de la déformation temporaire du milieu est parallèle à celle de la propagation de l onde On dit que l onde mécanique progressive est longitudinale B Dans un milieu à deux dimensions Les expériences sont, là encore, faciles à réaliser En général, les ondes sont visibles sur un verre dépoli et l ensemble des élèves peut ainsi observer le déplacement des ondes omme l espace de propagation est relativement réduit, la propagation ne dure que peu de temps Un dispositif stroboscopique permet de ralentir cette propagation, laquelle devient alors très perceptible Le milieu de propagation est dit à deux dimensions car le déplacement de l onde s effectue sur la surface de l eau Une surface est un espace à deux dimensions Les études expérimentales montrent que plus l épaisseur de l eau est importante, plus le déplacement de l onde est rapide, et réciproquement 3 Pour la propagation d une onde à la surface de l eau, on constate que la direction de la déformation temporaire de la surface est perpendiculaire à celle de la propagation de l onde On dit qu une onde progressive à la surface de l eau est transversale 4 Quelles que soient les expériences effectuées avec différentes épaisseurs d eau, les rides créées à la surface de l eau sont toujours circulaires On en déduit que, pendant des durées égales, l onde se propage sur une même distance dans toutes les directions de la surface de l eau En conclusion, la célérité de l onde créée est la même, quelle que soit la direction considérée Dans un milieu à trois dimensions Pour réaliser la première expérience proposée, il est nécessaire que le laboratoire du lycée possède une cloche à vide accompagnée de sa pompe à air Les expériences se réalisent facilement La sonnerie du téléphone portable est inaudible lorsque l air de la cloche est complètement aspiré Les sons ou ondes sonores ne peuvent pas se propager dans le vide de la cloche Il est nécessaire qu un milieu soit présent pour qu un son puisse se propager En revanche, les sons se propagent parfaitement dans les liquides et les solides Exemples : un plongeur sous-marin entend parfaitement les sons produits par un bateau à moteur qui passe à plusieurs centaines de mètres de lui Il entend très distinctement les petits bruits de la faune située hapitre - Les ondes mécaniques progressives 9

près de lui (coquillage qui se referme brusquement, etc) ; les ondes sonores produites par un bricoleur qui perce un trou dans le mur de son appartement sont entendues par tous les habitants de l immeuble! L air est un milieu de propagation à trois dimensions car les ondes sonores se déplacent dans toutes les directions de l espace L atmosphère est un milieu à trois dimensions Au point de vue mathématique, un point quelconque de cet espace est parfaitement localisé par trois coordonnées spatiales par rapport à un repère d espace 3 Expérience : l émetteur est la sonnerie du téléphone portable ; les récepteurs sont les oreilles des différents observateurs Expérience : l émetteur est la cloche qui a été frappée ; les récepteurs sont les oreilles des différents observateurs AIVIÉ Influence de l inertie et de la rigidité du milieu sur la célérité (page 7) A Utilisation de masses plus ou moins grandes ertaines échelles de perroquet ne permettent pas de changer les masselottes fixées à l extrémité des différentes tiges On peut changer la position des masselottes sur ces tiges Le professeur explique alors aux élèves que plus les masselottes sont éloignées de l axe de rotation de l échelle, plus l inertie aux variations de mouvement de l échelle est importante Lorsque les masses des masselottes sont augmentées, l inertie aux variations de mouvement de l échelle est augmentée Plus l inertie de l échelle est augmentée, plus la célérité de l onde qui se propage le long de cette échelle est faible B Utilisation de ressorts plus ou moins rigides Une fois l enregistrement effectué avec des ressort de différentes rigidités, des tirages papiers de différents clichés peuvent être effectués Deux clichés, pris à des instants différents, sont donnés à chaque groupe d élèves es clichés leur permettent de calculer la célérité de l onde pour une expérience donnée Les différents résultats des célérités obtenus seront confrontés ; une conclusion est alors donnée Plus le ressort est rigide, plus la célérité de l onde qui se propage le long de ce ressort est grande Utilisation de cordes plus ou moins tendues On procède de la même façon que précédemment avec des cordes ou des cordes élastiques plus ou moins tendues Plus la corde est tendue, plus la célérité de l onde qui se propage le long de cette corde est grande D Utilisation de milieux de pressions et de températures différentes Pour étudier l influence de la pression et de la température sur la célérité d une sonde sonore, une activité documentaire est proposée aux élèves eux-ci doivent bien observer les différentes valeurs des grandeurs enregistrées sur le tableau de bord d un avion supersonique pour deux altitudes différentes, au décollage et en vol de croisière La célérité des ondes sonores dans l air n est pas la même aux différentes altitudes car la pression et la température de l air qui entourent l avion ne sont pas les mêmes En altitude, la pression et la température de l air sont plus petites qu au voisinage du sol Le nombre de Mach est égal au rapport de la vitesse v du mobile considéré et de la célérité V des ondes sonores, là où ce mobile se déplace En désignant par N M de nombre de Mach, on a donc : v N M = V Avec les indications du tableau de bord, on vérifie bien que les vitesses de l avion en kilomètre par heure et en nombre de Mach correspondent Premier cas, au voisinage du sol : v = 34,86 = 97,8 m s ; v = 97,8 3,6 = 35 km h Deuxième cas, en altitude : v = 33,5 = 6 m s ; v = 95,48 3,6 = 36 km h Le cadran affiche 33 km h ompte tenu que les indications de vitesse sont données avec 3 chiffres significatifs sur le cadran, cette vitesse est en accord avec la précision générale des différents appareils de mesure 3 AIVIÉ Vitesse et célérité (page 8) A Déplacement d un mobile et déplacement d un signal Le professeur demande aux élèves de se référer à des exemples de la vie de tous les jours afin de remplir chaque case du tableau demandé par une conclusion Partie A - Propagation d une onde

omparaison du déplacement d un solide avec le déplacement d un signal : Déplacement d un mobile Vitesse d un solide ; ordre de grandeur de cette grandeur : de 6 m s à moins de 3 8 m s Déplacement de matière d un point à un autre de l espace Énergie mécanique du mobile Déplacement possible d un mobile dans le vide Deux mobiles ne peuvent pas se croiser sur une même trajectoire sans se perturber! Déplacement d une onde élérité d une onde ; ordre de grandeur de cette grandeur : de, m s à 3 km s environ Lors du passage d une l onde dans un milieu de propagation, la matière reste en place après les oscillations de celle-ci autour d une position d équilibre Énergie mécanique de l onde Déplacement impossible d une onde mécanique dans le vide Deux ondes peuvent se croiser sans se perturber B Mesure d un retard et de la célérité des ultrasons Le professeur surveille le bon déroulement de cette manipulation et vérifie les montages avant que les élèves effectuent leurs mesures Le protocole peut être exposé par écrit sans pour autant être détaillé Émetteur à ultrasons Voie A vers l'oscilloscope Récepteur à ultrasons Voie B La durée τ de parcours d une salve de l émetteur au récepteur est donnée par la relation : τ = nb ; avec n le nombre de division du décalage et b le coefficient de balayage des spots Sur la figure du livre élève, à la page 8, la durée de parcours est : τ = 5,3, 3 ; τ = 5,3 4 s 3 et 4 La moyenne des différentes mesures effectuées est voisine de 34 m s Le tsunami 4 du 6 décembre 4 (page 9) ette activité est une exploitation de document Elle peut être faite en classe mais également à la maison en exercice de recherche à l issue de l étude du chapitre Le sujet de cette activité a été très médiatisé en raison du caractère horrible du cataclysme en pertes humaines et en dégâts matériels AIVIÉ Suite à une déformation très lente de la plaque birmane, cette dernière s est brusquement soulevée d une dizaine de mètres sur près de 6 km de long e mouvement a généré une impulsion de la colonne d eau située au-dessus Il s en est suivi une onde qui s est propagée à la surface des océans a) Les milieux de propagation des ondes sont : la croûte terrestre ; la surface des océans b) La durée du parcours des ondes sismiques les plus rapides est : τ = h 3 min h : 59 min ; τ = 33 min ; τ = 98 s environ La célérité des ondes sismiques les plus rapides est donc : V = D/τ ; V = 6, km s 3 Les célérités moyennes des ondes se propageant à la surface de l eau pour les différents lieux donnés dans le texte sont les suivantes Pour les côtes de Bancia Ajet : D = 5 km ; τ = 37 min ; V =, km s Pour les côtes du Sri Lanka : D = 48 km ; τ = 4 min ; V =,4 km s Pour la ville de Port Elizabeth : D = 8 3 km ; τ = 86 min ; V =,7 km s 4 Pour se mettre à l abri avant l arrivée du tsunami, les populations auraient disposé des durées suivantes Pour les côtes de Bancia Ajet : τ = 4 min Pour les côtes du Sri Lanka : τ = h 7 min Pour la ville de Port Elizabeth : τ = 3 h 38 min orrigés des exercices (page ) Appliquer et approfondir 8 La corde élastique On observe une onde qui se propage le long de la corde à partir du point de frappe L onde ainsi créée est une onde transversale, car la direction de la perturbation est perpendiculaire à celle de la propagation de l onde 3 Après le passage de l onde, le point de la corde revient à sa position initiale hapitre - Les ondes mécaniques progressives

9 Le ressort de démonstration On observe une onde qui se propage le long du ressort à partir de la région de pincement des spires L onde ainsi créée est une onde longitudinale car la direction de la perturbation est parallèle à celle de la propagation de l onde 3 Après le passage de l onde, les spires du ressort reviennent à leur position initiale Onde mécanique le long d un ressort La forme de la perturbation due à l onde se conserve au cours de sa propagation L onde étudiée est une onde mécanique progressive 3 Sur le document et pendant la durée τ, la perturbation s est déplacée de 33 mm, ce qui correspond à un déplacement réel de d ; la règle mesure 9 mm, ce qui correspond à un déplacement réel de, m D où les proportions suivantes : 35 d = ; d =, m 9, 4 La célérité V de l onde le long du ressort est : d, V = ; V = soit V =, m s τ, 345, 46 ompte tenu de la précision des mesures de longueurs, deux chiffres significatifs pour le résultat suffiront On a donc : V = m s Onde mécanique le long d une corde Exercice résolu dans le manuel de l élève En promenade La source de cette onde sonore est l éclair qui se forme dans l atmosphère Le milieu de propagation est l air de l atmosphère Le récepteur de l onde sonore sont les oreilles de Ludovic L onde sonore est une onde mécanique progressive longitudinale 3 La célérité d une onde sonore dans l air au niveau proche de la mer est de l ordre de 34 m s 4 Ludovic se trouve environ à une distance d de l orage, telle que : d =,34 8 e qui correspond à une distance proche de 3 km 3 Le feu d artifice Solution en fin de manuel de l élève 4 remblement de terre Par rapport à l heure U, l heure en France est : en hiver, + heure ; en été, + heures La durée de la propagation des signaux les plus rapides est : τ = D V ; τ = 45 soit τ = 577 s ou encore τ = 9,6 min 4, L heure U de l arrivée des signaux à Strasbourg est donc : 4 h 3 min + 9,6 min = 4 h 4 min environ 3 La durée du parcours des ondes sismiques en profondeur est de 3 min La célérité de ces ondes est donc : D 695 V = ; V = τ 3 6 soit V = 8,9 km s 5 Sur la Lune a) Il n y a pas de déplacement de l air de l émetteur au récepteur b) L onde sonore est une onde longitudinale car, au passage de celle-ci, les différentes tranches d air vibrent parallèlement à la direction de propagation de l onde c) Au passage de l onde sonore, les différentes molécules contenues dans une petite tranche d air vibrent parallèlement à la direction de propagation d) Pour qu une onde sonore puisse se propager, il lui faut un support matériel Une onde sonore ne peut pas se propager dans le vide a) omme il n y a pas d air sur la Lune, les vibrations engendrées par la frappe d un marteau sur une plaque de tôle ne peuvent pas générer des ondes sonores La raison est que l environnement situé entre les deux cosmonautes est vide de toute matière b) En frappant avec un marteau sur le sol rocheux, un cosmonaute peut envoyer des ondes qui se propageront dans le sol Avec un peu de chance, l autre cosmonaute pourra détecter par ses pieds les ondes vibratoires du sol! c) Les cosmonautes communiquent entre eux par des ondes radios ou ondes électromagnétiques qui, elles, peuvent se propager dans le vide (leur étude est hors programme) 6 Localisation d un choc Solution en fin de manuel de l élève 7 Vitesse d un avion supersonique Le mur du son est le phénomène que l on constate lorsqu un mobile atteint la même vitesse que celle des ondes sonores qu il émet Il y a accumulation des perturbations des ondes sonores face au mobile L énergie des ondes accumulées Partie A - Propagation d une onde

devant le dit mobile est considérable Augmenter la vitesse du mobile implique de franchir ce mur énergétique Le mobile est alors soumis à des contraintes très violentes ; le mieux est de le passer rapidement! À 9 km, la vitesse de l avion est : 95 m s ou encore 6 km h À basse altitude, la vitesse de l avion est : 34 m s ou encore 3 km h 3 a) La vitesse de l avion lorsqu il vole à 9 km et à Mach,4 est :,4 95 m s ou encore 57 km h b) Un satellite se déplace dans le vide, les ondes sonores sont inexistantes : le nombre de Mach est donc non défini La vitesse d un satellite est toujours donnée par rapport à un repère géocentrique (centre de la erre et trois directions d étoiles dites fixes sur la voûte céleste) 8 Perturbation le long d une corde La position de la perturbation à l instant t = 75 ms est située en arrière par rapport à la position de la perturbation du document donné dans l énoncé (instant t = 5 ms) La distance D franchie par cette perturbation entre les instants t et t est donnée par la relation : D = V (t t ) ; D =,6 m L aspect de la corde à l instant t est celui du document de l énoncé décalé vers la gauche de,6 m D après l échelle du document, ce décalage correspond sur le document à une distance d : m correspond à 9 mm ;,6 m correspond à d mm D où : d = 7 mm La position de la perturbation à l instant t = ms est située en avant par rapport à la position de la perturbation du document donné dans l énoncé (instant t = 5 ms) La distance D franchie par cette perturbation entre les instants t et t est donnée par la relation : D = V (t t) ; D =,9 m L aspect de la corde à l instant t est celui du document de l énoncé décalé vers la droite de,9 m D après l échelle du document, ce décalage correspond sur le document à une distance d : m correspond à 9 mm ;,9 m correspond à d mm D où : d = 6 mm 9 Perturbation le long d un ressort La position de la perturbation à l instant t = ms est située en arrière par rapport à la position de la perturbation du document donné dans l énoncé (instant t = 75 ms) La distance D franchie par cette perturbation entre les instants t et t est donnée par la relation : D = V (t t ) ; D =,5 m L aspect de la corde à l instant t est celui du document photographique de l énoncé décalé vers la gauche de,5 m D après l échelle du document, ce décalage correspond sur le document à une distance d : m correspond à 9 mm ;,5 m correspond à d mm D où : d = 44 mm La position de la perturbation à l instant t = 3 ms est située en avant par rapport à la position de la perturbation du document donné dans l énoncé (instant t = 75 ms) La distance D franchie par cette perturbation entre les instants t et t est donnée par la relation : D = V (t t) ; D =,88 m L aspect de la corde à l instant t est celui du document de l énoncé décalé vers la droite de,88 m D après l échelle du document, ce décalage correspond sur le document à une distance d : m correspond à 9 mm ;,88 m correspond à d mm D où : d = 55 mm élérité des ultrasons dans l air Solution en fin de manuel de l élève Navigation sur les canaux Solution en fin de manuel de l élève Utilisation de deux récepteurs Schéma du montage : Générateur d'ultrasons R Voie A d Masse R Voie B Masse La durée mise par les ultrasons pour parcourir la distance D est : τ = nb ; τ = 6,, soit τ =,6 ms La célérité des ultrasons est alors : d V = ; V = 3,4 m s τ hapitre - Les ondes mécaniques progressives 3

3 Pour la distance d =, m, la durée de parcours τ des ondes ultrasonores est : τ = d V ; τ = 3, 4 s Pour avoir le maximum de précision, il faut que le décalage entre les deux oscillogrammes soit le plus grand possible Pour cela, on utilise le coefficient de balayage b = 5 μs/div Dans ce cas les deux oscillogrammes sont décalés de 6, div Préparer le BA 3 Le téléphone «pot de yaourt» Exercice résolu dans le manuel de l élève 4 Propagation d un onde a) La direction de propagation de l onde est l horizontale ; sa direction est la verticale b) La direction de propagation de l onde est perpendiculaire à la direction du mouvement, l onde est donc transversale a) Par rapport à l axe horizontal (Sx) d origine S, la célérité V de l onde est, par définition : x x M M V = () t t Entre les photos n 6 et n 8, on obtient : V =,,5 =, m s b) En désignant par θ la durée pendant laquelle un point de la corde est en mouvement et par L la longueur de la perturbation, la durée θ est donnée par la relation : θ = L V ; θ =,5 soit θ =,5 s, 3 a) L altitude z A du point A est non nulle entre les instants,5 s et,75 s ; l altitude z B du point B est non nulle pour des instants de dates plus grandes, s et,5 s Le premier point atteint par la perturbation est le point A b) Le front de l onde atteint le point A d abscisse x A à la date t A =,5 s et le front de l onde atteint le point B d abscisse x B à la date t B =, s L instant de date t = s correspond au début du mouvement de S en x S = On a donc : x A = V t A ; x A =,,5 soit x A = 3, m ; x B = V t B ; x B =,, soit x B = 4, m Le point le plus près du point source S est le point A c) Le retard τ que présente le point B par rapport au point A est : τ = t B t A ; τ =,,5 =,5 s d) Pendant la durée τ, le front de l onde parcourt une distance égale à d = x B x A On a donc : d = V τ ; d =,,5 soit d =, m e) La relation () appliquée entre les points A et s écrit : V = x x A ou encore x x A = V (t t A ) t t A x x A =, (,5,5) soit x x A =, m omme x x A est négatif, le point est situé, m avant le point A S A,,, 3, B 4, x (en m) 4 a) Influence de la forme de la perturbation Le front de chaque onde arrive au point K, au même instant t =,5 s La même distance est donc parcourue pendant la même durée La forme de la perturbation ne modifie donc pas la célérité de l onde b) Influence de la tension de la corde Le front de l onde de l expérience -a arrive au point K à l instant t a =,5 s ; celui de l expérience -b arrive au point K à l instant t b =,8 s La célérité de l onde est plus grande dans l expérience -b que dans l expérience -a La tension de la corde modifie la célérité de l onde D autre part, la tension de la corde est plus grande dans l expérience -b que dans l expérience -a Plus la tension de la corde est grande, plus la célérité de l onde est grande c) Influence de la nature de la corde Le front de l onde de l expérience 3-a arrive au point K à l instant de date t 3a =, s ; le front de l onde de l expérience 3-b arrive au point K à l instant de date t 3b =,5 s La célérité de l onde est plus grande dans l expérience 3-a que dans l expérience 3-b La masse linéique de la corde modifie la célérité de l onde D autre part, la masse linéique de la corde est plus faible dans l expérience 3-a que dans l expérience 3-b Plus la masse linéique de la corde est grande, plus la célérité de l onde est petite 4 Partie A - Propagation d une onde

5 élérité des ultrasons dans les liquides Le décalage observé sur l écran entre la salve émise et la salve reçue est n = 6, div La durée τ mise par la salve d ultrasons pour parcourir la distance D est donc : τ = nb ; τ =,6 3 s La célérité des ultrasons dans l eau distillée est : D V = ; V =,5 3 m s τ Pour les autres liquides, la relation précédente reste toujours valable : D D V = ; V = τ nb a) Pour l acétone, on a : V =,8 3 m s b) Pour le glycérol, on a : V =,9 3 m s c) Pour le kérosène, on a : V =,3 3 m s 3 a) Dans l air, le décalage est de n air La relation précédente s écrit : D D V = ; n = soit n air air air = 6,3 div n b air air V b air air Il est impossible de visualiser le décalage des deux salves! b) Il faut diminuer la vitesse du balayage des spots sur l écran En choisissant la valeur,5 ms/div, le décalage entre les deux traces est alors 5 fois plus faible, soit : n air = 5,3 div 6 lap sonore a) haque microphone reçoit l onde sonore produite par le clap des mains de l expérimentateur Les balayages des spots des microphones sont synchronisés et ces derniers sont situés à différentes distances des mains de l expérimentateur En conséquence, les sons reçus par chaque microphone sont décalés dans le temps et donc sur l écran de l oscilloscope b) La précision donnée dans l énoncé est nécessaire pour connaître la distance franchie par le son : distance du micro M au micro M ette distance est notée L dans l énoncé c) Si les mains de l expérimentateur avaient été placées sur la médiatrice de M M, les distances entre les mains et chacun des deux microphones auraient été les mêmes Le décalage des deux courbes sur l écran aurait été nul, d où l impossibilité de calculer la célérité du son dans l air ambiant Le retard temporel de la courbe par rapport à la courbe est : τ = nb ; τ = 6,6, 3 soit τ = 6,6 3 s 3 a) La représentation graphique de D = f(τ) obtenue par le tableur-grapheur donne : D (m) 3 3 4 5 6 7 8 9 τ (ms) b) Le modèle mathématique pertinent entre les variables D et τ est une fonction linéaire : D = kτ, avec k une constante L équation aux dimensions de cette relation permet de déterminer que k est une vitesse est la célérité V du son dans l air On a donc : D = Vτ c) D après la représentation graphique, on a : V = 3,4 m s hapitre - Les ondes mécaniques progressives 5

Les ondes mécaniques progressives sinusoïdales Programme A PROPAGAION D UNE ONDE ; ONDES PROGRESSIVES ( P 9 HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Exemples dans la vie courante d ondes mécaniques progressives périodiques Exemples pris dans notre environnement de la diffraction d ondes mécaniques Dans le cas d une onde ultrasonore, ou sur la cuve à ondes, observation des maximums et minimums d amplitude pour la diffraction Ondes progressives mécaniques périodiques Notion d onde progressive périodique Périodicité temporelle, période ; périodicité spatiale Onde progressive sinusoïdale, période, fréquence, longueur d onde ; relation λ = ν = ν/v La diffraction dans le cas d ondes progressives sinusoïdales : mise en évidence expérimentale Influence de la dimension de l ouverture ou de l obstacle sur le phénomène observé La dispersion : mise en évidence de l influence de la fréquence sur la célérité de l onde à la surface de l eau ; notion de milieu dispersif Reconnaître une onde progressive périodique et sa période Définir pour une onde progressive sinusoïdale, la période, la fréquence, la longueur d onde onnaître et utiliser la relation λ = ν, connaître la signification et l unité de chaque terme, savoir justifier cette relation par une équation aux dimensions Savoir, pour une longueur d onde donnée, que le phénomène de diffraction est d autant plus marqué que la dimension d une ouverture ou d un obstacle est plus petite Définir un milieu dispersif Exploiter un document expérimental (série de photos, oscillogramme, acquisition de données avec un ordinateur ) : détermination de la période, de la fréquence, de la longueur d onde Reconnaître sur un document un phénomène de diffraction Savoir-faire expérimentaux Réaliser un montage permettant de mettre en évidence le phénomène de diffraction dans le cas d ondes mécaniques, sonores ou ultrasonores Photo d entrée (p 7) Il s agit d une image satellite du détroit de Gibraltar En première approximation, la houle du large peut être considérée comme constituée d ondes mécaniques progressives Lorsque la houle arrive de l Océan Atlantique, les ondes sont pratiquement rectilignes entre elles est ce que l on peut observer à droite du détroit de Gibraltar Après le passage dans le détroit, elles apparaissent quasi circulaires sur la photo e changement de direction dans la propagation des ondes à la surface de la mer est un phénomène physique appelé : diffraction 6 Partie A - Propagation d une onde

ours Découpage du cours Double périodicité d une onde p 8 Onde mécanique progressive sinusoïdale p 9 3 Diffraction p 3 4 Dispersion p 3 Le professeur demande aux élèves de rechercher des exemples de mouvements périodiques Il donne ensuite la définition d un mouvement périodique et la grandeur physique qui caractérise ce mouvement particulier La définition de la période d un phénomène périodique est à savoir, c est une connaissance exigible des élèves pour le baccalauréat Dans un deuxième temps, il définit une onde mécanique progressive périodique Afin de vérifier si cette nouvelle notion est bien comprise des élèves, des exemples, autres que ceux exposés dans le livre, sont demandés à la classe On peut observer la périodicité temporelle d une onde à l aide d une corde vibrante Une onde mécanique progressive périodique se déplace le long de la corde Un cache muni de deux fenêtres, verticales et étroites, permet de mettre en évidence la périodicité temporelle de l onde : pour la source S et un point M quelconque de la corde ; pour deux points M et M quelconques de la corde Pour cela, on doit utiliser un éclairage stroboscopique afin de ralentir le mouvement réel Après les observations en lumière stroboscopique, on peut distribuer aux élèves des photocopies d une photographie prise au flash d une onde progressive périodique se déplaçant le long d une corde élastique Le professeur vérifie que les élèves ne confondent pas la périodicité temporelle de l onde avec la périodicité spatiale de celle-ci On donne l expression de la grandeur qui caractérise une onde mécanique progressive sinusoïdale haque terme de l expression est défini, ainsi que les unités utilisées pour exprimer ces grandeurs La définition de la fréquence est donnée La relation entre fréquence et période est à savoir Attention aux unités employées, qui sont celles du Système International Le professeur illustre l utilisation de ces deux grandeurs période et fréquence par des calculs en rapport avec des situations concrètes Par exemple, l utilisation d un oscilloscope en fonction «balayage» est recommandée Remarque : dans le libellé du programme, on demande d utiliser la lettre grecque «ν» pour la désignation de la grandeur «fréquence» e souhait est justifié par le fait que les ondes étudiées sont sinusoïdales comme le seront les ondes lumineuses vues dans le chapitre suivant En fait, les physiciens utilisent plus fréquemment la désignation «f» pour la fréquence des ondes mécaniques et «ν» pour celle des ondes lumineuses Le choix fait dans cet ouvrage suit la pratique utilisée par les physiciens La longueur d onde est, comme son nom l indique, une longueur et elle s exprime en mètre (m) La relation de définition de la longueur d onde est une connaissance exigible des élèves pour le baccalauréat Elle est à savoir par cœur, ainsi que les grandeurs utilisées et leur unité Le professeur fait mémoriser aux élèves que : «la longueur d onde correspond au déplacement de l onde pendant une période» Les élèves utilisent de la relation λ = V sur des exemples donnés en cours ou sur une situation expérimentale déjà vue L utilisation de l équation de cette relation est l occasion d introduire la notion d équation aux dimensions Le professeur explique le principe de cette notion et donne les différents symboles des grandeurs utilisées dans le cours Il fait vérifier que l équation aux dimensions de la relation précédente est en accord avec le principe exposé précédemment 3 Le professeur définit et montre expérimentalement sur la cuve à ondes ce que l on entend par : ondes rectilignes créées par une rampe rectiligne ; ondes circulaires créées par l extrémité d un petit tuyau quasi ponctuel La longueur d onde d une onde mécanique sinusoïdale se propageant à la surface de l eau est donnée par la distance entre deux lignes de crête successives ou, sur l écran d observation, entre deux lignes brillantes successives Un obstacle, muni d une petite ouverture dont la dimension est inférieure à celle de la longueur d onde de l onde utilisée, est placé sur le parcours d une onde rectiligne On observe alors que les ondes situées après le passage de la petite ouverture sont circulaires et centrées sur l ouverture L ouverture pratiquée dans l obstacle joue, pour l onde progressive incidente, le rôle d une source secondaire hapitre - Les ondes mécaniques progressives sinusoïdales 7

Après quelques expériences faites sur la cuve à ondes et la recherche d exemples observables dans la nature, le professeur donne une définition simple de la diffraction L étude expérimentale est faite uniquement à l aide des ondes rectilignes sinusoïdales se propageant à la surface de l eau, comme l indique expressément le programme Passage d une fente er cas La largeur a de la fente pratiquée sur un obstacle rectiligne est de plusieurs longueurs d onde Les bords de la fente se comportent alors comme des sources secondaires ayant la même fréquence que les ondes incidentes Lorsque la largeur de la fente diminue, on constate que la partie des ondes progressives qui apparaissaient plus ou moins rectilignes disparaît La fente ainsi créée devient alors une source secondaire quasi ponctuelle et les ondes apparaissent circulaires Pour que la fente se comporte comme une source secondaire d onde circulaire, on constate que la largeur de la fente doit être pratiquement égale ou inférieure à λ e cas Si la largeur a de la fente est égale ou supérieure à λ, on peut mettre en évidence des maximums et des minimums d amplitude à la surface de l eau lorsque l onde a franchi la fente Passage d un obstacle er cas Au voisinage de l obstacle, plus la dimension de celui-ci diminue, plus l observation d une onde circulaire issue de l obstacle est visible e cas La mise en évidence des maximums et des minimums d amplitude à la surface de l eau, une fois que l onde a franchi l obstacle, est difficile à observer ependant pour des dimensions d obstacle de l ordre de 3 λ, ces maximums et minimums deviennent plus perceptibles 3 e cas Pour que l obstacle se comporte comme une source secondaire d onde circulaire, on constate que la dimension de l obstacle doit être inférieure à λ outes ces constatations expérimentales doivent être résumées pour les élèves dans une brève conclusion écrite par le professeur Remarque : le professeur peut, s il le désire, donner la formule approchée exprimant l écart angulaire θ des directions dans lesquelles on observe des minimums d amplitude de l onde sur la cuve ette relation est identique à celle que l on voit dans le chapitre suivant sur les ondes lumineuses ependant, dans ce chapitre, ce n est pas une connaissance exigible des élèves 4 Avant toute mesure quantitative, le professeur montre à la classe : une expérience de la propagation d une onde rectiligne utilisant une fréquence d environ Hz ; une autre expérience de propagation d onde rectiligne utilisant une fréquence d environ 3 ou 4 Hz On constate qualitativement que les célérités de ces deux propagations ne sont pas les mêmes, la célérité de la deuxième expérience étant plus élevée que celle de la première Des mesures quantitatives permettent de mesurer la célérité des ondes progressives à la surface de l eau pour différentes fréquences Si ces expériences n ont pas été faites en activité ou en P, on peut procéder de la façon suivante Quelques élèves effectuent différentes mesures pendant que les autres procèdent au calcul des différentes célérités Les mesures et les résultats des calculs sont portés sur le tableau Remarques : Pour déterminer expérimentalement la célérité d une onde à la surface de l eau, il est nécessaire de connaitre le grandissement γ de l image donnée par un instrument d optique : A B γ = AB En effet, l image observée sur l écran n a pas la même dimension que la surface de l eau où sont créées les ondes progressives On rappelle également que la célérité des ondes dans la cuve est fonction de l épaisseur de l eau dans celle-ci Les définitions d un milieu dispersif et d un milieu non dispersif sont à savoir par les élèves (connaissances exigibles) Des exemples de milieu dispersif et non dispersif sont donnés ette notion de milieu dispersif sera reprise dans le cas de la propagation des ondes lumineuses dans le chapitre suivant 8 Partie A - Propagation d une onde

Activités AIVIÉ Ondes progressives périodiques (page 33) A Le long d un fil élastique L utilisation d un vibreur permet de créer des ondes mécaniques progressives Il est recommandé d utiliser un fil élastique plutôt qu un fil tressé Le vibreur peut être alimenté par une tension alternative quelconque : créneaux, dents de scie, Pour éviter de réaliser des ondes stationnaires le long du fil, on supprime les ondes réfléchies en entourant l extrémité du fil opposée au vibreur par du coton L observation des ondes progressives s effectue en lumière stroboscopique a) Un mouvement périodique est un mouvement qui se répète au cours du temps, de manière identique et à intervalles de temps égaux es intervalles sont appelés périodes et elles sont notées b) La période d un phénomène périodique est la plus courte durée au bout de laquelle il se reproduit identique à lui-même Les avantages d une lumière stroboscopique sont tels qu elle permet d immobiliser un mouvement périodique ou d observer ce mouvement au ralenti 3 La périodicité de la source qui crée l onde mécanique progressive périodique et la périodicité d un point quelconque du milieu de propagation sont identiques L observation s effectue en lumière stroboscopique et avec l aide du dispositif donné sur la figure, page 8, du livre élève 4 Lorsque la corde est éclairée avec la lumière stroboscopique, on observe une périodicité spatiale le long de la corde Un motif se répète le long de la corde 5 Si l on fait varier la période de vibration de la source, on observe que la longueur du motif diminue B À la surface de l eau d une cuve à ondes Les différentes ondes mécaniques progressives périodiques sont réalisées avec une cuve à ondes Avant de commencer les expériences, le professeur vérifie que l épaisseur de l eau dans la cuve est bien constante Pour cela, avant de remplir la cuve, il vérifie ou fait vérifier l horizontalité du fond de la cuve avec un niveau à bulle On observe les ondes à l aide de la lumière stroboscopique donnée par le dispositif installé sur la cuve à ondes La périodicité du mouvement de la source et de celle du mouvement d un point de la surface de l eau sont les mêmes On peut les observer expérimentalement en plaçant sur la surface de l eau un petit morceau de liège Une observation des mouvements au ralenti en lumière stroboscopique permet de constater l identité des deux périodes Lorsque toute la surface de l eau est éclairée avec la lumière stroboscopique, on observe : avec une source ponctuelle, des ondes mécaniques progressives périodiques circulaires centrées sur la source ; avec une source rectiligne, des ondes mécaniques progressives périodiques rectilignes et parallèles entre elles 3 La fréquence de la lumière stroboscopique étant réglée de telle façon que les ondes apparaissent immobiles, on constate une périodicité spatiale sur la surface de l eau 4 Si l on fait varier la période de vibration de la source, on constate que la périodicité spatiale varie Elle diminue de longueur si on augmente la fréquence AIVIÉ Période, célérité et longueur d onde (page 34) A Étude avec des ondes à la surface de l eau On utilise la cuve à ondes et son éclairage stroboscopique auxiliaire Pour mesurer la longueur d onde des ondes à la surface de l eau, on éclaire la surface de l eau en lumière stroboscopique En réglant la fréquence des éclairs, on fige l image obtenue sur l écran d observation Pour avoir un maximum de précision, il est nécessaire de mesurer la distance séparant plusieurs longueurs d onde (de 4 à 6) On rappelle que la longueur d onde des ondes observables sur la cuve à ondes est égale à la distance entre deux lignes brillantes de couleur blanchâtre a) La longueur d onde a la dimension d une longueur [L], la durée d une période a la dimension d un temps [] Le quotient d une longueur par un temps définit une vitesse La vitesse en question est la célérité des ondes mécaniques progressives à la surface de l eau b) La relation s écrit : V = λ hapitre - Les ondes mécaniques progressives sinusoïdales 9

3 Avant toute mesure, il est nécessaire de connaitre le grandissement de l image observée sur l écran Pour cela, on dispose une règle de longueur l connue sur la cuve et on mesure la longueur l de l image qu elle donne sur l écran Le grandissement de l image est donc : γ = l /l La fréquence f des ondes se lit sur le cadran de la cuve à ondes La longueur d onde λ se détermine en mesurant la distance D de n longueurs d onde sur l écran, laquelle correspond à une distance d sur la cuve On a donc la relation : D où : omme λ = Vf, on a : D d l = l D l nλ = l Df nv l = l La célérité des ondes à la surface de l eau est alors : fdl V = nl B Étude avec des ondes sonores La fréquence des ondes sonores émises par le hautparleur est de l ordre de à khz a) Le montage est simple à mettre en œuvre Les sorties + et des microphones sont reliées respectivement : pour le premier, à l entrée voie et à la masse de l oscilloscope ; pour le deuxième, à l entrée voie et à la masse de l oscilloscope b) Schéma du montage : HP GBF D Voie A Voie B vers l oscilloscope Lorsque l un des micros est reculé par rapport à l autre, on observe sur l écran un décalage de l une des oscillations enregistrées sur l oscilloscope par rapport à l autre Il faut reculer le micro d une longueur d onde pour que les vibrations visualisées sur l oscilloscope se retrouvent en phase Pour une fréquence sonore de khz, on trouve aux environs de 7 cm 3 Pour améliorer la précision de la mesure, on recule l un des micros d une distance D correspondant à ou 3 longueurs d onde 4 D après les explications précédentes, on a : D = n λ ou encore : nv D = f La célérité des ondes sonores dans la salle d expérience est : V fd = n Étude avec des ultrasons Le principe des branchements du générateur et des deux récepteurs est en tout point identique au précédent Les réponses aux différentes questions sont également semblables à celles déjà formulées précédemment 3 AIVIÉ Diffraction et dispersion (page 35) A Diffraction des ondes ultrasonores On utilise les appareillages vendus chez les distributeurs de matériel de physique La fréquence de l onde ne change pas lors du passage à travers une ouverture ou du franchissement d un obstacle a) Absence d un obstacle devant l émetteur Pour des angles de réception de mesure relativement faible, environ, on constate une très forte diminution de l amplitude de l onde ultrasonore sur l écran de l oscilloscope Le faisceau ultrasonore de l émetteur est directif b) Présence d un obstacle muni d une fente devant l émetteur Pour un angle de réception nul, on règle l intensité d émission de telle façon que l amplitude de l onde reçue par le récepteur soit identique à celle reçue précédemment (voir a) Lorsque l on fait varier l angle de réception, on constate que l amplitude de l onde ultrasonore reçue par le récepteur est beaucoup plus grande que celle qui est observée en l absence d une fente Partie A - Propagation d une onde

On dit que l onde ultrasonore a subi une diffraction par la fente de l obstacle 3 L ouverture semble jouer le rôle d une source secondaire d onde ultrasonore 4 En effectuant quelques mesures, on peut mettre en évidence un maximum et un minimum d amplitude de l onde reçue Les différentes mesures sont délicates à effectuer omme le montage possède une symétrie axiale, les mesures ne sont faites que dans l intervalle de à 9 B Dispersion d une ondes à la surface de l eau On utilise la cuve à ondes en faisant varier la fréquence des ondes avec le bouton approprié disposé sur le pupitre de commande Le professeur peut vérifier l étalonnage des valeurs inscrites à l aide d un stroboscope La célérité des ondes à la surface de l eau est fonction de l épaisseur de l eau présente dans la cuve Il est donc nécessaire que cette épaisseur soit constante afin que la célérité des ondes, et par voie de conséquence la longueur d onde, soient également les mêmes Vérifier l horizontalité de la cuve afin que l épaisseur de l eau soit constante Régler la fréquence des ondes à la surface de l eau la plus basse possible, environ Hz Régler la fréquence du stroboscope de telle façon que les ondes apparaissent immobile ( Hz) Mesurer la longueur d onde des ondes sur l écran par les techniques déjà vues précédemment Recommencer les mesures pour des fréquences de plus en plus grandes Porter les mesures dans le tableau suivant : Fréquence f (Hz) λ (m) Effectuer la représentation graphique de la fonction λ = g(f) 3 et 4 La représentation graphique est semblable à celle donnée dans le livre de l élève figure, page 3 5 On constate que la longueur d onde des ondes se propageant à la surface de l eau est fonction de la fréquence de celles-ci La surface de l eau est un milieu dispersif pour les ondes se propageant à sa surface 4 AIVIÉ Diffraction et dispersion (page 36) Diffraction des ondes mécaniques Avant et après le passage d un obstacle ou d une fente, la fréquence des ondes à la surface de l eau est la même a) Pour un obstacle rectiligne : les ondes à la surface de l eau sont toujours rectilignes sur la partie non barrée par l obstacle rectiligne ; les ondes sont circulaires sur la partie située face à obstacle rectiligne b) Pour un obstacle muni d une fente : si la largeur de la fente est de l ordre de la longueur d onde, les ondes sont quasi circulaires après le passage de la fente ; si la largeur de la fente est de plusieurs longueurs d onde et après le passage de l obstacle, les ondes sont circulaires sur la partie barrée à la progression des ondes En revanche, elles sont pratiquement rectilignes sur la partie située face à la fente Exploitation de deux documents D après les documents, la distance séparant 3 λ est de mm De plus, la règle noire de longueur L mesure sur le document 4,5 mm On a donc la proportion suivante : 3λ 5 5 = D où : λ = 4, 5 3 4, 5 soit λ = mm Pour que la fente se comporte comme une source ponctuelle, il est nécessaire que la largeur de cette fente soit de l ordre de la longueur d onde des ondes se propageant à la surface de l eau 3 En observant bien l écran d observation de la cuve ou les documents, on peut mettre en évidence des zones où l amplitude des vibrations est minimale Pour le document A, les directions des zones d amplitude minimale sont situées à environ 3 par rapport à l axe de symétrie de la figure Pour le document B, les directions des zones d amplitude minimale sont situées à environ 7 par rapport à l axe de symétrie de la figure hapitre - Les ondes mécaniques progressives sinusoïdales

orrigés des exercices (page 37) Appliquer et approfondir La turbine d une centrale thermique La période d un phénomène périodique est la durée nécessaire pour effectuer un seul cycle complet du dit mouvement périodique La turbine tourne d un mouvement circulaire uniforme Elle effectue une rotation complète pendant des durées égales ; le mouvement est donc périodique 3 La fréquence de rotation de la turbine est : f = 64 soit f = 44, Hz 6 La période de rotation de la turbine est : f = soit =,73 s Ondes à la surface de l eau L épaisseur de l eau dans la cuve est constante, la célérité des ondes à la surface de l eau est donc constante La distance franchie à partir de la source quasi ponctuelle pendant une durée t est la même Les lignes de crête des ondes sont des cercles centrés sur la pointe du vibreur La distance entre 6 lignes de crête consécutives représente 5 longueurs d onde La longueur d onde est donc : λ = 5, soit λ =,5 m 5 3 La célérité des ondes est : V = λf soit V =,9 m s Équation aux dimensions Solution en fin de manuel de l élève 3 Le «la 3» : 44 Hz La période du son est : = /f soit =,7 3 s ou encore =,7 ms La longueur d onde dans l air ambiant est : λ = V/f soit λ =,753 m 3 Dans les nouvelles conditions de température et de pression, la longueur d onde est maintenant : λ = V /f soit λ =,793 m 4 uve à ondes et longueur d onde Solution en fin de manuel de l élève 5 Mouvement sinusoïdal de la source a) Le mouvement de l extrémité de la lame est un mouvement sinusoïdal Les ondes mécaniques créées sont des ondes mécaniques progressives et sinusoïdales b) 4,5 3 représente l amplitude de la vibration ; elle s exprime en mètre a) La fréquence de l extrémité S de la lame est telle que : 68 = πf D où : f = Hz La période du mouvement vibratoire est : =, s ou encore =, ms b) La fréquence et la période d un point M de la corde sont identiques à celles calculées précédemment 3 D après le document photographique, la distance entre deux sommets de la corde est : d = 45 mm ette distance représente la longueur d onde de l onde progressive le long de la corde Sur le document photographique, la longueur de la règle est : l = 4 mm Soit D et λ les mesures réelles de la règle et de la longueur d onde Entre les quatre grandeurs, D, l, λ, et d, on a les proportions suivantes : λ/l = D/d ou encore λ = l D/d ; λ = 5 45/4 soit λ = 549 mm ou encore λ =,55 m La célérité V de l onde progressive est donnée par la relation : V = λf soit V = 55 m s 6 élérité d une onde à la surface de l eau Exercice résolu dans le manuel de l élève 7 Sur toutes les mers du globe Périodicité spatiale de la houle sur les différentes mers On pose L les longueurs réelles et l les longueurs sur les figures données Pour l Océan Pacifique, on a : L l bateau bateau = L l période- houle période- houle L période-houle = 9 m environ Pour l Océan Indien : L période-houle = 6 m environ Pour l Océan Atlantique : L période-houle = 46 m environ L période- houle ; 98 m mm = 63 mm ; Partie A - Propagation d une onde

Pour la Mer Méditerranée : L période-houle = 5 m environ Ordre de grandeur de la hauteur des vagues Le principe de calcul est identique au précédent Pour l Océan Pacifique, on obtient : H période-houle = 6 m environ Pour l Océan Indien : H période-houle = m environ Pour l Océan Atlantique : H période-houle = 9 m environ Pour la Mer Méditerranée : H période-houle = 6 m environ 3 onclusion Plus les étendues d eau des différentes mers sont grandes : plus la périodicité spatiale ou longueur d onde de la houle est importante ; plus la hauteur des vagues est grande 8 Diffraction par une ouverture Solution en fin de manuel de l élève 9 Diffraction par un obstacle rectiligne a) Le phénomène observé est la diffraction des ondes à la surface de l eau b) Le bord de l obstacle joue le rôle d une source secondaire de même fréquence que la source initiale c) On peut observer ce phénomène au voisinage d une digue d un port ou à l extrémité d un cap lorsque la houle arrive en biais sur celui-ci La distance entre deux crêtes consécutives mesurée sur l écran est : u = 86 soit u = 3 mm 6 Entre les distances réelles et les distances mesurées sur l écran d observation, il existe les rapports suivants : l L = λ soit λ = l u L u La longueur d onde des ondes à la surface de l eau est donc : λ = 8 mm 3 La célérité des ondes est donnée par la relation : V = λf soit V =,3 m s Les minimums d amplitude vibratoire a) Le phénomène observé est la diffraction d une onde à la surface de l eau par une petite ouverture pratiquée dans un obstacle b) Sur les documents photographiques, on observe des zones de vibrations minimales et maximales partant de l ouverture et faisant un certain angle avec la direction de la propagation des ondes Les tracés demandés doivent être effectués avec précision sur la feuille de papier calque 3 a) Les mesures θ des angles demandés sont : θ = 3 ; θ = b) θ =,54 rad ; θ =,38 rad c) Pour le premier document, on a : λ/θ =,5 Pour le deuxième document, on a : λ/θ =,33 La relation est vérifiée aux incertitudes de mesures près Exploitation d un oscillogramme Schéma du montage : Générateur d'ultrasons 5 cm environ Récepteurs et Voie A Voie B Branchement vers l'oscilloscope a) Sur l oscillogramme, on constate que 8 périodes sont représentées sur n = 4,3 div ompte tenu du coefficient de balayage b du spot, on a : 8 correspond à une durée de n b ; nb = 8 soit = 43,, 4 ; 8 =,4 5 s ou encore = 4 μs La fréquence de ces ultrasons est donc : f = ; f = 4 khz b) Les ondes ultrasonores mettent une durée τ pour parcourir la distance D La durée τ est déterminée sur l oscillogramme par le décalage des deux traces ; soit n = 5,3 div La durée τ est alors : τ = n b ; τ = 5,3, 3 soit τ = 5,3 4 La célérité des ultrasons dans l air est : D V = ; V = 3,4 m s τ hapitre - Les ondes mécaniques progressives sinusoïdales 3

Dispersion des ondes ultrasonores La précision de la célérité des ondes ultrasonores donnée dans le texte est : P = 34 environ Exprimée en pourcentage, cette précision s écrit également, 3 % Les mesures effectuées sont d une précision excellente Un milieu dispersif est un milieu dans lequel la célérité des ondes dépend de leur fréquence 3 Dans le tableau donné et compte tenu de la précision des différentes mesures, la célérité des ondes ultrasonores ne dépend pas de leur fréquence L air est un milieu non dispersif pour les ondes ultrasonores dans cette gamme de fréquences khz à khz 3 Dispersion des ondes à la surface de l eau Solution en fin de manuel de l élève 4 Dispersion des ondes sonores La précision de la célérité des ondes sonores donnée dans le texte est : P = 3 4 environ Exprimée en pourcentage, cette précision s écrit également, 3 % est une précision excellente La mesure de ces célérités nécessite des moyens techniques très sophistiqués La célérité pour la fréquence de Hz est différente de celle pour la fréquence khz En conclusion et compte tenu de la précision des mesures, l air est un milieu dispersif (extrêmement peu dispersif) Volume (ml) Pression (hpa) 35 4 5 8 43 3 La précision de la mesure donnée est : P = environ 3 4 Avec cette précision, la fréquence n a pas d influence sur les valeurs de la célérité de l air Pour l air considéré et compte tenu de la précision de la célérité donnée, le milieu est non dispersif 5 Ultrasons Préparer le BA Exercice résolu dans le manuel de l élève 6 Les sons chez les dauphins A Une onde mécanique progressive est le phénomène de propagation d une perturbation dans un milieu sans transport de matière Lors de leur propagation, les ondes créent de proche en proche des ondes longitudinales ou transversales dans le milieu de propagation a) La compression et la dilatation du ressort sont horizontales comme la direction de propagation de l onde L onde sonore est une onde mécanique progressive longitudinale car la direction du déplacement des molécules qui constituent le milieu de propagation est identique à celle de la propagation de l onde b) La période propre des oscillations d un oscillateur dépend de l élasticité de celui-ci Plus la raideur du ressort est élevée, plus la période propre est courte Le chariot effectue plus rapidement un aller-retour et la perturbation se propage de proche en proche plus rapidement Par comparaison, la célérité de l onde dépend de la rigidité du milieu Une onde mécanique se propage plus rapidement dans un milieu solide que dans un milieu gazeux c) Plus la masse du chariot est élevée, plus les oscillations de celui-ci sont lentes La célérité de l onde dépend de l inertie du milieu B Les fréquences ultrasonores sont supérieures à khz a) D après l oscillogramme enregistré, on constate que : 3 = 6 μs D où : = μs La fréquence de ces ultrasons est : f = soit f = 5 khz b) D après la figure de l énoncé, le retard τ de l onde reçue par le récepteur par rapport à la même onde reçue par le récepteur est : τ = 4, en μs ; τ = 8 μs La célérité des ultrasons dans l eau est donc : V d = τ soit V =,5 3 m s 4 Partie A - Propagation d une onde

c) La longueur d onde λ d une onde est la distance parcourue par celle-ci pendant une durée égale à la période D où : λ = V λ =,5 3 6 soit λ = 3, m 3 D après la figure de l énoncé, la durée totale d un clic est : τ = 75 5 soit τ = 6 μs D après la figure de l énoncé, la durée entre deux clics est : 36 τ =, en ms soit τ = 5 ms 7 D après les calculs ci-dessus, la durée d un clic est environ mille fois plus petite que la durée entre deux clics, ce qui justifie la représentation de l énoncé : un clic est représenté par un segment vertical sur la figure 4 a) L intervalle de temps séparant l émission d un clic et la réception de son écho est, d après la figure de l énoncé : Δt = 4, en ms soit Δt =, ms ; Δt =, s b) Le clic émis effectue un aller vers le fond, puis il revient vers le dauphin L onde ultrasonore parcourt donc la distance H pendant la durée Δt H V = Δ t ; H = V Δt H = 53 m soit environ H =,5 m 7 Diffraction ultrasonore a) Schéma simplifié du montage : Ligne où se déplace le récepteur R b) D après l oscillogramme, on a : = 5 μs soit = 5 μs La fréquence des ondes ultrasonores est donc : f = ; f = 4 khz a) omme le montage expérimental possède un axe de symétrie, les mesures faites sur le secteur ( ; 9 ) suffisent Les mesures faites sur l autre secteur ( ; 9 ) seront identiques aux précédentes, il est donc inutile de les effectuer b) Représentation des points expérimentaux (A i ; α i ) ; voir la figure suivante 3 Les courbes demandées sont sur figure suivante : A (div) 4 3 3 4 5 6 7 α ( ) 4 Si la fente est absente, les ondes ultrasonores sont directives, c est-à-dire qu elles se propagent pratiquement dans une seule direction Avec la présence de la fente, on constate que les ondes ultrasonores sont diffusées dans toutes les directions Le phénomène mis en évidence est le phénomène de la diffraction des ultrasons par une fente Générateur d'ultrasons Rapporteur d'angle E F α R Fig f vers l'oscilloscope Récepteur d'ultrasons Voie A hapitre - Les ondes mécaniques progressives sinusoïdales 5

3 La lumière, modèle ondulatoire Programme A PROPAGAION D UNE ONDE ; ONDES PROGRESSIVES (P 9HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Figures de diffraction par une fente, un trou, un obstacle Vérification par des mesures de la pertinence de la relation θ = λ/a Dispersion de la lumière blanche par un prisme Dispersion de la lumière dans la vie courante 3 La lumière, modèle ondulatoire Observation expérimentale de la diffraction en lumière monochromatique et en lumière blanche (irisation) Propagation de la lumière dans le vide Modèle ondulatoire de la lumière : célérité, longueur d onde dans le vide, fréquence, λ = c = c/ν Influence de la dimension de l ouverture ou de l obstacle sur le phénomène observé ; écart angulaire du faisceau diffracté par une fente ou un fil rectilignes de largeur a : θ = λ/a Lumière monochromatique, lumière polychromatique ; fréquence et couleur Propagation de la lumière dans les milieux transparents ; indice du milieu Mise en évidence du phénomène de dispersion de la lumière blanche par un prisme : l indice d un milieu transparent dépend de la fréquence de la lumière Savoir que, étant diffractée, la lumière peut être décrite comme une onde onnaître l importance de la dimension de l ouverture ou de l obstacle sur le phénomène observé Exploiter une figure de diffraction dans le cas des ondes lumineuses onnaître et savoir utiliser la relation λ = c/ν, la signification et l unité de chaque terme onnaître et utiliser la relation θ = λ/a, la signification et l unité de chaque terme Définir une lumière monochromatique et une lumière polychromatique onnaître les limites des longueurs d onde dans le vide du spectre visible et les couleurs correspondantes Situer les rayonnements ultraviolets et infrarouges par rapport au spectre visible Savoir que la lumière se propage dans le vide et dans les milieux transparents Savoir que la fréquence d une radiation monochromatique ne change pas lorsqu elle passe d un milieu transparent à un autre Savoir que les milieux transparents sont plus ou moins dispersifs Définir l indice d un milieu transparent pour une fréquence donnée Vérification par des mesures de la pertinence de la relation θ = λ/a Savoir-faire expérimentaux Réaliser un montage permettant de mettre en évidence le phénomène de diffraction dans le cas d ondes lumineuses Réaliser des mesures permettant de vérifier la pertinence de la relation θ = λ/a * Activités pouvant donner lieu à l utilisation des technologies de l information et de la communication 6 Partie A - Propagation d une onde

Photo d entrée (page 45) ertains phénomènes présents dans l observation d arcs-en-ciel multiples ne peuvent s expliquer que par la théorie ondulatoire de la lumière Une observation minutieuse faite par Henry Pemberton en 7 lui permet de constater que l intensité des franges brillantes décroît ours Découpage du cours Le modèle ondulatoire de la lumière p 46 Diffraction de la lumière p 47 3 Lumières monochromatique et polychromatique p 48 4 Propagation de la lumière dans les milieux transparents p 5 omme les commentaires du programme le signalent, le caractère ondulatoire de la lumière sera introduit par analogie avec les ondes mécaniques progressives à partir du phénomène de diffraction Deux constatations expérimentales permettent de faire cette analogie : celle faite avec les ondes mécaniques progressives à la surface de l eau franchissant l ouverture d un obstacle de dimension de l ordre de λ ; celle faite avec un rayon laser franchissant une fente étroite Au cours de la première expérience, on observe à la surface de l eau des directions de propagation ayant des maximums et des minimums d amplitude Au cours de la deuxième expérience, on observe des zones présentant des maximums et des minimums d intensité d éclairage D où l hypothèse faite sur la nature ondulatoire de la lumière par analogie avec les ondes mécaniques progressives Le professeur en profite pour faire constater que la lumière ne se propage plus en ligne droite dans certaines conditions expérimentales Il rappelle également que l onde lumineuse se nomme aussi radiation lumineuse Une radiation lumineuse est caractérisée soit par sa fréquence soit par sa période Les physiciens préfèrent la caractériser par sa fréquence, qu ils symbolisent par la lettre grecque ν, contrairement à la fréquence utilisée pour les ondes mécaniques périodiques, notée f La relation entre les deux grandeurs ν et est donnée et les unités du Système International sont rappelées Un exemple de radiation lumineuse est présenté et la fréquence qui la caractérise est donnée lentement à partir du milieu du premier arc-enciel e phénomène est inexplicable si on utilise la théorie classique de la lumière À la fin du xviii e siècle, homas Young interprète le phénomène précédent en utilisant une théorie ondulatoire de la lumière La célérité des ondes lumineuses dans l air est voisine de 3 km s, alors qu elle est, dans le meilleur des cas, voisine de quelques kilomètres par seconde pour les ondes mécaniques progressives On profite de cette partie pour donner la valeur de la célérité de la lumière qui ne souffre d aucune incertitude Par définition, la célérité de la lumière dans le vide, quelle que soit sa fréquence, est : c = 99 79 458 m s Remarque : sans entrer dans le détail, il est important que les élèves soient conscients qu une onde mécanique progressive n est pas une onde lumineuse, bien que chacune d entre elles se caractérise par une fréquence et une célérité On notera que les ondes lumineuses se propagent dans le vide et non les ondes mécaniques On affirme aux élèves que les ondes lumineuses sont des ondes électromagnétiques, comme les ondes radio ou les ondes radar Le professeur peut dire sans insister que, dans le cas des ondes lumineuses, il y a quelque chose qui se déplace qui n est pas mécanique mais électromagnétique (modification temporaire de grandeurs électriques et magnétiques de l espace) La longueur d onde est définie comme étant la longueur parcourue par l onde pendant une durée égale à une période La relation de définition sera écrite et commentée au tableau avec l aide des élèves, les unités du Système International sont données Les élèves effectuent quelques applications numériques de la formule : λ = c ou λ = c/ν (connaissance exigible du programme) En classe de erminale, on retiendra que la diffraction de la lumière est la modification du trajet de l onde lumineuse lorsqu elle passe par une petite ouverture ou autour d un obstacle Les lois de l optique géométrique ne s appliquent plus dans certaines conditions Le professeur peut refaire ou rappeler les expériences faites en activités sur la diffraction de la lumière en lumière monochromatique ou en lumière blanche hapitre 3 - La lumière, modèle ondulatoire 7

Dans ce cas, il fait en sorte que les élèves donnent une définition de la diffraction Il les guide ou corrige les énoncés si ceux-ci s écartent de la définition Les expériences, si elles n ont pas été faites en activités, peuvent être réalisées en cours La mise en œuvre est rapide, ainsi que les mesures effectuées sur la tache de diffraction Un élève près de l écran mesure la distance d séparant les deux zones d extinction proches de la tache centrale, un autre inscrit au tableau les valeurs de ces différentes mesures en fonction des différentes largeurs de fentes utilisées Le professeur fait constater que : la tache de diffraction observée sur l écran s étale dans une direction perpendiculaire à la direction de la fente ; la distance d est fonction de la largeur a de la fente Pour une même distance «fente-écran», plus la largeur de la fente est petite, plus la tache de diffraction est étalée Lorsqu on utilise des fils de diamètres variables, le déroulement des expériences et des mesures, l aspect des figures de diffraction sont semblables à ceux exposés précédemment Les conclusions sont les mêmes que précédemment : la tache de diffraction observée sur l écran s étale dans une direction perpendiculaire à la direction du fil ; la distance d est fonction du diamètre a du fil Pour une même distance «fil-écran», plus le diamètre du fil est petit, plus la tache de diffraction est étalée De plus, on fait constater aux élèves qu une ouverture ou un obstacle se comporte de la même façon pour la diffraction Le professeur insiste sur le fait que le faisceau laser, avant son passage par la fente est un faisceau parallèle de lumière Après son passage par la fente, il devient en partie divergent Faire également remarquer que l écart angulaire des minimums de lumière ne dépend que de la largeur de la fente ou de la dimension de l obstacle, et ceci, pour une radiation donnée et une distance «fente-écran» λ La relation θ = est donnée sans démonstration, a la signification et l unité de chaque terme sont des connaissances exigibles pour le baccalauréat Il en est de même des applications numériques faites avec cette formule Insister devant les élèves sur le fait que la mesure de l écart angulaire s exprime, dans la relation, en radian (rad) Rappeler l utilité de la calculatrice et même celle de l équivalence entre les radians et les degrés : π radians équivalant à 8 degrés Remarque : si le temps le permet, on peut effectuer une vérification expérimentale de la formule 3 On peut observer des spectres lumineux dans notre environnement Par exemple avec les arcs-en-ciel, les jeux de lumière des verres taillés, les glaces biseautées, les aquariums remplis d eau, les diamants taillés En cours ou en activités, on utilise un prisme à fort indice de réfraction pour réaliser un spectre Bien positionner la lentille convergente afin que l image de la fente se forme d une façon nette sur l écran Diminuer si besoin la largeur de la fente, mais pas trop, afin d éviter le phénomène de diffraction La source lumineuse est une lampe à incandescence Pour le spectre de la lumière émise par un laser, la lampe à incandescence est remplacée par un émetteur de rayon laser Si le lycée ne dispose pas d un dispositif d étalement du faisceau, seul le rayon est utilisé L utilisation de la fente devenant alors inutile, on n observe qu un seul point d impact sur l écran après le passage du rayon laser à travers le prisme Le faisceau laser émet une seule radiation lumineuse rouge La lumière émise par l émetteur laser est donc une lumière monochromatique Elle est définie par sa longueur d onde dans le vide ou mieux, par sa fréquence ν Le même dispositif expérimental est repris, une lampe à vapeur de mercure est mise à la place de la lampe à incandescence ou de l émetteur laser ontrairement au spectre précédent, on observe non plus une, mais plusieurs images de la fente diversement colorées La composition de la lumière émise par une lampe à vapeur de mercure est donc constituée de plusieurs radiations lumineuses La lumière émise par cette lampe est donc une lumière polychromatique ompléments Dans le monde scientifique et pour les radiations émises par les différents éléments, les tables utilisées donnent : / les longueurs d onde dans le vide lorsque les valeurs de ces longueurs d onde sont inférieures à nm ( nm = 9 m) ; / les longueurs d onde dans l air lorsque les valeurs de ces longueurs d onde sont supérieures à nm 8 Partie A - Propagation d une onde

Exemple : pour l aluminium, les tables donnent les indications suivantes Il existe 4 radiations lumineuses dont les longueurs d onde dans le vide sont inférieures à nm Les deux plus intenses ont pour longueur d onde : 67,78 7 nm et 86,3 nm Il existe 45 radiations lumineuses dont les longueurs d onde dans l air sont supérieures à nm La plus intense a pour longueur d onde : 37,7 nm Remarque importante : si les valeurs des longueurs d ondes sont données avec une incertitude de l ordre de /, alors on peut confondre la longueur d onde dans le vide avec celle dans l air Remarque importante : si les valeurs des longueurs d ondes sont données avec une incertitude de l ordre de /, alors on peut confondre la longueur d onde dans le vide avec celle dans l air Les limites du domaine visible pour un œil humain ne sont pas rigoureusement définies, car c est une qualité physiologique propre à un individu ertaines personnes peuvent déceler des radiations lumineuses jusqu à 37 nm dans la limite des ultraviolets, d autres des radiations lumineuses jusqu à 8, voir 8 nm, dans la limite des infrarouges Il est nécessaire que les élèves retiennent un ordre de grandeur, par exemple :,4 μm (indigo) à,8 μm (rouge profond) On a coutume de donner : comme domaine des infrarouges :,8 μm à μm ; comme domaine des ultraviolets : nm à,4 μm Le professeur peut signaler des effets utiles des rayonnements ultraviolets, ainsi que les effets nuisibles pour la santé es quelques énumérations peuvent être complétées plus en détail sur des sites Internet Pour cela, on pourra utiliser des moteurs de recherche sur le «Web» 4 Avant de donner la définition d un milieu transparent, on recherche des exemples Des expériences simples peuvent être faites en classe pour visualiser un ou des milieux transparents Il faut également signaler que la notion de transparence d un milieu est toute relative : elle est fonction de l épaisseur du milieu considéré Dans la Manche, à certaines époques de l année, il fait «nuit noire», en plein jour, à 3 mètres d immersion Les plongeurs doivent s équiper de lampes étanches pour lire leurs instruments de contrôle! Des exemples de célérités de la lumière sont donnés aux élèves Il est important qu ils retiennent : que celle-ci est fonction de la nature du milieu et de la fréquence de la radiation lumineuse considérée ; que la célérité dans un milieu transparent est toujours plus petite que celle de la propagation dans le vide À noter également que la fréquence d une radiation lumineuse est indépendante du milieu traversé La formule de définition de l indice de réfraction d un milieu transparent est à retenir Les élèves retiendront également qu il ne s exprime dans aucune unité : c est le rapport de deux mêmes grandeurs Des applications numériques sont à envisager en classe à titre d application Il faut que les élèves retiennent la relation donnée et sachent l utiliser (compétences exigibles pour le baccalauréat) L expérience de dispersion de la lumière blanche a déjà été faite en activité ou en cours à propos des lumières monochromatiques et polychromatiques Les couleurs les plus déviées par le prisme sont l indigo et le violet, les couleurs les moins déviées sont les rouges Le professeur donne la définition de la dispersion (compétence exigible du programme) Les expériences montrent que les déviations des différentes radiations lumineuses sont fonctions de leur fréquence D où la définition d un milieu dispersif ; cette définition est à savoir Si la célérité d une onde lumineuse dans un milieu transparent est fonction de sa fréquence, alors le milieu est dit dispersif On a déjà fait une remarque semblable à propos des ondes mécaniques progressives à la surface de l eau Activités AIVIÉ Figures de diffraction lumineuse (page 5) A Utilisation d un faisceau laser Les expériences sont très faciles à mettre en œuvre, car les réglages sont réduits au minimum Placer l écran d observation à une distance de à mètres Figure de diffraction obtenue avec une fente La lumière laser ne se propage plus rigoureusement en ligne droite Elle se trouve légèrement déviée autour de l axe de propagation initial La lumière passant par une fente ne donne pas une tache lumineuse en forme de fente La lumière arrive sur l écran sous forme de plusieurs taches étalées et hapitre 3 - La lumière, modèle ondulatoire 9

alignées La tache centrale est brillante et les autres taches possèdent des intensités lumineuses qui décroissent lorsque l on s éloigne de la tache centrale 3 L alignement des taches est tel que la direction de cet alignement est perpendiculaire à la direction de la fente 4 Le phénomène observé est le phénomène de diffraction de la lumière La propagation rectiligne de la lumière n est plus rigoureusement respectée Figure de diffraction obtenue avec un trou Le contour de la lumière reçue par l écran n est pas net mais étalé La figure possède cependant une symétrie centrale Les zones sombres et brillantes de la figure observée sur l écran sont constituées d une tache centrale brillante et d anneaux concentriques respectivement brillants et sombres L intensité lumineuse des anneaux brillants décroît lorsque l on s éloigne du centre 3 Il est impossible d interpréter la présence de ces anneaux concentriques sombres et brillants par les lois de l optique géométrique En appliquant rigoureusement l optique géométrique, on devrait observer sur l écran une seule tache en forme de disque B Utilisation d une lumière blanche La source de lumière doit être assez puissante La fente est de quelques dixièmes de millimètre Effectuer l expérience dans le noir complet et bien arrêter la lumière parasite pouvant passer par la source lumineuse Les figures observées sur l écran sont différentes des précédentes, surtout en termes de couleurs L utilisation de la fente donne une figure de diffraction en forme de traits rectilignes L utilisation d un trou donne une figure de diffraction en forme d anneaux colorés concentriques En lumière blanche, la figure observée sur l écran reste localisée au voisinage de la tache centrale Autour de cette tache centrale, on observe des irisations de couleurs ressemblant aux couleurs d un arc-en-ciel 3 Sur la figure de diffraction et à partir de la tache centrale, on observe les couleurs suivantes : bleu, vert, jaune, orangé, rouge, puis bleu, vert, un peu d orangé, du rouge profond Ensuite, c est le noir qui prédomine de plus en plus AIVIÉ Dispersion de la lumière blanche par un prisme (page 53) A Dispersion d une lumière blanche Le montage est classique, on fait converger sur une fente la lumière émise par une lampe à incandescence à l aide d une lentille convergente Avec une autre lentille convergente, on forme l image de cette fente sur un écran On interpose alors un prisme qui forme sur l écran le spectre continu de la lumière émise par la lampe à incandescence a) L image de la fente, après interposition du prisme, ne garde pas son aspect initial Il se forme un spectre continu de la lumière blanche, décalé par rapport à la position initiale de l image de la fente On observe un spectre représentant les couleurs de l arc-en-ciel b) La couleur la plus déviée est le violet-indigo ; la moins déviée est le rouge profond a) Par rapport au spectre visible sur l écran, les radiations ultraviolettes se situent au-delà du violet-indigo b) Les principales applications du rayonnement ultraviolet sont nombreuses Les rayonnements ultraviolets peuvent avoir des effets utiles, mais également nuisibles Les effets sont souvent de nature chimique ou biologique Ils peuvent être utiles comme dans : certaines réactions chimiques ou biologiques (production d ozone en haute atmosphère, synthèse sous la peau de la vitamine D antirachitique, photosynthèse de la chlorophylle des plantes) ; la stérilisation de l eau ou de certains objets, aliments, et produits divers Ils peuvent être nuisibles comme dans : le vieillissement prématuré de produits de synthèse (pneus, matières plastiques, pigments de peinture, ) ; les brûlures cutanées ou «coups de soleil», le déclenchement de certains cancers de la peau 3 a) Par rapport au spectre visible sur l écran, les radiations infrarouges se situent au-delà du rouge profond b) Les longueurs d onde dans le vide des radiations infrarouges sont comprises entre,8 μm et environ μm Les principales applications du rayonnement infrarouge concernent : le domaine du diagnostic médical en thermographie ; certaines techniques d observation dans l obscurité utilisées par les géographes et les militaires ; des télécommandes pour téléviseurs, chaînes haute-fidélité 4 Plus l indice de réfraction du prisme est élevé, plus la déviation est grande et plus la dispersion de la lumière est importante Plus l angle du prisme est élevé, plus la déviation est grande et plus la dispersion de la lumière est importante 3 Partie A - Propagation d une onde

B Dispersion de la lumière émise par un laser On n observe qu une seule tache de couleur rouge La lumière émise par le laser est monochroma tique Dispersion de la lumière émise par des lampes spectrales a) Il existe de nombreuses radiations lumineuses émises par une lampe spectrale es radiations sont plus ou moins visibles Pour détecter certaines, il faut des moyens sophistiqués Par exemple, le spectre de l hydrogène comporte 6 radiations lumineuses : radiations dans l ultraviolet ; 5 radiations dans le visible ; radiations dans l infrarouge La radiation la plus intense se situe dans l ultraviolet, sa longueur d onde est :,566 8 nm b) La lumière émise par une lampe spectrale est polychromatique Dans la vie courante, on peut observer ce type de lumière polychromatique dans les éclairages publics : lampes spectrales au mercure, au néon ou au sodium (éclairage jaune) 3 AIVIÉ Dispersion de la lumière dans la vie courante (page 54) A Dispersion de la lumière par un aquarium Le professeur peut faire un montage permettant de réaliser un spectre de la lumière blanche avec un aquarium Les couleurs de la lumière, avant et après le parcours de celle-ci dans l eau de l aquarium ne sont pas les mêmes À la sortie de l aquarium, la lumière est constituée d une multitude de radiations colorées Les couleurs de la lumière observables à la sortie de l aquarium sont les couleurs de l arc-en-ciel 3 Le milieu de propagation responsable du phénomène observé est l eau contenu dans l aquarium 4 Les directions des faisceaux de lumière, à l entrée et à la sortie de l aquarium ne sont pas les mêmes À la sortie de l aquarium, les rayons lumineux colorés sont déviés dans des directions qui les rapprochent de celui-ci 5 On observer le même phénomène avec les bords d une glace biseautée lorsqu un rayon de soleil tombe sur le bord du biseau B Dispersion de la lumière par des gouttes de pluie On peut donner un tirage photo à chaque groupe d élèves ou faire observer l image donnée par une diapositive On peut également demander aux élèves d aller consulter des sites Internet Les couleurs d un arc-en-ciel sont : rouge, orangé, jaune, vert, bleu, violet et indigo En réalité, les couleurs ne sont pas limitées à sept comme on a l habitude de le dire, mais elles sont une multitude Dans certaines conditions, on peut observer plusieurs arcs-en-ciel à la fois : un arc-en-ciel principal, en général assez lumineux ; d autres arcs-en-ciel, situés à l extérieur du principal, dont les intensités lumineuses décroissent rapidement (dans certaines conditions exceptionnelles, on peut observer jusqu à trois arcs-en-ciel secondaires extérieurs) ; parfois, un arc-en-ciel secondaire intérieur au principal, assez peu visible 3 Le milieu de propagation responsable du phénomène observé est l eau des petites gouttelettes de pluie en chute lente dans l atmosphère 4 On peut observer le même phénomène avec l arrosage automatique d une pelouse On remarque alors que pour que ce phénomène soit visible, il faut que les rayons lumineux arrivent derrière l observateur Pourquoi observe-t-on une dispersion de la lumière dans une goutte de pluie? On exploite les schémas donnés dans le livre élève Pour le schéma A, on a une réfraction, une réflexion, puis une réfraction pour le schéma B, on a une réfraction, une réflexion, une autre réflexion, puis une réfraction Lorsqu un rayon lumineux arrive dans une goutte d eau, sur sa partie supérieure, il subit une réfraction Le rayon rouge est moins dévié que le rayon bleu À la sortie de la goutte, on constate que le rayon rouge est situé au-dessus du rayon bleu 3 Lorsqu un rayon lumineux arrive dans une goutte d eau, sur sa partie inférieure, il subit une réfraction Le rayon rouge est moins dévié que le rayon bleu À la sortie de la goutte, on constate que le rayon rouge est situé au-dessus du rayon bleu 4 AIVIÉ Diffraction lumineuse (page 55) Obtention d une figure de diffraction Le montage est facile à réaliser Les élèves suivent le schéma donné Influence de la largeur a d une fente sur le demi-angle de diffraction θ Le schéma demandé est semblable à celui donné dans le livre élève, figure 5, page 48 La seule différence hapitre 3 - La lumière, modèle ondulatoire 3

est que la distance l est maintenant la distance entre les deux premières extinctions entourant la tache centrale On a donc : l = d Relation entre les grandeurs D, l et θ : θ l D θ, écart angulaire entre le centre de la tache centrale et le milieu de la première extinction (rad) l, largeur de la tache centrale : distance entre les deux extinctions entourant la frange centrale (m) D, distance séparant la fente à l écran (m) On remplit le tableau suivant : a, largeur de la fente (mm) l 3 Relation θ = λ/a Dans le tableur, on rentre les valeurs de a, l et on fait calculer θ en utilisant la relation du para graphe : θ l D On affiche la représentation graphique de la fonction θ = f(/a), puis on modélise cette fonction qui est, si les mesures sont bien faites, une fonction linéaire Le coefficient directeur de la droite tracée est la longueur d onde λ du rayon laser Si la valeur du coefficient directeur trouvée est proche de la valeur de la longueur d onde (633 nm), alors la relation θ = λ/a est vérifiée expérimentalement orrigés des exercices (page 56) Appliquer et approfondir aches de diffraction La direction prise par les taches de diffraction se situe perpendiculairement à la direction de la fente rectiligne considérée Si l ouverture de la fente est diminuée, on constate que la tache de diffraction sur l écran s étale un peu plus 3 On observe sur l écran une frange centrale blanche et sur les bords de celle-ci des franges irisées Analogie entre deux expériences Sur la cuve à ondes, la diffraction par une fente des ondes progressives à la surface de l eau a permis d observer des maximums et des minimums d amplitude dans certaines directions L image observée sur un écran, due au passage de la lumière à travers une fente, permet de mettre en évidence des maximums et des minimums de lumière dans certaines directions L analogie entre ces deux expériences incite à penser que la lumière se comporte comme une onde Le modèle ondulatoire de la lumière considère la lumière comme une onde lumineuse Lasers à gaz, à liquide et à solide Les fréquences des différents lasers considérés sont données par la relation : ν = c λ a) Dans le vide, les fréquences des différents lasers sont : pour le laser à gaz, ν = 6,5 4 Hz ; pour le laser à liquide, ν =,83 4 Hz ; pour le laser à cristal solide, ν =,85 4 Hz b) Dans l eau, les fréquences des différents lasers sont identiques à celles calculées précédemment 3 Le triplet de l hélium Les fréquences des radiations sont données par c la relation : ν = air D où : λ air ν =,767 34 4 Hz ; ν =,767 347 4 Hz ; ν 3 =,767 644 4 Hz Les périodes de ces radiations sont données par la relation = ν : = 3,63 599 5 s ; = 3,63 569 5 s ; 3 = 3,63 8 5 s 3 Partie A - Propagation d une onde

3 es trois radiations ne sont pas visibles à l œil nu, elles appartiennent au domaine des infrarouges 4 Le phénomène de diffraction La diffraction de la lumière est la modification du trajet d une onde lumineuse lorsqu elle passe par une petite ouverture ou autour d un petit obstacle La direction de la fente est située perpendiculairement à la direction prise par les taches de diffraction observées sur l écran 3 La direction du fil est identique à celle de la fente étudiée précédemment 4 omme les taches de diffraction sont plus étalées dans la première expérience que dans la deuxième expérience, la largeur de la fente est plus faible que le diamètre du fil 5 Diffraction avec deux trous Solution en fin de manuel de l élève 6 Diffraction par des croix Si les lois de l optique géométrique étaient respectées, on verrait sur l écran d observation des croix de différentes épaisseurs Les images seraient semblables aux figures A et B de l énoncé On observe des taches de lumière là où l optique géométrique ne les prévoit pas 3 La lumière ne se propage pas en ligne droite au voisinage d un obstacle ou à travers une fente 4 Plus la largeur d une fente est grande, moins la figure de diffraction est étalée La figure de diffraction A correspond à la croix de la figure B 7 Fils de différents diamètres D a) Schéma du montage : voir la figure précédente b) La relation recherchée est : θ d ; θ en radian, d et D en mètre D c) omme θ d D 3 a) λ a, on a : = λ ou encore d = D λ a a a ( 6 m) 8 6 4 d ( 3 m) 3 8 35 48 7 x = /a ( 3 m ) 8,3,5 7 5 b) d ( 3 m) 8 7 6 5 4 3 5 5 5 3 = x ( 3 m ) a 4 a) Le coefficient directeur du segment de droite tracé est : 7 3 D λ = soit λ = 6,8 7 m 5 3 b) La radiation lumineuse est de couleur rouge Écran d c) La fréquence de cette radiation est : ν = c soit ν = 4,4 4 Hz λ θ Fil (direction vertical) Faisceau laser Figure de diffraction (direction horizontale) 8 Spectre de l argon L onde lumineuse de longueur d onde 396,6 nm est située dans l infrarouge a) Les radiations visibles par l observateur sont : 8,53 nm ; 8,48 nm ; 763,5 nm b) es radiations lumineuses appartiennent au domaine du visible ; elles sont de couleur rouge hapitre 3 - La lumière, modèle ondulatoire 33

3 La fréquence des deux radiations lumineuses étudiées est : ν = c ; ν = 3,3 3 4 Hz λ soit ν = 3,95 4 4 Hz 9 Lasers en ophtalmologie La lumière émise par chacun des différents lasers est une lumière monochromatique Le laser à cristaux de telluride de zinc émet une radiation lumineuse dans le visible Le laser à diode émet une radiation lumineuse dans la limite du visible, couleur rouge Le laser Excrimer émet une radiation lumineuse dans l ultraviolet Le laser YAG émet une radiation lumineuse dans l infrarouge 3 Pour chaque laser, la fréquence de la radiation émise est : ν = c ; ν = 5,64 4 Hz ; ν = 3,7 4 Hz ; λ ν 3 =,55 4 Hz ; ν 4 =,83 4 Hz Les domaines de la lumière Solution en fin de manuel de l élève Propagation de la lumière a) La lumière peut se propager dans le vide, contrairement aux ondes mécaniques progressives ertains milieux sont opaques aux radiations lumineuses, par exemple, les métaux b) Un milieu dans lequel la lumière se propage est un milieu transparent aux ondes lumineuses c) Si l épaisseur de certains milieux transparents est très grande, le milieu absorbe l énergie de l onde lumineuse Au bout d une certaine distance, cette onde lumineuse est complètement absorbée Le milieu de propagation devient donc opaque pour de grandes distances de propagation a) La valeur approchée de la célérité de la lumière dans le vide est 3 8 m s b) La durée de la propagation de la lumière du Soleil à la erre est : τ = D/c ; τ = 5 s soit τ = 8,3 min Dispersion de la lumière blanche Exercice résolu dans le manuel de l élève 3 Différents verres optiques La fréquence de la radiation lumineuse considérée est : ν = c ; ν = 5,49 4 Hz λ La fréquence de la radiation lumineuse ne dépend pas du milieu traversé ; cette fréquence est toujours la même Pour la radiation considérée, la célérité de la lumière se propageant dans les différents verres est donnée par la relation n ( λ ) = c i i c i D où : c = c i n Désignation des verres i Silice (SiO) rown au phosphate (PK) rown extra dense (SSK) Flint dense (SF) c i (m s ),54 8,963 8,85 8,77 8 4 Isomères du propanol Solution en fin de manuel de l élève 5 Dispersion de la lumière par un prisme Schéma du montage : Lanterne Lentille convergente F Prisme F R F F B Écran a) La marche du faisceau lumineux à travers et à la sortie du prisme est donnée sur la figure 4, page 5 du livre élève b) Lors de l émergence du faisceau lumineux sur la face (ON) du prisme, on observe la décomposition de la lumière blanche On voit les couleurs de «l arcen-ciel» 3 Le tableau complété donne : λ 434 nm 589 nm 768 nm ν(λ) (Hz) 6,9 4 5,9 4 3,9 4 D m ( ) 69,6 64,5 6,3 n λ,8,77,75 34 Partie A - Propagation d une onde

4 Par définition et pour une fréquence donnée, l indice de réfraction d un matériau est donné par la relation : n = c, i c i avec n i indice de réfraction du milieu (sans unité) ; c célérité de la lumière dans le vide (m s ) et c i célérité de la lumière dans le milieu (m s ) D après le tableau, les indices de réfraction sont différents pour les différentes radiations considérées La célérité de la lumière est donc fonction de la fréquence des radiations considér ées Si la célérité d une onde dans un milieu transparent est fonction de sa fréquence, alors le milieu est dit dispersif 6 Un verre en flint a) L indice de réfraction n i d un milieu transparent est le quotient de la célérité c de la lumière dans le vide par la célérité c i de la lumière dans le milieu considéré Pour une longueur d onde λ i : n ( λ ) = c i i c i n i indice de réfraction du milieu (sans unité) c célérité de la lumière dans le vide (m s ) c i célérité de la lumière dans le milieu (m s ) b) La relation existant entre la fréquence d une radiation et sa longueur d onde dans le vide est : λ = c ν λ longueur d onde dans le vide (m) c célérité dans le vide (m s ) ν fréquence de l onde (Hz) a) La radiation qui appartient aux UV est :,36 μm Les radiations qui appartiennent aux radiations visibles sont :,434 μm ;,486 μm ;,589 μm ;,656 μm ;,768 μm Les radiations qui appartiennent aux radiations IR sont :, μm ;,67 μm b) La fréquence dans le vide de la radiation lumineuse dont la longueur d onde dans le vide est 36 nm est : 8,3 4 Hz Sa fréquence dans le verre étudié est rigoureusement la même 3 a) λ (μm),36,434,486,589,656 n(λ),75,675,664,65,644 c n (λ) ( 8 m s ),758,79,8,87,84 λ (μm),768,,3 n(λ),638,68,67 c n (λ) ( 8 m s ),83,84,854 b) ourbe représentative de la fonction : c n (λ) = f(λ) : c n ( 8 m s ),85,8,75,,4,6,8,,,4,6,8, λ (μm) c) La célérité de la lumière est fonction de la longueur d onde de la radiation considérée ou encore de sa fréquence, le milieu est donc dispersif 7 Le doublet jaune du sodium La lumière émise par une lampe à vapeur de sodium contient 94 radiations lumineuses dans le visible : c est une lumière polychromatique Par définition, la longueur d onde d une radiation lumineuse est la distance que franchit cette radiation pendant une période Dans le vide, on a donc : λ = c ou encore λ = c () ν Dans l air, on a : λ air = c air ou encore λ = c () air ν En effectuant le rapport membre à membre des relations () et (), on obtient : λ λ air = c c air c Or, par définition, c donc : λ = n air λ air ou encore λ = c λ c air air air (3) air = n ; la relation (3) s écrit air hapitre 3 - La lumière, modèle ondulatoire 35

Les longueurs d onde dans le vide du doublet jaune du sodium sont : λ = 589,55 8 nm et λ = 589,753 4 nm 3 Les fréquences de chacune des deux radiations jaunes du sodium sont les mêmes dans l air et dans le vide puisque la fréquence d une radiation est indépendante du milieu traversé Les fréquences du doublet jaune du sodium sont : ν = c ; ν = 5,88 59 4 Hz ; λ ν = 5,83 353 4 Hz Préparer le bac 8 Diffraction par une fente Exercice résolu dans le manuel de l élève 9 La lumière : une onde A a) Les ondes mécaniques nécessitent un milieu matériel, solide, liquide ou gaz, pour se propager En revanche, les ondes lumineuses peuvent se propager en l absence de matière, c est-à-dire dans le vide Le concept d éther n est pas nécessaire ; de plus, ce concept est faux b) La lumière s étend de toutes parts : une onde se propage dans toutes les directions qui lui sont offertes Les ondes lumineuses se traversent l une l autre sans se faire obstacle : deux ondes peuvent se croiser sans se perturber La propagation de la lumière depuis un objet lumineux ne saurait l être par le transport d une matière : une onde réalise un transport d énergie sans transport de matière a) La lumière blanche du Soleil est polychromatique Elle est constituée d une multitude de radiations de fréquences différentes b) Le diamètre du fil influe sur le phénomène de diffraction : plus le diamètre du fil est petit et plus le phénomène de diffraction est marqué L ordre de grandeur du diamètre du fil doit être approximativement l ordre de grandeur de la longueur d onde L B D après la figure, tan θ = D L omme θ est petit, on a tan θ = θ soit θ = D On a θ = λ (), avec θ en radian, λ et a en mètre a 3 La courbe θ = f(/a) est une fonction linéaire passant par l origine En posant /a = X, L expression précédente s écrit : θ = λ X ; cette fonction est bien une fonction linéaire en X La courbe est en accord avec la relation () 4 Le coefficient directeur de la droite représentative de θ = f(/a) ou θ = f(x) est égal à la longueur d onde λ 5 À l aide de la figure, on peut calculer le coefficient directeur de la droite : ( a = 3,5 4 m ; θ =, rad) D où : λ =, ; λ = 5,7 7 m 35, 4 soit λ =,57 μm 6 La lumière blanche est polychromatique, donc elle contient une multitude de radiations de longueurs d onde différentes Au centre de l écran, toutes les radiations de différentes couleurs se superposent, on obtient du blanc De part et d autre de cette frange centrale blanche, les différentes radiations se superposent en des positions légèrement différentes pour créer des irisations La fréquence d une onde lumineuse est indépendante du milieu de propagation traversé L indice optique n d un milieu transparent est le quotient de la célérité c de la lumière dans le vide par la célérité c i de la lumière dans ce milieu : n = c/c i 3 Un milieu est dit dispersif si la célérité des ondes qui le traversent dépend de leur fréquence omme n dépend de c i et que c i dépend de la fréquence, l indice n d un milieu dispersif dépend de la fréquence des radiations lumineuses 4 Pour un même angle d incidence i, l angle de réfraction i est différent pour deux ondes lumineuses monochromatiques Les différentes composantes d une lumière polychromatique seront donc déviées différemment lors de la traversée d un prisme Il y a décomposition de la lumière : c est le phénomène de la dispersion de la lumière 36 Partie A - Propagation d une onde

PARIE B ransformations nucléaires 4 La radioactivité Programme B RANSFORMAIONS NULÉAIRES ( P 7 HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Exploitation du diagramme (N,Z) afin de prévoir les domaines des noyaux émetteurs α, β et β + Découverte de la radioactivité par Becquerel (textes)* Film et document illustrant une décroissance radioactive La radiactivité dans notre environnement (corps humain, roches, habitations, etc)* Exemples de datations* Utilisation d un compteur de radioactivité : caractère aléatoire de la désintégration ; analyse statistique des comptages*, tracé de courbes d évolution, mesure de la radioactivité naturelle - Décroissance radioactive Stabilité et instabilité des noyaux omposition ; isotopie ; notation A ZX Diagramme (N,Z) La radioactivité La radioactivité α, β, β +, émission γ Lois de conservation de la charge électrique et du nombre de nucléons 3 Loi de décroissance Évolution de la population moyenne d un ensemble de noyaux radioactifs ΔN = λ N Δt ; N = N e λ t Importance de l activité ΔN /Δt ; le becquerel onstante de temps τ = / λ Demi-vie t / = τ ln Application à la datation onnaître la signification du symbole A ZX et donner la composition du noyau correspondant Définir l isotopie et reconnaître des isotopes Reconnaître les domaines de stabilité et d instabilité des noyaux sur un diagramme (N,Z) Définir un noyau radioactif onnaître et utiliser les lois de conservation Définir la radioactivité α, β, β +, l émission γ et écrire l équation d une réaction nucléaire pour une émission α, β ou β + en appliquant les lois de conservation À partir de l équation d une réaction nucléaire, reconnaître le type de radioactivité onnaître l expression de la loi de décroissance et exploiter la courbe de décroissance Savoir que Bq est égal à une désintégration par seconde Expliquer la signification et l importance de l activité dans le cadre des effets biologiques onnaître la définition de la constante de temps et du temps de demi-vie Utiliser les relations entre τ, λ et t / Déterminer l unité de λ ou de τ par analyse dimensionnelle Expliquer le principe de la datation, le choix du radioélément et dater un événement *Activités pouvant donner lieu à l utilisation des technologies de l information et de la communication Savoir-faire expérimentaux Réaliser une série de comptages relatifs à une désintégration radioactive À partir d une série de mesures, utiliser un tableur ou une calculatrice pour calculer la moyenne, la variance et l écart-type du nombre de désintégrations enregistrées pendant un intervalle de temps donné hapitre 4 - La radioactivité 4

ours Découpage du cours Stabilité et instabilité des noyaux p 7 La radioactivité p 7 3 Loi de décroissance p 74 4 Effets biologiques de la radioactivité p 76 5 Application à la datation p 77 Le plan du cours a été choisi pour apporter les connaissances et savoir-faire exigibles conformes au programme de façon aussi concise et claire que possible On a tenté d éviter la profusion de détails, sans doute intéressants, pour permettre à l élève de se confronter à une construction rigoureuse Un bon exercice est d essayer de fissurer cette construction pour mieux se l approprier et aider à la mobilisation des connaissances dans des situations diverses et nouvelles La physique nucléaire est une branche de la physique encore en plein essor est le domaine d application des interactions nucléaires forte et faible La première est responsable de la cohésion nucléaire, de la stabilité du neutron dans le noyau et de la radioactivité α La seconde règle la radioactivité β et l instabilité du neutron libre Le diagramme de Segrè été agrandi au maximum pour faciliter son utilisation On a choisi le numéro atomique pour l axe des abscisses, mais aucune convention internationale n a fait de choix qui s impose à tous ependant, les noyaux apparaissent ainsi classés par élément On a pris soin de suivre les évolutions du vocabulaire proposées par la commission de néologie de l Académie française En particulier, la commission a clarifié les noms pour les isotopes de l hydrogène : une mole d hydrogène est un mélange des trois atomes H, H et 3 H, nommés respectivement protium, deutérium et tritium Leur noyau est appelé respectivement proton, deutéron et triton Une mole de l ion H + contient aussi ces trois isotopes ; on ne peut donc pas parler d une mole de proton, mais il faut parler d une mole d hydron Ainsi, en chimie, le mot proton doit être la plupart du temps remplacé par hydron Subséquemment, la définition d un acide de Brønsted devient : «Un acide est une espèce capable de céder un hydron» La radioactivité est l occasion d introduire l antimatière La plupart des propriétés de l antimatière sont identiques à celles de la matière La différence majeure à ce niveau est la charge électrique : la charge d une antiparticule est opposée à celle de la particule ependant, il existe au moins une autre différence vis-à-vis de l interaction faible qui est une piste dans l explication de la prédominance de la matière sur l antimatière lors de la formation de l Univers est pourquoi on a adopté, dans le cours, la notation du symbole d une antiparticule par le symbole de la particule surligné Le cadre microscopique de la décroissance radioactive est donné, mais on développe plus la description macroscopique et statistique ependant, le passage micro/macro par les probabilités et la statistique devrait être vu en mathématiques On a choisi de marquer, dans les notations du cours, N, l empreinte des statistiques dans la théorie Activités AIVIÉ Les débuts de la radioactivité (page 78) De mystérieux rayons La fluorescence est la faculté d un matériau à émettre de la lumière après avoir été stimulé par de la lumière est une émission lumineuse qui ne nécessite pas de chauffage Les rayons X sont émis par la zone fluorescente d un tube cathodique, il est nécessaire de mettre le tube cathodique sous tension pour les obtenir Les rayons uraniques sont émis par des corps contenant de l uranium et ces corps ne sont pas nécessairement fluorescents comme le pensait Henri Becquerel en débutant ses recherches Des rayons X à la transmutation des éléments 3 Si la pechblende émet plus de rayons que l uranium lui-même, c est qu elle contient, en plus de l uranium, une matière différente de l uranium, qui émet aussi des rayons uraniques, mais en plus grande quantité que l uranium est pourquoi Marie urie soupçonna l existence d un nouvel élément chimique ayant la propriété d émettre des rayons comme l uranium, cette propriété devant alors être attribuée à certains atomes Il n était plus possible de qualifier les rayons d uraniques 4 Les changements d élément ou transmutations furent vus comme un retour en arrière à l alchimie, pratique occulte d un temps depuis longtemps révolu et que le progrès et la rigueur des 4 Partie B - ransformations nucléaires

physiciens avaient réussi à éliminer Mais, après le choc des mots, les physiciens comprirent bien que la transmutation proposée ici possède toute la rigueur, la logique et la clarté nécessaire à la science 5 Un phénomène aléatoire est un phénomène dont la prévision est impossible Le lancé d un dé est un phénomène dont on ne peut pas prévoir le résultat AIVIÉ Expérience de l aléatoire (page 79) A Principe de l expérience A A = e t ln t / = e ln 3 365, 5 =,999 94 B Résultats et exploitation Avec les résultats suivants, n 3 4 5 6 7 8 9 O 5 4 58 7 98 4 47 7 n 3 4 5 6 7 8 9 O 94 64 34 5 6 5 la valeur la plus probable est n = 9 Sa proba bilité expérimentale est : p(n = 9) = On ( = 9) = 47 =,47 3 La formule donnant la moyenne n est : n = 4 V V i i = On i O i i i = 8,55 O ( n n) i i i i O i i i i i = On i O i = i i + n O O n i i V = n + n nn D où V = n n i i O ( n + n n n) i i i O On i O i i i Ici n = 8,38 et n = 7,5 donc V = 8,86 et σ =,98 5 La probabilité expérimentale d avoir n compris entre E( n σ) = 5 et E( n + σ) = est : p = O ( 5)+ O ( 6)+ O ( 7)+ O ( 8)+ O ( 9)+ O ( )+ O ( ) 7 + 98 + 4 + + 47 + 7 + 94 p = p =,76 Histogramme : 4 8 6 4 o 5 5 n Voici les résultats obtenus dans les mêmes conditions 4 h plus tard : n 3 4 5 6 7 8 9 O 9 7 3 78 98 47 34 9 7 n 3 4 5 6 7 8 9 O 7 6 44 3 5 7 4 La valeur la plus probable est alors n = 7, avec une probabilité de,47 (coup de chance) ; n = 8,5 (ce n est pas de la chance!), V = 8,64 et σ =,94 La probabilité d obtenir n entre n σ et n + σ est de,774 Pour approfondir cette étude, on peut faire une comparaison des résultats obtenus avec la loi de probabilité théorique Dans le cas général, la loi de probabilité est une loi de Bernoulli (loi binomiale), mais avec l hypothèse d une source dont l activité est constante, cette loi devient une loi de Poisson : la probabilité d avoir n désintégrations dans une durée Δt est P(n ; Δt) = e A Δ t ( A Δt) n n! avec n = σ = A Δt hapitre 4 - La radioactivité 43

AIVIÉ35 3 N,, N4 appartiennent à l ensemble des entiers Décroissance radioactive (page 8) naturels et N appartient à l ensemble des réels A Analogie avec des dés (plus précisément à l ensemble des rationnels ) 4 6 À l aide de la modélisation, on déduit une expression de d N N () t i en fonction de N : i = N(t) = 4 dn = (,73 ±,4) N avec un écart relatif de Un tableau de résultats est présenté en page cicontre Δ N(t i ) = N(t i + ) N(t i ) AIVIÉ et Δ N(t i ) = N(t i + ) N(t i ) 3 La modélisation de Δ N en fonction de N conduit à : Δ N = a N + b avec a =,58 ±,7 et b =, et un écart relatif de 9, % On considère que l on vérifie que Δ N est proportionnel à N et le coefficient de proportionnalité vaut,58 ±,7 La modélisation de Δ N en fonction de N conduit à : Δ N = a N + b avec a =,93 ±, et b =,8 et un écart relatif de 6,8 % On considère que l on vérifie que Δ N est proportionnel à N et le coefficient de proportionnalité vaut,93 ±, On vérifie également que le deuxième coefficient est le double du premier conformément aux encadrements Graphe de Δ N et Δ N en fonction de N : 6,4 % 7 Mathématiquement, on sait que la solution de cette équation différentielle est : N = N e,73 t avec N = 3, la condition initiale 8 La modélisation graphique du graphe de N = f(t) par la loi N = 3 e,73 t conduit à un écart relatif de, % La solution est donc acceptable Modélisation du graphe N = f(t) : 3 5 5 5 N 5 5 5 3 t (s) 4 6 8 Δ N Δ N 5 5 5 4 On vient de vérifier que dans le cas des dés : ΔN = p N Δt En effet, p = 6 =,67 agitation =,67 s et si Δt = s, alors ΔN est proportionnel à N avec un coefficient de proportionnalité égal à,67 Si Δt = s, alors ΔN est proportionnel à N avec un coefficient de proportionnalité égal à,333, double du précédent Les résultats expérimentaux concordent avec un écart relatif de % environ On voit que les rôles de p et λ sont analogues, ainsi que leurs unités Ainsi, λ est la probabilité de se désintégrer par unité de temps N 4 6 8 B Expérience sur le radon L échantillon émet des rayonnements dans toutes les directions de l espace ; or le détecteur «n observe» l échantillon que dans un petit nombre de directions puisqu il n entoure pas l échantillon Les rayonnements doivent passer par la fenêtre d entrée du détecteur pour être mesurés, donc n 5 tot > n 5 Par ailleurs, il y a aussi l efficacité du détecteur qui entre en ligne de compte Pour mesurer n 5 tot, il faudrait que la fenêtre d entrée de surface S située à la distance R de l échantillon soit remplacée par une fenêtre sphérique de rayon R centrée sur l échantillon On conserve la distance R pour éviter de tenir compte de l efficacité du détecteur Ainsi n 5 correspond à la surface, donc, par proportionnalité, n 5 tot correspond à la surface 4 π R soit : n 5 tot = 4 π R n 5 S ΔN 3 A = et ici ΔN = n 5 tot et Δt = 5 s, Δt 44 Partie B - ransformations nucléaires

t (s) N N N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 N N N N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 N N N N 3 N 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 3 7 5 3 5 3 5 7 7 6 5 7 6 4 7 6 8 3 4 4 5 3 7 3 3 9 4 4 3 9 3 6 9 9 3 3 8 8 8 9 9 7 7 7 7 3 9 5 6 9 7 4 6 7 9 8 5 5 6 3 5 6 5 5 7 6 4 4 4 7 8 5 5 4 8 5 3 6 3 3 3 4 7 9 8 3 7 7 3 6 6 3 5 9 7 6 6 7 7 5 4 7 8 9 5 3 9 8 9 8 9 8 6 9 6 5 3 7 6 4 8 8 7 5 4 3 8 8 7 8 6 7 8 7 5 8 5 4 4 6 3 7 9 9 9 4 4 7 8 8 7 8 6 7 7 6 4 6 4 4 3 4 3 4 8 9 4 8 5 8 7 7 6 6 6 6 4 4 5 3 4 3 3 3 6 8 4 6 9 4 6 7 7 6 4 5 6 4 4 3 3 3 3 3 3 6 7 3 5 6 3 4 6 4 6 3 5 4 4 4 3 3 4 7 3 5 5 3 3 5 4 5 3 4 3 3 3 3 3 4 5 4 5 4 5 3 5 3 3 3 3 3 3 5 5 5 4 3 3 4 3 5 6 3 4 3 3 5 7 3 3 3 3 8 3 3 9 3 4 5 6 7 8 9 3 hapitre 4 - La radioactivité 45

alors : A (Bq) = n 5tot 5 = 4 π R n 5 5S 4 Voir le graphe dans le manuel de l élève La modélisation conduit à : λ =, ±, s λ λ table exp, 5, 5 e r = = =,3 λ, 5 table = 3, % 6 Dans l expérience avec les dés, on reproduit l expérience plusieurs fois, afin d obtenir une loi statistique e n est pas la grande taille de la population (trente dés seulement) qui permet d obtenir la loi mais le grand nombre d expériences Le fait de réaliser une seule expérience de décroissance de l activité du radon peut donc paraître critiquable, dans la mesure où une expérience isolée ne suit pas forcément la loi statistique ependant, le calcul de e r permet de conclure à une mesure de bonne qualité pour la constante de radioactivité En effet, dans cette expérience, c est le nombre de noyaux qui est très important Le principe ergodique permet de transposer les lois statistiques sur un grand nombre d expériences à une loi valable pour une expérience à grande population De la même façon, ce principe (qui est loin d être évident) affirme l équivalence entre un hinois qui lance un dé un milliard de fois et un milliard de hinois qui lancent chacun un dé une seule fois On vérifie théoriquement ce principe par la théorie des probabilités et de la statistique Ainsi, on montre, avec les hypothèses de la radioactivité, que la probabilité qu un noyau existant à t = existe encore au bout d une durée t est p(t) = e λ t Pour une population contenant initialement N noyaux, la probabilité pour qu il en reste N au bout de la durée t est la loi binomiale associée à la probabilité p(t) : N! P(N ; t) = p(t) N ( p(t)) N N N! ( N N)! N! P(N ; t) = N! ( N N)! e λ N t ( e λ t ) N N Par exemple, cette loi permet de voir qu il est d autant peu probable que tous les noyaux aient disparu à la demi-vie que la population initiale est grande : P N ;t / = N! N >>> P( ; t / ) = N N! orrigés des exercices (page 8) Appliquer et approfondir 7 Radioactivité α Un noyau de l élément uranium contient 9 protons et le noyau d uranium 38 contient 38 nucléons Par soustraction, il contient 46 neutrons 38U 34 h + 4He 3 9 N 9 8 Radioactivité β Un noyau de l élément cobalt contient 7 protons et le noyau de cobalt 6 contient 6 nucléons Par soustraction, il contient 33 neutrons Dans le noyau, un neutron se transforme en un proton et un électron, car le noyau contient trop de neutrons par rapport au nombre de protons 3 6 6 7 4 o 8 Ni + e N 46 38U 33 6o 44 34h 3 6Ni 9 4 Le noyau est radioactif α parce qu il est trop lourd, il contient trop de nucléons 9 Z 7 8 Z 46 Partie B - ransformations nucléaires

9 Radioactivité β + Un noyau de l élément sodium contient protons et le noyau de sodium contient nucléons Par soustraction, il contient neutrons Na Ne + e 3 Dans le noyau, un proton se transforme en un neutron et un positron, car le noyau contient trop de protons par rapport au nombre de neutrons 4 N Ne Na Le polonium Le polonium contient 84 protons et le plomb en contient 8 La particule matérielle émise contient donc protons ; c est une particule α L énergie est émise sous la forme d un rayon γ et 3 6 * 84 8 4 Po Pb + He 6 * 8 Pb 6Pb + γ 6 4 N 8 6Pb 8 Po 84 alcul d une quantité de matière Solution en fin de manuel de l élève Z Z Décroissance de l activité En prenant pour aujourd hui l année 7, il y a 86 ans que ce gramme de radium fut offert à Marie urie La loi de décroissance donne N = N e λ t et N est obtenu avec la masse initiale et t = 86 ans D autre part, N = m M N A et N = m N M A, où m est la masse de radium actuelle, m =, g et M = 6 g mol m Alors M N A = m N M A e λ t soit m = m e λ t Enfin, λ = ln ln t t, donc m = m e / t / soit m =, e ln 6 86 =,96 g A = λ N, donc A = λ N e λ t = A e λ t, avec A = λ m N M A λ = ln, alors A = m N ln A Mt t / / A N : t / = 6 ans = 6 365,5 4 6 6 = 5,49 s A =, 6, 3 ln =,7 Bq 3, 5, 49 A =,7 e ln 6 86 =,6 Bq 3 On cherche t tel que A e λ t = A, donc e λ t =, puis λ t = ln = ln Alors t = ln t λ = / ln ln 6ln A N : t = = 5 35 ans ln 3 Désintégration du neutron n H + e Il s agit de la radioactivité β hapitre 4 - La radioactivité 47

3 n (mol),8,6,5,4, 4 N,5,5,5 5 5 5 3 35 4 t (min) 5 5 5 3 35 4 t (min) 4 Graphiquement, t / min 5 τ = t / 5 min ln et λ = ln ln =, 3 s t / 6 6 N = N e λ t N = n() N A =, 6, 3 = 6, 3 N = 6, 3 e, -3 t 4 omographie par émission de positron 8 9 8 8 F O + e On utilise l activité initiale puisque A = λ N et λ = ln t / Alors N = A t / ln A N : t / = min = 6,6 3 s ; A = 3 MBq = 3, 8 Bq 3, 6, 6 N = ln 3 N(t) = N e λ t = N e ln 8 3 t t / =,86 t / outes les dates sont séparées de = 55 min Il faut donc calculer N(55 min), puis les autres valeurs sont obtenues en divisant N et N(55 min) par,4 et 8 N(55 min) = N e ln =, t (min) 55 65 75 33 385 N / 8,6, 4,3, 7, 5, 3,6,6 5 Graphiquement, on obtient N( h) =,3 6 A( h) = N ( h)ln =, 3 ln t / 66, 3 =,4 8 Bq 7 Le cortège électronique n est pas modifié par la radioactivité, qui est une propriété du noyau ; il contient 9 électrons Après la désintégration, le noyau ne contient plus que 8 protons ; on obtient un anion : HO O O OH H OH OH 8 6 H O 6 + H O = 6 H O 6 + HO L acide est 6 H O 6, il s agit du glucose 5 Datation d une nappe phréatique 36 7 36 8 l Ar + e Soit N la population initiale de chlore 36 dans l échantillon prélevé par forage, il s agit aussi de la population actuelle dans les eaux de surface Alors, si N(t) est la population actuelle dans la nappe, N(t) = N e λ t, où t est l âge de la nappe et : Nt () =,33 N Ainsi, Nt () = e λ t soit t = Nt () ln N λ N avec λ = ln t / 48 Partie B - ransformations nucléaires

avec A i = d N d ( t t ) i et finalement N N A t i+ i i Δ Alors t = t / ln Nt () ln N 4 3, AN : t = ln,33 = 4,8 4 ans ln 3 L âge de la nappe est supérieur à 7 fois la demivie du silicium 3, ce qui signifie que la population initiale du silicium 3 a été divisée par 7 > Autant dire qu il n y a plus assez de noyaux de silicium 3 pour qu ils soient même décelables On ne peut donc pas utiliser le silicium 3 pour réaliser cette datation 6 Datation d une roche volcanique Solution en fin de manuel de l élève 7 Datation au carbone 4 Exercice résolu dans le manuel de l élève 8 Équilibre d une famille radioactive Solution en fin de manuel de l élève 9 Datation des coraux Solution en fin de manuel de l élève Préparer le bac Du chlore dans les eaux souterraines Exercice résolu dans le manuel de l élève Méthode d Euler A = λ N et A = d N A i = λ N i 3 L approximation de la dérivée d Euler est : dn d ( ) N ( ) = N N i+ i t Δ t i i t Δt t t i+ Alors ( ) d N t t + d ( t ) N + t N i i i i i i 4 N = A et, en appliquant la formule précédente, λ on trouve N Puis on calcule A = λ N, puis N avec la formule de la question 3 et ainsi de suite 5 t (s) 3 4 N / 5,4 8,9 6,7 4,7 3, A (kbq) 5,, 9,5 7, 5, 5 6 7 8 9,5, 8,9 7,9 7, 6, 3,4,9,5 9, 8, 7, 6 N,5,7,5 4 6 8 hapitre 4 - La radioactivité t (s) Graphiquement, on trouve t / = 55 s et τ = 8 s 6 t / = ln λ = ln, 7 = 59, s et τ = λ = = 85,5 s, 7 La méthode d Euler permet de trouver une valeur plutôt approximative avec environ 6 à 8 % d erreur Sans doute le pas de s proposé est-il un peu grand pour que l approximation de la dérivée soit pleinement valable Vitesse de sédimentation La vitesse de sédimentation est l épaisseur de sédiments déposés par unité de temps, v s = z t Puisqu on suppose que la vitesse de sédimentation z est constante, alors t = v s N(t) = N e λ t 3 Nz () Nt N() = () = e λ t λ = e z ln z v = e t v s / s N Nz 4 ln () () = ln z N t v / s donc v s = t / z ln Nz ln () N() 49

ln AN : v s = = 4, 3 m an 7, 5 4 ln, 95 3 Datation des séismes en alifornie A 4 4 N + e 6 7 onservation de la charge : 6 = + 7 ; conservation du nombre de nucléons : 4 = 4 + B N(t) = N e λ t a) Dans la définition de la demi-vie, Nt () Nt ( + t ) = On remplace par la loi de / décroissance radioactive : t t N e λ t λ( + ) N e / = soit e λ t e e = λ t λ t /, c est-à-dire e λ t = / puis λ t = ln / et finalement t = ln / λ b) ln λ = =, 4 an 67, 3 3 À partir de la loi de décroissance, A = ( λ) N e λ t = A e λ t At () Nt () On a bien = = e λ t A N At D après la relation précédente, ln ( 3 ) = λ t A donc t 3 = 3 λ ln At ( ) A, 3 = ln = 7 ans, 4, 55 Par soustraction, on en déduit que le séisme devrait avoir eu lieu en 87 3 L échantillon a une activité plus grande que celle du 3, donc l échantillon est plus récent L échantillon date de 47 L échantillon date de 586 4 Le radon A A Z X Y + He Z A A 4 4 Z A Z + X Y + e 3 Soit n le nombre de désintégrations α et p le nombre de désintégrations β D après les lois de 3 conservation, on peut écrire : 38 = 4 n + pour la conservation du nombre de nucléons et : 9 = n p + 86 pour la conservation de la charge On obtient n = 4 et p = B La radioactivité est un phénomène aléatoire, c est pourquoi les valeurs relevées ont une telle dispersion M = 68 et s = n n = 3 m =, s 4 Une activité de Bq correspond à une source qui subit une désintégration par seconde D après la définition précédente, on peut dire que [A] = temps M Et [ m ] = θ = temps Ainsi [ m ] = [A] m (Bq),8,6,4,,8,6,4, 8 9 3 4 5 6 mai (jour) D Si m = m e μ t, alors ln m = ln m μ t La courbe de ln m = f(t) doit avoir l allure d une droite de coefficient directeur μ lnm,6,4, -, -,4 -,6 -,8 - -, 8 9 3 4 5 6 mai (jour) L hypothèse précédente, m = m e μ t, est bien validée puisque la courbe obtenue a l allure d une droite 3 On prend deux points sur la droite qui modélise les points expérimentaux et on calcule le coefficient directeur de la droite en question : μ =,3 jour 5 Partie B - ransformations nucléaires

4 N(t) = N e λ t Il y a deux constantes : N et λ N est la population initiale de noyaux radioactifs et λ est la probabilité de désintégration d un noyau par unité de temps E La demi-vie t / est la durée pour laquelle la Nt () population est divisée par deux : Nt ( + t ) = t = ln / λ / soit t / = ln = 3, jours 3, Exercice supplémentaire Statistique Le potassium naturel contient trois isotopes : 39 K, 4 K et 4 K Seul le potassium 4 est radioactif ; il est radioactif β avec une demi-vie t / =,3 9 ans Son abondance relative dans un échantillon de potassium naturel est r =, % Un échantillon de masse m = 5 g de chlorure de potassium est placé à proximité de la fenêtre d un détecteur de radioactivité β On donne la masse molaire de Kl : M = 74,6 g mol On réalise = comptages des particules β détectées pendant une seconde Les résultats sont présentés dans le tableau suivant, où n représente le nombre de désintégrations pendant une seconde et O est l occurrence de n sur les mille comptages n 3 4 5 6 O 9 5 5 85 6 n 7 8 9 3 O 36 39 7 4 78 53 33 n 4 5 6 7 8 9 O 6 3 Écrire l équation de la désintégration du potassium 4 Déterminer l expression littérale de l activité de l échantillon alculer l activité initiale de l échantillon 3 alculer l activité au bout de s onclure 4 Pourquoi les résultats obtenus sont-ils différents de l activité calculée? Pourquoi ces résultats sont-ils variables? 5 alculer la moyenne n, la variance V et l écart type σ 6 Déterminer la probabilité p à l issue des comptages pour que n n σ ; n + σ orrigé 4 9 4 K a + e A = λ N = ln N où N est la population de potassium 4 dans les 5 g de chlorure de potassium La t / quantité d ion potassium est : n K = m M La population de potassium est : N A N K = n K N A = m M et la population de potassium 4 est : N = r N K = rm A MN Finalement : A = rm N ln A Mt / AN : t / =,3 9 ans =,3 9 365,5 4 6 6 = 4, 6 s, 5 6, ln A = 74, 6 4, 6 = 8, Bq 3 A = A e λ t et λ = ln ln = t / 4, 6 =,7 7 s Au bout de s, A = 8, Bq La variation de l activité est trop lente pour être perceptible en s On peut considérer pour l étude statistique que l échantillon a une activité constante 4 Le détecteur ne recouvre pas l échantillon, donc il ne reçoit pas tous les rayonnements Le détecteur n est pas non plus efficace à chaque rayonnement qui entre dedans Le nombre de désintégrations par seconde est donc obligatoirement inférieur à l activité L activité correspond au nombre moyen de désintégrations sur un grand nombre d échantillons tous identiques Le phénomène pour un échantillon particulier est complètement aléatoire et imprévisible Il n est donc pas étonnant que les résultats du nombre de désintégrations en une seconde soient différents de la valeur de l activité et en plus variable est le contraire qui aurait été étonnant 3 hapitre 4 - La radioactivité 5

+ 9 + 5 3 + 5 n = = 8, V = n n = 8,6 σ = V =,86 6 n σ ; n + σ = [5 ; ] On additionne toutes les occurrences dans cet intervalle de n et on rapporte le tout au nombre total d occurrences : 85 + 6 + 36 + 39 + 7 + 4 + 78 p = =,79 = 79 % 5 Partie B - ransformations nucléaires

5 Noyaux, masse, énergie Programme B - RANSFORMAIONS NULÉAIRES ( P 7 HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Découvertes de la fission et de la fusion La fission et le réacteur naturel du Gabon La fusion et les étoiles* Quelques utilisations des réactions nucléaires* La fission industrielle et la gestion des déchets* Noyaux, masse, énergie Équivalence masse-énergie Défaut de masse ; énergie de liaison ΔE = Δmc ; unités : ev, kev, MeV Énergie de liaison par nucléon Équivalence masse-énergie ourbe d Aston E l /A = f(a) Fission et fusion Exploitation de la courbe d Aston ; domaines de la fission et de la fusion 3 Bilan de masse et d énergie d une réaction nucléaire Exemples pour la radioactivité, pour la fission et la fusion Existence de conditions à réaliser pour obtenir l amorçage de réactions de fission et de fusion * Activités pouvant donner lieu à l utilisation des technologies de l information et de la communication Définir et calculer un défaut de masse et une énergie de liaison Définir et calculer l énergie de liaison par nucléon Savoir convertir des J en ev et réciproquement onnaître la relation d équivalence masse-énergie et calculer une énergie de masse ommenter la courbe d Aston pour dégager l intérêt énergétique des fissions et des fusions Définir la fission et la fusion et écrire les équations des réactions nucléaires en appliquant les lois de conservation À partir de l équation d une réaction nucléaire, reconnaître le type de réaction Faire le bilan énergétique d une réaction nucléaire en comparant les énergies de masse ours Découpage du cours Équivalence masse-énergie p 9 Fusion et fission p 9 3 Bilan d énergie d une réaction nucléaire p 9 E = m c est la formule la plus célèbre du monde mais cela ne signifie pas qu elle soit bien comprise ette formule modifie radicalement, avec l ensemble de la théorie de la relativité d Einstein, la conception de la grandeur masse Dans la théorie de la relativité de Galilée, la masse donne l inertie du corps matériel e n est plus vrai avec Einstein, puisque l inertie (pas la masse) dépend de la vitesse La masse donne donc le contenu énergétique absolu du corps auquel peut s adjoindre une énergie mécanique Quant à c, c est en fait la constante d Einstein et il se trouve que, parce que la lumière n a pas de masse, la célérité de la lumière est égale à cette constante Si la lumière ne possède pas de masse (jusqu à preuve du contraire), elle possède néanmoins une énergie purement cinétique donnée par la formule de Planck, E = h ν On a choisi de présenter l énergie de liaison avant le défaut de masse En effet, le défaut de masse apparaît naturellement par l équivalence à la perte d énergie de masse au profit de l énergie de liaison L emploi du verbe engluer dans la définition de l énergie de liaison est une allusion aux particules médiatrices de l interaction forte, les gluons Fondamentalement, l énergie de liaison est censée représenter l énergie mécanique interne au hapitre 5 - Noyaux, masse, énergie 53

noyau, mais alors elle doit être négative (comme pour les niveaux d énergie de l électron dans l atome) ; la définition du programme officiel est plus opérationnelle, puisqu elle se place du côté de l opérateur et non du noyau, ce qui lui donne un signe positif Le signe est réintroduit pour la courbe d Aston, afin d obtenir une courbe à minimum comme pour une vallée de stabilité La radioactivité montre une première forme d instabilité des noyaux, mais la courbe d Aston indique qu il existe une seconde instabilité puisque tous les noyaux non radioactifs ne sont pas équivalents En particulier, le neutron libre est instable, il est radioactif β, c est l interaction faible qui agit ; mais, dans le noyau, les neutrons sont immortels à temps partiel par action de l interaction forte, qui permet la commutation du neutron en proton et vice-versa, avec l intervention d une particule, le pion négatif et de son antiparticule : n H+ π et H n + π Les bilans d énergie sont traités exclusivement avec les énergies de masse, conformément au programme officiel Activités Énergie, masse et célérité AIVIÉ5 de la lumière (page 95) H+ H e + e De façon intuitive, la célérité c de la lumière On écrit la conservation de l énergie en supposant émise dans un train et vu du quai est la somme de la que l énergie cinétique du proton et celle de l antiproton sont nulles L énergie initiale est l énergie de célérité c de la lumière dans le train et de la vitesse v du train : c = c + v masse totale du proton et de l antiproton ; l énergie Unifier la mécanique et l électromagnétisme, finale est l énergie de masse totale et l énergie cinétique totale de l électron et du positron cela signifie rendre les deux théories non contradictoires, c est-à-dire qu aucune prévision de l une m p c = m e c + E c ne vienne contredire l une quelconque des prévisions de l autre En particulier, la mécanique pré- E c = (,67 7 9, 3 ) (3, 8 ) E c = (m p m e ) c voit qu il n existe pas de référentiel privilégié, alors E c =,5 J = 5 pj que l électromagnétisme semblait en posséder un, l éther Einstein et ses contemporains se sont attelés à cette tâche, car la nature ignore les sépara- Nucléosynthèse stellaire (page 96) tions arbitraires entre les théories, elle est une et La formation de l hélium s écrit : 4 H 4He + e indivisible 3 L électron et le positron ont la même masse, donc elle du carbone s écrit : 3 4 He 6 l énergie obtenue est deux fois l énergie de masse de l électron : E = m e c Les forces qui agissent dans la matière E = 9, 3 (3, 8 ) nucléaire sont la force nucléaire forte et la force =,64 3 électrique Les noyaux qui doivent fusionner se J = 64 fj repoussent à cause de la force électrique entre 4 La rencontre d une particule avec son antiparticule fait disparaître les deux particules Par consésion, il faut que l énergie cinétique des noyaux charges positives Pour passer outre cette répulquent, après la rencontre, le nombre de nucléons soit très grande Or l énergie cinétique des objets doit être nul, ainsi que le nombre de charges On microscopiques est gouvernée par la température attribue donc un nombre de nucléons négatif aux et augmente avec elle est pourquoi la grandeur particules d antimatière, qui contiennent des antinucléons, et une charge opposée à la particule de qui doit fusionner déterminante est la température de la matière matière associée Ainsi, l antiproton contient un 3 À l échelle de l étoile, c est la force de gravitation antinucléon et une charge négative, ce qui explique qui agit Elle comprime la matière de l étoile et augmente ainsi la température de cette matière les deux dans - - H L antineutron - n contient un antinucléon et une charge nulle Pour le symbole 4 La première phase consiste en une succession de de l antiparticule, on reprend le symbole de la particule en le surlignant, puisque particule et antiparti- formation du noyau de fer 56 La deuxième phase, fusions de noyaux toujours plus lourds jusqu à la cule ont la même masse appelée nucléosynthèse explosive, permet la syn- AIVIÉ 54 Partie B - ransformations nucléaires AIVIÉ

thèse des noyaux plus lourds que celui de fer 56 à partir des neutrons accélérés lors de l explosion de l étoile en supernova La première phase permet à la matière nucléaire d augmenter sa stabilité, comme le montre la courbe d Aston pour les petites valeurs de A La deuxième phase réduit la stabilité de la matière nucléaire en remontant la courbe d Aston aux grandes valeurs de A 5 Les atomes qui nous constituent ont été fabriqués dans les générations d étoiles qui ont précédé le Soleil Le Soleil brille déjà depuis 4,5 milliards d années, cela permet de comprendre le grand âge de notre matière, entre 8 et 3 milliards d années Plutôt que des enfants du Soleil, nous sommes des enfants des étoiles Mais puisque le Soleil est une étoile, la nôtre, et qu il nous permet de vivre, nous sommes un peu ses enfants tout de même Le réacteur nucléaire 3 fossile d Oklo (page 97) Un noyau fissile est un noyau qui peut subir une fission induite par exemple par la collision de ce noyau avec un neutron Un noyau non fissile absorbe le neutron et ne se brise pas AIVIÉ 38 9 39 9 U+ n U 3 La première équation de désintégration β est : 39U 39 Np + e 9 93 - La deuxième équation de désintégration β est : 39Np 39 Pu + e 93 94 - Le noyau obtenu finalement est le noyau de plutonium 39 4 n+ 35 U 94 Sr+ 4 Xe+n et 9 35 9 38 9 36 54 4 56 n+ U Kr+ Ba+3 n 5 Le risque est que le nombre de réactions qui se produisent augmente de façon exponentielle et incontrôlée On obtient un emballement et un dégagement d une quantité d énergie dangereuse pour l environnement Le modérateur dont parle le texte sert à rendre une partie des «,5» neutrons inefficaces pour permettre à la réaction de s auto-entretenir Si le modérateur n est pas assez présent, c est l emballement Si le modérateur est trop présent, la réaction s arrête 6 Seul l uranium 35 est fissile et produit plusieurs neutrons lors de sa fission, donnant la possibilité d auto-entretenir la réaction Mais l uranium 38 absorbe les neutrons et défavorise l auto-entretien S il y a trop peu d uranium 35 par rapport à l uranium 38, la réaction ne peut pas être auto-entretenue 7 Si N 35 est la population d uranium 35 aujourd hui, soit après la durée t = 9 ans où la population fut N 35,, alors N 35 = N 35, e λ t 35 De la même façon, N 38 = N 38, e λ t 38 Ainsi, λ t N N e 38 35 35, = N λ t 38 N e 35 38, et on en déduit le rapport initial : λ t N 35, N e 38 35 e9,76 9 = =, 7 N λ t,54 9 38, N e 35 e 38 = 3,7 % Il y a deux milliards d années, la teneur en uranium 35 était suffisante pour permettre aux réactions auto-entretenues d exister 8 L énergie produite dans les réacteurs le fut sous forme thermique, elle chauffa l eau qui servit en même de temps de modérateur et de récepteur d énergie orrigés des exercices (page 98) Appliquer et approfondir 6 Masse d un noyau Solution en fin de manuel de l élève 7 Énergie de liaison Δm = E l = 39, 45, 6 c (3, 8) 3 = 6,99 9 kg E l 39, 45 = = 5, 664 MeV A 7 3 E = m c = (3 m p + 4 m n Δm) c = (3,67 7 7 + 4,675 7 6,99 9 ) (3, 8 ) E =,5 9 J 4 m = 3,67 7 7 + 4,675 7 6,99 9 =,64 8 6 kg hapitre 5 - Noyaux, masse, énergie 55

8 Énergie de liaison par nucléon E l = 6,475 = 64,75 MeV Δm = E l 64, 75, 6-3 = =,5 8 kg c ( 3, 8 ) 3 E = m c = (5 m p + 5 m n Δm) c = (5,67 7 7 + 5,675 7,5 8 ) (3, 8 ) E =,5 9 5 J =, 9 = 9,34 3 MeV,6 3 4 m = 5,67 7 7 + 5,675 7,5 8 =,66 4 6 kg 9 ourbe d Aston L énergie de liaison par nucléon de l oxygène 6 est : E l = 7, 6 = 7,975 MeV < 8,79 MeV, A 6 donc l oxygène 6 est moins stable que le fer 56 et comme il est plus petit (6 < 56), il est susceptible de subir une réaction de fusion L énergie de liaison par nucléon de l or 97 est E l, 559 3 = = 7,94 MeV < 8,79 MeV, A 97 donc l or 97 est moins stable que le fer 56 et comme il est plus gros (97 > 56), il est susceptible de subir une réaction de fission Nucléosynthèse est une étoile qui est qualifiée de «creuset céleste», une étoile dont les restes après explosion ont permis la formation du Soleil, de la erre et du système solaire en entier L énergie est emmagasinée dans la masse du noyau de l atome et la liaison nucléaire 3 Lors de la combustion du charbon, l énergie utilisée est l énergie chimique, énergie de liaison inter-atomique La différence par rapport à l énergie nucléaire se trouve dans la densité de l énergie L énergie nucléaire est plus concentrée dans la matière que l énergie chimique 4 Irène Joliot-urie parle des réactions de fission ycle de Bethe-von Weizsäcker Les étoiles Solution en fin de manuel de l élève Exercice résolu dans le manuel de l élève 3 ycle de Bethe-ritchfield H+ e H H+ H 3He He + He Be 3 4 7 4 7B 7 4 3 7 4 4 e+ e Li Li + H He 4 H + e 4 He 3 E récup = (m avant m après ) c = (4 m p + m e m He4 ) c E récup = (4,67 7 7 + 9, 3 6,644 5 7 ) (3, 8 ) = 4,33 J 433, E récup = = 7, MeV, 6 3 4 La vitesse de consommation des protons v c,h en kg s est le rapport de la masse de protons consommés par la réaction ci-dessus par la durée Δt La vitesse de formation des hélions 4 v f,he4 en kg s est le rapport de la masse d hélions 4 formés par la réaction ci-dessus par la durée Δt L énergie rayonnée pendant une durée Δt par le Soleil est donnée par la puissance P, E ray = P Δt D après l énoncé, cette énergie provient exclusivement de l énergie récupérée par la réaction ci-dessus, qui se produit N fois pendant la durée Δt E ray Ainsi, E ray = N E récup et N = E récup Or une réaction consomme quatre protons et forme un hélion 4, donc le nombre de protons consommés est N H = 4 N et le nombre d hélions 4 formés est N He = N On peut alors en déduire la masse de protons consommés et la masse d hélions 4 formés pendant la durée Δt : Δm H = 4 N m p et Δm He = N m He4 E E ray ray Soit Δm H = 4 m p et Δm He = m He4 E E récup récup Puis Δm H = 4 P Δ t mp et Δm He = P Δ t mhe4 E récup On en déduit : v c,h = 4 Pm p et v f,he4 = Pm E E récup He4 récup E récup AN : v c,h = 4 3, 86, 677 433, 6 7 56 Partie B - ransformations nucléaires

= 5,97 kg s 6 7 3, 86 6, 6445 et v f,he4 = 433, = 5,9 kg s 5 On estime la perte de masse du Soleil à la différence entre la masse de protons perdus et la masse d hélions 4 formés, soit : v c,h v f,he4 = 5 9 kg s La masse perdue en une seconde est donc de 5 9 kg, cela correspond à une part de,5 de la masse du Soleil est peu sensible à court terme 6 On convertit la durée de 4,5 milliards d années en seconde, ce qui fait,4 7 s La masse perdue par le Soleil depuis sa naissance peut être estimée à,4 7 5 9 = 7 6 kg, soit une part de environ 4 4 de la masse actuelle 4 Fusion contrôlée Solution en fin de manuel de l élève 5 ransmutation de l oxygène en fluor 8 8 8 O+ H F+ n 9 E récup = (m O + m H m F m n ) c E récup = (7,999 6 +,7 83 8, 94,8 66),66 54 7 (3, 8 ) = 3,9 3 J 3 Le signe de l énergie récupérée est négatif ; cela signifie que la réaction doit être forcée par un apport d énergie 4 Il faut au moins que l énergie cinétique du proton apporte l énergie nécessaire à la réaction, donc : E c = E récup Alors m H v = E récup et finalement : v = E m récup H 3 ( 3,9 ) v = =,6 7 m s, 783, 6654 7 5 L énergie cinétique des protons doit être supérieure à E récup car il faut vaincre la répulsion électrique des noyaux est pourquoi la vitesse calculée est un minimum 6 Le béryllium Solution en fin de manuel de l élève 7 Amorçage d un réacteur à fission La fission peut s auto-entretenir, car elle produit plusieurs neutrons, qui peuvent provoquer à leur tour des fissions, etc 4 95 Am 37 Np + 4 93 He ; 9Be + 4He + n 4 6 3 E récup = (m U m e m Se m n ) c E récup = ( 35, 44 48, 98 83, 98, 9), 6 3, 6654 7 ( 3, 8) = 68 MeV 4 L énergie électrique obtenue est égale à l énergie nucléaire récupérée multipliée par le rendement, c est-à-dire : P Δt = η E récup N où η est le rendement et N le nombre de noyaux d uranium 35 ayant réagi N = m où m est la masse d uranium 35 ayant réagi m U Alors m = P Δ t m U η E récup 9 6 36, 5 864 35, 44 =, 68, 6 3 6654 =,9 3 kg =,9 t 5 Le pourcentage est de 9, 38, = = 38, % 5 8 Fission de l uranium Solution en fin de manuel de l élève 9 Fission du plutonium 39 9 38 9 U+ n U; U Np + e; 39 93 39 94 39 93 39 94 39 9 35 5 Np Pu + e 43 Pu + n Sb + c + n 3, 7 3 E récup = (m( 39 Pu) m( 35 Sb) m( c) m n ) c E récup = E l ( 35 Sb) + E l ( c) E l ( 39 Pu) E récup =,9 4 3 + 874,,86 9 3 = 86,7 MeV 4 L énergie de liaison par nucléon du plutonium 39 est inférieure à celle de l antimoine 35 ou du technétium, c est pourquoi la réaction de fission permet de récupérer de l énergie hapitre 5 - Noyaux, masse, énergie 57

Réaction chimique L énergie libérée par une réaction nucléaire est associée par la formule d Einstein à la masse des noyaux qui participent à la réaction nucléaire Il en est de même en chimie avec les masses des molécules Ainsi, selon la relation d Einstein, la masse n est pas conservée lors d une réaction chimique D une certaine manière, il donne raison à Stahl 3 H (g) + O (g) = H O (l) 4 3 4 Δm = =,69 kg ( 3, 8) Une mole d eau pèse m = 8, 3 kg Δm m =,49 Lavoisier ne possédait pas de balance aussi précise La perte de masse était donc indécelable par lui 5 La conclusion sur la conservation des éléments aurait sans doute été plus difficile à découvrir si les mesures de Lavoisier avaient permis de mesurer la perte de masse Noyaux super lourds 54 8 8 7 8 Ni + Pb Ds + n, c est une fusion, X est le noyau de darmstaium 7 7Ds 67 Hs + 4He 8, c est une radioactivité α, X est le noyau de hassium 67 67 8 Hs 63 Sg + 4 6 He, c est une radioactivité α, X 3 est le noyau de seaborgium 63 63Sg 5 Fm + 6, c est une fission, X 6 4 est le noyau de fermium 5 E récup = E l ( 7 Ds) E l ( 54 Ni) E l ( 8 Pb) = 965 453 637 = 5 MeV E récup est négatif Sur la courbe d Aston, la réaction ne va pas dans le sens de la stabilisation de la matière nucléaire 3 La fission du noyau de seaborgium 63 est spontanée, contrairement à celle du noyau d uranium 35 qui nécessite la collision d un neutron pour avoir lieu 4 E récup4 = E ( ) + E ( 5 Fm) E ( 63 Sg) = 9 + 873 93 = 35 MeV Sur la courbe d Aston, cette réaction va dans le sens de la stabilisation de la matière nucléaire, c est pourquoi de l énergie est récupérable 5 La première est une réaction forcée, puisqu elle demande de l énergie pour se faire Les trois autres sont spontanées, ce sont des radioactivités Préparer le BA Du big bang aux éléments chimiques I Le texte fait allusion à l équivalence masse - énergie ette équivalence est exprimée par la formule d Einstein : E = m c E est l énergie de matérialisation en joule (J), m est la masse en kilogramme (kg) et c est la célérité de la lumière en mètre par seconde (m s ) II E = m e c = 9, 3 (,998 8 ) =,64 3 64, 3 J = =, MeV, 6 3 III Le noyau de deutérium est composé de : proton et neutron IV e est le positron Le nom de la réaction nucléaire est fusion 3 ette réaction nucléaire vérifie, comme toute réaction nucléaire, la conservation de la charge électrique, celle du nombre de nucléons et celle de l énergie 4 Δm = 4 m H m He m e = 4,67 7 7 6,644 7 7 9, 3 = 4,43 9 kg V Une particule alpha est un noyau d hélium 4 Le processus est appelé triple alpha puisqu il consiste en la fusion de trois particules alpha VI L énergie de liaison est l énergie potentielle d interaction entre les nucléons du noyau, elle correspond à l énergie qu il faut apporter au noyau pour le disloquer E l = 9, = 7,68 MeV A 3 Le noyau le plus stable est celui dont l énergie moyenne de liaison par nucléon est la plus grande puisque l extraction d un seul nucléon est plus difficile, il s agit donc du noyau de fer 56 4 a) Lorsque le nombre de nucléons est petit (A < 3), la stabilité augmente si A augmente Lorsque le nombre de nucléons est grand (A > ), la stabilité augmente si A diminue Entre les deux, la stabilité est à peu près identique pour tous les noyaux, elle est la plus grande b) La fusion permet d accéder au maximum de stabilité lorsque le nombre de nucléons est petit et la fission permet d accéder au maximum de stabilité lorsque le nombre de nucléons est grand 58 Partie B - ransformations nucléaires

c) L élément fer possède parmi les noyaux les plus stables, dont le fer 56 qui est le plus stable L étoile devrait apporter de l énergie à la matière pour aller au-delà, ce qu elle ne peut pas faire en temps normal, puisqu au contraire, elle prend l énergie à la matière et la rayonne VII La capture de neutrons ne modifie pas le numéro atomique, donc le premier scénario ne permet pas de créer des éléments chimiques différents Z A X Z + Y + e A La radioactivité β se produit pour rétablir des proportions plus équilibrées de neutrons et de protons, comme le nombre de neutrons a augmenté, il faut en réduire le nombre tout en augmentant celui des protons est ce que fait la radioactivité β 3 A priori, il n y a pas de limitation, donc on devrait pouvoir obtenir tous les éléments de numéro atomique supérieur à Z 3 L hydrogène, un combustible d avenir Exercice résolu dans le manuel de l élève 4 Nucléosynthèse des éléments chimiques I 4 He et 4 He + contiennent deux protons et deux neutrons 3 He contient deux protons et un neutron Les réactions chimiques ne font intervenir que les électrons de l atome, elles ne modifient pas la composition du noyau Or l élément chimique est déterminé par le nombre de protons Par conséquent, les réactions chimiques sont incapables de réaliser la synthèse des éléments chimiques II ΔE = 4 m p m He m e a) On détermine le nombre de protons qui vont M S fusionner : N = m p La fusion de 4 protons libère ΔE, donc par proportionnalité, les fusions de N protons libèrent M ΔE S E = 4 m p 3 4 E = 4, 67 7 = -6 44 J b) Δt = E = E 44 34 = ans Il faut dix milliards S 8 d années pour que le Soleil consomme toutes ses réserves d hydrogène III La loi de décroissance radioactive donne N(t) = N e λt La définition de la demi-vie est N(t / ) = N Alors N = N e λt / En appliquant la fonction logarithme, on aboutit à λ t / = ln D où t / = ln λ 7, t / = = 7 7 s 6 3 t = t /, alors : Nt ( ) N( t ) Nt ( ) N / / = = = = 5, N N N 4N IV E A E l l = A (MeV) 5 6m + 3m m 56 Fe p n Fe 56 c 4 3 Les noyaux capables de libérer de l énergie lors d une réaction de fusion ont un nombre de nucléons inférieur à 56 5 Radioactivité de l uranium I On obtient un noyau d hélium 4, c est-à-dire une particule α, il s agit donc d une radioactivité α a) Δm = Z m p + (A Z ) m n m X b) Δm(Ra) = 88,7 + (6 88),9 5,977 =,88 u 3 E = m c 4 a) L énergie de liaison est l énergie potentielle d interaction entre les nucléons du noyau, elle correspond à l énergie qu il faut apporter au noyau pour le disloquer b) E = Δm c = 3,4 7 (3, 8 ) =,74 J A hapitre 5 - Noyaux, masse, énergie 59

c) E =,74 74, = 6, =,7 3 3 MeV d) E l 7, 3 = = 7,7 MeV nucléon A 5 a) ΔE = (m Ra m Rn m He ) c = (m Ra m Rn m He ) E où E est l énergie de masse de l unité de masse atomique b) ΔE = (5,977,97 4,) 93,5,6 3 = 8,94 3 J II Deux noyaux sont isotopes s ils ont le même nombre de protons mais pas le même nombre de neutrons a) La fission est réaction nucléaire qui brise un noyau lourd en deux noyaux plus légers b) 35U+ n 99Zr+ 34 e+3n 9 4 99 c) L énergie de liaison par nucléon des noyaux obtenus par la fission est inférieure à celle de l uranium 35 ; c est pourquoi cette réaction permet de récupérer de l énergie 6 Partie B - ransformations nucléaires

PARIE Évolution des systèmes électriques 6 Le dipôle R Programme ÉVOLUION DES SYSÈMES ÉLERIQUES (3 P HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES omparaison visuelle, à l établissement du courant, de l éclairement d une lampe mise en série avec une résistance ou un condensateur, ou une bobine, alimentés par un générateur de courant continu Illustrations expérimentales par quelques montagnes simples : oscillateurs de relaxation, temporisation, etc Illustration de l utilisation des condensateurs (alimentation continue, condensateur de découplage, stimulateur cardiaque, etc)* harge d un condensateur à courant constant Mise en évidence de l énergie emmagasinée Exemples d application du stockage de l énergie par des condensateurs (principe du flash) as d un dipôle R Le condensateur Description sommaire, symbole harges des armatures Intensité : débit de charges Algébrisation en convention récepteur i, u, q Relation charge-intensité pour un condensateur i = dq/, q charge du condensateur en convention récepteur Relation charge-tension q = u ; capacité, son unité le farad (F) Dipôle R Réponse d un dipôle R à un échelon de tension : tension aux bornes du condensateur, intensité du courant ; étude expérimentale et étude théorique (résolution analytique) Énergie emmagasinée dans un condensateur ontinuité de la tension aux bornes du condensateur onnaître la représentation symbolique d un condensateur onnaître la représentation symbolique d un condensateur En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes flèches-tension, noter les charges des armatures du condensateur onnaître les relations charge-intensité et chargetension pour un condensateur en convention récepteur ; connaître la signification de chacun des termes et leur unité Savoir exploiter la relation q = u Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celuici lorsque le dipôle R est soumis à un échelon de tension En déduire l expression de l intensité dans le circuit onnaître l expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle onnaître l expression de l énergie emmagasinée dans un condensateur Savoir que la tension aux bornes d un condensateur n est jamais discontinue hapitre 6 - Le dipôle R 63

EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Savoir exploiter un document expérimental pour : identifier les tensions observées, montrer l influence de R et de sur la charge ou la décharge, déterminer une constante de temps lors de la charge et de la décharge harge et décharge d un condensateur à travers une résistance : utilisation d un oscilloscope et/ou d un système d acquisition informatisé avec traitement de l information, visualisation des tensions aux bornes du générateur, du condensateur et du conducteur ohmique, influence des paramètres R et, mesure de la constante de temps, influence de la tension du générateur Savoir-faire expérimentaux Réaliser un montage électrique à partir d un schéma Réaliser les branchements pour visualiser les tensions aux bornes du générateur, du condensateur et du conducteur ohmique Montrer l influence de l amplitude de l échelon de tension, de la résistance et de la capacité sur le phénomène observé lors de la charge et de la décharge du condensateur ours Découpage du cours Le condensateur, un dipôle capable de stocker des charges électriques p Le condensateur, un réservoir d énergie p 4 3 Réponse d un dipôle R à un échelon de tension p 5 4 La constante de temps p 8 ette troisième partie du cours de terminale s intéresse à l évolution temporelle de systèmes électriques comportant un condensateur et/ou une bobine En première, les élèves ont étudié certains effets du courant continu, ils vont maintenant aborder le comportement de circuits parcourus par des courants variables On admettra que les lois établies en régime continu (loi des tensions, loi des intensités, loi d Ohm, ) restent valables en régime variable pour les valeurs instantanées des tensions et courants ette partie est l occasion de revenir sur l orientation et l algébrisation de l intensité d un courant et des tensions dans un circuit électrique L intensité du courant sera définie comme la mesure d un débit de charges Le cours reprend les notions et les compétences exigibles introduites lors des activités proposées S appuyant sur les activités et, la première partie permet d une part d introduire les phénomènes de charge et de décharge d un condensateur et d autre part donne, en convention récepteur, les relations charge-intensité et charge-tension La capacité d un condensateur peut être introduite expérimentalement en chargeant un condensateur à courant d intensité constante (partie A de l activité ) Dans la deuxième partie, l expression de la puissance électrique, vue en re S, est utilisée pour établir celle de l énergie emmagasinée par un condensateur La mise en évidence expérimentale de cette énergie peut être réalisée à l aide d une lampe à incandescence ou à l aide d un moteur La réponse d un dipôle R à un échelon de tension, abordée expérimentalement dans la partie B de l activité, est étudiée dans la troisième partie du cours L équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur est établie d abord lors de la charge, puis lors de la décharge Dans chaque cas, on vérifie qu une solution analytique proposée satisfait l équation différentielle, les constantes sont déterminées à partir des paramètres du circuit et des conditions initiales L évolution de la tension aux bornes du condensateur et celle de l intensité du courant qui traverse le circuit sont représentées graphiquement et commentées Dans la quatrième et dernière partie, conformément au programme, la constante de temps est identifiée au produit R qui apparaît dans la résolution des équations différentielles qui régissent la charge et la décharge d un condensateur Sa détermination expérimentale est présentée synthétiquement 64 Partie - Évolution des systèmes électriques

Activités omportement d un condensateur dans un circuit électrique (page 9) ette première activité peut être menée en classe entière ou être préparée à la maison (dans ce cas, les expériences peuvent être réalisées devant les élèves lorsque l activité est donnée ou lors de sa correction) La première partie de l activité permet de faire découvrir, avant modélisation, le comportement électrique d un nouveau dipôle et de mettre en évidence les différents régimes (transitoire et permanent) est aussi l occasion de faire quelques révisions d électricité : intensité d un courant, tension électrique, loi d Ohm, etc La seconde partie aborde qualitativement l accumulation des charges sur les armatures d un condensateur en insistant particulièrement sur le signe de ces charges et sur le sens de circulation du courant dans le circuit AIVIÉ A Le condensateur : un simple isolant? La tension u AB aux bornes d un fil de connexion est toujours nulle À la fermeture de l interrupteur K, la lampe L est donc soumise à une tension u L = E = constante (loi des tensions) ; elle est traversée par un courant constant : elle s allume et reste allumée La lampe L est insérée dans une branche comportant un isolant À la fermeture de K, elle n est traversée par aucun courant, la tension u L à ses bornes reste nulle : la lampe reste éteinte La tension u AB aux bornes de l isolant reste constante au cours du temps et égale à la tension E aux bornes du générateur À la fermeture de l interrupteur, la lampe L 3 s éclaire, elle est donc traversée par un courant et la tension à ses bornes u L3 est non nulle Puis elle s éteint, donc l intensité i 3 du courant qui la traverse diminue, ainsi que la tension à ses bornes D après la loi des tensions, à chaque instant u + u = E AB L 3 3 3 omme E est constante, si u L3 diminue, u AB aug- 3 3 mente Le condensateur ne se comporte pas comme un simple isolant 3 i A V E u AB V B OM u R R A OM 4 En convention récepteur, la loi d Ohm pour le conducteur ohmique s écrit : u R = R i 5 D après la loi des tensions, à chaque instant : u AB + u R = E avec u R = R i Juste après la fermeture de K, u AB =, donc E i = La valeur I de l intensité vaut donc R 6, I = = 7, 3 A =,7 ma, 3 6 Lorsque l on ferme K, le système électrique évolue : la tension u AB augmente, la tension u R et l intensité i diminuent Le système cesse d évoluer (régime permanent) lorsque u R = et donc i = La valeur atteinte par la tension aux bornes du condensateur vaut alors E = 6, V B Le condensateur : un réservoir de charge? Dans les portions conductrices du circuit, le courant est un déplacement des électrons libres des métaux Par contre, aucun déplacement d électrons n est possible dans l isolant situé entre les armatures A et B du condensateur Pour expliquer le comportement du circuit étudié dans la partie A, il faut admettre que sous l action du générateur, des électrons quittent l armature A et d autres s accumulent sur la plaque B A hapitre 6 - Le dipôle R 65

E i e L armature A perd des électrons, elle se charge positivement (q A > ) Au contraire, l armature B reçoit des électrons, elle se charge négativement (q B < ) Il n y a globalement ni «consommation», ni «production» d électrons : il y a autant d électrons qui quittent A que d électrons qui arrivent sur B donc : q B = q A ou q B + q A = (la charge globale du condensateur est toujours nulle) 3 Lorsque l on retire le condensateur du circuit, les charges accumulées sur les armatures ne peuvent pas se déplacer (l air est isolant), la charge des armatures n évolue pas 4 Si on relie les armatures aux bornes d un conducteur, les électrons accumulés sur l armature B peuvent circuler dans les conducteurs (fils de connexion et conducteur ohmique) Des électrons quittent l armature B et d autres arrivent sur l armature A : la valeur absolue de la charge des armatures diminue 5 Le conducteur ohmique est traversé par un courant dans le sens inverse de celui de déplacement des électrons AIVIÉ omment modéliser le comportement d un condensateur? (page ) L étude quantitative du comportement d un condensateur fait l objet de cette deuxième activité La partie A permet, comme le suggère le programme, d introduire expérimentalement la capacité d un condensateur à partir de la charge d un condensateur à courant constant Elle peut faire l objet d un P ou d une activité en classe entière La réponse d un dipôle R à un échelon de tension est abordée dans la partie B ette activité permet de confronter des données expérimentales à un modèle mathématique obtenu lors de l étude théorique du circuit (étude réalisée en cours) et de déterminer graphiquement une constante de temps R A B q A q B Dans un premier temps, on vérifie que la notion d échelon de tension est comprise On réalise ensuite l acquisition et l étude de la tension aux bornes du condensateur, d abord lors de la charge, puis lors de la décharge Dans chaque cas, l évolution de l intensité du courant dans le circuit est analysée L influence des différents paramètres termine cette activité A harge d un condensateur à courant d intensité constante Les résultats expérimentaux donnés dans la correction ont été obtenus avec un condensateur électrochimique de 4,7 mf et un générateur fonctionnant en générateur de courant pour u AB < U = 9 V Lorsqu on bascule le commutateur K en position, le condensateur se charge Il se décharge pour K basculé en position ma OM A K I + 3 Pour I =,3 ma A B V V OM t (s) 3 4 5 6 7 u AB (V),6,4,85,49 3,9 3,7 4,33 t (s) 8 9 3 4 5 u AB (V) 4,93 5,57 6,8 6,78 7,33 7,93 8,9 - La tension aux bornes du condensateur est proportionnelle au temps : u AB = K t avec K =,6 V s 4 Pour I =,7 ma t (s) 3 4 5 6 7 8 u AB (V),5,9 4,47 6, 7,45 - - - u AB = K t avec K =,5 V s u AB (V) 8 7 6 5 4 3 I =,7 ma I =,3 ma 4 6 8 4 t (s) 66 Partie - Évolution des systèmes électriques

5 a) L intensité I du courant est constante q I = Δ Δ t, donc Δq = IΔt Initialement (t = s), le condensateur n est pas chargé donc q(t = ) = On en déduit que la charge à la date t est donnée par la relation q(t) = I t b) La charge q du condensateur d une part et la tension u AB à ses bornes d autre part sont proportionnelles à t (q = I t et u AB = K t), elles ont donc le même type d évolution temporelle c) On en déduit que pour une intensité I de courant de charge donnée, q(t) = I u t K = AB ( ) L expression du coefficient de proportionnalité entre q et u AB est = I K 6 Pour I =,3 ma, K =,6 V s d où I K = 4,8 3 A s V Pour I =,7 ma, K =,5 V s d où I K 3 = 4,7 A s V Expérimentalement, on montre donc que coefficient I est indépendant de la valeur de l intensité K du courant de charge 7 La valeur expérimentale et celle indiquée par le fabricant sont comparables B Réponse d un dipôle R à un échelon de tension Les résultats expérimentaux donnés dans la correction ont été obtenus avec : E = 4, V ;,5 μf et R kω Exemple de paramétrage du logiciel d acquisition : durée d acquisition ms et 3 points de mesures Lorsque le commutateur K est basculé de la position à la position, la tension aux bornes du dipôle R passe brusquement de E à : le dipôle est soumis à un échelon de tension (échelon descendant) et le condensateur se décharge Lorsque l on bascule K de la position à la position, la tension aux bornes du dipôle R passe brusquement de à E : le dipôle est soumis à un échelon de tension (échelon montant) et le condensateur se charge Sur la voie, on mesure la tension aux bornes du dipôle R et sur la voie la tension aux bornes du condensateur 3 Pour que la charge du condensateur débute à la fermeture du commutateur en position, il faut régler la synchronisation sur la voie, par valeur croissante pour un seuil compris entre et E, par exemple V 4 u (V) 3,5 3,5,5,5 Régime transitoire Régime permanent 3 4 5 6 7 8 9 t (ms) 5 En régime permanent, la valeur de la tension aux bornes du condensateur vaut 4, V : c est bien la valeur de la tension E délivrée par le générateur t 6 Modélisation de u = f(t) par u = a( e τ ) avec a = 3,99 V et τ =, 3 s 7 D après la loi des tensions : u + u R = E E u omme u R = Ri, on en déduit i = R q Autre méthode : i = d u d t = d (cette méthode nécessite la dérivation de valeurs expérimentales, ce qui ne donne pas toujours de bons résultats) 8 u (V) i (μa) 3,5 3,5,5,5 6 4 3 4 5 6 7 8 9 t (ms) L intensité i du courant diminue exponentiellement au cours du temps Graphiquement, à t = s, i = I =,8 ma E On retrouve bien la valeur théorique : I = soit I =,8 4 A R 8 6 4 hapitre 6 - Le dipôle R 67

9 Graphiquement, la valeur τ exp de τ est l abscisse du point de la courbe d ordonnée u =,63 E Numériquement, u = 4, V, donc,63 u =,5 V On lit sur le graphe : τ exp =,7 ms ms τ thé = R soit : τ thé = 3,5 6 =, s = ms, donc τ exp et τ mod sont en accord avec la valeur théorique Pour réaliser l acquisition de la décharge, il faut débuter les mesures à la fermeture du commutateur en position et pour cela régler la synchronisation sur la voie, par valeur décroissante pour un seuil compris entre et E, par exemple V u (V) 3,5 3,5,5,5 3 4 5 6 7 8 9 t (ms) Modélisation de u = f(t) par : t u =ae τ avec a = 3,99 V et τ =, 3 s La constante de temps est la même lors de la charge ou de la décharge 3 a) Si la tension délivrée par le générateur est doublée, la valeur finale de u lors de la charge est doublée, mais τ ne change pas b) Si la résistance R est divisée par deux, la valeur finale de u lors de la charge ne change pas, mais la valeur de τ est divisée par deux c) Si la capacité est multipliée par deux, la valeur finale de u lors de la charge ne change pas, mais la valeur de τ est multipliée par deux Mesure de la capacité 3 d un condensateur (page ) ette activité, type EE, fait appel à des compétences évaluées au bac Elle permet de déterminer et de comparer la valeur de la capacité d un condensateur par différentes méthodes expérimentales AIVIÉ Préparation Exemple de valeur précise : R = 4,7 kω Réalisation des mesures E u K i q R u Voie A Voie B 3 Détermination de la capacité du condensateur u (V) 4 3,5 3,5,5,5 5 5 5 3 35 t (ms) τ = 4,84 ms (méthode de la tangente à l origine ou 63 % de la charge finale) = τ R 3 484, AN : = =,3 6 F =,3 μf 47, 3 3 Avec un multimètre : =, μf Écart relatif :, 3, =, = % 4 Une autre détermination de la capacité du condensateur D après la loi des tensions, u = u + u R avec u R = r i (loi d Ohm), d où i = u u R Remarque : si le logiciel utilisé le permet, il est intéressant de lisser u avant de calculer sa dérivée 4 Modélisation par une droite passant par l origine : u i =a d avec a =,4 6 A s V 68 Partie - Évolution des systèmes électriques

5 =,4 μf et l écart relatif :, 4, = = 3 %, 6 Les deux méthodes expérimentales donnent des valeurs de avec une précision comparable (de quelques pour cent) orrigés des exercices (page 3) Appliquer et approfondir 5 harge et décharge d un condensateur a) On observe la charge du condensateur b) e phénomène est très rapide car le condensateur est placé directement aux bornes du générateur (la constante de temps est très faible car la résistance du circuit est pratiquement nulle) a) On observe la décharge du condensateur à travers la résistance R b) Pour déterminer une valeur approchée de la capacité du condensateur, on détermine graphiquement la constante de temps τ = R du dipôle R, en utilisant le fait que la tension u AB atteint 37 % de sa valeur initiale au bout d une durée τ Or u AB (t = ) = E = 9, V, donc u AB (t = τ) =,37 9, V = 3,3 V et τ,5 ms On en déduit : = τ R 5, 3 5 5 F 5 μf,37e u AB (V) E 6 7 6 5 4 3 τ τ 3 4 5 t (ms) c) Avec un condensateur de capacité deux fois plus grande, la constante de temps sera aussi deux fois plus grande : τ ms 6 apacité d un condensateur L intensité du courant (débit de charges) est constante, donc Δq = I Δt Le condensateur étant initialement déchargé (q(t = ) = ), sa charge à la date t est donnée par la relation q(t) = I t AN : q(t = 3, s) = 6 3, = 3,6 5 t (s),5,,5,,5 3, 3,5 4, u AB (V),3,64 4, 5,35 6,7 7,98 9,,6 q (μ) 6 8 4 3 36 4 48 q (μ) 45 4 35 3 5 5 5 4 6 8 u AB (V) La courbe est une droite passant par l origine, la charge q est donc proportionnelle à la tension u AB : q = u AB où est le coefficient directeur de la droite Pour déterminer, on prend deux points sur la droite : Δq = = ( 45 ) 6 = 4,5 6 F = 4,5 μf Δu AB 3 Le constructeur indique la valeur de à % près soit = 4,7 μf ±,47 μf ou 4, μf < < 5, μf La valeur trouvée de 4,5 μf est donc en accord avec la tolérance du constructeur 7 Dipôle R soumis à un échelon de tension Exercice résolu dans le manuel de l élève 8 harge d un condensateur a) La tension u R permet de suivre l évolution du courant dans le circuit, car u R = R i (loi d Ohm) b) Lors de la charge d un condensateur, la tension à ses bornes augmente, tandis que l intensité du courant dans le circuit décroît La courbe a donne donc l évolution de la tension u et la courbe b l évolution de la tension u R c) Pour l analyse dimensionnelle de la constante de temps τ = R, voir le cours hapitre 6 - Le dipôle R 69

a) []= [ U R ] du R ; [u R ] = [U] ; = [ U ] [] I [] et []= [][] I [ U] donc : l équation () est impossible, car pas homogène d En effet : R u U = [ ] R et [ u ] = [ I][ ]; R [][] I l équation () est impossible, car pas homogène d En effet : u R =[] I et [ ] = [ U ] Ru R ; [] I l équation (4) est impossible, car pas homogène du R En effet : = [ U ] et [ Ru ] = [ U][ ] R [] La seule équation possible est la (3) car elle est d homogène puisque R u R =[ U] et [ u ] = [ U ] R b) u = Ee t /τ donc ln (u R R ) = ln (E) t/τ = at + b avec a = /τ et b = ln (E) b = ln (E) est l ordonnée à l origine de la droite et a = /τ son coefficient directeur À partir du tracé de la droite, on lit b = 5,7 et 7, 57, a = =,5 c) = τ = R a R AN : = =,6 4 F = 6 μf : 5, 5, 3 cette valeur est en accord avec l indication donnée par le constructeur d) Si la charge du condensateur se faisait avec une résistance R = R, la constante de temps serait τ = R = τ/ e) L ordonnée à l origine (b = ln (E)) de la droite ne serait pas modifiée, mais le coefficient directeur de la droite serait multiplié par deux, car il vaudrait a = /τ = a 3 Le condensateur peut être considéré comme chargé (à 99 %) au bout de 5τ avec τ = soit au 5 a bout de s ( ) 5, L énergie disponible à la fin de la charge est : E = E 6 6 3 soit E = = 7,J 9 Principe d une minuterie Solution en fin de manuel de l élève Préparer le BA Défibrillateur cardiaque Exercice résolu dans le manuel de l élève ondensateur d un flash A Voir cours τ = R =, 3 5 6 =,5 s 3 E = U =,5 5 6 3 = 6,75 J 4 E = U = 5 6,5 =,69 4 J ette énergie est nettement inférieure à E, elle ne permet pas l émission d un éclair de flash, d où l utilisation d une haute tension pour charger le condensateur B a) Pour déterminer graphiquement la constante de temps τ, on utilise le fait que la tension u atteint 37 % de sa valeur initiale au bout d une durée τ : u (t = τ ) = 37 % U =,37 3 = V On lit sur le graphe τ =,5 ms Remarque : on peut aussi utiliser le fait que la tangente à l origine coupe l asymptote (u = V) au temps τ b) τ = 5 ms et τ =,5 ms : la constante de temps de charge est cent fois plus grande que celle de décharge Dans un tube flash, pour créer un éclair, l énergie stockée par le condensateur doit être libérée très rapidement, d où la nécessité d une constante de temps τ faible Lors de la décharge, u + u r = (loi d additivité des tensions), avec u r = r i (loi d Ohm), i = d q (relation charge-intensité) et q = u (relation chargetension) On en déduit l équation différentielle : du d t + r u = 3 Si u = U e t / τ, alors d u = U τ e t / τ = U e t / τ r En remplaçant u par son expression dans l équation différentielle, on obtient : U e t / τ + r r U e t / τ = : la solution proposée vérifie bien l équation 7 Partie - Évolution des systèmes électriques

4 U est la valeur initiale de la tension u, c est-àdire la tension à l instant où la décharge débute 5 D après la courbe, u(t = ) = U = 3 V ette valeur est supérieure à 5 V, elle permet donc de créer un éclair Générateur d impulsions : le stimulateur cardiaque A La charge du condensateur est très rapide, car la constante de temps du circuit τ = r est quasi nulle, étant donné que la seule résistance est celle de la pile et que d après l énoncé, r Pour mesurer u = u AB, il faut brancher la masse de l interface en B et la voie Y A en A 3 Les portions correspondant à la charge très rapide du condensateur sont les portions verticales (u est alors une fonction croissante) 4 Lorsque le condensateur est complètement chargé, il se comporte comme un simple isolant, l intensité du courant est nulle, la tension aux bornes du condensateur est maximale et vaut E Sur la courbe enregistrée la valeur maximale de u vaut 5,7 V, donc E = 5,7 V B Lors de sa décharge, le condensateur joue le rôle d un générateur, le courant circule dans le sens inverse de la charge, donc l intensité i du courant est négative D après la loi d Ohm et compte tenu de l orientation du circuit : u R = R i ; q = u ; i = d q u = u R lors de la décharge u = u R, donc u = R i d où u + R d q = soit u + R d u = En posant τ = R, on obtient l équation différentielle d u + τ u = 3 Pour l analyse dimensionnelle de la constante de temps τ = R, voir le cours 4 Pour déterminer graphiquement la constante de temps τ, on utilise le fait que la tension u atteint 37 % de sa valeur initiale au bout d une durée τ : u (t = τ) =,37 E =,37 5,7 =, V On lit sur le graphe τ =,8 s Remarque : on peut aussi utiliser le fait que la tangente à l origine coupe l asymptote (u = V) au temps τ 5 R = τ 8, AN : R = =,7 6 Ω =,7 MΩ 47 9 D après l énoncé, u (t ) = u limite = E e E = u (t ) e A N : E =, e = 5,7 V : la valeur de E est en accord avec celle trouvée à la question A4 3 u (t) = E e t/τ et u (t ) = E e, d où E e t /τ = E e donc t /τ = et t = τ 4 La durée Δt qui sépare deux impulsions consécutives est la durée d une charge et d une décharge Elle doit être proche de τ car la durée d une charge est pratiquement nulle (question A) et la durée d une décharge vaut τ (question B3) 5 La durée d un battement est Δt = τ =,8 s, donc le nombre de battements du cœur par minute est N = 6/,8 = 75 battements par minute 3 La méthode d Euler D après la loi d additivité des tensions, u R + u = E, avec u R = R i (loi d Ohm), q = u (relation chargetension) et i = d q (relation intensité-charge) On en déduit que u R = Ri = R d u d où l équation différentielle : R d u + u = E Si u = A ( e αt ), alors d u = α A e αt En remplaçant dans l équation différentielle, on obtient R α A e αt + A A e αt = E soit A + A e αt (R α ) = E Pour que cette relation soit valable quel que soit la date t, il faut que : A = E et A (R α ) = soit α = R 3 a) D après l équation différentielle précédente, du à la date t, = E u ( t ) R t À la date t = s, u () = V (condensateur déchargé), donc du 5, = = 4,8, 3 4, 7 6 V s du b) u (t + Δt) = u (t) + Δt t du donc u () = u () + Δt hapitre 6 - Le dipôle R 7

soit u () = + 4,8 3 =,48 V du On peut alors calculer = E u ( ) R du soit 5, 48, = = 4,4 V s, 4, 7 Et ainsi de suite t (ms) 3 u (t) (V),48,9,3 du 4,4 3,9 3,6 ) 4,8 4 Le réglage d un GBF à l aide d un multimètre Le dessin A montre un réglage correct du multimètre pour mesurer une tension continue de 4, V Sur le dessin B, le branchement de l alimentation est incorrect (entre les bornes «ma» et «com» au lieu de «V» et «com») et le sélecteur est placé pour effectuer une mesure de tension alternative ( ) sur le calibre «V» au lieu d une mesure de tension continue ( = ) sur le calibre «V» 5 Exploitation de données expérimentales Le dessin B montre une copie d écran correcte permettant d afficher, au cours de la charge, l évolution de la tension aux bornes du condensateur et celle de l intensité du courant Sur le dessin A, la seconde courbe affichée (courbe rouge) ne donne pas l évolution de l intensité du courant car l expression de i entrée dans le tableur est fausse : compte tenu du branchement de la carte d acquisition, la tension mesurée sur la voie est u = R i (et pas u = R i), donc i = u / R ; la résistance du conducteur ohmique étant de, kω, l expression de l intensité du courant est i = u / 7 Partie - Évolution des systèmes électriques

7 Le dipôle RL Programme ÉVOLUION DES SYSÈMES ÉLERIQUES (3 P HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Vérification expérimentale, pour des i(t) de formes imposées, de l expression de la tension aux bornes d une bobine Illustration de l utilisation des bobines (lissage, etc)* Exemples d application du stockage de l énergie dans une bobine (production d une étincelle, etc) Mise en évidence expérimentale de l énergie emmagasinée par une bobine Établissement du courant dans un circuit RL : utilisation d un oscilloscope et/ou d un système d acquisition informatisé avec traitement de l information, visualisation des tensions aux bornes du générateur, de la bobine et d un conducteur ohmique supplémentaire, influence des paramètres R et L, mesure de la constante de temps, influence de la tension du générateur as du dipôle RL La bobine Description sommaire d une bobine, symbole ension aux bornes d une bobine en convention récepteur : d u = r i + L i Inductance : son unité le henry (H) Dipôle RL Réponse en courant d une bobine à un échelon de tension : étude expérimentale et étude théorique (résolution analytique) Énergie emmagasinée dans une bobine ontinuité de l intensité du courant dans un circuit qui contient une bobine * Activités pouvant donner lieu à l utilisation des technologies de l information et de la communication onnaître la représentation symbolique d une bobine En utilisant la convention récepteur, savoir orienter le circuit sur un schéma et représenter les différentes flèches-tension onnaître l expression de la tension aux bornes d une bobine ; connaître la signification de chacun des termes et leur unité Savoir exploiter la relation Effectuer la résolution analytique pour l intensité du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de tension En déduire la tension aux bornes de la bobine onnaître l expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle onnaître l expression de l énergie emmagasinée Savoir qu une bobine s oppose aux variations du courant du circuit où elle se trouve et que l intensité de ce courant ne subit pas de discontinuité Savoir exploiter un document expérimental pour : identifier les tensions observées, montrer l influence de R et de L lors de l établissement et de la disparition du courant, déterminer une constante de temps Savoir-faire expérimentaux Réaliser un montage électrique à partir d un schéma Réaliser les branchements pour visualiser les tensions aux bornes du générateur, de la bobine et du conducteur ohmique supplémentaire Montrer l influence de l amplitude de l échelon de tension, de R et de L sur le phénomène observé hapitre 7 - Le dipôle RL 73

ours Découpage du cours La bobine, un dipôle sensible aux variations d intensité du courant p 3 La bobine, un réservoir d énergie p 33 3 Réponse d un dipôle RL à un échelon de tension p 34 Après l étude du condensateur dans le chapitre précédent, on s intéresse maintenant à la bobine, dipôle déjà utilisé en classe de première pour produire des champs magnétiques omme pour le dipôle «condensateur», les caractéristiques du dipôle «bobine» sont introduites empiriquement par l expression de la tension mesurée à ses bornes Les phénomènes d induction et d auto-induction sont hors programme Le cours présente synthétiquement les notions et les compétences exigibles introduites lors des activités proposées S appuyant sur les activités et, la première partie donne, en convention récepteur, l expression de la tension aux bornes d une bobine en fonction de l intensité du courant qui la traverse La représentation symbolique d une bobine est introduite et le rôle du fer doux est évoqué Dans la deuxième partie, l expression de la puissance électrique (vue en re S) est utili- sée pour établir celle de l énergie emmagasinée par une bobine La mise en évidence expérimentale de cette énergie peut être réalisée, comme dans l activité, à l aide d une lampe à incandescence ou à l aide d un moteur (voir complément ci-dessous) La réponse d un dipôle RL à un échelon de tension, abordée expérimentalement dans la partie de l activité, est étudiée dans la troisième partie du cours L établissement du courant et la rupture du courant sont vus successivement Dans chaque cas, les différentes étapes de la «résolution analytique» sont clairement indiquées : établissement de l équation différentielle, vérification qu une solution analytique proposée la satisfait, et détermination des constantes à partir des paramètres du circuit et des conditions initiales L évolution de l intensité du courant et celle de la tension aux bornes de la bobine sont représentées graphiquement et commentées Le dernier paragraphe de ce chapitre concerne la constante de temps d un dipôle RL : son expression et sa détermination expérimentale omplément pour le professeur : «Mise en évidence de l énergie emmagasinée», BUP n 69, fév 87 Activités omportement d une bobine dans un circuit (page 37) ette première activité peut être faite en classe entière ou à la maison (dans ce cas, les expériences peuvent être réalisées devant les élèves lorsque l activité est donnée ou lors de sa correction) La première partie de l activité met en évidence le retard à l établissement du courant dans une branche de circuit contenant une bobine La seconde partie permet de réfléchir qualitativement sur le comportement énergétique d une bobine et en particulier sur le sens de circulation du courant et le signe des tensions lorsque l on ouvre ou ferme un circuit contenant une bobine AIVIÉ A La bobine : un simple conducteur ohmique? La lampe L est en série avec un conducteur ohmique Elle s allume donc dès la fermeture de l interrupteur Dans la branche qui contient la bobine, le courant ne s établit pas instantanément (la lampe L s allume après L ), mais il a la même valeur que dans l autre branche lorsque le courant est établi (l éclat de L est alors identique à celui de L ) On observe donc deux régimes : un régime transitoire et un régime permanent On en déduit que la bobine s oppose de manière transitoire à l établissement du courant dans le circuit Elle se comporte comme un conducteur ohmique en régime permanent, mais pas en régime transitoire 3 Si la bobine était remplacée par un condensateur, à la fermeture de l interrupteur, la lampe L s allumerait brièvement avant de s éteindre définitivement (voir chapitre 6) B La bobine : un réservoir d énergie? Les indications ( V, 5 ma) portées sur la lampe sont respectivement la tension nominale et l intensité nominale, c est-à-dire les valeurs d utilisation normale de la lampe 74 Partie - Évolution des systèmes électriques

L éclat de la lampe est très faible car la tension à ses bornes imposée par le générateur (E = 3, V) est nettement inférieure à sa tension nominale ( V) La lampe est en sous-tension Pour expliquer le flash lumineux émis par la lampe à l ouverture de l interrupteur, il faut admettre que la tension à ses bornes est alors supérieure (ou au moins égale) à sa tension nominale ( V) Le flash lumineux n étant observable qu en présence d une bobine, on en déduit donc qu au moment de la rupture du courant, la tension aux bornes d une bobine peut être très importante (phénomène de surtension) 3 Lorsque l interrupteur K est fermé, la lampe est éteinte, le courant ne passe pas, la diode est donc bloquée À l ouverture de l interrupteur, la lampe brille, le courant passe, la diode est donc passante 4 Fonctionnement modélisé d une diode : i A u AB B tant que u AB <, la diode est bloquée et i = ; tant que i >, la diode est passante et u AB = Lorsque l interrupteur est fermé, le sens de circulation du courant électrique est imposé par le générateur Lorsque l interrupteur est ouvert, le courant électrique passe dans le sens passant de la diode 5 Lorsque l interrupteur est fermé, u L = (i =, la diode est bloquée), donc u D = u B = E > Lorsque l interrupteur est ouvert, u D = (la diode est passante), donc u L > (la lampe est toujours un récepteur) et u B = u L < i E i = i > u B > Bobine u D > u L = i = E i > u B < Bobine u D = u L > i > K K 6 D après les questions précédentes, à l ouverture de l interrupteur, l intensité du courant qui traverse la bobine ne subit pas de discontinuité En revanche, la tension à ses bornes change de signe, elle subit donc une discontinuité 7 À la fermeture du circuit, la bobine se comporte alors comme un récepteur électrique (car en convention récepteur, u B > pour i > ), elle emmagasine de l énergie Elle restitue cette énergie lors de l ouverture du circuit, elle se comporte alors comme un générateur électrique (car en convention récepteur, u B < pour i > ) Question complémentaire 8 Si on inversait le sens de branchement de la diode, quel serait l éclairement de la lampe avant et après l ouverture de l interrupteur? orrigé 8 Si on inverse le sens de branchement de la diode, avant l ouverture de l interrupteur, la lampe éclaire très faiblement, car la diode est passante et la tension à ses bornes est nettement inférieure à sa tension nominale À l ouverture, la lampe reste éteinte, car la diode est alors bloquée omment modéliser le comportement d une bobine? (p 38) ette deuxième activité peut faire l objet d un P ou d une activité en classe entière, les acquisitions et traitements de données étant alors réalisés par le professeur (ou par un élève) après discussion collective La partie A de l activité permet une étude quantitative de l établissement du courant dans une branche de circuit contenant une bobine Les données ainsi acquises sont exploitées dans la partie B, dont le but est d introduire l expression de la tension aux bornes d une bobine en fonction de l intensité du courant qui la traverse Les parties et D permettent une approche expérimentale de la réponse d un dipôle RL à un échelon de tension (étude limitée à l établissement du courant conformément aux recommandations du programme) et de l influence des différents paramètres AIVIÉ A Étude expérimentale de l établissement du courant Les résultats qui apparaissent dans la correction ont été obtenus avec un conducteur ohmique de résistance R 3 Ω et une bobine de spires (sans fer doux), d inductance L 4 mh et de résistance r 9 Ω hapitre 7 - Le dipôle RL 75

Pour protéger la carte d acquisition lors de la rupture du courant, la diode peut être remplacée par un conducteur ohmique ( Ω) On peut aussi ramener à zéro la tension E aux bornes du générateur avant d ouvrir le circuit hoisir un interrupteur sans rebond Suivant les cartes d acquisition utilisées, le choix des composants peut être différent La carte d acquisition et l ordinateur peuvent être remplacés par un oscilloscope numérique On mesure par exemple : R = 3,3 Ω et r = 8,3 Ω Dispositif expérimental La diode n intervient pas quand on ferme l interrupteur, car elle est alors bloquée Acquisition de l intensité du courant et de la tension aux bornes de la bobine E K apteur ampèremètre ma om apteur Voltmètre () + u B i R apteur Voltmètre () + Le capteur ampèremètre permet d enregistrer la variation de i, le capteur voltmètre () celle de u B Le capteur voltmètre () permet de commencer l acquisition à la fermeture de l interrupteur, la tension à ses bornes variant alors brusquement de à 4 V Dans le montage proposé, l intensité i du courant est mesurée à l aide d un capteur «ampèremètre» Il est bien sûr possible d obtenir i en mesurant la tension aux bornes du conducteur ohmique (il peut être alors intéressant d utiliser un générateur à masse flottante ou une interface à entrées différentielles) 3 Exemple de paramétrage du logiciel d acquisition : a) durée de l acquisition : ms ; nombre de mesures : 3 ; b) synchronisation sur le capteur voltmètre (), par valeur croissante pour un seuil de V 5 et 6 8 6 4 8 6 4 i (ma) Régime transitoire u B t (ms) 4 6 8 4 6 8 Régime permanent B ension aux bornes de la bobine Étude du régime permanent I = 85 ma et U B =,5 V Si la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique lorsque le régime permanent est atteint, alors théoriquement : E r E I = R r + et U B = r I = R + r soit numériquement : E I = R r + = 4, =,85 A 3, 3 + 8, 3 et U B = 8,3,85 =,53 V On retrouve bien les valeurs expérimentales, donc l hypothèse est vérifiée Étude du régime transitoire 3 Pendant le régime transitoire : a) l intensité i du courant qui traverse la bobine augmente de la valeur à la valeur asymptotique I = 85 ma ; b) la variation de i ( di d ) diminue au cours de l établissement du courant jusqu à s annuler quand le t régime transitoire est atteint (la valeur de d i est le coefficient directeur de la tangente à la courbe) ; c) la tension u B aux bornes de la bobine diminue de 4, V à,5 V 4 Le terme r i est la tension due à la résistance de la bobine (loi d Ohm) La tension u est nulle en régime permanent 5 Recherche d une relation entre u et d i : c) es deux grandeurs sont proportionnelles, car le graphe u = f ( d i ) est une droite passant par l origine i 76 Partie - Évolution des systèmes électriques

d) En modélisant les données expérimentales par une fonction du type u = a d i, on trouve : a = 4, 3 V s A avec un coefficient de corrélation de 99,9 % Modélisation de la tension aux bornes de la bobine 6 L exp = a donc L = 4, 3 V s A = 4, 3 H = 4, mh 7 a) L = 4, mh L L exp, b) Écart relatif : = =,4 % ; les valeurs L 4, de l inductance sont en accord Évolution de l intensité i du courant Modélisation de i(t) par une équation différentielle Lorsque l on ferme l interrupteur dans le circuit (Fig ), à chaque instant, u R + u B = E (loi des tensions) Or le conducteur ohmique et la bobine sont modélisées par : u R = R i et u B = r i + L di d t D où l équation différentielle : R i + L d i = E di ou d t = E R L L i avec R résistance totale du circuit (R = R + r) Le graphe de d i en fonction de i peut être modélisé par une droite : d i = a i + b avec a = 58 s et b = 94,3 A s avec un coefficient de corrélation de 99,9 % 3 De plus, E L = 4, = 94,8 A s 4, 3 R et L = 3, 3 + 8, 3 = 5 s : le modèle théorique 4, 3 est donc en accord avec les valeurs expérimentales Modélisation de i(t) par une fonction mathématique t E 4 i = ( e τ ) avec τ = L L = R R R + r 5 b) Graphiquement, la valeur τ exp de τ est l abscisse du point de la courbe d ordonnée : i =,63 E =,63 I R Numériquement, I = 85 ma, donc,63 I = 6 ma On lit sur le graphe : τ exp =,94 ms c) En modélisant i(t) par une exponentielle décroissante du type i =a( e τ ), on trouve t : a = 85 ma et τ mod =,97 ms 6 τ th = L L 4, 3 = soit τ th = =,95 ms, R R + r 3, 3 + 8, 3 donc τ exp et τ mod sont en accord avec la valeur théorique D Influence de E, R et L a) Si la tension délivrée par le générateur est doublée, la valeur de I est doublée, mais τ ne change pas b) Si la résistance R est divisée par deux, la valeur de I augmente, ainsi que τ c) Si l inductance L est multipliée par deux, la valeur de I ne change pas, mais τ est doublée Mesure de l inductance 3 d une bobine (p 4) ette activité expérimentale, type EE, permet de déterminer l inductance d une bobine à l aide d un oscilloscope et d un GBF onformément au programme, il ne s agit pas d utiliser le GBF pour générer un échelon de tension, mais pour faire traverser le dipôle RL par un courant en dents de scies D autres choix sont possibles pour L, r et R, il suffit di de veiller à ce qu on ait : r I max << L d t Mesure et réglage préliminaires Valeur mesurée : R =, kω par exemple AIVIÉ Réalisation du montage u y A i i L,r A B M R u BM 3 Étude des variations du courant La tension u BM varie entre 64 mv et + 64 mv, alors que la tension u varie entre, V et +, V : l amplitude de u BM est négligeable devant celle de u onséquence : la tension u AB aux bornes du conducteur ohmique peut être assimilée à la tension visualisée sur la voie A de l oscilloscope, donc u AB u y B hapitre 7 - Le dipôle RL 77

Intervalle de temps pendant lequel la tension u est croissante : Δt = =,5 ms Valeur du coefficient directeur : a = Δ u Δt = 4, 5 = 6, 4 V s, 3 3 u R i AB = d où i u u = AB = a R R R t + b R et a = a R 4 6, AN : a = =,6 A s 3 4 Détermination de l inductance L de la bobine i u L BM = d d t Or i = a t + b, donc d i d t =a et u BM = L a La forme de la tension observée sur la voie B est compatible avec l expression précédente, car la tension u BM a la forme d un créneau sur l intervalle de temps pendant lequel la tension u est croissante : u BM = L a = cste et sur l intervalle de temps pendant lequel la tension u est décroissante, u BM = L a 3 L exp = u BM 64 3 soit L a exp = 6, = 4, H = 4 mh 4 L = 4, H, d où l écart relatif : L L exp, = 3 % L 4, 5 Avec r = 8,6 Ω par exemple, la valeur maximale r I du terme r i vaut r I = r U AB R, soit r I = 8,6 =,7 3 3 V d Or la valeur du terme L i d t = u BM est 64 mv, donc la di valeur de r i est bien négligeable devant L d t orrigés des exercices (p 4) Appliquer et approfondir 5 Variations des tensions Solution en fin de manuel de l élève 6 Réponse à un échelon de tension E i K R u R r En convention récepteur, la tension aux bornes de i la bobine est u r i L B = + d et celle aux bornes du conducteur ohmique : u R = R i u + u = E (loi des tensions), d où l équation différentielle : L i R r i E B R d d t +( + ) = u B L 3 i(t) = A ( e Bt ), donc d i = A B e Bt En reportant dans l équation différentielle précédente, on obtient : L A B e Bt + (R + r) A ( e Bt ) = E soit [L B (R + r)] A e Bt + (R + r) A = E Pour que cette équation soit vérifiée à chaque instant, il faut que L B = R + r et (R + r) A = E E R + r On en déduit : A= et B= R + r L 4 A= 4, =,36 A et B= =,6 3 V H =,6 3 s, 4 /B est la constante de temps du dipôle RL 7 Énergie emmagasinée dans une bobine L énergie emmagasinée dans la bobine est : E L i t L I t bob = ( ) = ( e /τ ) a) I est l intensité du courant lorsque le régime permanent est atteint (mathématiquement pour t ) b) En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique, d où E I = soit I = 6, =,36 A R + r 6, 7 78 Partie - Évolution des systèmes électriques

c) Physiquement, on considère que le régime permanent est atteint au bout de 5τ, où τ = est L R + r la constante de temps du dipôle RL L énergie alors emmagasinée dans la bobine est E L I bob = AN : τ = 45, =,7 s : le régime permanent est atteint à t = 5τ =,3 s = 3 ms et 6, 7 l énergie alors emmagasinée dans la bobine vaut E bob = 45, 36, =,9 J = 9 mj 3 Pour que la bobine emmagasine une énergie E bob =,5 J, il faut que l interrupteur reste fermé jusqu à la date t telle que t t E = L I( e /τ ) = E ( e /τ ) bob bob Soit ( e t /τ E ) = bob t /τ E ou e = bob E E bob t / τ, 5 AN : e = 9, =,93 d où e t / τ = 7, soit t = ln,7 τ t =,7 ln,7 = 7, s = 7 ms 8 Rupture du courant Exercice résolu dans le manuel de l élève 9 Variations des tensions et de l intensité Solution en fin de manuel de l élève Influence de R, L et E Solution en fin de manuel de l élève bob onstante de temps d un circuit RL E = u B + u (loi des tensions) avec u = R i (loi d Ohm pour un conducteur ohmique) et u B = r i + L d i (relation tension-courant pour une bobine) En régime permanent (i = I = cste et d i = ), la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique On en déduit : E = (r + R ) I, d où E I = r + R' La valeur de l intensité du courant en régime permanent, calculée à partir des données de l énoncé (E = 6,5 V, r = Ω et R = Ω), est : 65, I = = 5,8 A = 58 ma + Elle est en accord avec la valeur expérimentale lue : I = 58 ma, sur le graphe i = f(t) 3 a) La constante de temps du circuit RL est : L τ = R + r b) La méthode de la tangente à l origine permet de déterminer graphiquement la valeur de τ : la tangente à l origine coupe l asymptote horizontale I = 58 ma en un point d abscisse t = τ On lit : τ =, ms E 4 a) I = avec R = 5 Ω ( r + R ) AN : I = 65, = 4, A = 4 ma 6 L b) τ = R + r AN : De la question 3, on déduit : L = τ (R + r) avec τ =, ms et R = Ω,, ( + ) d où τ = =,76 ms ( 5 + ) c) Pour tracer avec soin l évolution de l intensité du courant, on utilise les propriétés de la courbe représentative : la tangente à l origine coupe l asymptote horizontale I = 4 ma à t = τ =,76 ms ; à t = τ =,76 ms, i =,63 I = 5 ma ; le régime permanent (i = I = 4 ma) est atteint au bout de 5τ = 3,8 ms i (ma) i =,63I 6 I 5 I 4 3 τ Étude d un circuit RL Étude du montage 3 4 5 6 7 5τ t (ms) a) L expression de la tension aux bornes de la bobine est : u AB = r i + L d i et celle aux bornes du conducteur ohmique : u B = R i b) Lorsqu on ferme l interrupteur, la présence de la bobine retarde l établissement du courant, d où hapitre 7 - Le dipôle RL 79

un régime transitoire Lorsque le régime permanent est atteint ( d i = ), l intensité du courant est constante (i = I ), ainsi que la tension aux bornes de la bobine et du conducteur ohmique La tension u B aux bornes du conducteur ohmique est toujours proportionnelle à l intensité i du courant, donc initialement u B =, puis elle augmente jusqu à sa valeur en régime permanent u B = R I : la courbe représente donc l évolution de u B L intensité du courant varie brusquement lorsque l on ferme l interrupteur ( d i grand, i, donc u AB d i ), puis, au fur et à mesure que le courant s établit, sa variation diminue jusqu à devenir nulle lorsque le régime permanent est atteint ( d i =, i = I donc u AB = r I, la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique) : la courbe représente donc l évolution de u AB Intensité du courant en régime permanent a) Loi d additivité des tensions : E = u B + u AB d où E = R i + r i + L d i Lorsque le régime permanent est établi : ( d i =, i = I ) : E = R I + r I soit I = E R + r 6, AN : I = =,86 A = 8,6 ma +, b) Au cours du temps, la courbe tend asymptotiquement vers 5,8 V : en régime permanent, u B = R I avec R = Ω Donc I = 57, =,9 A, ce qui est cohérent avec la valeur trouvée précédemment Remarque : la courbe peut aussi être exploitée car au cours du temps, elle tend asymptotiquement vers,3 V : en régime permanent, u AB = r I, avec r =, Ω, donc I =,3 = 3 A, ce qui est cohérent avec la valeur trouvée précédemment (mais la précision est moins importante) 3 alcul de l inductance L de la bobine a) Pour déterminer la constante de temps sur la courbe, on peut : déterminer la date où u B a atteint 63 % de sa valeur finale :,63 u B =,63 5,8 = 3,6 V et t = τ =,5 ms ; tracer l asymptote horizontale, puis la tangente à la courbe en t = s La tangente et l asymptote se coupent en un point d abscisse t = τ =,5 ms Remarque : on peut aussi utiliser la courbe L b) onstante de temps d un dipôle RL : τ = R + r Analyse dimensionnelle : D après la loi d Ohm : u = R i donc [R] = [ U ] = [ U ][ I ] [ I ] Pour une bobine idéale : u = L d i soit L = u d t di donc [L] = [U][][I] et [τ] = [ L ] [ U][ ][ I] = = [] [ R ] [ U][ I] La constante de temps est donc homogène à un temps L c) τ = donc L = τ (R + r) R + r AN : L =,5 3 ( +,) =,53 H 3 Étude expérimentale d une bobine a) Sur les courbes du graphique, on lit la période du signal délivré par le GBF Par exemple, entre les points et B de la courbe i(t) : =,6,6 =, ms =, 3 s On en déduit la fréquence f du signal : f = soit f = =,, 3 3 Hz =, khz b) Sur la voie du système d acquisition, on mesure la tension u ompte tenu du sens du courant choisi, la loi d Ohm s écrit u = R i Pour afficher i(t) à l écran, il faut donc créer une u () t nouvelle variable it ()= avec R =, 4 Ω R c) ompte tenu du sens du courant choisi, l expression de la tension aux bornes de la bobine est : u L = r i + L d i a) Quand l intensité i dans le circuit est extrémale, sa dérivée d i est nulle et donc u L = r i (la bobine se comporte comme un conducteur ohmique) b) Graphiquement, on lit que pour i extrémale, par exemple pour t =,6 ms, i min = 4 μa et u L = 5 mv 8 Partie - Évolution des systèmes électriques

u D où r = i L min soit r = 5 4 3 6 = 375 Ω r et R = 37 =,37, 4 On en déduit que r est négligeable devant R c) En négligeant r devant R, la tension u L aux bornes de la bobine vérifie : u L = L di Or, graphiquement, on constate qu entre les points et D : l intensité i du courant croît linéairement de i min = 4 μa à i max = + 4 μa, donc sa dérivée di est constante et di d = Δi = i i max min 8 6 = =,6 A s ; t Δ t / 5, 3 la tension u L aux bornes de la bobine est pratiquement constante (ce qui est en accord avec d i d t =cst) et égale à, V On en déduit : L =, =,3 H 6, 4 Dipôle RL Étude expérimentale du dipôle RL a) Pour visualiser la tension u R = u AB, le point A doit être relié à la borne V de l adaptateur et le point B à la borne OM b) La tension aux bornes d un conducteur ohmique et l intensité du courant qui le traverse sont proportionnelles Donc u R = f(t) et i = g(t) doivent avoir la même allure : l évolution de l intensité en fonction du temps après la fermeture de l interrupteur est donnée par la courbe c c) La bobine introduit un retard à l établissement du courant à la fermeture du circuit : pendant ce laps de temps, elle stocke de l énergie Modélisation et équation différentielle a) La loi des tensions permet d écrire : E = u R + u L di Or u L = L + r i (relation tension-intensité aux bornes d une bobine) et u R = R i (loi d Ohm pour un conducteur ohmique) Donc i = u R di, R = du R et u L = L du R + r u R R R R r L d u ( t) d où E = u ( + )+ R R R R Si l on considère que la résistance r de la bobine est négligeable devant R, alors + r et l équation différentielle du circuit, interrupteur fermé, R peut s écrire sous la forme : L d u ( t) E = u ( t)+ R R R b) Analyse dimensionnelle : u L = L d i et u R = R i donc [ ]= [ U ][ L ] et [ ]= [ U R ] d où [ I ] [ I ] [ τ ]= [ L ] [ ] =[ R ] : τ a la dimension d un temps (ou durée) Pour déterminer graphiquement τ, on peut utiliser le fait qu à t = τ, la valeur de la tension u R est égale à 63 % de sa valeur maximale E E = V, donc,63 E = 6,3 V Sur la courbe, on lit τ =, ms Remarque : on peut aussi tracer la tangente à l origine, elle coupe l asymptote horizontale à la date t = τ L = τ R, donc les mesures expérimentales conduisent à : L =, 3, 3 =, H On retrouve l indication du fabricant 3 Résolution de l équation différentielle par la méthode d Euler a) d u R = R L E R L u R b) du R Date Valeur de (u R ) t en V Valeur de en V s t = s ( u ) = R, t = Δt t = Δt t du R = R L E du R t t =, 4 ( u ) = R Δ t ( u R ) du du R R + Δt ( u ) = R L E R ( L u ) d u R R Δ t d t R Δt Δt Δt t = 9, =, V ( u ) =( u ) R Δt R Δt du + Δt R ( u ) R Δt Δt =,9 V hapitre 7 - Le dipôle RL 8

c) Si le pas est trop grand devant la constante de temps, l écart augmente entre le nuage de points obtenu par la méthode d Euler et la courbe expérimentale Préparer le BA 5 Résistance d une bobine Exercice résolu dans le manuel de l élève 6 La mesure de la résistance d une bobine Le dessin B montre une mesure correcte de la résistance d une bobine Sur le dessin A, le branchement de la bobine est incorrect (branchement entre les bornes «Ω» et «ma» au lieu de «Ω» et «OM») et le sélecteur est sur le calibre «ma» au lieu de «Ω» 7 Le réglage d un GBF à l aide d un oscilloscope Le dessin A montre des réglages corrects pour que la tension délivrée par le GBF soit une tension triangulaire, de fréquence f =, khz et de valeur crête à crête, V Sur le dessin B, les réglages de l oscilloscope sont inadaptés au signal visualisé : la trace n est pas centrée verticalement sur l écran ; la sensibilité verticale (k = 5 V/div) est trop forte La précision du réglage de l amplitude de la tension est mauvaise car les, V crête à crête ne se traduisent sur l écran que par une déviation verticale de cm ; la sensibilité horizontale (ou base de temps b =,5 ms/div) est trop forte, ce qui se traduit sur l écran par un signal présentant trop de périodes ; le couplage choisi (A) ne permet pas d observer une éventuelle composante continue dans le signal délivré par le GBF 8 L injection de la Logan A Prévision d un dipôle RL E = u L + u R (loi des tensions), avec u R = R i (loi d Ohm pour un conducteur ohmique) et u L = r i + L di (relation tension-courant pour une bobine) En régime permanent (i = I = cste et d i = ), la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique On en déduit : E = (r + R ) I, d où E I = r + R À l instant t = s, l interrupteur est ouvert La loi d additivité des tensions permet d écrire : u L + u R =, ce qui conduit à l équation différentielle : d L i R r i d t +( + ) = 3 a) La courbe i(t) montre que la bobine s oppose de manière transitoire à la rupture du courant dans le circuit b) L expression de la constante de temps du circuit L est τ = R r + τ est homogène à un temps (voir le cours) 94, c) AN : τ = = 5,5 3 s = 5,5 ms 5 + c) Sur la courbe i(t), on lit que pour t = τ = 5,5 ms, i(t = τ) = 3 ma Remarque : on peut vérifier que i(t = τ) =,37 I, où I est la valeur initiale de l intensité omme I = 35 ma, on retrouve bien i(t = τ) =,37 35 = 3 ma B Mesure des caractéristiques de la bobine de l injecteur La résistance interne r de la bobine vérifie la E relation : I =, où I R + r est l intensité initiale du courant, d où r = R E I AN : Sur le graphe, on lit I = 36 ma, 6, donc r = 5 = 7 Ω, 36 a) i(t = τ ) =,37 I' soit i(t = τ ) =,37 36 = 3 ma Graphiquement, on en déduit : τ =,5 s L' b) τ = R r' +, d où L = (R + r ) τ AN : L = (5 + ),5 =,5 H 8 Partie - Évolution des systèmes électriques

8 Le circuit RL série : un oscillateur électrique? Programme - ÉVOLUION DES SYSÈMES ÉLERIQUES (3 P HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Observation d une décharge oscillante amortie Illustration expérimentale de l entretien des oscillations (réalisation d un oscillateur sinusoïdal) 3 Oscillations libres dans un circuit RL série Décharge oscillante d un condensateur dans une bobine Influence de l amortissement : régimes périodique, pseudo-périodique, apériodique Période propre et pseudo-période Interprétation énergétique : transfert d énergie entre le condensateur et la bobine, effet Joule Résolution analytique dans le cas d un amortissement négligeable Expression de la période propre = π L Entretien des oscillations Définir et reconnaître les régimes périodique, pseudopériodique et apériodique Savoir tracer l allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps pour les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique Dans le cas d un amortissement négligeable, effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci En déduire l expression de l intensité dans le circuit onnaître l expression de la période propre, la signification de chacun des termes et leur unité Savoir que le dispositif qui entretient les oscillations fournit l énergie évacuée par transfert thermique Savoir interpréter en terme d énergie les régimes périodique, pseudo-périodique, apériodique et entretenu Savoir exploiter un document expérimental pour : identifier les tensions observées, reconnaître un régime, montrer l influence de R et de L ou sur le phénomène d oscillations, déterminer une pseudo-période Étude expérimentale de la décharge d un condensateur dans une bobine inductive : évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps, régimes oscillant (pseudopériode) et apériodique, influence de la résistance, régime oscillant avec amortissement faible ; période propre, entretien des oscillations Savoir-faire expérimentaux Réaliser un montage électrique à partir d un schéma Réaliser les branchements pour visualiser les tensions aux bornes du condensateur et de la résistance supplémentaire éventuelle Montrer l influence de R, L et sur le phénomène observé Mesurer une pseudo-période et une période Utiliser un oscilloscope : le régler : mode balayage, finesse du trait, réglage du «zéro», choix de la sensibilité verticale et choix d une base de temps, sélection des voies ; repérer les tensions observables simultanément dans un circuit ; visualiser et déterminer les caractéristiques d une tension ; visualiser l image d une intensité ; visualiser simultanément deux tensions * Activités pouvant donner lieu à l utilisation des technologies de l information et de la communication hapitre 8 - Le circuit RL série : un oscillateur électrique? 83

ours Découpage du cours Décharge d un condensateur dans une bobine p 5 Étude énergétique p 5 3 Oscillations libres dans un dipôle L p 5 4 Oscillations électriques entretenues p 54 5 Échanges d énergie dans un circuit L p 55 6 Oscillations électriques entretenues p 55 Après avoir étudié les caractéristiques physiques des dipôles condensateur et bobine et leur comportement respectif au sein d un circuit électrique relativement à l évolution temporelle de la tension entre leurs bornes et de l intensité du courant qui les traverse, on s attache dans ce chapitre à l étude du circuit résultant de leur association Notre intérêt porte, à l image des chapitres précédents, sur les variations temporelles des grandeurs tension et intensité du courant, mais s attardent sur celles des grandeurs énergétiques associées à ces dipôles que sont l énergie électrique stockée par un condensateur, l énergie magnétique emmagasinée par une bobine et, du fait même de sa réalité physique, de l énergie dissipée en son sein par effet Joule L appréhension des variations temporelles des grandeurs énergétiques associées, à ce type de circuit, nous permettra en outre d en préciser les usages et d en illustrer l omniprésence dans notre quotidien Le cours présente de façon synthétique les notions introduites lors des activités proposées Ainsi en est-il des oscillations électriques dont est le siège ce type de circuit, puis des différents régimes de fonctionnement associés à la valeur de la résistance électrique globale du circuit RL L étude analytique du dipôle L vient à la suite de considérations énergétiques relatives au circuit RL : il est présenté comme modèle «idéal» de ce type de circuit dans la mesure où il garantit la pérennité des oscillations dont il est le siège est dans le but de tendre vers ce modèle, aux multiples applications, qu est enfin proposé un moyen d entretenir les oscillations électriques au sein d un circuit RL Les activités proposées sont conçues comme un préambule au différentes parties du cours mais peuvent également permettre le réinvestissement et l illustration des connaissances acquises Ainsi l activité est une introduction théorique à la réalité des phénomènes temporels dont est le siège un circuit L, à savoir des oscillations électriques périodiques, il est mis l accent sur le caractère limite et idéal de ce type de fonctionnement, ce qui permet d appréhender implicitement la réalité de circuits RL L activité, qui pourra être traitée expérimentalement ou abordée comme un exercice, met en évidence le caractère idéal du régime périodique de fonctionnement en proposant, relativement aux grandeurs physiques caractéristiques de ce type de circuit et notamment sa résistance électrique, deux régimes de fonctionnement alternatifs L activité 3, dont le traitement nécessite un système d acquisition et de traitement de données, vient conclure cette étude en proposant d illustrer d un point de vue énergétique le régime pseudo-périodique de fonctionnement d un circuit RL et en proposant une solution permettant de remédier à la dissipation d énergie au sein de tels circuits Activités Naissance d une oscillation électrique (page 57) On se propose d appréhender l idée de la naissance d oscillations électriques au sein d un circuit électrique AIVIÉ en étudiant pas à pas les différentes étapes du «balancement électrique» entre condensateur et bobine au cours de la décharge du premier et ainsi d identifier et caractériser un régime périodique de fonctionnement A Décharge d un condensateur dans une bobine idéale t t < t < t t t < t < t t t < t < t 3 t 3 t 3 < t < t 4 t 4 Signe de q A q A > q A > q A = q A < q A < q A < q A = q A > q A > Valeur ou sens q A = Q q A q A = q A q A = Q q A q A = q A q A = Q de variation de q A diminue augmente diminue augmente Signe de i i = i < i < i < i = i > i > i > i = Valeur ou sens de variation de i i = i augmente = I m i diminue i = i augmente i = I m i diminue i = 84 Partie - Évolution des systèmes électriques

Avec les conventions adoptées sur la Fig du manuel, on a : i(t) = d q ( t A ) B Une décharge oscillante? Voir la figure ci-dessous La tension mesurée entre les bornes du condensateur peut s écrire u (t) = q A () t avec, capacité du condensateur 3 Voir la figure ci-dessous 4 Le courant circule alternativement dans un sens puis dans l autre au sein d un circuit associant un condensateur et une bobine 5 e phénomène est en parfaite adéquation avec le rôle joué par une bobine au sein du circuit dans laquelle elle se trouve : en effet, en régime transitoire, elle s oppose aux variations temporelles de i(t) Le sens du courant dans le circuit sera donc relatif au sens de variations de la grandeur i U m Q I m i u t t t t 3 t 4 q A t (s) Un régime limite de fonctionnement Le régime de fonctionnement d un tel dipôle peut être qualifié de périodique dans la mesure où les grandeurs physiques caractéristiques du circuit oscillent autour de la valeur nulle entre des extremums égaux en valeur absolue e régime de fonctionnement présente un caractère idéal, du fait de l impossibilité physique de disposer d une bobine dite «idéale» oute bobine ayant une résistance électrique non nulle, les oscillations électriques dont est le siège un circuit RL seront nécessairement amorties du fait de sa présence Étude expérimentale d un circuit RL (page 58) On se propose de vérifier qu un circuit RL série possède plusieurs régimes de fonctionnement conditionnés par la valeur de sa résistance électrique globale On souhaite également mettre en AIVIÉ évidence l influence des valeurs de R, L ou sur le phénomène d oscillations dont il est susceptible d être le siège et ainsi déterminer l expression de la pseudo-période de celles-ci A Le dispositif expérimental K E A B i Voie q A u = u AB masse R L,r Voie D 3 Si le système d acquisition est un oscilloscope à mémoire, l unicité de la masse implique nécessairement le branchement ci-dessus La voie permet donc de visualiser les variations temporelles de la tension u DE Il conviendra d «inverser» cette voie pour visualiser les variations temporelles de la tension u ED et, par là-même, au facteur R près, celles de l intensité i(t) du courant circulant dans ce circuit En effet, la loi d Ohm entre les bornes d un conducteur ohmique nous donne, en convention récepteur : u ()= t R i() t ED Si le système d acquisition de données est un module «voltmètres» reliée à une carte d acquisition, alors les masses de chacune des voies d acquisition étant indépendantes sur ce type de matériel, on pourra visualiser directement les variations temporelles de la tension u ED en branchant la voie au point E du circuit ci-dessus et la masse relative à cette voie en D B Des oscillations qui n en sont pas vraiment Un régime pseudo-périodique? Les variations temporelles de la tension u mesurée entre les bornes du condensateur sont dites pseudopériodiques car les valeurs prises par celle-ci oscillent périodiquement autour de la valeur nulle et l amplitude des oscillations décroît au cours du temps Par analogie avec la période d un signal périodique, on appelle pseudo-période du signal amorti la durée qui sépare deux maxima successifs de u (t) Elle s exprime en seconde (s) E u ED hapitre 8 - Le circuit RL série : un oscillateur électrique? 85

Afin d améliorer la précision sur la valeur de la pseudopériode du signal, on mesurera la durée nécessaire à plusieurs oscillations et on divisera ensuite par le nombre de pseudo-périodes considérées Ainsi on peut lire sur la courbe du cas : 4 =,59 ms soit =,397 ms q t 3 it ()= d A ( ) et q ( t) = u ( t) A d alors it ()= u ( t ) Ainsi, le signe de la fonction i(t) est celui de la fonction d u ( t ) elui-ci est relatif, comme l indique l expression précédente, au signe de la dérivée par rapport au temps de la fonction u c (t), soit relatif à la décroissance ou la croissance de la fonction u (t) De la même façon, le caractère croissant ou décroissant de la fonction i(t) dépend du sens de variation de la fonction d u ( t ) 4 La valeur de l échelon de tension n a aucune incidence sur la valeur de la pseudo-période des oscillations dont est le siège le circuit électrique Quelle expression pour la pseudo-période des oscillations? =,6 ms soit =,8 ms et 5 3 =,4 ms soit 3 =,8 ms Dans un circuit RL, lorsque les grandeur, capacité du condensateur, et R, résistance électrique du conducteur ohmique, sont maintenues constantes, la pseudo-période des oscillations augmente quand L augmente, comme l atteste l allure comparée des courbes relatives aux cas et cas De plus, avec (,8 3) = 5 L 3 (4 ) =,6 s H (,397 3) et = =,6 5 sh L 3 ( ) On a =constante, L soit : =k L avec k une constante 3 Dans un circuit RL, lorsque les grandeur L, inductance de la bobine, et R, résistance électrique du conducteur ohmique, sont maintenues constantes, la pseudo-période des oscillations diminue quand diminue, comme l atteste l allure comparée des courbes relatives aux cas et cas 3 De plus, avec 3 (,8 3) = =,4sF 6 3 (, ) 86 Partie - Évolution des systèmes électriques et 3 (,397 ) = (,4 6) =,4sF, on a =constante, soit : = k avec k une constante 4 Si l on vérifie l expression proposée W homson concernant la période des oscillations, dont serait le siège un circuit RL «de résistance inférieure à une certaine valeur», on détermine : 3 6 4 π = ( ) (,4 ) = 3,97 s =,4ms 3 6 4 π = (4 ) (,4 ) = 7,94 s =,8ms 3 6 4 3 π = ( ) (, ) =,8 s =, 3ms L'expression proposée par W homson modélise les phénomènes observés de façon satisfaisante, dans la mesure où par le calcul, nous retrouvons la valeur expérimentale de la pseudo-période des oscillations électriques dont chacun des circuits est le siège Un circuit très résistant n oscille plus omme l atteste l étude comparée des courbes proposées sur la figure 5, la résistance électrique du circuit est responsable de l amortissement des oscillations électriques dont il est susceptible d être le siège En effet, plus la résistance électrique du circuit augmente, plus l amortissement des oscillations est manifeste À partir d une certaine valeur de la résistance électrique du circuit, elles disparaissent même Si la résistance électrique du conducteur ohmique est nulle, les oscillations électriques de la tension u mesurée entre les bornes du condensateur sont amorties du fait de la présence de la résistance électrique de la bobine : l enroulement du fil de cuivre qu elle constitue a en effet une résistance électrique de quelques ohms 3 Voir la réponse à la question 4 Les oscillations électriques disparaissent pour R de l ordre de 3 Ω 5 La résistance critique du circuit est R = 36 Ω La valeur de R pour laquelle les oscillations disparaissent ne correspond pas à la résistance critique du circuit : il convient de lui ajouter la résistance électrique de la bobine

Étude énergétique des oscillations 3 électriques (page 6) On se propose de suivre, au cours de la décharge d un condensateur dans un circuit inductif, le fait que ces deux réservoirs, que constituent le condensateur et la bobine, échangent de l énergie, mais également d apprécier l évolution au cours du temps de l énergie totale stockée par le dipôle L qu ils constituent Attention! Le questionnement a été légèrement modifié dans la version du manuel destinée aux élèves par rapport à celle du spécimen enseignant AIVIÉ Le montage expérimental u g i Voie B M L,r A u BM = u R Voie u AM = u R Masse Figure Acquisition des données Par définition, la période propre d un dipôle L s exprime comme suit : = π L soit, pour le circuit considéré : 3 6 4 π = (5 ) (, ) = 4,44 s =,4ms Si est la pseudo-période des oscillations relatives à E cond et E bob, on note que 6 = 3, pseudo-période des oscillations relatives à u et i Alors = 3 raitement des données Afin d améliorer la précision sur la valeur de la pseudopériode du signal, on mesurera la durée nécessaire à plusieurs oscillations et on divisera ensuite par le nombre de pseudo-périodes considérées u (V),6,,8,4,4,8,,6 On rappelle que :,,4,6,8,,4,6,8 Figure E = U et E = Li = L U cond BM bob R t (ms) AM Les grandeurs E cond et E bob doivent donc être telles que : E = 5 8 U et E =, 3 U cond E (μj),,6,,8,4 bob hapitre 8 - Le circuit RL série : un oscillateur électrique? BM E ond E bob,,4,6,8,,4,6,8 Figure 3 AM t (ms) Les grandeurs énergétiques relatives au condensateur et à la bobine peuvent être, à l image des grandeurs u (t) et i(t), qualifiées de pseudo-périodiques dans la mesure où ces fonctions prennent périodiquement des valeurs nulles, leur amplitude respective décroissant au cours du temps La pseudo-période des oscillations relative à E cond ou E bob est égale à, ms, ce qui correspond à la moitié de la pseudo-période relative aux variations temporelles des grandeurs u (t) et i(t) 3 À la date t = s, la tension mesurée entre les bornes du condensateur est maximale : il en est de même de l énergie électrique qu il stocke (cf Fig et Fig 3) À cette même date, l intensité du courant dans le circuit est nulle tout comme, par voie de conséquence, l énergie emmagasinée par la bobine (cf Fig 3) omme le montre l allure des courbes présentées Fig 3, il y a transfert d énergie entre le condensateur et la bobine et échange d énergie s accompagne d une perte d énergie dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique Ainsi, l énergie totale stockée par le dipôle L diminue constamment au (fil des échanges et donc au) cours du temps 4 Entretien des oscillations Pour espérer compenser les pertes énergétiques dont le circuit RL est le siège du fait de la résistance électrique qu il compte, il convient de brancher en série avec celui-ci, comme l indique le circuit Fig, un dipôle générateur D dont l objet est de fournir à «chaque instant» au circuit branché entre ses bornes la puissance électrique qu il cède par effet Joule 3 4 Dans un tel circuit, les variations temporelles de E cond et E bob peuvent être qualifiées de périodiques (cf Fig 4) si la tension mesurée entre les bornes du dipôle générateur D s écrit u(t) = R i(t), avec R égale à la résistance électrique globale du 87

circuit RL constitué Si k est inférieur à cette valeur, l amortissement des oscillations des grandeurs E cond et E bob s amenuise mais demeure présent 5 La période des oscillations électriques des grandeurs u (t) et i(t) est égale à la période propre du circuit L correspondant : ce circuit constitue un oscillateur électrique dont le régime de fonctionnement est dit entretenu La fréquence des oscillations dont il est le siège ne dépend que des grandeurs et L E (μj),,6,,8,4 E ond E bob,,4,6,8,,4,6,8 Figure 4 t (ms) d u ( t) d u ( t) L + R + u ( )= ave t c R =( R + r ) À partir de l équation précédente, exprimer du du en fonction de et ( u ) t E t Figure K i A t u (t) L, r D R Activité supplémentaire Quels échanges énergétique dans un circuit RL? On se propose de résoudre l équation différentielle associée au fonctionnement d un circuit RL série en déterminant les couples de valeurs (t, u ) qui la vérifient On utilise pour cela une méthode de résolution numérique, dite méthode d Euler dans la mesure où, les outils mathématiques nous faisant défaut, il ne nous est pas possible de la résoudre analytiquement ette méthode de résolution d une équation différentielle sera utilisée dans la suite du programme de physique de l année, notamment lors de l étude de la chute verticale d un système soumis à des forces de frottements fluides Adaptée aux différentes activités et exercices proposés dans ce manuel, cette activité nous permettra de modéliser, sans disposer de fait d un quelconque matériel, les variations temporelles des grandeurs physiques abordées dans ce chapitre A Méthode d Euler et circuit RL Montrer qu avec les conventions choisies (cf Fig ), l équation différentielle vérifiée par la tension u (t) mesurée entre les bornes du condensateur lors de sa décharge dans le dipôle RL branché entre ses bornes s écrit : B La méthode d Euler permet de calculer successivement les valeurs de, et ( u ) à des du du d t t t t intervalles de temps réguliers Δt, appelé le pas du calcul On rappelle d autre part que si Δt est suffisamment petit, on peut écrire : u u = u + = u + d ( ) ( t ) ( Δ u t ) ( t ) Δt t + n n n n t n avec t = t + Δt et du n+ t = d u n+ du 3 Montrer que t n n du + Δ = et u = d E u + d Δt t t t n n n du E = L 4 Un tableur tel que Excel permet de mettre en œuvre cette méthode de résolution numérique, ainsi la page de calcul suivante, où l on a choisi des valeurs pour R, L, et E et un pas de calcul tel que Δt = / Vérifier l exactitude des formules portées dans les cellules indiquées ci-après 88 Partie - Évolution des systèmes électriques

5 À l aide du grapheur associé, tracer u = f(t), solution de l équation différentielle associée au circuit RL (cf Fig ) B Bilan énergétique (et régime de fonctionnement) d un circuit RL On se propose d utiliser la feuille de calcul précédente pour étudier les variations au cours du temps de l énergie E e stockée par le condensateur, de l énergie E m emmagasinée par la bobine constitutifs de ce circuit RL et de l énergie totale E = E e + E m stockée par le dipôle L Exprimer E e (t) et E m (t) en fonction de la variable u (t) et proposer, en E6 et F6, les formules permettant de définir ces deux grandeurs dans la feuille de calcul précédente réer un G5 la grandeur E (J) et proposer en G6 la formule la définissant 3 À l aide du grapheur associé, tracer E e = g(t), E m = h(t) et E = j(t), les variations temporelles des énergies associées au circuit RL étudié (cf Fig 3) 4 omparer les variations temporelles de E e et E m Quelle est la valeur de E m lorsque E e est maximale et inversement? 5 ommenter les variations de l énergie E stockée par le dipôle L au cours du temps 6 Quelle grandeur physique, caractéristique d un circuit RL, est à l origine de cette perte d énergie? omment s appelle le phénomène physique qui provoque cette perte d énergie? 8 6 4 - -4 u (V) E (mj) 4 3 E tot E m Figure,,4,6,8,,,4, E e t (s) Figure 3,4,6,8,, t (s) = -B6/($B$3*$$3) - $D$3/$B$3 * 6 = A7 + $A$3 = B6 + $A$3 * 6 = 6 + $A$3 à D6 orrigés des exercices (page 6) Appliquer et approfondir 3 Décharge d un condensateur L oscillogramme présente les variations temporelles de la tension u mesurée entre les bornes du condensateur lors de sa décharge oscillante dans un dipôle RL branché entre ses bornes Pour l obtenir, on a branché l interface d acquisition, ou l oscilloscope, entre les bornes du condensateur : la borne (V) sur la borne d entrée du courant dans le dipôle et la borne (OM) sur la borne du dipôle reliée au pôle négatif du générateur L interrupteur a donc été commuté en () afin de charger le condensateur sous l échelon de tension E, puis commuté en () pour réaliser sa décharge dans la bobine réelle La tension u oscille autour de la valeur nulle, l amplitude des oscillations allant en décroissant au hapitre 8 - Le circuit RL série : un oscillateur électrique? 89

cours du temps : un tel régime de fonctionnement est qualifié de pseudo-périodique 3 Lorsque la résistance électrique du circuit augmente, l amplitude des oscillations décroît (R = Ω) Pour de trop grandes valeurs de la résistance électrique du circuit (R = 5 Ω), les oscillations disparaissent : le régime de fonctionnement du circuit est alors qualifié d apériodique 4 ransferts énergétiques et circuit RL E ()= t u () t et E ()= t Li () t cond bob À la date t = s, la tension mesurée entre les bornes du condensateur est maximale : il en est de même de l énergie électrique qu il stocke (cf courbe 3) À cette même date, l intensité du courant dans le circuit est nulle tout comme, par voie de conséquence, l énergie emmagasinée par la bobine (cf courbe ) La courbe figure les variations temporelles de l énergie stockée par le dipôle L, soit E(t) = E ()+ t E () t cond bob 3 omme le montre l allure des courbes et 3, il y a transfert d énergie entre le condensateur et la bobine et échange d énergie s accompagne d une perte d énergie dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique Ainsi, l énergie totale stockée par le dipôle L diminue constamment au (fil des échanges et donc au) cours du temps 4 E(t = s) = 4 μj et E(t = ms) = 4 μj es résultats confirment qu il y a dissipation d énergie au cours du temps E = Δ E = 4 4 = 7 μ J dissipée 5 Facteurs influençant la pseudo-période Solution en fin de manuel de l élève 6 Exploitation d un oscillogramme = ms La résistance interne de la bobine étant égale à r = 5 Ω, on peut considérer que celle-ci est suffisamment faible pour que l expression de la pseudo-période des oscillations dont ce circuit est le siège soit donnée par celle de la période propre du circuit L correspondant 3 Avec L =π, on a : = 4 π L soit = 5 4 F = 5 μf 7 Échanges énergétiques et régime pseudopériodique q(t) = u (t) et i(t) = d() qt D après la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs : u AB = u A + u D + u DA On a donc, u (t) = d() it L Ri(t) Soit, en fonction de q(t) : L d qt ( ) qt + () d() = R qt 3 E(t) = E ()+ t E ()= t u()+ t Li(), t cond bob ou encore, E(t) = q() t d() qt + L 4 d Et ( ) qt () d qt () d() qt d qt ( ) = + L 5 d Et ( ) = d() qt qt () d qt ( ) + L, soit : d Et ( ) = d() qt d() d() R qt qt = R = Ri (t) En valeur absolue, l énergie cédée par le dipôle L pendant l intervalle de temps Δt est bien égale à la puissance reçue et dissipée par effet Joule dans la résistance R du circuit 8 Oscillations électriques et circuit L Exercice résolu dans le manuel de l élève 9 harge d un condensateur D après la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs, on a : u (t) + u L (t) = Soit, qt () d qt ( ) + L =() t Si q()= t Q cos π m, on a : d ( ) = 4 qt π Q m cos πt ou encore, d qt ( ) Q m = cos πt L Alors, dans () : Q t Q m m t cos π + L cos π L = 3 Les variations temporelles de la charge q du condensateur sont sinusoïdales, de période propre et d amplitude Q m 9 Partie - Évolution des systèmes électriques

4 a) La courbe expérimentale présente des oscillations électriques amorties de pseudo-période égale à la période propre du circuit L théorique b) Au sein d un circuit L en régime libre de fonctionnement, condensateur et bobine se transfèrent de l énergie et échange d énergie s accompagne d une perte d énergie dissipée par effet Joule dans la résistance électrique de la bobine Ainsi, l énergie totale stockée par le dipôle L diminue constamment au (fil des échanges et donc au) cours du temps Entretien des oscillations Solution en fin de manuel de l élève Échanges énergétiques E(t) = E ()+ t E ()= t u ()+ t Li () t cond bob À la date t = s, on a u = U et i = De fait, E() = E cond () = u () soit : E() = 4,4 6 6, = 8, 5 J =,8mJ Dans un tel circuit, l énergie stockée par le dipôle L se conserve De fait, lorsque l énergie stockée par le condensateur sera nulle, soit à l issue de sa décharge, celle emmagasinée par la bobine sera maximale et de même valeur, soit E bob =,8 mj 3 b) = 3, ms t c) Avec u (t) = Ucos π, on a : u ()= t Ucos πt t +cos 4 π = U U t ou encore u()= t +cos 4π Donc, E cond U t ()= t +cos 4 π 4 U = +cos πt 4 avec = La fonction E f t cond = ( ) est bien périodique de période 4 En utilisant l équation différentielle de fonctionnement du dipôle L : d u ( t) L + u ( t) = Avec E(t) = u ()+ t Li () t, on a : d Et ( ) = ( ) d() it + ( ) d u ( t Li t u t ), ou encore, d Et ( ) d u ( t) d u ( t) = + ( ) d u ( t ) L u t d d d t t t Soit, d ( ) = d ( ) d Et ( ) u t u t L + u ( t) d d d t t t = En utilisant l expression de la solution de l équation différentielle de fonctionnement du dipôle L : t u ()= t Ucos π d On a : i(t) = u ( t ) U t = π sin π = U sin πt L Alors, avec E(t) = u ()+ t Li () t, on a : cos πt U + LU sin πt L = U Préparer le bac Oscillateur électrique Exercice résolu dans le manuel de l élève 3 Xylophone électronique A a) = π L a) []= [ U ] []/[] = [ U L ][ t ] I t [] I et []= [] Q [ ] = [][] I t U [ U ] Alors, on a : [L] = [t] = et donc L = b) = π 4, 3 + 3,9 6 =,3 3 s B L amplitude des oscillations décroissant au cours du temps, un tel régime de fonctionnement est qualifié de pseudo-périodique hapitre 8 - Le circuit RL série : un oscillateur électrique? 9

6 = 4, 3,4 = 3,8 ms soit =,3 ms 3 a) Avec ν(hz) =, on a : ν = 435 Hz 44 Hz, (s) fréquence correspondant à celle d un la 3 b) Si ν = ν alors = L L = = π =π 4 Il convient donc de diviser la capacité du condensateur par 4 pour obtenir un la 4 c) u ( t ) AB 3 =,775 =,7 u ( t ) 9 AB Graphiquement : u AB ( t ) = V 3 u ( t ) AB 3 et u ( t ) = 3,4 V soit AB u ( t ) =,9 AB À la date t, la tension u AB mesurée entre les bornes du condensateur est nulle, il est de fait totalement déchargé à cette date Le dipôle dans lequel est stockée l énergie de l oscillateur à t est donc la bobine À la date t, la valeur absolue de la tension u AB mesurée entre les bornes du condensateur est maximale, tout comme l énergie électrique qu il stocke Le dipôle dans lequel est stockée l énergie de l oscillateur à t est donc le condensateur 3 Il y a transfert d énergie entre le condensateur et la bobine au cours du temps et échange d énergie s accompagne d une perte d énergie dissipée par effet Joule dans la résistance électrique de la bobine Ainsi, l énergie totale stockée par le dipôle L diminue constamment au (fil des échanges et donc au) cours du temps 4 Heinrich Hertz : un pionnier de la radio A λ(m) = (m/s) (s) = (m/s) ν(hz) On a donc λ = 3, m La période propre d un oscillateur L est donnée par la relation : =π L Elle dépend donc de la capacité du condensateur et de l inductance de la bobine, tout comme la fréquence ν correspondante B Si l on admet que pour un faible amortissement des oscillations électriques dont est le siège un circuit RL, la pseudo-période de celles-ci est égale à la période propre des oscillations non amorties du circuit L correspondant, alors, avec = = π L on a : Partie - Évolution des systèmes électriques L = = soit L =,5 H 4 π 4πν b) Le régime de fonctionnement de l oscillateur est qualifié de pseudo-périodique, car la tension u oscille autour de la valeur nulle, l amplitude des oscillations allant en décroissant au cours du temps u t L it L ()= d() d t qt i()= t d() 3 Avec q()= t u (),ona: t it ()= d u ( t) 4 D après la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs, on a : u L (t) + u (t) = d() Soit, L it + u ( t) = ou encore, d u ( t) L + u ( t) = e que nous pouvons écrire aussi : d u ( t) + ()= d t L u t 5 En dérivant une fois on obtient : d u ( t) = π sin + m U π t ϕ En dérivant une seconde fois on obtient : d u ( t) 4π π = U cos + d m t t ϕ L équation différentielle s écrit alors : π U m t cos + 4 π ϕ + = L ette relation étant vérifiée à chaque instant, alors nécessairement : 4 π + =soit =π L L 6 Dans un circuit L idéal, les oscillations électriques dont celui-ci est le siège ne sont pas amorties ondensateur et bobine échangent de l énergie sans que ces transferts ne soient l objet d une quelconque perte En revanche dans un circuit RL, lors de chaque échange énergétique entre le condensateur et la bobine (et inversement), une partie de l énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance électrique du circuit L énergie stockée par le circuit

décroissant au cours du temps, il en est de même de l énergie électrique stockée par le condensateur (et de l énergie magnétique emmagasinée par la bobine) et donc de la tension entre ses bornes 5 Oscillations libres et circuit RL K E i voie u (t) Masse La période propre des oscillations électriques dont est le siège le circuit L correspondant est donnée par l expression : = π L Soit, 3 6 4 = π, = 9, s ou encore, =,9 ms a) Pour observer 4 ou 5 pseudo-périodes des oscillations et en assimilant la pseudo-période à la période propre de l oscillateur correspondant, il convient que la durée de l enregistrement soit comprise entre 3,6 ms et 4,5 ms L axe horizontal comptant divisions, un réglage de la base de temps sur,5 ms/div peut convenir b) À la date t = s, la tension u mesurée entre les bornes du condensateur étant égale à E, soit 6 V, et l axe vertical comptant 8 divisions, la sensibilité verticale la plus adaptée pour visualiser au mieux les variations temporelles de la tension u est V/div 3 À partir de l oscillogramme, et pour améliorer la précision de la lecture, on lit 4 = 5, ms, soit =, ms Écart relatif = =,33 4 On n observe plus d oscillations électriques dans le circuit pour une valeur R =, 3 6 =,4 Ω 5 Pour des valeurs de la résistance R du circuit supérieure à R, le régime de fonctionnement du circuit est dit apériodique 6 Pour R = Ω, les oscillations dont ce circuit est le siège sont toujours amorties du fait de la résistance électrique de la bobine, qui n est pas nulle du L,r R fait même de sa constitution : un enroulement de fil conducteur de cuivre 7 Les oscillations dont ce circuit est le siège étant amorties et leur pseudo-période de l ordre de la milli - seconde, au terme de quelques millisecondes après le basculement de l interrupteur K en (), la tension u s annule Le mode mémoire est donc indispensable pour garder à l écran cette décharge oscillante pour le moins fugace Exercice supplémentaire À propos d énergie Dans le circuit ci-contre, on charge le condensateur en commutant l interrupteur en position, puis à la date t = s, l interrupteur est basculé en position On enregistre sur les voies et d un système d acquisition de mesures les variations temporelles des tensions mesurées voie E = 4, V =, μf R = 4, Ω voie On obtient les courbes ci-dessous U (en V) 5 4 3 ourbe ourbe L =,4 H temps (en ms) 4 6 8 hapitre 8 - Le circuit RL série : un oscillateur électrique? 93

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer la ou les bonne(s) réponse(s) La courbe figure les variations temporelles de la tension mesurée entre les bornes : a du condensateur ; b de la bobine ; c du conducteur ohmique À la date t = s, le circuit RL a stocké une énergie E t de : a 8, mj ; b 8, μj ; c, μj 3 Lorsque les deux courbes se coupent pour la première fois, la valeur de l intensité du courant est : a 5, ma ; b 7,7 ma ; c 4, ma 4 Lorsque les deux courbes se coupent pour la première fois, l énergie stockée par le circuit est égale à : a, μj ; b 7, μj ; c 5, μj 5 Lorsque les deux courbes se coupent pour la première fois, l énergie stockée qui a été dissipée par effet Joule vaut : a 3, μj ; b, mj c mj orrigé La courbe représente les variations temporelles de la tension mesurée entre les bornes du condensateur : en effet, à la date t = s, celui-ci est chargé et la tension mesurée entre ses bornes est telle que u = E = 4, V À la date t = s, l énergie stockée dans le circuit RL l est exclusivement dans le condensateur Avec E ()= t u(),ona,à t t =s, cond E t cond ( = ) = E soit, E 6 cond () = 8, J = 8, μj 3 Lorsque les deux courbes se coupent pour la première fois, u = u R =,7 V u () t R Avec u ()= t Ri(),ona t i()= t R R soit i = 4, ma 4 L énergie stockée par le circuit a pour expression : E(t) = E ()+ t E ()= t u()+ t Li() t cond bob À cette date, E ()= t, 6,7 cond =,4 6 J, et : E ()= t 4, (4, 3) = 3,5 6 J bob On a donc E(t) = 5, μj 5 E = Δ E = 5, 8, = 3, μ J dissipée 94 Partie - Évolution des systèmes électriques

PARIE D Évolution temporelle des systèmes mécaniques 9 La mécanique de Newton Programme D ÉVOLUION EMPORELLE DES SYSÈMES MÉANIQUES (5 P HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES extes (Galilée, Newton, Einstein, Feynman, etc) Applications de la vie courante mettant en jeu la première et la troisième loi de Newton racé des vecteurs vitesse et accélération sur des enregistrements de mouvements divers de solides (la résultante des forces appliquées au solide est donnée) Vérification de la pertinence des grandeurs m, Δν G /Δt et ΣF ext intervenant dans la deuxième loi de Newton (une des grandeurs étant fixée, l étude porte sur les variations relatives des deux autres) Étude de la chute verticale de solides de même formes et de masses différentes, dans l air et dans l huile Détermination des vitesses limites La mécanique de Newton Lien qualificatif entre ΣF ext et Δν G (rappels) omparaison de Δν G correspondant à des intervalles de temps égaux pour des forces de valeurs différentes (résultat de l activité) Introduction de Δν G /Δt Accélération : a G =lim Δt (Δν G /Δt) = dν G / ; vecteur accélération (direction, sens, valeur) Rôle de la masse Deuxième loi de Newton appliquée au centre d inertie Importance du choix du référentiel dans l étude du mouvement du centre d inertie d un solide : référentiels galiléens roisième loi de Newton : loi des actions réciproques (rappel) hoisir un système hoisir les repères d espace et de temps Faire l inventaire des forces extérieures appliquées à ce système Définir le vecteur accélération et exploiter cette définition, connaître son unité Énoncer les trois lois de Newton Savoir exploiter un document expérimental (série de photos, film, acquisition de données avec un ordinateur ) : reconnaître si le mouvement du centre d inertie est rectiligne uniforme ou non, déterminer des vecteurs vitesse et accélération, mettre en relation accélération et somme des forces, tracer et exploiter des courbes ν G = f(t) Savoir-faire expérimentaux Savoir enregistrer expérimentalement le mouvement de chute d un solide dans l air et/ou dans un autre fluide en vue de l exploitation du document obtenu ours Découpage du cours Le vocabulaire de la mécanique p 76 rois vecteurs pour décrire le mouvement p 77 3 Les trois lois de Newton p 79 ette partie constitue l aboutissement de l enseignement de mécanique commencé en classe de seconde et poursuivi en classe de première e premier chapitre permet donc aux élèves de terminale de se replonger en premier dans le vocabulaire de la mécanique Il nous est apparu important de rappeler quelques notions importantes de cinématique En premier, il faut choisir quel est le système à étudier, puis préciser quel est le référentiel dans lequel ce système est Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

en mouvement Pour faire correctement l étude du mouvement du centre d inertie G du système, il est nécessaire de choisir un repère d espace et de temps On peut alors repérer la position de G au cours du temps, définir le vecteur position et la trajectoire En classe de première, l élève est capable de déterminer graphiquement, à partir d une trajectoire, le vecteur vitesse à un instant t ette démarche est reprise dans les activités et 3 On peut alors introduire la relation yv()= t d YOG en utilisant le lien entre la dérivée et la tangente La principale difficulté pour l élève est de passer de la trajectoire aux équations horaires, c està-dire à la façon dont évoluent au cours du temps les coordonnées de G dans le repère choisi Il n est donc pas nécessaire d alourdir ce chapitre On peut toutefois, à partir d un trajectoire plane simple, expliquer graphiquement à quoi correspondent les fonctions x(t) et y(t) ou z(t), puis x () t et y () t ou z() t Nous utilisons également à partir d une trajectoire la notion de vecteur variation de vitesse vue en première, pour définir le vecteur accélération es trois vecteurs permettent de décrire pleinement un mouvement Quel est alors l effet des forces sur le mouvement du système étudié? Avant de rappeler les trois lois de Newton et d approfondir plus particulièrement la deuxième, il nous est apparu important de rappeler comment on peut effectuer un bilan des forces à partir du diagramme objets-interactions (DOI) utilisé dans sa version simple (diagramme d actions) dès la seconde, puis étudié en classe de première Il n est donc pas question de le retravailler en détail, il permet surtout ici de mettre en évidence la différence entre les forces extérieures et intérieures à un système (activité ) Il devient alors plus facile de revenir sur les deux premières lois de Newton, puisque les vecteurs force extérieure, vitesse et accélération ont été définis Les activités et 3 permettent d établir la relation entre la somme vectorielle des forces extérieures et le vecteur accélération du centre d inertie du système en mouvement L activité permet de familiariser les élèves aux notions de référentiel galiléen et surtout avec la projection des vecteurs forces dans un repère pour en déduire les relations entre les intensités des forces (ces projections ne sont pas ou peu vues en classe de première) Activités De la cinématique à la dynamique (page 8) ette activité peut très bien être réalisée avant d avoir traité le cours Elle permet aux élèves de revoir les notions de référentiel, repères, trajectoire ; de calculer et de tracer un vecteur vitesse et un vecteur variation de vitesse à un instant t ; de faire un bilan des forces à partir du DOI Seul le vecteur accélération est introduit ici Il est possible d utiliser directement le tableau de valeurs donné, ou de reprendre un enregistrement vidéo de chute «libre», afin de revoir les principales fonctions d un logiciel de pointage Les questions 3 et 4 peuvent également être traitées par le biais d un logiciel comme Excel, LoggerPro ou Regressi par exemple AIVIÉ 3 Voir Figure Figure y x Figure Figure 3 yv(t 4 ) yv(t 5 ) ya(t 5 ) yp yv(t 6 ) ya(t 6 ) yv(t 7 ) yp Référentiel lié au sol du laboratoire, c est le référentiel terrestre Le repère d espace est constitué d un axe x horizontal et d un axe y orienté vers le bas Son origine correspond à la position initiale du centre d inertie G de la bille avant d être lâchée Le repère de temps a pour origine l instant t = où la bille est lâchée 4 La vitesse à l instant t 4 est donnée par la relation : yt ( ) yt ( ) 5 3 vt ( ) = 4 t t 5 3 On a de même les valeurs suivantes : v(t 4 ) =,6 m s ; v(t 5 ) =,6 m s ; v(t 6 ) =,4 m s ; v(t 7 ) =,94 m s hapitre 9 - La mécanique de Newton 3

5 Voir Figure 6 Δvt () at ()= Δ t m L accélération a donc pour unité : s s soit m s 7 La valeur du vecteur Δv ( t 5 ) se détermine soit graphiquement (après avoir été tracé et en utilisant l échelle utilisée pour les vitesses), soit en utilisant les coordonnées, sur Oy, des vecteurs yv(t 4 ) et yv(t 6 ) On obtient Δv(t 5 ) =,8 m s et Δv(t 6 ) =,78 m s Les accélérations ont pour valeurs : a(t 5 ) =,8/,8 = m s et a(t 6 ) =,78/,8 = 9,75 m s Les deux vecteurs sont tracés Fig 8 À partir du DOI ci-dessous, on constate que la seule force qui s exerce sur la bille est son propre poids yp erre Bille Air Sol 9 P = m g =,98 N Le vecteur yp est tracée Figure 3 au dates t 5 et t 6 Le vecteur mya(t 5 ) est vertical, dirigé vers le bas et a pour valeur Il est semblable au poids en t 5 On peut écrire mya(t 5 ) = yp On a également mya(t 6 ) = yp À un instant t, la force responsable du mouvement est égale au produit de la masse du système par son vecteur accélération AIVIÉ Pour bien décoller (page 83) ette activité peut servir de préambule à la partie du cours, qui peut ainsi être traitée plus rapidement Nous avons essayé de fournir un ordre que les élèves devraient appliquer dans toute résolution d un problème de mécanique En premier, le choix du système, qui dépend bien sûr de ce que l on veut étudier Ensuite la notion de référentiel, celui-ci doit être galiléen si l on veut appliquer les deux premières loi de Newton Il faut donc également identifier les forces internes et externes, l utilisation du DOI permet justement de faire ce distinguo Pour finir, même si bien souvent le repère d espace est donné dans les exercices, l élève doit comprendre pourquoi il est préférable d utiliser un repère plutôt qu un autre Le repère sert bien sûr à l étude cinématique, mais il permet égale- ment de travailler sur la projection des vecteurs forces afin d utiliser les deux premières loi de Newton Le système orde erre Passager Parachute Eau Bateau Le système à étudier est l ensemble (S) {passager + parachute} car la corde tracte le parachute et le passager 3 Le système à étudier est le passager seul, car c est la force exercée par le parachute sur le passager que l on étudie Le référentiel d étude 4 Si la première loi de Newton est vérifiée dans un référentiel, celui-ci est galiléen 5 Dans le référentiel bateau, le pendule est au repos et pourtant la somme vectorielle des forces appliquées au pendule n est pas égale au vecteur nul, la première loi de Newton n est pas vérifiée e référentiel n est donc pas galiléen Le référentiel qu il faut choisir est un référentiel terrestre (un parasol sur la plage, par exemple), qui peut être considéré comme galiléen si l étude du vol n excède pas quelques minutes 6 Le référentiel bateau est alors galiléen, comme tout référentiel animé d un mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen Le bilan des forces et l application d une des lois de Newton 7 Le système (S) est soumis à trois forces : yf air/système, yf erre/système et yf corde/système Le système passager est soumis à quatre forces : yf parachute/passager, yf air/passager, yf erre/passager et yf corde/passager 8 Les forces extérieures sont les forces exercées par un objet extérieur au système, soit : yf air/système, yf erre/système et yf corde/système Les forces intérieures sont les forces exercées par un objet appartenant au système soit yf parachute/passager 9 Première loi de Newton : voir cours p 8 ΣyF ext = Air 4 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

soit yf air/système + yf erre/système + yf corde/système = y ou plus simplement : yf + yp + y = y Le repère d espace et la projection des vecteurs force y y yf β yp O,G Dans : F cosβ F P cosα F sin β mg sinα Dans : F cos( β α) F P mgsinα F sin( β α) mgcosα Dans : α Fcos β + cos α = Fsin β mg sin α = Dans : F cos( β α) + mgsin α + = F sin( β α) mgcos α = On choisit ici la relation la plus simple soit celle obtenue en abscisses dans On a donc : F = cos α cosβ Par contre, si est inconnue, on utilise en ordonnées et si P, c est-à-dire m est inconnue, on utilise en abscisses De la mécanique 3 en balançoire (page 84) Mesurer une force constante ne pose pas de problème, mais ici la force F exercée par le fil sur l objet qui oscille varie au cours d une oscillation L utilisation d un capteur de force est donc toute indiquée La principale difficulté consiste alors à synchroniser pendant une demi-période la mesure de l intensité de cette force avec le mouvement On peut bien sûr créer mathématiquement une trajectoire, mais le logiciel Logger Pro AIVIÉ y x x permet, à partir du film de l expérience, de relier les mesures de F à la trajectoire du système L étude de la dynamique de ce mouvement est ensuite réalisée de manière classique à partir de la trajectoire Le calcul de la vitesse à un instant t peut être effectué soit à l aide du logiciel, Logger Pro ou un autre, soit directement sur la trajectoire par une mesure de distance A Bilan des forces Le capteur est soumis d après le DOI ci-dessous à forces, son propre poids yp et la force exercée par le fil yf L action de l air est négligée Fil erre Pendule vertical : Pendule dans une position quelconque : apteur Air Sol 3 Oui, il suffit de regarder les schémas donnés précedemment De plus, comme la vitesse varie, d après la deuxième loi de Newton, on a : ΣyF ext = cste yp yp yf yf hapitre 9 - La mécanique de Newton 5

B Manipulation et mesures Il s agit de yf, la force exercée par le fil ette force a pour direction celle du fil, elle est orientée vers l axe de rotation et sa valeur varie au cours d une oscillation Elle est maximale quand le capteur est en haut et minimale quand il repasse dans sa position d équilibre 3 Quand le capteur est au repos, d après le principe d inertie, F = P =,83 N La masse m du capteur a pour valeur m = 85 g racé de la trajectoire G 3 τ =,67 s G G G 3 G4 G G 9 G 8 G 5 G G 7 6 3 D racé des vecteurs vitesse On ne représente ici que les vecteurs aux dates t 5 et t 7 E onclusion sur le vecteur accélération Δv 6 a = = 3,4 m s 6 τ Position de l'axe de rotation yf ΣyF ext G 6 yp 3 Les vecteurs ΣyF ext et ya 6 ont même sens et même direction au point G 6 Le vecteur ΣyF ext a pour valeur,7 N et le vecteur mya 6 a pour valeur ya 6,8 kg m s On a donc : ΣF a ext = m Δyv 6 G 7 yv 7 G G 5 yv 6 5 Aux points considérés, on a la relation : ΣyF ext = mya G 3 Δv 6 =,46 m s orrigés des exercices (page 86) Appliquer et approfondir 7 Les bons vecteurs a) et c) Les vecteurs ya et yf devraient être de même sens et de même direction b) Mouvement rectiligne uniformément ralenti, car ya yv < d) Mouvement curviligne accéléré, car ya yv > 8 herchons la vitesse Solution en fin de manuel de l élève 9 Le vecteur accélération π ω = 33,3 = 349, rad s 6 θ = ω Δt =,74 rad = 3 v = R ω =,7 m s 4 et 5 Les points successifs sont séparés d un angle de Avec l échelle adoptée pour la vitesse, on trouve Δv =,4 m s 6 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

Δyv 3 yv ya yv 3 Sens du mouvement 6 a = Δv/Δt =,4 m s 7 Le vecteur accélération est sur le rayon et dirigé vers le centre du cercle Un vrai bolide Solution en fin de manuel de l élève hute d une bille Puisque la caméra prend 3 images par seconde, chaque image est espacée de τ = /3 =,33 3 s = 33,3 ms La vitesse pour l image i a pour expression : v = y y i+ i i τ Pour calculer la vitesse en m s, il faut penser à convertir τ en secondes et y en mètre On obtient le tableau suivant : t (s),,33,67,,33,67, y (m),75,4,3,45,55,65,735 v (m s ),8,48,78 3,5 3,45 v v 5 3 3 a = =, 3 m s 4 τ Le vecteur ya 4 a même sens que le vecteur vitesse 4 v (ms ) Étude graphique v (ms ) 45 4 35 3 5 5 5 3 4 5 6 t (s) La droite obtenue est une fonction linéaire d équation : v = k t k = 4/5 = 8 soit : v = 8 t 3 []= [] v [] = L k = L, k s exprime en m s, t sa valeur est k = 4/5 = 8 m s omme l accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, ce qui correspond graphiquement au coeffi - cient directeur de la courbe v = f(t), on a a = k 4 et objet subit une accélération positive, son mouvement est accéléré 5 Il faut dans un premier temps entrer les valeurs de v et t dans le tableur de la calculatrice, puis tracer et modéliser le graphe y = f(x) soit ici v = f(t) 4 3,5 3,5,5,5,,4,6,8,,,4,6,8 t (s) 5 est une fonction affine, elle ne passe pas par l origine car la vitesse à t = n est pas nulle Son équation est du type v(t) = a t + b, avec a = 9,7 m s et b =,84 m s 6 Le coefficient directeur correspond à l accélération et l ordonnée à l origine à la vitesse à t = 7 e mouvement est rectiligne (vertical) uniformément accéléré puisque la valeur de l accélération est constante L expression de la vitesse est v(t) = a t + v(), celle de la position : y(t) = a t + v() t + y() 3 Vitesse et accélération x() = et y() = v x (t) = 8 t + 6 et v y (t) = 3 en m s 3 v x (t) = 8 + 6 = 4 m s et v y (t) = 3 m s v = 4 + 3 = 4,3 m s 4 a x (t) = 8 et a y (t) = Son intensité est a = 8 m s 5 Son mouvement est uniformément accéléré 6 F = ma =, 8 =,8 N hapitre 9 - La mécanique de Newton 7

4 rajectoire t (s),,4,6,8, x (m),36 3,4 5,4 7,36 y (m),6,,8,4 3, t (s),,4,6,8, x (m),96 6,4 9,84 3,76 8 y (m) 3,6 4, 4,8 5,4 6, 3 y (m) 5 4 3 5 5 5 x (m) t (s),8,, v x (m s ),4 4 5,6 v y (m s ) 3, 3, 3, v (m s ),8 4,3 5,9 4 Échelle cm pour 5 m s yv(t 4 ) mesure,6 cm, yv(t 5 ) mesure,86 cm et yv(t 6 ) mesure 3,8 cm y (m) 5 4 3 yv(t 4 ) t 4 yv(t 6 ) yv(t 5 ) t 6 t 5 Δyv(t 5 ) 5 5 5 x (m) 5 EΔv(t 5 ) mesure,6 cm ; sa valeur est de 3 m s 6 a(t 5 ) = 3/,4 = 7,5 m s 7 Les valeurs sont proches La somme vectorielle des forces exercées sur G a pour intensité,75 N, elle est de même sens et de même direction que l accélération ya yf 5 hoix du repère Le système n est soumis qu à son propre poids yp et à la réaction normale de la piste yr N D après la deuxième loi de Newton appliquée dans le référentiel terrestre supposé galiléen sur le système : mya = yp + yr N 3 a) Dans ce repère, P mg sin α, R N et a a mg cosα R N mg sin α + = ma On obtient le système suivant : mg cos α + R = N b) Dans ce repère : P, R sinα N R N et a cosα a mg R cos α a sinα N On obtient R sin α= macosα le système suivant : N mg + R cos α= ma sinα N 4 Le repère utilisé dans la question 3 a) permet de calculer R N, à partir de l équation R N mg cosα =, et a à partir de l équation ma = mg sinα Dans le deuxième repère, même si le calcul est réalisable, il est toutefois plus complexe Le choix du repère dépend des calculs à effectuer 6 hoix du système Les forces extérieures exercées sur le système sont son poids yp, la réaction du sol yr N perpendiculaire au sol puisqu il n y a pas de frottement, et la force yf exercée par le véhicule tracteur La force yf wagon/wagon exercée par le wagon sur le wagon et celle exercée par le wagon sur le wagon yf wagon/wagon sont des forces intérieures au système Le système a une masse m = m + m =,5 t D après la deuxième loi de Newton, l accélération subie par ce système a pour valeur : F 3 a = = =, m s m 5 3 Non, car ce sont des forces intérieures au wagon et on ne peut pas appliquer la deuxième loi de Newton Pour calculer cette force, il faut changer de système, afin que cette force devienne une force extérieure Le système à choisir est alors le wagon 4 La deuxième loi de Newton appliquée au seul wagon donne : m ya = m yg + yr N + yf wagon/wagon = yf wagon/wagon puisque m yg + yr N = y La valeur de cette force est donc : F wagon/wagon = m a = 5, = 8 N 8 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

D après la troisième loi de Newton, yf wagon/wagon = yf wagon/wagon ; leurs valeurs sont égales 5 Aucune, d après la première loi de Newton yr N 7 Mobile autoporteur Exercice résolu dans le manuel de l élève 8 Freinage d une voiture () errestre pour qu il soit galiléen Le sens du mouvement de la voiture 3 L équation horaire doit être de la forme : v(t) = a t + v(), avec v() en m s On choisit donc v(t) = 3,9 t = t + 3,9 4 Quand v(t f ) = soit t f = 3,9/ 7 secondes 5 v (ms ) 4 8 6 4 v t f 3 4 5 6 7t (s) 6 Aire = (v t f ) = 48,3 SI L 7 L analyse dimensionnelle donne [ v] []= t = L L aire correspond à la distance parcourue par la voiture pendant son freinage, soit 48,3 m yf La deuxième loi de Newton donne : yp = yf + yr N = mya 3 ette relation, projetée sur l axe Ox, horizontal et dirigé dans le sens du mouvement de la balle, devient : ma X = f soit a X =, m s La valeur de l accélération est de, m s 4 G est animé d un mouvement rectiligne uniformément ralenti 5 v(t) =, t + v() =, t + 3, 6 x(t) =,56 t² + 3, t en prenant x() = 7 Quand la balle s arrête, sa vitesse est nulle, on a, t + 3, = soit t =,88 s En donnant à t cette valeur dans l expression de x(t), on obtient x(t) = 4,6 m La balle n est pas tombée dans le trou! 8 La seule force qui travaille est f, la relation obtenue en utilisant le théorème de l énergie cinétique est : mv ² = fd où d est la distance parcourue par la balle jusqu à son arrêt mv d = = 46, m f oboggan Première partie : yp yr N 9 Freinage d une voiture () Solution en fin de manuel de l élève yf G Sens du mouvement Le put Les forces sont le poids yp de la balle, la réaction normale du green yr N et la force de frottements yf yp α hapitre 9 - La mécanique de Newton 9

Seconde partie : yf yr N yp Sens du mouvement Sur la descente : v(t) = a t + v, ce qui donne en bas de la descente : v = a t + v d(t) = a t + v t + d, ce qui donne en bas de la descente : d = a t + v t + d 3 En bas de la descente, en élevant au carré l expression v = a t + v, on obtient : v = a t + v + a v t, soit : v v = a t + a v t = a ( a t + v t) Or, dans l expression d(t), on retrouve : a t + v t = d d = L, ce qui donne finalement : v v = a L 4 Sur la partie plane : v(t) = a t + v, ce qui donne quand l enfant s immobilise : = a t + v d(t) = a t + v t + d, ce qui donne quand l enfant s immobilise : d = a t + v t + d omme précédemment, en élevant au carré l expression de la vitesse, on a : (a t + v) = a t + v + a v t = d où v = a t + a v t = a ( a t + v t) = a (d d ) = a d 5 Sur la descente : la deuxième loi de Newton projetée sur l axe Ox parallèle à la pente et orienté dans le sens du mouvement, donne la relation : f + mg sinα = ma v v Or a =, L ( on a donc : f mg m v = sin v ) α L Sur la partie plane, la deuxième loi de Newton projetée sur un axe horizontal dirigé dans le sens du mouvement, donne la relation : f = m a v Or a = mv, on obtient donc : f = d d Préparer le BA La Logan au banc d essai Exercice résolu dans le manuel de l élève Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

hutes verticales Programme D ÉVOLUION EMPORELLE DES SYSÈMES MÉANIQUES (5 P HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Exploitation des résultats obtenus au P précédent : vitesse limite, régime initial et permanent, influence de la masse sur la vitesse limite, modélisation de la force de frottement Exemples de chutes verticales dans la vie courante Une méthode numérique itérative pour résoudre l équation différentielle caractéristique de l évolution d un système à l aide d un tableur ou d une calculatrice graphique : la méthode d Euler onfrontation des résultats théoriques et expérimentaux, importance du choix du pas de discrétisation temporelle, du modèle théorique choisi pour la force de frottement Étude de cas hute verticale d un solide Force de pesanteur, notion de champ de pesanteur uniforme hute verticale avec frottement Application de la deuxième loi de Newton à un mouvement de chute verticale : forces appliquées au solide (poids, poussée d Archimède, force de frottement fluide) ; équation différentielle du mouvement ; résolution par une méthode numérique itérative, régime initial et régime asymptotique (dit «permanent»), vitesse limite ; notion de temps caractéristique hute vertical libre Mouvement rectiligne uniformément accéléré ; accélération indépendante de la masse de l objet Résolution analytique de l équation différentielle du mouvement ; importance des conditions initiales Définir un champ de pesanteur uniforme onnaître les caractéristiques de la poussée d Archimède Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir l équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée onnaître le principe de la méthode d Euler pour la résolution approchée d une équation différentielle Définir une chute libre, établir son équation différentielle et la résoudre Définir un mouvement rectiligne uniformément accéléré Savoir exploiter des reproductions d écrans d ordinateur (lors de l utilisation d un tableur grapheur) correspondant à des enregistrements expérimentaux Savoir exploiter des courbes v G = f(t) pour : reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique, évaluer le temps caractéristique correspondant au passage d un régime à l autre, déterminer la vitesse limite Dans le cas de la résolution par méthode itérative de l équation différentielle, discuter la pertinence des courbes obtenues par rapport aux résultats expérimentaux (choix du pas de résolution, modèle proposé pour la force de frottement) Savoir-faire expérimentaux Utiliser un tableur ou une calculatrice pour résoudre une équation différentielle par la méthode d Euler ours Découpage du cours hamp de pesanteur p 94 Forces exercées par un fluide p 95 3 hute verticale sans frottements : chute libre p 96 4 hute verticale avec frottements p 97 ette partie est l occasion de rappeler des forces essentielles telles que la force de pesanteur, mais surtout les forces exercées par un fluide : les forces de frottement et leur expression mathématique, qui dépend de la vitesse de l objet considéré, mais aussi de la forme de l objet et de la nature du fluide ; la poussée d Archimède, déjà connue des élèves depuis la classe de seconde Elle introduit une nouvelle notion : le champ de pesanteur La notion de champ a été vue par les élèves en première avec le champ magnétique e chapitre est l occasion de rappeler la définition d une chute libre, puis, à partir de l expression vectorielle de la deuxième loi de Newton, de donner la relation vectorielle entre l accélération du système considéré et le poids du système Il s agit ensuite de projeter cette relation dans un repère d espace et d utiliser les relations vues dans le chapitre hapitre - hutes verticales

précédent : vt OG ()= d et v at ()= d, afin d obtenir les équations horaires du mouvement d t Nous avons choisi de donner ces équations dans un repère d espace, car trop souvent les élèves oublient que nous travaillons dans 3 dimensions, ce qui nous permet d aller plus vite lors de la recherche des équations horaires d une chute parabolique Les intégrations successives, avec la prise en compte des conditions initiales, sont une difficulté pour eux est la raison pour laquelle nous avons développé une partie spécifique sur les conditions initiales Dans la dernière partie, nous utilisons les notions vues précédemment (forces exercées par un fluide) et nous déduisons de la deuxième loi de Newton l équation différentielle du mouvement Il s agit ensuite de la résoudre en utilisant une méthode mathématique déjà vue précédemment : la méthode d Euler Activités Le grand saut (page ) soit g = 6,67 597, 4 ( 637, 6 + 3 ette activité, tirée d un exercice du bac et d informations du site http : //wwwlegrandsautorg/ peut g = 9,7 m s 4 ) être réalisée avant le cours pendant une heure Elle 5 On étudie la chute du parachutiste dans un référentiel terrestre que l on considère comme galiléen, permet d introduire la notion de champ de pesanteur et son calcul en un point donné, de déterminer l équation du mouvement d une chute verticale deuxième loi de Newton, il vient : étant donné la courte durée de la chute D après la sans frottement en utilisant la deuxième loi de mya G = yp = myg soit ya = yg donc a G = 9,7 m s Newton et d en déduire les équations horaires du a G est l accélération du parachutiste durant cette mouvement, afin de calculer une vitesse de chute et première phase omme la vitesse initiale du parachutiste est nulle, il vient alors v = a G t = g t et donc une hauteur de chute (première partie de l activité) Elle permet aussi de déterminer l équation différentielle du mouvement dans le cas d une chute La distance parcourue depuis le largage est donnée v = 9,7 43 = 4, m s G,5 3 km h verticale avec frottement La résolution d une telle par la relation : équation n est pas abordée ici mais dans les activités et 3 d = a t = gt soit d= 9,7 3 = 4,4 3 m AIVIÉ Les 43 premières secondes du saut Le parachutiste est soumis à son poids, la poussée d Archimède due à l air, la force de frottement de l air On peut négliger la force de frottement, car l air est peu dense à cette altitude, et la poussée d Archimède, car elle est très faible devant le poids étant donné la faible densité de l air et le faible volume d air déplacé L expression concernant la chute, donnée dans le film du saut est «chute libre» ela signifie que le parachutiste n est soumis qu à son poids est bien en accord avec la question M m erre 3 F = G On peut l assimiler au poids ( R + h) erre P du parachutiste, qui s exprime par P = m g M m M erre erre 4 mg = G donc g = G ( R + h) ( R + h) erre erre G et donc l altitude atteinte par le parachutiste est : h = 4, 4 4,4 3 = 3,6 4 m On vérifie bien que : 3 m < h < 4 m Après les 43 premières secondes du saut 6 La vitesse diminue au cours du temps 7 La force de frottement de l air sur le parachutiste et la poussée d Archimède car l atmosphère est plus dense La chute dans la troposphère 8 Le parachutiste est soumis à son poids, la poussée d Archimède due à l air, la force de frottement de l air 9 On négligera la poussée d Archimède étant donné le faible volume d air déplacé En appliquant la deuxième loi de Newton, on obtient yp + yf = mya Soit un axe vertical orienté vers le bas ayant pour origine le début de la chute En projetant la rela- Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

tion vectorielle précédente sur cet axe il vient : mg kv d = ma = m v d t Soit l équation différentielle : d v d + k t m v = g On utilise la méthode d Euler, qui peut être ou non développée ici Voici une possible résolution : omme a = (g k m v ), à la date t n : a n = (g k m v ) n De plus : a n = Δ v v v n+ n =, Δt Δt on a donc : v n+ v n = (g k Δt m v ) n Soit v n + = v n + (g k m v ) Δt n soit v n + = v n + gδt k m Δ t v n Soit v n + = v n + 4,9 3,9 3 Δt v n où Δt est le pas de résolution Avec un pas de,5 s, v (,5 s) = 85,833 + 4,9,95 3 (85,833) = 76,367 m s et v ( s) = 76,367 + 4,9,95 3 (76,367) = 69,9 m s, etc Les variations de la vitesse sont données ci-dessous : AIVIÉ v (ms ) 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 t (s) Détermination d un coefficient de frottement fluide (page ) ette activité permet de déterminer l équation différentielle du mouvement d une chute verticale, en utilisant la deuxième loi de Newton, et d en déduire une solution par analogie avec les équations différentielles vues en électricité Elle permet aussi de comparer la vitesse limite théorique atteinte par le filtre avec la vitesse limite expérimentale Le logiciel de traitement utilisé ici est LoggerPro, mais il est bien sûr possible d en utiliser un autre Par contre, nous avons pris le capteur de position relié à l interface LabPro, qui permet de connaître, dès la première série de mesures réalisées, à la fois la position du filtre, mais aussi sa vitesse pendant la durée du mouvement La méthode de résolution ne s appuie que sur une analogie avec l électricité (charge du condensateur), la méthode de résolution d Euler n est abordée que dans l activité 3 B Exploitation et modélisation Le référentiel est celui du laboratoire (référentiel terrestre), considéré comme galiléen étant donné la courte durée de l expérience Le repère d espace est l axe Ox vertical dirigé vers le bas et dont l origine O est le point d où est lâché le filtre à café Le repère de temps est choisi de telle façon qu à t =, le filtre est lâché Le filtre à café est soumis à son poids et à la force de frottement de l air (la poussée d Archimède due à l air est négligeable, car le volume d air déplacé est très faible) 3 Au tout début de la chute, la vitesse augmente donc, d après la première loi de Newton, la somme vectorielle des forces qui s exercent sur (S) n est pas égale au vecteur nul Elle vaut, d après la deuxième loi de Newton : yp + yf = mya 4 En projetant cette relation vectorielle sur le repère d espace défini en, il vient : d() mg kv t m vt d() ( ) = soit mg = m vt + kv( t) mg m d() vt et = + vt ( ) k k 5 Par analogie avec l équation différentielle obtenue lors de la charge d un condensateur, il vient : t m mg mg vt ()= ( e k )= ( e m t ) k k 6 τ = m k 7 À partir de la modélisation de type v(t) = A ( e B t ), la valeur donnée par le logiciel pour A= mg permet de déterminer la valeur de k, k celle donnée pour B permet de déterminer τ puisque τ = B 8 La vitesse maximale atteinte par le filtre correspond à la partie horizontale de la courbe v(t) ette valeur est sensiblement égale à A On a donc comme k m t équation : vt ()= v ( e ) lim k hapitre - hutes verticales 3

3 AIVIÉ Étude de la chute verticale d une bille dans un fluide (page ) ette activité a pour but de se familiariser avec la méthode d Euler en utilisant l outil informatique Les élèves ont du mal à faire la différence entre résultats expérimentaux obtenus par pointage vidéo et résultats théoriques obtenus par la méthode d Euler car, dans les deux cas, on utilise un tableur Il faut bien insister sur le fait que la méthode d Euler nous donne une solution théorique approchée de l équation différentielle En comparant ensuite les deux courbes, cela nous permet de donner le type de frottements fluides qui agit sur l objet considéré Les résultats présentés ci-après ont été obtenus pour une bille de rayon R =,5 cm, de masse volumique ρ solide = 4,49 g cm 3, chutant dans un fluide de masse volumique ρ fluide =,86 g cm 3 B Détermination de la vitesse limite y y i+ i v = i t t i+ i t (s) y (m) v exp (m s ), E +,4 4,76 E 3,99,8,59 E,47, 3,8 E,635,6 6,67 E,799,, E,89,4,38 E,95,8,78 E,988,3,7 E,975,36,56 E,,4,97 E,5,44 3,38 E,5,48 3,79 E,38,5 4, E,5,56 4,63 E 3 Pour la vitesse du premier point, il n existe pas de y i et pour le dernier il n existe pas de y i + 4 v lim =,5 m s Étude théorique Voir cours 4 Voir cours 4 3 Quand la vitesse limite est atteinte, dv == v n B B A et donc A = n n d t v n ρ fluide 4 B = g 86, = 9,8 =7,9 ρ 44, 9 solide B 5 = = 7,9,5 =7,6 et = B = 7, 9 A A v = 7, v (,5) lim D Résolution de l équation différentielle omme Δv =( A B vn()) t Δt = v( t + Δt) v() t, n il vient vt ( + Δt) = ( A B vn( t)) Δt + vt ( ) n 3 Pour n = : v(,4) = v( +,4) Pour n = lim =( A Bvt ()) Δ t+ v()=,3m s t (s) dv / v 7,9345,4 5,534793,37498,8 3,865444,5386359,,6955346,69334,6,884,895559,,3776,87644,4,96374,9874,8,6393479,96535673,3,446743,999336,36,336956,877733,4,7945,3,44,5644,99387,48,58585,3598956,5,73854,459,56,553895,437668 Pour n = t (s) dv / v 7,9345,4 7,74,37498,8 5,934965,65558, 3,684,875897,6,54344,9436,,67957,44676,4,835655,37,8,34734,44648,3,45498,474,36,7963,48838,4,7633,49588,44,875,498348,48,59,49968,5,4435,499778,56,7466,4998844 Les courbes v exp (t), v (t) et v (t) sont tracées sur le même graphe 4 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

E onclusion v (m s ), La courbe théorique qui se rapproche le plus de la courbe expérimentale est la courbe v Les frottements fluides sont du type f = k v, donc n = 3 e sont des frottements laminaires,,8,6,4, v v v exp (m/s),,,,3,4,5,6,7,8,9 t (s) orrigés des exercices (p 3) Appliquer et approfondir 7 Vitesse de la grêle Solution en fin de manuel de l élève 8 hute d une goutte d eau omme on considère que la goutte chute dans le vide, elle n est soumise qu à son poids Elle est en chute libre On étudie la goutte d eau dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen, étant donné la courte durée de l expérience D après la deuxième loi de Newton il vient : mg ma m v d = = donc v g = d G d t () Projetons cette relation sur l axe Oz, il vient donc : v g = d () et par intégration de (), il vient : d t v(t) = gt + k, avec k constante d intégration, mais comme à t =, la goutte commence sa chute sans vitesse initiale, alors k = et v(t) = gt (3) Intégrons la relation (3), il vient z(t) = gt + k avec k constante d intégration, mais comme à t =, z =, k = et z(t) = gt 3 v (ms - ) 8 7 6 5 4 3 t (s) 5 5 4 Pour réaliser une étude plus réaliste de la chute de la goutte dans l air, il faut tenir compte d autres forces telles que la force de frottement et la poussée d Archimède exercée par l air La goutte d eau n est donc pas en chute libre En fait, on montrerait que seule la poussée d Archimède est négligeable devant le poids de la goutte d eau 5 De t = à t = 9 s, le mouvement est rectiligne uniformément accéléré À partir de t = 9 s, le mouvement est rectiligne uniforme (La valeur t = 3 s indiquée dans le spécimen est une erreur, corrigée dans la version élève) 6 La vitesse atteinte par la goutte d eau est 3 m s 9 Lancer d une boule le long du mât d un navire Même résolution que l exercice 8, question La boule tombe au pied du mât puisque la trajectoire est rectiligne hapitre - hutes verticales 5

3 D après les équations horaires du mouvement, h = gt h chute soit t chute = et t chute =, s g 4 a) La trajectoire de la boule est un arc de parabole b) La boule tombe au pied du mât c) Le marin ne peut pas distinguer l immobilité d un mouvement rectiligne uniforme par temps de brume puisque le point d impact est le même dans les deux cas Ascension d une montgolfière La poussée d Archimède a une direction verticale, elle est dirigée vers le haut et sa valeur est égale au poids du volume d air déplacé soit Π = ρ air V g L ensemble {nacelle + montgolfière} est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen, étant donné la courte durée de l étude Le système est soumis à son poids et à la poussée d Archimède On négligera les frottements D après la e d loi de Newton : P + Π = ma = m v et en G projetant cette relation sur un axe vertical dirigé vers le bas (descente), il vient m g ρ air V g = m a () et ρ V air a = g( ) m 3 a) De la même manière que précédemment, on obtient : ρ V air m g ρ air V g = m a () et a = g( ) m b) La masse du lest jeté est m = m m (3) ; ρ Vg air d après (), m = En insérant dans (3) : a + g ρ Vg il vient air m = m a + g Or d après (), ρ air V g = m (g a) m ( g a) am Donc : m = m = g + a g + a 4 a) On étudie le mouvement du lest dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen étant donné la courte durée de l étude Le système est soumis à son poids et à la poussée d Archimède On négligera les frottements D après la e loi de Newton, mg ma m v d = = donc v g = d G d t Projetons cette relation sur l axe Oz, il vient donc : = d v g (a), et par intégration de (a), il vient : v(t) = gt + k, avec k constante d intégration, mais comme à t =, la goutte commence sa chute sans vitesse initiale, alors k = et v(t) = gt (3) Intégrons la relation (3), il vient z(t) = gt + k avec k constante d intégration omme à t =, z = h, k = h et : z (t) = gt + h h b) Au sol, z = d où t chute = = 8 s g hute d un parachutiste Exercice résolu dans le manuel de l élève hute d un objet sans vitesse initiale L objet chute verticalement dans la glycérine Il est soumis à trois forces : le poids yp ; la poussée d Archimède yπ (direction verticale, sens vers le haut, appliquée en G) ; la force de frottement fluide modélisée par yf (direction verticale, sens vers le haut, appliquée en G) D après la deuxième loi de Newton : d P + f + Π = ma = m v () G On projette sur un axe Oz vertical et dirigé vers le bas la relation vectorielle précédente, il vient : P f Π = m d v () On note m la masse de glycérine déplacée par le palet La relation () devient mg kv m g = m d v (3) avec m = ρv mg k v ρ V g = m d v ( m ρv) g k d m m v v = (4) En comparant (4) et la relation donnée dans l énoncé, il vient : A = ( m ρ V) g et B = k m m 3 Quand t =, v =, on a alors A = d v A est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de v = f(t) à t = alcu lons ce coefficient directeur il vient : A =, 3 = 8 m s, 4 dv Quand t > 6 ms, v = v lim = te, donc = soit : 6 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

A B v lim = et donc B = Soit B = 67 s 4 τ =,3 s A 8 =, v lim 3 hute d une particule dans un liquide visqueux Solution en fin de manuel de l élève 4 hute d une balle de ping-pong () L intensité de la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse À t =, la vitesse est nulle, donc F =, ceci correspond au schéma de Benoît En comparant la longueur du vecteur yf sur les deux autres schémas, on constate que yf a une valeur F plus grande sur le schéma d Amélie par rapport au schéma d Adrien Le schéma d Amélie correspond à un temps de chute plus grand que celui d Adrien P = m balle g et = m = fluide g ρ air V S 4 g = ρ π r 3 g air 3 P m Donc Π = 3 balle soit P 4ρ πr 3 Π = 6 air Benoît a bien raison, le poids a une intensité 6 fois plus importante que la poussée d Archimède 3 La balle de ping-pong est étudiée dans un référentiel terrestre, considéré comme galiléen étant donné la courte durée de la chute Elle est soumise à son poids et aux frottements de l air On néglige la poussée d Archimède D après la deuxième loi de Newton : yp = yf = mya On projette cette relation vectorielle sur un axe vertical orienté vers le bas il vient : d mg F = m v d t On retrouve bien l équation () 5 hute d une balle de ping-pong () À t =, v =, donc la courbe représente v(t) et la courbe représente a(t) Pour t > s, la balle atteint sa vitesse limite, donc v = v lim = 8, m s, et a = d v = Par conséquent () devient : mg F = soit mg k v lim = et finalement k = mg = 3,5 4 v lim D après l équation (), g k m v = d v Remplaçons k par son expression trouvée plus haut, il vient : dv = g g v dv soit = v 9,8,5 v lim On retrouve bien l équation donnée 3 a) k t =, π ρ r = 3, 4 b) k = 3,5 4 alculons le pourcentage d écart entre les deux valeurs : k k t = % k t Les valeurs de k et k t sont égales à % près 6 hute d une balle de ping-pong (3) τ est donné par l intersection de la tangente à la courbe représentative de v = f(t) et l asymptote horizontale d équation v = v lim en t = s On trouve τ =,8 s omme Δt << τ, le choix du pas d itération est satisfaisant D après l équation donnée en début d énoncé : dv = 9,8,5 v, il vient : dv a = = 9,8,5 v = 9,76 m s t alcul de v En considérant d v Δ v Δt Δv = v v = (9,8,5 v )Δt et donc v = (9,8,5 v ) Δt + v =,98 m s alcul de a 3 dv a 3 = = 9,8,5 v 3 = 9,48 m s t3 3 omme g est donné avec chiffres significatifs, il est inutile de garder autant de chiffres significatifs 4 Les courbes théorique (courbe 3) et expérimentale (courbe ) sont quasi confondues 5 On peut utiliser comme modèle une force de frottement proportionnelle à la vitesse L équation devient : d v d t =9,8 Kv avec K différent de k Préparer le BA 7 Mécanique du vol de ballon sonde Exercice résolu dans le manuel de l élève hapitre - hutes verticales 7

8 Recherche d un modèle de force de frottements A Le mouvement de la bille est un mouvement rectiligne uniforme, car : la vitesse entre M 5 et M est constante ; la chute est verticale donc rectiligne est la première loi de Newton ou principe d inertie, qui est ainsi illustré 5 images par seconde sont prises par le caméscope, soit entre deux images une durée de /5 s =, s = ms B v 6 = y 7 y 5 t t 7 5 (69, 4,) 3 AN : v 6 = =,7 m s (4 ) 3 La vitesse étant constante entre les positions 5 et, a 8 = m s et comme le mouvement est rectiligne, a = D après la deuxième loi de Newton, on a Σ F = ma =, on retrouve le principe de l inertie Le résultat obtenu est compatible avec la question A yf yp yp A Le système bille est étudié dans un référentiel terrestre, supposé galiléen étant donné la courte durée de la chute Le système est soumis à son poids yp, à la poussée d Archimède yp A et aux forces de frottement yf m = ρ A V AN : m =,5 6 7 85 = 4, 3 kg = 4, g 3 P A = m H g = ρ H V g AN : P A = 9,5 6 9,8 = 4,7 3 N D Le théorème du centre d inertie est la deuxième loi de Newton : dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide de masse m est égale au produit de cette masse par le vecteur accélération de son centre d inertie Σ F = ma soit P + P + f = ma ext G A G (E) Soit un axe vertical et dirigé vers le bas Projetons (E) sur cet axe, il vient : P P A f = m a G = m d v dv soit + f m = P P A = A m car P, P A et m sont des constantes A = P P A mg P = A m m = ρ Vg A ρ Vg ρ ρ H = g A H ρ V ρ A 785 9 AN : A = 9,8 785 = 8,7 m s L unité de la constante A est le m s (la même unité que g), puisque le quotient ρ A ρ H ρ A est sans unité E Première hypothèse : f = k v a) On a : d v + f m = A soit dv + kv = A m dv et donc + B v = A avec B = k m b) Si la vitesse limite est atteinte, d v = A B v lim = A donc B = v lim et B = k A soit k = m B = m m v lim 87 k = 4 3,, = 3,7 kg s 95, car A est en m s, v lim en m s, m en kg f = k v² et d v + B v² = A Quand v = v lim, alors dv = A B v lim ² = A ; B = ; B = k A, donc m k = m v A lim v lim A v lim = k m 87 et k = 4 3,, = 4, kg m 95, 3 Le modèle semble coïncider pour v,8 m s, le modèle semble coïncider pour,8 v m s 8 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

Mouvements dans un champ de pesanteur Programme ÉVOLUION EMPORELLE DES SYSÈMES MÉANIQUES (5 P HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Exemples de mouvements de projectiles dans la vie courante Étude expérimentale de mouvements de projectiles de masses différentes dans un champ de pesanteur ; importance des conditions initiales ou webcam : tracé de vecteurs accélération vérification que dans tous les cas a G = g quelle que soit la masse importance des conditions initiales sur la nature de la trajectoire Lois de Kepler : approche historique* racés de vecteurs accélération dans le cas d un mouvement circulaire uniforme Utilisation d un logiciel de simulation pour la satellisation et les lois de Kepler* Mouvements plans Mouvement de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme Application de la deuxième loi de Newton au mouvement du centre d inertie d un projectile dans un champ de pesanteur uniforme dans le cas où les frottements peuvent être négligés Équations horaires paramétriques Équation de la trajectoire Importance des conditions initiales Satellites et planètes Lois de Kepler (trajectoire circulaire ou elliptique) Référentiels héliocentrique et géocentrique Étude d un mouvement circulaire uniforme ; vitesse, vecteur accélération ; accélération normale Énoncé de la loi de gravitation universelle pour des corps dont la répartition des masses est à symétrie sphérique et la distance grande devant leur taille (rappel) Application de la deuxième loi de Newton au centre d inertie d un satellite ou d une planète : force centripète, accélération radiale, modélisation du mouvement des centres d inertie des satellites et des planètes par un mouvement circulaire et uniforme, applications (période de révolution, vitesse, altitude, satellite géostationnaire) Interprétation qualitative de l impesanteur dans le cas d un satellite en mouvement circulaire uniforme Appliquer la deuxième loi de Newton à un projectile dans un champ de pesanteur uniforme Montrer que le mouvement est plan Établir l équation de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques Savoir exploiter un document expérimental reproduisant la trajectoire d un projectile : tracer des vecteurs vitesse et accélération, déterminer les caractéristiques du vecteur accélération, trouver les conditions initiales Savoir-faire expérimentaux Savoir enregistrer expérimentalement la trajectoire d un projectile et exploiter le document obtenu Énoncer les lois de Kepler et les appliquer à une trajectoire circulaire ou elliptique Définir un mouvement circulaire uniforme et donner les caractéristiques de son vecteur accélération onnaître les conditions nécessaires pour observer un mouvement circulaire uniforme : vitesse initiale non nulle et force radiale Énoncer la loi de gravitation universelle sous sa forme vectorielle pour des corps dont la répartition des masses est à symétrie sphérique et la distance grande devant leur taille Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite ou à une planète Démontrer que le mouvement circulaire et uniforme est une solution des équations obtenues en appliquant la deuxième loi de Newton aux satellites ou aux planètes Définir la période de révolution et la distinguer de la période de rotation propre Exploiter les relations liant la vitesse, la période de révolution et le rayon de la trajectoire onnaître et justifier les caractéristiques imposées au mouvement d un satellite pour qu il soit géostationnaire Retrouver la troisième loi de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme Exploiter des informations concernant le mouvement de satellites ou de planètes hapitre - Mouvements dans un champ de pesanteur 9

ours Découpage du cours L attraction universelle p Mouvement d un projectile p 3 3 Mouvement circulaire uniforme p 5 4 Mécanique céleste p 6 Il s agit dans la première partie de ce chapitre de réintroduire la loi d attraction universelle sous forme vectorielle L universalité de cette loi permet d introduire le champ de gravitation à la surface de n importe quel astre e champ est toujours radial et centripète ; son intensité est proportionnelle à /d Dans le cas de la erre, il est appelé champ de pesanteur, et pour des mouvements proches de la surface terrestre, il est considéré comme uniforme (il en est de même pour le champ de gravitation) Un objet lancé au voisinage de la erre est dans un champ de pesanteur uniforme, il est donc soumis à une force d attraction constante, son poids Le deuxième paragraphe de ce chapitre est une suite logique du chapitre précédent, avec la détermination des équations différentielles, horaires, et de l équation de la trajectoire du projectile La rédaction utilisée est la même que pour le chapitre précédent et l étude dans un repère d espace à trois dimensions prend ici toute son importance La nouvelle notion de cette deuxième partie est la détermination de l équation de la trajectoire Elle se termine par une application en balistique, exploitée dans les activités et Nous donnons sous forme d exemple un calcul de la portée et de la flèche, car aucun développement théorique sur ces deux grandeurs n est exigible Le troisième paragraphe traite du mouvement circulaire uniforme, en donnant les caractéristiques du vecteur accélération au cours d un tel mouvement e vecteur est alors centripète, radial et sa v norme a = est constante Le cas d un mouvement circulaire non uniforme, donné en remar- R que, nous permet juste d introduire brièvement les deux vecteurs unitaires de la base de Frenet, qui peuvent être vus par les élèves dans les corrections de certains exercices du bac Leur utilisation n est pas demandée pour vérifier qu un mouvement est circulaire, il suffit juste de montrer, en appliquant la deuxième loi de Newton, que le vecteur accélération est constant, centripète et radial est dans le dernier paragraphe que cette démonstration est réalisée pour décrire les mouvements quasi circulaires des satellites et des planètes À M v partir de l expression : G = r, on peut trouver la valeur de la vitesse d un satellite ou d une r planète sur une orbite circulaire, montrer qu elle est constante sur cette orbite et qu elle ne dépend que de la masse M de l astre attracteur Si le rayon de l orbite diminue, cette vitesse augmente et réciproquement Il n existe alors qu une seule altitude possible et qu un seul plan orbital si l on veut un satellite géostationnaire, puisqu il doit tourner dans le même sens et à la même vitesse angulaire que la erre Pour introduire les trois lois de Kepler, nous rappelons que les orbites ne sont pas circulaires, mais elliptiques De ce fait, les vitesses varient sur une orbite Nous avons insisté sur la troisième loi, puisque celle-ci doit pouvoir être retrouvée pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme L activité 3 illustre cette dernière partie Activités AIVIÉ Lancer d une balle (page ) ette activité permet de réinvestir les compétences informatiques pour obtenir l équation cartésienne expérimentale de la trajectoire, les équations horaires expérimentales de la trajectoire (v x (t) et v y (t)) et de déterminer, à partir de la deuxième loi de Newton, l équation du mouvement, afin d en déduire les équations horaires théoriques de la tra- jectoire et l équation théorique de la trajectoire Il s agit ensuite de comparer les résultats théoriques et expérimentaux Elle peut être traitée seulement avec la calculatrice, souvent oubliée mais tellement plus pratique quand on n a pas accès facilement à une salle d informatique La résolution est expliquée pour une calculatrice I83, mais les fonctions restent sensiblement les mêmes pour une calculatrice asio Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

Exploitation des mesures à l aide d un tableur-grapheur Son équation cartésienne est : y =,93 6 x +,545 9 x +, 9 est l équation d une parabole Il suffit d utiliser la formule suivante : x x i+ i v = xi t t i+ i 3 Il suffit d utiliser la formule suivante : v yi = y t y i+ i t i+ i D où le tableau suivant : i v x (t) (m s ) v y (t) (m s ),355 3,59,359,884 3,475,47 4,475,98 5,475,6 6,435,4 7,43375,7 8,475,3 9,475,5,43875,56,44,974,465,46 3,465,873 4,4375,33 5,4,77 6,4 3,46 7 et les courbes suivantes : v x, v y 4 4 v x (t) =,4 m s et v y =,8 t + 5,5 Pour l accélération : a x = et a y =,8 m s omme a x =, le mouvement sur Ox est rectiligne uniforme 5 a y v y < pour < t <,44 s : le mouvement est décéléré et a y v y > pour t >,44 s : le mouvement est accéléré 6 a y et g sont égaux à % près 7 omme a y g, on peut considérer la chute comme libre 8 omme la chute est libre, d après la deuxième loi de Newton et par projection sur l axe [Oy) : a y = g par intégration et, d après les conditions initiales, (à t =, v x () = v cos α et v y (t) = v sin α), il vient de v x (t) = v cos α et v y (t) = gt + v sin α et par intégration de v x (t) : x(t) = (v cos α) t + k Or à t =, x =, donc k = et x(t) = (v cos α) t Par intégration de v y (t) : y(t) = g t + (v sin α) t + k Or à t =, y =, donc k = et y(t) = g t + (v sin α) t gx Donc y (x) = +(tan α ) x ( v cos α ) 9 À t =, v x () =,4 m s et v y () = 5,5 m s, x y donc v = v + v = 5,6 m s v omme v x = v cos α, il vient : cos α = soit α = 64,5 v D Exploitation des mesures avec le tableurgrapheur de la calculatrice Exploitation de la courbe de la trajectoire y(x) est un mouvement parabolique, d abord décéléré puis accéléré Le vecteur accélération a même direction, même sens et même intensité que g x 3 3 4,,,3,4,5,6,7,8 v x v y t (s) Mouvement de satellites artificiels terrestres (page ) Le logiciel Orbitographie utilisé dans cette activité peut également être téléchargé à l adresse suivante : http : //wwweducneteducationfr/orbito Dans cette activité, nous travaillons sur 3 satellites dont les caractéristiques orbitales sont différentes Spot est AIVIÉ hapitre - Mouvements dans un champ de pesanteur

un satellite à défilement, Météosat est géocentrique et Hipparcos possède une trajectoire elliptique Les questions posées au cours de cette activité peuvent très bien être traitées avant d aborder le cours L étude de Spot 4 permet aux élèves de faire «visuellement» la différence entre les référentiels géocentrique et terrestre Son mouvement est circulaire uniforme, il est donc possible de parler de période de révolution, puis de calculer la vitesse de ce satellite sur son orbite Il est facile de voir ensuite que Météosat tourne dans le même sens et possède la même période que la erre La dernière condition pour qu un satellite soit géostationnaire est introduite en créant un satellite virtuel, ES, qui n est pas dans le plan équatorial Le dernier satellite présente en fait les 3 lois de Kepler, qui ne sont pas énoncées dans les questions, mais que l on retrouve assez facilement : orbite elliptique, vitesse qui varie sur l orbite et pour finir le rapport entre le carré de la période et le cube du demi-grand axe de l ellipse, qui est constant A Le satellite Spot 4 Le mouvement du satellite est différent On associe au planisphère terrestre le référentiel terrestre, et à la vue en 3D le référentiel géocentrique 3 Son orbite est circulaire 4 Le satellite se déplace sur son orbite plane circulaire à une altitude h = 85, km ; elle a pour rayon R = R erre + h ette orbite est inclinée de 98,7 par rapport au plan équatorial 5 La trajectoire observée sur le planisphère correspond à l action conjuguée du mouvement orbital du satellite et du mouvement de rotation de la erre Le décalage régulier de 5 entre deux courbes successives correspond au mouvement de rotation de la erre, pendant que le satellite effectue un tour sur son orbite 6 Spot 4 survole la totalité de la surface terrestre du fait de son inclinaison importante par rapport à l équateur Il défile donc au-dessus du globe 7 La période est de h 4 mn et 4 s soit 6 84 s est la durée mise par le satellite pour faire un tour de la erre 8 Sa vitesse se calcule en utilisant la distance parcourue pendant un tour dont la durée est la période R v = π = 6 78 km h B Le satellite Méteosat 7 Dans le référentiel terrestre, Météosat est immobile, alors que dans le référentiel géocentrique, son mouvement est circulaire Il décrit un cercle plan au-dessus de l équateur Sa période est de 3 h 56 mn et 3 s ; elle est identique à la période de rotation sidérale de la erre 3 Non, il n est pas immobile comme Météosat e satellite ES décrit un «huit» autour de Météosat 4 Un satellite géostationnaire paraît immobile pour un observateur terrestre ela nécessite que sa rotation ait lieu à la même vitesse angulaire ω que celle de la erre (rotation propre), autour du même axe (axe des pôles), et dans le même sens Son orbite se situe dans le plan équatorial terrestre 5 Les télécommunications La transmission des informations à distance est ainsi simplifiée, puisque la position du satellite semble immobile Une parabole fixe pointant dans la direction du satellite géostationnaire suffit pour recevoir certaines chaînes de télévision ou des images météorologiques dans le cas de Météosat 7 par exemple Le satellite Hipparcos Il a une trajectoire elliptique (première loi de Kepler) En utilisant les propriétés de ce satellite, on peut compléter le schéma comme ci-dessous : Périgée erre F O Apogée 3 Si e =, les foyers sont confondus avec le centre, la trajectoire est un cercle Plus e est proche de, plus l ellipse semble aplatie 4 La vitesse d Hipparcos varie sur son orbite e satellite se déplace beaucoup plus vite quand il se trouve proche de la erre Elle est maximale au périgée (deuxième loi de Kepler) 5 Sa période est = h 37 mn et 57 s, la valeur du demi-grand axe est a = 4 548, km = 9, 94 4 s m 3 a3 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

6 Pour le satellite XMM, /a 3 = 9,94 4 s m 3 ; pour Orbite GO, /a 3 = 9,94 4 s m 3 e rapport est constant (troisième loi de Kepler) 7 = 9,94 4 a 3 =,674 9 s, soit = 5 7 s, c est-à-dire 4 h mn et 5 s Le satellite Ellipse a une période identique 8 Le demi-grand axe de l ellipse devient le rayon de l orbite circulaire, soit R =constante 3 On peut vérifier cette relation en prenant un satellite à orbite circulaire, comme Afristar, avec R = R erre + h = 4 64 km Le rapport /R 3 est toujours égal à 9,94 4 s m 3 Le golf : une question 3 de parabole (page 4) Le mouvement du centre d inertie d une balle de golf peut être modélisé par les équations horaires et différentielles vues au paragraphe de ce chapitre Il faut pour cela négliger toute action de l air et tout mouvement de rotation de la balle ette activité reprend celle du livre de seconde où les élèves utilisent une application déjà paramétrée Ici, ce sont eux qui doivent créer, à l aide d un tableurgrapheur comme Excel, la formule de l équation de la trajectoire z(x), puis sa représentation graphique Les conditions initiales de lancer sont modifiables, puisque chaque club offre une vitesse et un angle de tir différents On peut bien sûr utiliser le fichier Excel fourni sur le site wwweditions-bordasfr/espacephyss, mais il est plus intéressant de construire cette application en P afin de voir ou de revoir les fonctionnalités d Excel ou de tout autre tableur-grapheur AIVIÉ A Le coup parfait Référentiel lié au sol, c est-à-dire le référentiel terrestre Le repère d espace le mieux adapté a pour origine le centre de gravité de la balle avant qu elle ne soit frappée, et comme le mouvement est plan, on choisit un repère (xoz) Ox est horizontal, dirigé dans le sens du mouvement, Oz vertical dirigé vers le haut Le repère de temps a pour origine t =, l instant où la balle est frappée Une fois frappée, la balle n est soumise qu à son propre poids, puisqu on néglige toute action de l air sur celle-ci 3 Les coordonnées, à t =, du centre d inertie de la balle sont : x() = et z() = ; celles du vecteur vitesse initiale sont : v x () = v cos α et v z () = v sin α Après avoir appliqué la deuxième loi de Newton au centre d inertie G de la balle, ses coordonnées en fonction du temps sont : x()=( t v cos α) t zt ()= gt +( v sin α) t 4 L équation de la trajectoire est alors : ()= x zx g + x tanα ( v cos α) 5 Le tableau à créer doit comporter deux cellules où les valeurs de α et v sont à modifier en fonction du club à utiliser et deux cellules calculées pour le cosinus et la tangente de l angle α La formule à utiliser pour le cosinus est = OS(RADIANS(coordonnées de la cellule α)) Il suffit alors de faire varier x par itération, jusqu à la distance séparant le départ du trou (ici, 33 m) et de créer une colonne calculée pour les valeurs de z en utilisant la formule correspondant à l équation de la trajectoire Le club qui convient pour un homme est un fer 6 Pour une femme, comme la distance est de 5 m, le fer 6 convient aussi, mais la balle risque de tomber après le drapeau z (m) 8 6 4 8 6 4 4 6 8 x (m) B La réalité L angle α est de 55 Pour x =,8 m, il faut z m On choisit un pas d itération pour x de, m Pour différentes valeurs de v quand x =,8 m, on relève la valeur de z La vitesse minimale est de 8, m s Le point d impact a pour ordonnée z I = m, le tableur donne pour x I une valeur de 5,64 m hapitre - Mouvements dans un champ de pesanteur 3

orrigés des exercices (page 5) Appliquer et approfondir 7 Quelle est cette planète? π R S v = S 8 π 6,7 v = ( 3 4 365+ 3 36 + 4 6) = 3 7 m s La deuxième loi de Newton appliquée au satellite M P v permet de trouver la relation : G = R R S S π R S En remplaçant v dans cette relation par v =, M S on obtient : P v =G R S 3 La masse de la planète est donc : v R S M = P G 37 6,7 8 soit M P = = 88, 7 kg 667, Il s agit de la planète Jupiter 8 Voyage au centre de la erre M ρ = erre 4 πr3 3 et M = ρ erre V = M 4 R 3 π 3 3 3 4 π x3 = M x 3 R3 M M x M x 4 g P mg m M =G =G =G et = = G x x x R3 R3 R3 9 hamp solaire Solution en fin de manuel de l élève Jeux interplanétaires À partir des conditions initiales, l équation de la trajectoire ()= x yx g + x tanα devient : ( v cos α) (98,48) = 4,9 ( 98, 48 y ) ( v cos 45 ) + 98,48tan45= On obtient à partir de l équation précédente : v = 3,7 m s 3 La valeur du champ gravitationnel est différente M astre sur chaque astre, elle vaut g =G astre R astre On obtient donc les valeurs suivantes : Astre Lune Mercure Venus erre Mars g,6 g,37 g,9 g g,39 g L équation de la trajectoire devient alors : ()= x yx g astre (3,7cos 45 ) + x tan45 = x entre de la erre Elle admet deux solutions pour chaque astre, la première, x =, correspond au point de départ du (3,7 cos 45 ) javelot, la seconde, x =, correspond à la portée sur chaque planète Les valeurs,5 g astre pour chaque astre sont : Astre Lune Mercure Venus Mars x (m) 598,3 63,3 8,4 5,5 3 La masse M correspond au volume V en pointillés sur le schéma précédent On a donc V = 4/3 π x 3 ransformation Exercice résolu dans le manuel de l élève 4 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

Mission sur Mars Solution en fin de manuel de l élève 3 Mouvements plans a) Le projectile est soumis uniquement à son poids D après la deuxième loi de Newton : mg = ma G et donc g = a G Le vecteur accélération a G du centre d inertie G du projectile ne dépend pas des conditions initiales L affirmation est vraie b) D après le a), on a g = a G La projection suivant l axe vertical Oz donne : a Gz = g Soit V Gz (t) = g t + V Oz = g t + V sin α, V Gz varie au cours du temps, le mouvement du projeté de G suivant l axe vertical Oz n est pas uniforme L affirmation est fausse c) L équation de la trajectoire de G est : z g G = ( x G V cos α )² + x G tan α Le mouvement est parabolique sauf pour α = 9 L affirmation est fausse d) Les coordonnées du vecteur position avec α = sont : x = V t G OG z = gt G Lorsque z G = H, le projectile touche le sol eci a lieu à l instant noté t S H = g t S soit t S = H g et donc t H S = g On calcule alors l abscisse x G à cet instant : H x G = V t S = V L affirmation est vraie g a) La valeur de force gravitationnelle exercée par la erre sur le satellite a pour expression : mm F /S = G soit G = F ( R + h ) /S ( R + h) mm Une analyse dimensionnelle donne : pour la force F /S, d après la deuxième loi de Newton, F /S = ma Soit : [F] = [M] [] L [] donc [G] = [M] [] L [L] [M] [] 3 [G] = [] L [M] [] G s exprime en m 3 s kg L affirmation est fausse b) La seule force subie par le satellite est la force F /S exercée par la erre Or cette force est centripète D après la deuxième loi de Newton : F /S = ma G Donc a G est centripète L affirmation est vraie c) Puisque l accélération est centripète, sa valeur V est : a G = ( R + h ) On obtient, par projection de la deuxième loi de mm Newton : G = m V ( R + h ) ( R + h) soit V = GM L affirmation est vraie ( R + h) d) V = π( R + h ) GM = ( R + h) Le carré de la période de révolution du satellite est = 4 π ( R + h ) 3 GM = 6,98 8 s donc =,64 4 s L affirmation est vraie 4 l Univers dans la balance I a) La distance entre les deux centres b) Oui, c est f, elle a même valeur, même direction, mais elle est de sens opposé, d après la troisième loi de Newton À la surface de la erre (de rayon R et de masse M), on a : Mm M P = mg = G d où : g = G R R 3 a) La force est centripète, il en est de même de l accélération ; l accélération tangentielle a = dv/ est donc nulle, la norme du vecteur vitesse est constante b) La masse qui figure dans l expression de la force gravitationnelle et dans le produit ma ( a : vecteur accélération) s élimine et n intervient pas dans l expression de la vitesse La vitesse est donc la même pour les deux satellites hapitre - Mouvements dans un champ de pesanteur 5

4 On a : π r = V, soit : 4π 4π = d oùlaconstante : = r3 G M G M II On peut, par exemple, étudier la chute libre d un objet à la surface de la erre et mesurer l accélération de la pesanteur Pour minimiser les frottements dus à l air, il faut prendre un objet dense et mesurer de façon précise sa position en fonction du temps par chronophotographie ou bien en filmant l expérience et en pointant ensuite les positions du centre d inertie de l objet Des mesures de position, on déduit la vitesse et l accélération M omme g = G, on en déduit : o R g R M = = 597, 4 kg G III On prend Jupiter comme satellite pour déterminer M S : 3 r M S = 4π = 99, 3 kg G 3 On prend Io comme satellite de Jupiter pour déterminer M J : 3 4π r Io M = = 9, 7 kg J G Io On trouve bien M S >> M J, mais on ne connaît pas la masse de Io L hypothèse est donc bien vérifiée pour le premier calcul, mais on ne peut rien dire pour le second IV On a : 4π = r3 G( M + M L ) 4π d où la constante : = G( M + M L ) 3 4π r L M + M = = 6, 4 kg L G L On a donc : M L = (6, 5,97) 4 4,7 kg ; cette valeur est effectivement différente de la valeur trouvée par des méthodes plus précises, qui est de 7,35 kg Préparer le BA 5 Golf et physique v x = v cos α et v y = v sin α La portée est D = v cos α sin α g D en fonction de v y : On remplace pour cela v par v y, v y sin α on obtient : D = gtan α D en fonction de v x : v On remplace pour cela v par x, on obtient : cosα D = v tanα x g D en fonction de v x et de v y : D = ( v cos α)( v sin α ) v v = x y g g La flèche est H = v sin α g H en fonction de v y : H = v y g H en fonction de v x : H = v tanα x g 3 Sur la figure, on remarque que v y = v y et que v x = v x On choisit l expression de D en fonction des deux coordonnées du vecteur vitesse initiale (puisque l angle α est modifié et que l on ne connaît pas sa valeur) : D = v v y x ( v = ) v y x = 4 v v y x = D g g g Pour la flèche, on choisit également une expression où ne figure pas l angle α H = v y = ( v y ) = 4v y g g g = 4 H La nouvelle trajectoire est parabolique Elle est tangente au vecteur vitesse initiale v pour x = et y = Elle coupe l axe des abscisses pour x = D = D et a pour sommet y = H = 4H L énoncé précise que la flèche correspond à l abscisse égale à la moitié de la portée du lancer Donc pour y = H, alors x = D = D 6 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

y tv tv H = 4H D = D 4 Sur la figure 3, on remarque que v y = v y et que v x = v x D = v v y x v v = y x = D g g v y H = = H g y tv tv 5 La valeur v est plus élevée, mais α n est pas modifié Puisque la portée D et la flèche H sont proportionnelles à v, H et D seront plus importantes 6 Le saut de la grenouille a) v 9 = GG 8 9, = =,4 cm s τ 3 =,4 m s Le vecteur v 9 mesure,8 cm, il a pour origine le point G 9 et est parallèle à G 8 G v = G G 3, = =,6 m s τ 3 Le vecteur v mesure 3, cm, il a pour origine le point G et est parallèle à G G b) Δv mesure,75 cm soit Δv =,375 m s c a = Δv τ =, 375 9,4 m s, 4 D après la deuxième loi de Newton : P = ma soit mg = ma et donc g = a x x Dans le repère xoy : a a = x a = g y Or comme v a = d, par intégration en utilisant les d t conditions initiales, on a : v ()= t v = v cosα x x v() t x ()= t gt + v = gt + v sin α y y De même, comme v O t ()= t d G ( ), les équations horaires du mouvement sont : xt ()= vcosα t OG yt ()= gt + v sinα t b) y(x) = x g vcos α + x tan α En remplaçant α et v par leur valeur : y(x) =,5 x + x est l équation d une parabole, ce qui est conforme à l enregistrement expérimental On peut ensuite vérifier que certains points de l enregistrement correspondent à cette équation, par exemple, pour y =, on retrouve bien x = et x =,4 m c Au sommet de la trajectoire, v y = g t S + v sin α = et v x = v cos α De la première expression, on tire t S = v sin α g d) La hauteur maximale est atteinte par la grenouille à la date t S S y max = gt + v sin α t S y max = ( sin ) g v α + v g sin v sin α α g y max = v sin α sin 45 = =, m g e résultat est conforme à l enregistrement e) Pour x = 6 cm, y doit être nul En utilisant l équation de la trajectoire on a : y(,6) = 6, 9, 8 +,6 tan 45 vcos45 = 9,8,6 +, 6 = v hapitre - Mouvements dans un champ de pesanteur 7

Soit v = 9,8,6 et v,4 m s 7 Quatre satellites terrestres Exercice résolu dans le manuel de l élève 8 Ball-trap A Bilan des actions extérieures sur le système étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen : action de la erre, le poids P = mg Deuxième loi de Newton : P = m a m g = m a a = g P P P P P P oordonnées de a a = x P : a = g y 3 les coordonnées du vecteur vitesse sont les fonctions primitives des coordonnées du vecteur accélération : v ( t) = v = v (cos α) Px Px P v P v ()= t gt + v = gt + v (sin α) Py Py P 4 Les coordonnées du vecteur position sont les fonctions primitives des coordonnées du vecteur vitesse : x ()= t v (cos α) t P P OM y ()= t gt + v (sin α) t P B x = x A = 45 m La durée de vol Δt est la durée écoulée entre les instants de date t = et t, avec t la date à laquelle le pigeon arrive au point d abscisse x x x ( t )= x v (cos α) t = x t = p P v (cos α) 45 t = 3 = 45 =, s et donc Δt =, s 3 3 a) Deuxième loi de Newton appliquée au système {point matériel B} dans le référentiel terrestre supposé galiléen : F == ma a ext B B = Le vecteur vitesse v B est constant Le mouvement est rectiligne vertical uniforme, la vitesse est constante : v B = v B = 5 m s b) La distance y parcourue pendant l intervalle de temps Δt est : y = v B Δt soit Δt = y v B P Δt = 5 s = 4,4 s 4 Δ t, = =48 Δt 4,4 Δt < Δt : la durée de vol de la balle étant très inférieure à celle du pigeon, le tireur peut viser directement le pigeon lorsque celui-ci se trouve à sa verticale La distance parcourue par le pigeon pendant la durée de vol de la balle est très faible La deuxième loi de Newton s écrit : F = P = m a m g= m a a = g ext B B B B B B B La composante de la vitesse sur l axe des y est : v ( ) = + B t gt y v B Δt = t t = t v By (t ) = ( 4,4 + 5) = 499,6 m s 5, m s v By (t ) v B 9 Mouvement d un projectile y (m),9,8,7,6,5,4,3,,,5,5 x (m),5 est la trajectoire du projectile La modélisation donne l équation suivante : y =,7336 x +,598 x, qui correspond à celle d une parabole 3 v (ms ),,,3,4 v x v y t (s) 8 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

La modélisation donne v x =,56 m s et v y = 9,5 t + 4, es deux équations correspondent aux équations horaires des vitesses d un point en chute libre parabolique : v x = v cos α et v y = g t + v sin α 4 v x () = v cos α =,56 m s et v y () = v sin α = 4, m s 5 v () = v () + v () x y v() = 4,8 m s v () cos = () d'où = cos v () x α α x v v() α = 58 6 La valeur moyenne de a x est nulle, elle correspond au coefficient directeur de la courbe v x = f(t) La valeur moyenne de a y est 9,5 m s, elle correspond au coefficient directeur de la courbe v y = f(t) 7 La composante verticale de l accélération du mouvement est égale à g 8 L erreur relative commise dans la détermination de a y par rapport à la valeur de g est : 98, 95, = 3 % 98, ette valeur est faible, on peut considérer que a y = g et que a = g La chute est bien libre et parabolique hapitre - Mouvements dans un champ de pesanteur 9

Les systèmes oscillants Programme D ÉVOLUION EMPORELLE DES SYSÈMES MÉANIQUES (5 P HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Exemples de systèmes oscillants dans la vie courante : suspension de voiture, oscillation des immeubles de grande hauteur sous l action du vent, vibration du sol au passage d un GV extes historiques de Galilée * Expérience de cours mettant en évidence les notions à introduire Étude de la force de rappel exercée par un ressort en statique 3 Systèmes oscillants 3 Présentation de divers systèmes oscillants mécaniques Pendule pesant, pendule simple et système solide-ressort en oscillation libre : position d équilibre, écart à l équilibre, abscisse angulaire, amplitude, amortissement (régime pseudo-périodique, régime apériodique), pseudo-période et isochronisme des petites oscillations, période propre Expression de la période propre d un pendule simple : justification de la forme de l expression par analyse dimensionnelle 3 Le dispositif solide-ressort Force de rappel exercée par un ressort Force dynamique du système «solide» : choix du référentiel, bilan des forces, application de la deuxième loi de Newton, équation différentielle, solution analytique dans le cas d un frottement nul Période propre Définir un pendule simple Justifier la position d équilibre dans le cas d un pendule simple Définir l écart à l équilibre, l abscisse angulaire, l amplitude, la pseudo-période, la période propre et les mesurer sur un enregistrement Énoncer la loi d isochronisme des petites oscillations Savoir comment un système peut atteindre un régime apériodique Savoir que dans le cas d un amortissement faible, la pseudo-période est voisine de la période propre Pour un pendule simple, justifier la forme de l expression de la période propre par analyse dimensionnelle À partir d une série de résultats expérimentaux, vérifier la validité de l expression de la période propre d un pendule simple Savoir-faire expérimentaux Décrire un protocole expérimental permettant : d enregistrer le mouvement d un système oscillant plus ou moins amorti, de vérifier la loi d isochronisme des petites oscillations, de vérifier l expression de la période propre dans le cas du pendule simple onnaître les caractéristiques de la force de rappel exercée par un ressort Appliquer la deuxième loi de Newton au solide et effectuer la résolution analytique dans le cas d un dispositif oscillant horizontalement onnaître la signification de tous les termes intervenant dans la solution de l équation différentielle et leur unité onnaître et savoir exploiter l expression de la période propre, vérifier son homogénéité par analyse dimensionnelle * Activités pouvant donner lieu à l utilisation des technologies de l information et de la communication 3 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES À l aide d un dispositif expérimental (par exemple, un mobile sur coussin d air relié à un ou deux ressorts ou un solide fixé à un ressort vertical) : enregistrer x = f(t), déterminer l amplitude et la pseudo-période, déterminer l influence de l amortissement sur l amplitude et sur la pseudo-période, déterminer l influence des paramètres m et/ou k 33 Le phénomène de résonance Présentation expérimentale du phénomène : excitateur, résonateur, amplitude et période des oscillations, influence de l amortissement Exemples de résonances mécaniques Savoir-faire expérimentaux Enregistrer un mouvement oscillant amorti Savoir mesurer une amplitude, une pseudopériode Savoir faire varier l amortissement Savoir montrer l influence des paramètres masse et rigidité sur la période propre Savoir que la résonance mécanique se produit lorsque la période de l excitateur est voisine de la période propre du résonateur Savoir que l augmentation de l amortissement provoque une diminution de l amplitude onnaître des exemples de résonance mécanique ours Découpage du cours Les systèmes oscillants p 34 Le pendule pesant p 35 3 Le pendule simple p 37 4 L oscillateur élastique : dispositif solide-ressort p 38 5 Le phénomène de résonance p 4 Le programme dit bien que «la présentation de divers systèmes oscillants est uniquement descriptive» Ainsi, le pendule pesant est utilisé expérimentalement et son mouvement analysé d un point de vue qualitatif L amortissement est donc simplement observé De ce fait, aucune équation du mouvement n est écrite et l expression littérale de la période propre n est pas donnée Le pendule simple est présenté comme le pendule pesant le plus simple qui puisse être est un modèle idéalisé, pour lequel il nous est apparu nécessaire de faire référence à Galilée L expression de sa période propre est donnée et justifiée par une analyse dimensionnelle La loi d isochronisme est donnée et vérifiée Dans le cas d oscillations amorties, la pseudo-période est la durée d une oscillation Elle est mesurée expérimentalement et on vérifie que dans le cas d amortissements faibles, la pseudo-période des oscillations du pendule simple est sensiblement égale à sa période propre onformément au programme, le système solideressort est étudié de façon quantitative L étude dynamique qui conduit à l équation différentielle est faite pour le système solide-ressort horizontal soumis à une force de frottement La solution de cette équation différentielle est donnée dans le cas où la force de frottement est négligeable On en déduit l expression de la période et on montre que dans le cas où le ressort est vertical, la période reste la même : c est la période propre du système solideressort Le phénomène de résonance mécanique est montré expérimentalement avec un excitateur dont la fréquence varie continûment La réponse du résonateur est enregistrée Activités Étude de la période des oscillations d un pendule simple (page 43) Il nous est apparu nécessaire de bâtir une activité documentaire à partir du texte historique de Galilée out d abord, parce que le texte est AIVIÉ riche en informations et montre l évolution inéluctable du langage scientifique qui tend à éviter toute ambiguïté d interprétation Ensuite, parce que ce chapitre sur les oscillations du pendule pesant est étudié d un point de vue hapitre - Les systèmes oscillants 3

qualitatif Aucune approche quantitative et aucune démonstration dans le cas du pendule simple ne sont requises L approche que l élève a des oscillations est essentiellement expérimentale et, à partir de là, il doit se forger des modèles sur les oscillations libres et forcées, voire entretenues et se convaincre d une grandeur caractéristique de ces oscillations qu est la période Il doit aussi avoir une idée sur les paramètres qui sont susceptibles d intervenir sur la valeur de cette période et connaître les conditions dans lesquelles on peut considérer que, pour un pendule donné, elle est pratiquement constante Enfin, en terminale, l élève peut avoir un regard philosophique épistémologique La science d Aristote était souveraine au siècle de Galilée et pratiquement immuable Galilée entend, par l expérience, prouver que la connaissance de la physique est en perpétuelle évolution Pour éviter les affrontements avec ceux qui se voulaient les gardiens de la connaissance, tout en voulant défendre et développer ses idées, il utilise le dialogue entre trois personnages : un défenseur des idées d Aristote, un partisan de opernic et un observateur éclairé (Galilée), qui anime les débats La période est indépendante de la masse «allée et venue» = oscillation Le temps d une «allée et venue» est une période 3 Le texte peut être reformulé ainsi : «J ai pris deux billes, l une en plomb et l autre en liège, de masses respectives m p et m L telles que m p > m L, attachées toutes deux à des fils fins identiques, de longueur comprise entre, m et,5 m et fixés à leur extrémité supérieure Les ayant écartées de leur position d équilibre, je les ai laissées osciller, de façon à ce qu elles accomplissent au moins oscillations J ai pu observer que les deux billes restaient synchrones, aussi bien après cent qu après mille oscillations Leurs périodes sont tout à fait identiques» Loi de l isochronisme des petites oscillations L exercice montre que, pour une amplitude des oscillations de 5, l écart relatif entre la période du pendule simple et la valeur calculée à partir de la relation = π est inférieur à 5 % g Si on admet que 5 % est une bonne précision, on peut admettre que, pour une amplitude de 5, les oscillations sont petites La longueur du pendule utilisé par Galilée est comprise entre 4 à 5 coudée soit de l ordre de m (la cou- dée longueur allant du coude jusqu à l extrémité du majeur de la main valait, selon les pays et les époques jusqu au XVII e siècle, entre 48 et 5 cm) Pour une longueur de m, la période des oscillations, à 5 % près, est comprise entre,7 s et 3, s La précision portant sur le dixième de seconde, Galilée ne disposait pas d instrument suffisamment précis pour montrer que la période variait en fonction de l amplitude Une anecdote raconte (on n en connaît pas la véracité) que Galilée découvrit à 9 ans l isochronisme des petites oscillations du pendule en observant les mouvements d une lampe suspendue au plafond de la cathédrale de Pise et en mesurant la période des oscillations d après les battements de son pouls (Réf : ENS-Lyon) Marin Mersenne (588-648), religieux de l ordre des Minimes, enseigne la philosophie d abord à Nevers, puis au couvent de l Annonciade à Paris Mersenne adhère aux idées de Descartes et s oppose à tout ce qui n est pas rationnel Il est le traducteur de Galilée et entretient une très riche correspondance avec les plus grands savants de son temps : Descartes, Fermat, Pascal, orricelli En 635, il crée une académie pour permettre aux érudits d échanger Marin Mersenne est le premier à montrer que la loi d isochronisme des oscillations n est valable que si celles-ci sont petites Ne pouvant effectuer de mesure du temps pour le montrer, Mersenne écarte deux pendules simples identiques ayant même axe de rotation, l un de à 5 et l autre de 5, puis il place à l endroit de la position d équilibre de ces pendules une petite planche en bois verticalement Après avoir libéré simultanément les pendules, il entend le bruit dû à l impact du pendule écarté de à 5 en premier Relation entre la période et la longueur du pendule simple Galilée montre que la période est proportionnelle à la racine carrée de la longueur du pendule simple : = k La relation = π montre que le coefficient de proportionnalité de Galilée est : k = π g g AIVIÉ Oscillations libres et forcées d un oscillateur élastique vertical (page 44) A Les oscillations libres Soit L la longueur à vide du ressort À l équilibre, les forces qui s exercent sur la masse m fixée 3 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

au ressort sont le poids yp et la force de rappel yf du ressort À l équilibre on a yp + yf = y, d où P = F avec P = m g et F = k ΔL = k (L L ), d où mg = k (L L ) De même avec une masse m, on aura : m g = k (L L ) Par différence des deux relations on obtient : m m (m m) g = k (L L) et par suite : k = L L g Avec les valeurs données en exemple, le calcul conduit à : k = 5,3 N m 3 Pour déterminer la période, on écarte la masse m de sa position d équilibre, puis on la libère À un instant où la masse passe par l une de ses extrémités (oscillation zéro), on déclenche le chronomètre (t = ) Après oscillations, on arrête le chronomètre La période s obtient en divisant la durée lue par 4 Les valeurs expérimentales sont entrées dans une feuille du tableur À partir de m, on crée la grandeur m 5 La représentation graphique doit faire apparaître un ensemble de 6 points alignés 6 Le modèle mathématique le plus représentatif de ( m) est une fonction linéaire dont l équation est = π m L équation du modèle (ou courbe de k tendance sur certains tableurs) donne le coefficient directeur a de la droite à partir duquel on exprime k : k = 4 π Il reste alors à comparer les deux a valeurs du coefficient de raideur Remarque : la première valeur de k trouvée est obtenue à partir d une étude statique et la deuxième à partir d une étude dynamique B Les oscillations libres et forcées À partir de la relation qui donne la période propre = M π k, on trouve =,995 s L expérience conduit à déterminer la période, qui est la durée de oscillations lue sur le chronomètre divisée par 3 Pour des fréquences différentes, on doit noter que les amplitudes sont différentes L amplitude doit augmenter, passer par un maximum, puis diminuer 4 L amplitude est maximale à la résonance La fréquence de l excitateur (excentrique) est alors peu différente de la fréquence du résonateur (ressortmasse) 5 Les deux fréquences sont voisines (la fréquence propre se déduit de la période calculée précédemment par la relation N = ) La Logan au banc d essai a) Les forces qui s exercent sur la caisse fixée au ressort sont le poids yp et la force de rappel yf du ressort b) À l équilibre (à l arrêt), le principe de l inertie s écrit : yp + yf = y, d où P = F avec P = M g et F = k Δ D où M g = k Δ a) De même, avec une masse M + m, on peut écrire : (M + m) g = k ( Δ + h) Par différence des deux relations, on obtient mg = kh, d où k = mg h b) k = 9 56 N m 3 a) Le phénomène est la résonance qui donne une amplitude des oscillations maximale b) la période des oscillations doit être peu différente M + m de la période propre = π =,7 s k c) À la vitesse constante v, on peut écrire : M + m D = v Δt = π v = 6 m k d) À la vitesse de 5 km h, on a Δt la période de l excitateur est différente de celle du résonateur Il n y a donc pas phénomène de résonance On pourrait dépasser la vitesse de 8 km h pour qu il n y ait également pas phénomène de résonance ela n est évidemment pas recommandé Étude du dispositif 3 solide-ressort horizontal (page 46) Mesure et réglage préliminaires Le banc à coussin d air horizontal est mis sous tension On branche la sortie analogique (en bas à droite) à la carte d acquisition Lorsque le mobile est au repos (x = ), on règle, à l aide du bouton «zéro», u = V, mesuré à l aide du logiciel qui pilote la carte d acquisition la relation x(u) est affine : x = au + b On a donc le système de équations à inconnues : AIVIÉ 4 =,5 a + b 4=,5 a + b On en déduit : b = et a =,6 cm V 3 Pour étudier l influence de la masse, on réalise l enregistrement des oscillations du mobile seul hapitre - Les systèmes oscillants 33

sur quelques périodes (3 ou 4 par exemple), puis, après avoir fixé la plaque parallèle au tableau sous le mobile, on recommence une autre acquisition qui se superpose à la précédente En comparant les deux courbes, on constate que les périodes sont différentes On peut même mesurer ces périodes 4 Pour comparer les oscillations non amorties et amorties à masse constante, on réalise l enregistrement des oscillations du mobile sous lequel est fixée la plaque parallèle au tableau sur quelques périodes, puis après avoir remplacé la plaque par celle (de même masse) perpendiculaire au tableau, on recommence une autre acquisition qui se superpose à la précédente Expériences et résultats Les courbes rouge et bleue correspondent à des oscillations non amorties La période des oscillations correspondant à la courbe bleue est supérieure à celle des oscillations correspondant à la courbe rouge La courbe bleue se rapporte donc aux oscillations du mobile de plus grande masse La courbe verte correspond à des oscillations amorties La pseudo-période de ces oscillations est peu différente de la période propre des oscillations correspondant à la courbe bleue D où : courbe rouge : mobile seul ; courbe bleue : mobile avec plaque parallèle au plan ; courbe verte : mobile avec plaque perpendiculaire au plan =,45 s : courbe rouge = période des oscillations du mobile seul =,474 s : courbe verte = pseudo-période des oscillations du mobile avec plaque perpendiculaire au plan =,476 s : courbe bleue = période des oscillations du mobile avec plaque parallèle au plan 3 Le mouvement des oscillations non amorti est sinusoïdal 4 La période des oscillations est indépendante de l amplitude Les deux courbes bleue et verte ont pratiquement même période (période propre pour l une et pseudopériode pour l autre), indépendamment de l amplitude Par ailleurs, la pseudo-période reste constante malgré l amortissement (donc la diminution de l amplitude) 5 Les caractéristiques du mobile et des ressorts (données avec l appareil) sont : mobile seul, m = 59,4 g ; mobile avec plaque, m = 75,8 g ; ressort, k = 6,83 N m Les périodes sont : mobile seul, = π m k =,44 s ; mobile avec plaque, = m π =,468 s k Les précisions sont : pour le mobile seul,, % ; pour le mobile avec plaque,,7 % es résultats sont donc excellents orrigés des exercices (page 47) Appliquer et approfondir 7 La erre n est pas sphérique! De l expression : = π, on déduit : g = g 4π =,994 m (en prenant g = 9,89 N kg, la valeur donnée par le site officiel http : //bgi cnesfr : 8/bgi_ref_fhtml est =,993 86 m) La longueur du pendule à ayenne doit être =,994, 8 =,99 m 3 La grandeur en cause est l accélération de la pesanteur g, dont la valeur est : g = 4 π = 9,78 N kg (Le site officiel cité ci-dessus donne 9,78 N kg ) 8 Amortissement Les oscillations sont amorties La pseudo-période est la durée entre deux passages consécutifs dans le même sens par la position d équilibre 3 Par mesure, on trouve que : 3 pseudo-périodes sont représentées par 4,5 cm ; 4 s sont représentées par 5 cm On en déduit : =, s 4 À t =, l amplitude des oscillations est soit, rad 9 Le pendule curieux Solution en fin de manuel de l élève Le pendule de Mach Exercice résolu dans le manuel de l élève 34 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

Que sont de petites oscillations? Solution en fin de manuel de l élève Pendules simple et élastique synchrones Pour le pendule simple, la période des oscillations est : = π g et pour le pendule élastique, = π m k Les deux pendules sont synchrones si = soit g = m k D où m = k =,5 kg g 3 Raideur d un ressort À partir de la courbe, on peut définir les coordonnées des deux points A et B : A ( ; 5 cm) ; B ( g ; 3 cm), soit, dans le système international : A ( ;,5 m) ; B (, kg ;,3 m) La fonction qui lie m à L étant affine, est de la forme : L = a m + L L équation de la courbe est : L =,75 m +,5 La longueur du ressort à vide est L =,5 m 3 Les forces qui s exercent sur la masse fixée au ressort sont le poids yp et la force de rappel yf du ressort À l équilibre, on a yp + yf = yo, d où P = F avec P = m g et F = k ΔL = k (L L ) 4 De la relation précédente, on déduit : m g = k (L L ), d où L = g k m + L Par suite, g k = a =,75 m kg K = g a = 3, kg s (ou 3, N m ) m 5 = π, avec, d après la relation de la question précédente, m L L k = k g On a donc : = π L L g 6 On a donc L = g + L 4π Pour =,5 s, L =, m =, cm 4 Un peu d énergie V = d x = π x m sin π t + Φ La vitesse (la norme du vecteur vitesse) est maximale quand sn i π + t Φ = soit : quand cos π + t Φ =, c est-à-dire quand x = La vitesse est nulle quand sin π t + Φ = soit quand cos π + t Φ = ±, c est-à-dire quand le solide passe par ses positions extrêmes ± x m 3 a) L énergie cinétique E c (t) du solide est : E c (t) = mv = 4 m π x sin π m t + Φ b) La période des oscillations élastiques étant m = π k, on en déduit k = 4 π m D où : E c (t) = kx cos π + m t Φ 4 a) On a E c (t) = kx cos π k x + m m t Φ D où E c (t) = kx kx m b) E c est maximale quand x = ; E c est nulle quand x = ± x m Les résultats sont en cohérence avec ceux de la question puisque l énergie cinétique est maximale quand la vitesse l est et nulle quand la vitesse l est également 5 E c = kx kx peut s écrire : m E + kx = kx = constante c m La somme de deux énergies (dont une cinétique) égale à une constante fait penser à la conservation de l énergie mécanique L autre terme kx fait penser à une énergie potentielle Il s agit d une énergie potentielle élastique emmagasinée dans le ressort déformé e point sera développé dans le chapitre suivant kx représente l énergie potentielle élastique m maximale quand E c = 5 La suspension : les amortisseurs Exercice résolu dans le manuel de l élève hapitre - Les systèmes oscillants 35

Préparer le BA 6 Bien sûr qu elle tourne! Lorsque le pendule écarté au maximum est au niveau de la rampe (du cercle), on a : sin α m = R L = 3 67 =,6 «Oscillation» se rapporte au mouvement et non au temps De plus, une oscillation correspond à un aller et retour du pendule qui, écarté de sa position d équilibre, est lâché Les 8 secondes évoquées par Foucault correspondent à la durée d une demioscillation ; c est donc la demi-période [] 3 a) [] = [] a = [] [][] t = [ V ] [ V ] [] t = [][] t = [] [] t [][] t = [] t = [t] [] b) = π = 6,4 s g On peut assimiler le pendule de Foucault à un pendule simple 4 a) La période n est pas modifiée, car elle est indépendante de la masse b) L énergie mécanique initiale du système est son énergie potentielle elle-ci dépend de la masse : E p = mgz (vu en re S) La masse du pendule étant plus petite, l énergie mécanique initiale est donc inférieure aujourd hui à ce qu elle était à l origine 5 Le «mouvement oscillatoire de la masse pendulaire» suit «un arc de cercle dont le plan est nettement déterminé» e plan vertical invariable est indépendant de la rotation de la erre, qui tourne «en dessous du pendule» entraînant, avec elle, le cercle en bois sur lequel se trouve le sable La rotation de la erre se fait dans le sens contraire de «l agrandissement de la brèche» 7 Les oscillateurs mécaniques A E c = mv E p = mgh Soit H la projection orthogonale de G sur la droite (AG ) h = AG AH = AG AG cos β Puisque AG = AG = L, on a : h = L L cos β = L( cos β) D où : E p = mgl ( cos β) h z A H G β β m AG = L 3 En G i, le pendule ne possède que de l énergie potentielle car V i = : E pi = mgl ( cos β m ) En G, le pendule ne possède que de l énergie cinétique, car h = : E c = mv En l absence de frottement, l énergie mécanique se conserve On a : E pi = E c D où mgl ( cos β m ) = mv La vitesse au passage par la position d équilibre est : V = gl( cos β ) soit V m = m s 4 La période du pendule simple est indépendante de l amplitude des oscillations L 5 L expression correcte de la période est = π g, car l analyse dimensionnelle donne : [] L [ ] = [ g ] = [] L [] a = [] L [][] L t [][] L t = = [ V ] [ V ] [] L [] t [] t = [] t = [t] 6 Les forces qui s exercent sur le solide (S) sont le poids yp, la réaction yr de la tige et la force de rappel yf du ressort (ramenée en G) (R) O yi yr (S) yf 7 Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la deuxième loi de Newton appliquée au solide s écrit : yp + yr + yf = m ya G yp et yr étant des interactions qui se compensent, la relation précédente se réduite à : F = ma G G yp G G i x 36 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

On a yf = kxyi, d où : kxyi = m ya G d qu on peut encore écrire : kxi = m x dx i d D où l équation différentielle : m x + kx = 8 Si x(t) = X m cos ( πt + ϕ) est solution de l équation différentielle, on a alors : dx π π = X sin + m d t t ϕ et d x π π = X cos + m t ϕ = π x En remplaçant dans l équation différentielle, on π obtient : k + = m x Pour que cette expression soit nulle quelle que soit la position x, il faut que π k + =, soit m m =π k L 9 Pour le pendule simple, on a : = π g La période dépend de g Sur la Lune, augmente (hypothèse ), car g Lune < g erre Pour le pendule élastique (oscillateur harmonique) : = π m La période est indépendante de k g : elle ne varie pas (hypothèse ) oscillateur harmonique pendule simple Hypothèse Hypothèse ne varie pas augmente 8 Étude d un oscillateur Les forces agissant sur la masse m sont : O yf G yr yp x Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la deuxième loi de Newton appliquée au solide s écrit : yp + yr + yf = m ya G yp et yr étant des interactions qui se compensent, la relation précédente se réduit à : yf = m ya G On a F = kxyi, d où : kxyi = m ya G d qu on peut encore écrire : kxi = m x dx i D où l équation différentielle : d x k + = m x m Avec =π k, on en déduit : k = π = ω m 3 Si x(t) = A sin(ω t + ϕ) est solution de l équation différentielle, on a alors : dx =Aω cos ( ω t + ϕ) d t et d x = A( ω ) sin ( ω t + ϕ ) = ( ω ) x En remplaçant dans l équation différentielle, on obtient : ( ω ) k + x = m Asin ϕ = x( ) 4 À t = s, on a : dx =Aω cos = ϕ t = cos ϕ = d où sin ϕ = ± D où A = x = ± cm Avec A = + cm, sin ϕ = et ϕ = π m 5 On a =π k avec m = M N A =,3 4 s Remarque : la masse atomique du chlore étant de 35,5 g mol, on peut considérer que l oscillateur est l atome d hydrogène (principe de l inertie) 6 ν = = 8,8 3 Hz 7 λ = c ν = 3,4 6 m = 3,4 μm ette longueur d onde est située dans le proche infrarouge 8 m croît d où décroît soit ν décroît La fréquence propre de vibration est plus petite hapitre - Les systèmes oscillants 37

9 Oscillations libres et forcées Par mesure, on trouve que : périodes sont représentées par 5,5 cm ;,8 s sont représentées par 6,7 cm On en déduit que =,33 s La valeur théorique est : = π m k, = π = 4 4 = ( ) = π = π =,34 s La valeur expérimentale est donc en accord avec la valeur théorique à,3 % près [ m] 3 [] = [ m] [ m][ L] = k [] F [] F [] L s exprime en [(kg m) (kg m s ) ] ½ s exprime donc en seconde 4 La solution plus visqueuse va générer un amortissement L allure de la courbe sera la suivante :,5,,5 O,5,5 x (cm) Sans amortissement t (s),,,3,4,5,6,7,8 Avec amortissement dans un liquide visqueux 5 Le nom donné au moteur muni de l excentrique est excitateur 6 Le nom donné au système {ressort + masse} est résonateur 7 À N = 3, Hz, on obtient le phénomène de résonance 8 La période des oscillations à la résonance est 3, = π =,34 s 9 ette période est la même que celle des oscillations libres = = N Si on utilisait la solution visqueuse, on observerait une diminution de l amplitude Les bosses de la piste déformée compriment les ressorts et les creux les détendent ce qui occasionne des oscillations de la voiture La durée mise par la voiture pour parcourir la distance L à la vitesse V R correspond à la période propre des oscillations, ce qui induit la résonance avec augmentation de l amplitude des oscillations On a : = = L, N V R d où : V R = N L = 5,8 = 4 m s = 4,4 km h Évolution d un oscillateur a) Soufflerie à puissance maximale enregistrement n 3 régime périodique b) Puissance de la soufflerie légèrement diminuée enregistrement n régime pseudo-périodique c) Puissance de la soufflerie fortement diminuée enregistrement n régime apériodique Dans toute la suite, on se place dans le cas où les frottements sont négligeables Voir réponse à la question de l exercice n 7 3 Voir réponse aux questions 7 et 8 de l exercice n 6 4 La période propre de l oscillateur est =, s À t =, on a : x = X m cos( Φ ) et V = π X m sin( Φ ) = V = d où sin Φ = soit Φ = ou π (à π près) et cos Φ = ± X étant positif, cos Φ = + et Φ = D où x =, cos (πt) 5 De la relation = π m k, on déduit : k = 4 π m = 3,95 N m 38 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

3 Étude énergétique des systèmes mécaniques Programme D ÉVOLUION EMPORELLE DES SYSÈMES MÉANIQUES (5 P HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Activité de réinvestissement des enregistrements des travaux pratiques précédents d un point de vue énergétique (projectile dans un champ de pesanteur uniforme, oscillation d un ressort horizontal) : calcul des énergies potentielle et cinétique transferts d énergie énergie mécanique conservation ou non de l énergie mécanique Un tableur, un logiciel de traitement de données, des logiciels de simulation peuvent être utilisés pour atteindre les objectifs cités ci-dessus 4 Aspects énergétiques ravail élémentaire d une force ravail d une force extérieure appliquée à l extrémité d un ressort, l autre extrémité étant fixe Énergie potentielle élastique du ressort Énergie mécanique du système solideressort Énergie mécanique d un projectile dans un champ de pesanteur uniforme onnaître l expression du travail élémentaire d une force Établir l expression du travail d une force extérieure appliquée à l extrémité d un ressort, par méthode graphique et par intégration Établir et connaître l expression de l énergie potentielle élastique d un ressort Établir l expression de l énergie mécanique d un système solide-ressort et d un projectile dans un champ de pesanteur Exploiter la relation traduisant, lorsqu elle est justifiée, la conservation de l énergie mécanique d un système alculer la variation de l énergie cinétique d un système à partir de la variation d énergie potentielle et réciproquement Savoir exploiter un document expérimental pour calculer des énergies reconnaître et interpréter la conservation ou la non-conservation de l énergie mécanique d un système ours Découpage du cours ravail d une force p 56 Des énergies potentielles p 58 3 Énergie mécanique d un système p 6 Après avoir étudié la dynamique de la chute verticale de systèmes mécaniques dans un fluide, celle du mouvement parabolique de chute libre d un système dans le champ de pesanteur terrestre, et enfin celle relative au mouvement d un système solidaire de l extrémité libre d un ressort horizontal, on s attache dans ce chapitre à l étude de l aspect énergétique de ces différents mouvements On s intéresse en effet aux variations des grandeurs énergétiques telles que l énergie cinétique, l énergie potentielle de pesanteur, l énergie potentielle élastique, relatives à ces systèmes en mouvement outefois, notre étude n est pas conduite dans le simple et unique but d apprécier leur variations temporelles respectives, mais plutôt dans celui de mesurer les conversions d énergie dont ces systèmes en mouvement sont l objet et d identifier les causes, en terme d interaction, de ces échanges énergétiques Dans un premier temps, le cours présente quelques méthodes permettant d exprimer le travail d une force et notamment celui de la tension d un ressort horizontal ou encore celui du poids d un système ette grandeur «travail», présentée comme un mode de transfert énergétique entre deux systèmes mécaniques en interaction, nous permet de définir les notions de variation d énergie potentielle de pesanteur et de variation d énergie potentielle élastique Le cours insiste du reste sur le fait que si ces grandeurs énergétiques ne nous sont connues que du point de vue de leurs variations, du fait de leur définition même, le fait de fixer pour chacune d entre elles un niveau de référence suffit à les expliciter pleinement hapitre 3 - Étude énergétique des systèmes mécaniques 39

L énergie cinétique d un système en mouvement est par la suite présentée et, en corollaire à celleci, le théorème relatif à cette forme d énergie, mais dont l expression n est donnée que relativement à un solide indéformable en mouvement de translation dans un référentiel galiléen Enfin, l énergie mécanique d un système est définie et les conditions de sa conservation ou de sa nonconservation précisée à travers l étude du mouvement d un solide solidaire de l extrémité libre d un ressort horizontal et de celui d un système en mouvement dans le champ de pesanteur terrestre Les activités proposées permettent, indifféremment, d appréhender les conditions de conservation ou non de l énergie mécanique d un système ou de réinvestir les connaissances acquises à travers deux exemples de mouvements L activité peut se concevoir comme une présentation de la loi de conservation de l énergie et de ce qu elle implique en termes de conversions et d échanges énergétiques entre des systèmes en interaction Activités L énergie, une grandeur qui se conserve (page 63) À travers l étude de quelques documents, on se propose d appréhender le fait que si l énergie d un système mécanique peut prendre différentes formes, le principe de conservation de l énergie implique des transferts énergétiques entre les systèmes qui interagissent Une application relative aux montagnes russes illustre les échanges énergétiques entre les différentes formes d énergie que peut posséder un système en mouvement et ce en quoi le principe de sa conservation conditionne ces échanges AIVIÉ L énergie : d une forme à une autre L idée de «force vive» impliquant celle d une énergie relative au mouvement, il apparaît que nous désignerions aujourd hui sous ce terme l énergie cinétique d un système, E c, énergie qu il possède du seul fait de son mouvement Le concept d «attraction à travers l espace» renvoie à celui d interaction gravitationnelle et par là même à celui d interaction avec la erre : c est donc l énergie potentielle de pesanteur, E PP, énergie qu un système possède du fait de sa position par rapport à la erre, que semble désigner ce terme La loi de conservation de l énergie ne stipule pas que l énergie d un système doive nécessairement se conserver Elle précise le fait que l énergie qui se conserve est celle d un système en interaction avec d autres systèmes, et que par là même des transferts énergétiques entre ces systèmes sont permis et même nécessaires à la conservation de cette grandeur Les montagnes russes À son point de départ, «le capital énergie» d une voiture de montagne russe est stockée sous forme d énergie potentielle de pesanteur, soit la forme énergétique relative à la position de celle-ci par rapport à la erre On admettra que si son point de départ est le point le plus haut du circuit, alors son énergie potentielle de pesanteur en ce point est maximale, pour peu que le niveau de référence pour cette énergie ait été choisi au niveau du sol Lorsque la voiture descend, son altitude diminue et par là même son énergie potentielle de pesanteur Simultanément, la vitesse de la voiture augmentant, il en est de même de son énergie cinétique Lors du mouvement de la voiture le long du circuit, énergie potentielle de pesanteur et énergie cinétique se convertissent l une en l autre 3 Le mouvement de la voiture sur les rails des montagnes russes n étant pas exempt de frottements, une partie du capital énergétique de celle-ci est cédé sous forme de chaleur aux rails, voire à l air dans lequel elle évolue Ainsi, ce capital, et ce quelles que soient les formes d énergie qu il recouvre, ne cesse de décroître Maximal à son point de départ, il ne pourra jamais retrouver une telle valeur et par là même la voiture atteindre la même hauteur 4 L énergie mécanique de cette voiture, somme de son énergie potentielle de pesanteur et de son énergie cinétique, ne se conserve donc pas Elle ne cesse de diminuer du fait du travail des forces de frottement dont est l objet la voiture au cours de son déplacement 4 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

Étude d un oscillateur mécanique horizontal (page 64) On se propose, en utilisant un capteur de positions lié à un ordinateur par une interface d acquisition de données, d étudier les échanges énergétiques dont est l objet un système «solide-ressort» horizontal au cours de son mouvement de translation dans le référentiel du laboratoire On souhaite en outre vérifier la conservation ou non-conservation de l énergie mécanique du système considéré, en regard des conditions expérimentales et ainsi apprécier en terme énergétique le rôle des forces de frottements AIVIÉ Mouvement non amorti Application à la mesure de la masse d un astronaute La période de l oscillateur mécanique constitué par l ensemble «cabine ressort horizontal» est égale à, s (pour plus de précision, on pourra la déduire de la valeur de 3 périodes) Par définition, la période propre d un tel oscillateur non amorti est donnée par l expression ( m + M) =π où (m + M) est la masse de l oscillateur et k la constante de raideur du ressort k équivalent considéré k Alors, on a : M = m 4π, soit M = = 8 kg 4π 3 L impesanteur est un état d absence apparente de pesanteur La détermination de la masse par ce dispositif étant indépendante d une quelconque valeur de g, intensité de la pesanteur, on peut donc l utiliser en impesanteur Étude énergétique 3 d une chute dans le champ de pesanteur terrestre (page 66) On se propose, en utilisant un logiciel de pointage et un tableur-grapheur, d étudier l aspect énergétique du mouvement plan d un projectile, en l occurrence une boule de pétanque dans le champ de pesanteur terrestre considéré comme uniforme On souhaite visualiser les conversions d énergie réalisées au cours de ce mouvement et apprécier ainsi la conservation ou non-conservation de l énergie mécanique du système considéré AIVIÉ raitement des données par un tableur grapheur Dynamique du mouvement a) En E3, créer la grandeur v x et en E5 inscrire la formule : = (B6 B4)/(A6 A4) En F3, créer la grandeur v y et en F5 inscrire la formule : = (6 4)/(A6 A4) b) v (ms ) 6 4 4 6 8,,4,6,8 y = 9,7993 x + 5,3 y = 3,8 v x, v y t (s) c) omme indiqué sur les graphes ci-dessus : v x = 3,8 m s ; v y = 9,8 t + 5,3 hapitre 3 - Étude énergétique des systèmes mécaniques 4

d) D après la définition de l accélération d un système en mouvement dans un référentiel donné, v v v x y a = d a a x y soit = d et = d en projetant sur chacun des axes Ox et Oy Avec les expressions précédemment données de v x (t) et v y (t), on a a x = et a y = 9,8 3 Échanges énergétiques au cours du mouvement a) Il est nécessaire de préciser que la boule de pétanque est considérée comme en translation dans le référentiel d étude, afin d exprimer son énergie cinétique par E = mv avec G, centre d inertie G de la boule de pétanque En G3 créer la grandeur v et en G5 inscrire la formule : = (v x^ + v y^) En H3 créer la grandeur E c et en H5 inscrire la formule : =,5*,73*G5 b) On choisit le niveau de référence pour l énergie potentielle de pesanteur au niveau du sol, soit E PP ( y = ) = J En I3, créer la grandeur E PP et en I5 inscrire la formule : =,73*9,8*5 c) E (J) 8 6 4 8 6 4 t (s),,,3,4,5,6,7,8,9 3 Interprétation des résultats omme l atteste la courbe E = f(t) ci-dessus, dont l équation est donnée par E = 5 J, on peut estimer que l énergie mécanique du système se conserve e résultat était annoncé par la valeur des coordonnées du vecteur accélération du système étudié En effet, celles-ci sont égales à celles du vecteur champ de pesanteur yg, ce qui traduit le fait que la boule est en chute libre dans le référentiel d étude 3 La seule force qui s exerce sur la boule de pétanque en mouvement dans le référentiel d étude est son poids L énergie mécanique d un tel système se conserve donc bien E E E PP orrigés des exercices (page 67) Appliquer et approfondir 3 Un jeu vieux comme le monde Solution en fin de manuel de l élève 4 Une mine rétractable Le travail de la force exercée sur l extrémité libre d un ressort, appelée «tension du ressort», pour déplacer celle-ci de A à B a pour expression : W ( F) = k x x AB B A ( ) avec x A et x B, abscisses respectives des points A et B Donc W ( F) = k k (( ) ) = ( ) AB Alors, W AB ( F) = 5 (8,5 ) =, 4 J 3 Si on note F R la force de rappel exercée par le ressort, W ( F )= W ( F)= k x x k x x AB R AB B A A B ( ) = ( ), soit, W ( F )= k ( ) et donc, W ( F )=, 4J AB R 5 Skieur et remonte-pente AB Solution en fin de manuel de l élève 6 Descente en luge D après l expression du théorème de l énergie cinétique pour un solide en translation dans un référentiel galiléen, soit : Δ E = E (B) E (A) = W ( F ), on a : AB c c c AB ext W F mv mv m v v ( ) = = AB ext B A B A ( ) Alors W F ( ) = 6 ( 5, ) AB ext = 3 J R 4 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

Les forces qui s exercent sur le système étudié sont : la réaction normale de la piste, les frottements et son poids W ( F )= W ( P) + W ( N) + W ( f) AB ext AB AB AB = mgh ++ W AB ( f ) soit W ( y f ) = 3 6 9,8 3 sin 35 AB = 9 3J 3 À partir de la date pour laquelle la vitesse limite du système est atteinte, l énergie cinétique de celuici est constante Alors Δ AB E c = E c (B) E c (A)== W AB ( F ext ) 7 Frédéric et son pistolet à flèches Solution en fin de manuel de l élève 8 Lancer de balle Solution en fin de manuel de l élève 9 Étude d un plongeon Exercice résolu dans le manuel de l élève Mouvement d un palet Les forces qui s exercent sur le palet lors du déplacement de son centre d inertie de D à F sont son poids P et la réaction normale de la gouttière N E m (D) = E c (D) + E pp (D) = mv D 3 E m (F ) = E c (F ) + E pp (F ) = mg (z F z D ) = mgh ou encore E m (F ) = mg (DF) sin α 4 Pour un solide en translation dans un référentiel galiléen, on peut écrire : Δ Σ DF c = c ( ) c ( )= ( E E F E D W F DF ext ) Avec, W ( P) = mg( z z ), DF D F on a : E ( F) E ( D) = mg( z z ), c c D F ouencore, E ( F)+ mgz = E ( D)+ mgz, c F c D soit : E ( F) = E ( D) = cste m m Par conséquent : v D mv = mg( DF )sinα et ( DF ) = D g sin α, ( DF ) = 9,8 sin8 =,43m Énergies et pendule simple Solution en fin de manuel de l élève Un lancer au basket L énergie potentielle de pesanteur du ballon croît du lancer jusqu à l apogée du tir, au détriment de son énergie cinétique, qui décroît et prend une valeur minimale en ce point puis inversement On considère le ballon en chute libre dans le référentiel d étude, car son énergie mécanique se conserve 3 D après la courbe, E m = 3,5 J 4 À la date t = s, E () = mv + E () m pp Avec E pp () = J, on a E c () =,5 J E () c Alors, v = v soit = m s m 5 Au sommet de sa trajectoire, la composante verticale de la vitesse du ballon s annule Sa vitesse est égale à la composante horizontale de sa vitesse initiale dans la mesure où son mouvement selon cette direction est uniforme Ainsi, E ()= S mgz + mvcosα avec E ( S) = 7J m S pp ( E () E ( S)) Alors cos m pp α = soit α = 6 mv 3 Un oscillateur solide-ressort E = E + E = kx + mv m pe c Dans un référentiel galiléen, l énergie mécanique de tout système mécanique en translation se conserve en l absence de frottements En considérant d autre part que lorsque l allongement algébrique x du ressort est maximal et égal à X M, sa vitesse est nulle et que lorsque cette dernière est maximale, son allongement algébrique est nul, on peut écrire : kx = mv soit, v = M M M Avec k M m X m k X M = ona = π π et donc v = π M k m 3 omme l indique le graphe x = f(t), à la date t = s, l allongement algébrique x est négatif et va en décroissant en valeur absolue L énergie potentielle élastique du pendule s annule donc peu de temps après la date t hapitre 3 - Étude énergétique des systèmes mécaniques 43

y y La double flèche indique la période temporelle de la fonction E pe (t), qui est par ailleurs identique à celle de la fonction E c (t) t Ainsi, avec xt ( ) = X cos( π + ϕ ), M t on a : E = k X pe M ( cos( π + ϕ )) 44 = kx M t cos( π + ϕ ) ou encore avec le fait que cos = +cos α α, t E = kx + kx cos( 4 π + ϕ ) pe M M 4 4 que l on peut écrire E = kx + kx pe M 4 4 avec = / Préparer le BA 4 Jeu de fête forraine t cos( π + ϕ ) Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques M Exercice résolu dans le manuel de l élève 5 Oscillations mécaniques Les deux formes d énergie mises en jeu par ce pendule sont son énergie cinétique E c liée à sa vitesse et son énergie potentielle de pesanteur E pp relative à son interaction avec la erre Un quart de période après avoir été lâché, le pendule passe par sa position d équilibre, pour laquelle son abscisse angulaire est θ = À partir de cette date, correspondant à l origine des temps, l altitude z du centre d inertie de la boule métallique solidaire de l extrémité du fil va augmenter Il en est de même de son énergie potentielle de pesanteur, dont l expression est donnée par E pp = m g z si l on considère que le niveau de référence pour l énergie potentielle de pesanteur est en O, position d équilibre stable du pendule considéré À cette même date, soit à l origine des temps, la vitesse du pendule est maximale outefois, à partir de cette date, sa vitesse diminue, tout comme son énergie cinétique, dont l expression est fonction du carré de sa vitesse 3 L énergie mécanique du pendule considéré à la date t de son mouvement dans le référentiel d étude est, par définition, égale à la somme de son énergie potentielle de pesanteur et de son énergie cinétique à cette même date On a donc : E m = E c + E pp Le tracé des variations temporelles de l énergie mécanique de ce pendule nous montre que sa valeur est constante : on peut donc considérer comme nulles les forces de frottements dont il serait susceptible d être l objet 4 a) La boule métallique de masse m est l objet de deux forces si l on néglige les frottements dus à l air : son poids yp de direction verticale, et la tension y du fil b) Exprimons le travail respectif de chacune des forces appliquées à ce système lorsque la boule passe du point A au point B tels que z A > z B W ()= Py Py AB p = mg( z z )= mgl( cosθ) AB A B 3 Ainsi, W ( P)=,8 J =,8 mj AB y La tension du fil étant constamment perpendiculaire au vecteur déplacement od l, son travail est nul : W AB (y) = c) Pour un solide en translation dans un référentiel galiléen, le théorème de l énergie cinétique nous permet d écrire : Δ AB E = E ( B)- E ( A)= W AB F c c c ( ) ext La boule métallique étant abandonnée sans vitesse initiale, on en déduit : E c (A) = Dans la mesure où le poids de la boule et la tension du fil sont des forces extérieures appliquées au système, on peut alors écrire : y ( y ) soit : E ( B) =,8 mj Δ AB E = E ( B)= W AB ( F )= W AB ( P)+ W c c ext AB c d) omme nous l avons vu précédemment, à son passage par la verticale, l énergie cinétique du pendule est maximale Sur le document, nous pouvons lire E c max =,8 mj, ce qui correspond à la valeur précédemment déterminée 6 Énergies d un système solide-ressort A Sur le mobile de masse m s exercent son poids yp de direction verticale, la réaction normale du support yr dans la mesure où les frottements sont négligés et la force de rappel yf R du ressort dont la direction coïncide avec celle de l axe x x du ressort 3 Le référentiel d étude est le référentiel terrestre, donc galiléen D après la deuxième loi de Newton appliquée à la masse solidaire du ressort, on peut écrire : may = Fy = Py + Ry + Fy ext R dont l expression selon l axe du mouvement est : ei + ei kxi e = ma ei x d On a donc = ou encore = d kx m v x x kx

L équation différentielle du mouvement est de fait : d m x + kx = 4 Avec xt ( )= k x cos( m t + ϕ M ), on obtient en dérivant par rapport au temps, d() xt k k = x sin( + ) M m m t ϕ, et d xt ( ) k k = x cos( + ) d M t m m t ϕ en dérivant une seconde fois En introduisant ces deux expressions dans l équation différentielle du mouvement, on obtient : m ( k k x m cos( m t + kx k ϕ )) + cos( m t + ϕ M M ) = k soit, kx m t kx k cos( + ϕ) cos( M M m t + ϕ)= L équation différentielle du mouvement est bien vérifiée, ce qui atteste du fait que l expression xt ( )= k x cos( m t + ϕ M ) est bien solution de celle-ci 5 À la date t = s, on a : dx k v(t = ) = = = x sin(+ ϕ) M t = m Dans la mesure où k, m et x M ne sont pas nuls, sin ϕ =, donc ϕ = ou π À cette même date, x(t = ) = x = x M cos ( + ϕ) = x M cos ϕ Or, on a x =, cm est une grandeur positive On a donc nécessairement ϕ = et x M = x 5 Par définition, la période propre de l oscillateur est donnée par : = π m k,5 donc = π =,99 s B Par lecture sur la figure, on détermine que la pseudo-période des oscillations est égale à s Afin de gagner en précision, il est préférable de mesurer la valeur de plusieurs pseudo-périodes (ici par exemple, mesure effectuée entre trois maxima successifs) On peut donc considérer que la pseudopériode est égale à la période propre du système, ce qui témoigne du reste du faible amortissement du mouvement du système Par définition,e ()= t mv() t et E ()= t kx t c pe () Or à t = s, comme nous l avons vu précédemment, l allongement algébrique du système considéré est maximal et sa vitesse est nulle Il vient alors que son énergie cinétique est nulle et son énergie potentielle est maximale La courbe (A) correspond à l énergie potentielle élastique et la courbe (B) à l énergie cinétique 3 La variation temporelle de l énergie mécanique du système «solide-ressort» en translation dans un référentiel galiléen est égale aux travaux des forces extérieures qui s exercent sur celui-ci Du fait du travail des forces de frottement, celui du poids du système étant constamment nul, son énergie mécanique diminue au cours du temps 4 À la date t, l allongement algébrique du système est maximal, sa vitesse est donc nulle En revanche, en t, sa vitesse est maximale puisque le système passe par sa position d équilibre (pour laquelle x = ) 5 On a yf= μ vy, donc f = μ v La valeur de la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, elle sera nulle à la date t et maximale à la date t 6 Autour de la date t, la valeur de la vitesse du système est réduite, il en est donc de même de celle la force de frottement L énergie mécanique du système ne varie donc que peu, comme en témoigne l allure de la courbe «en escalier» Inversement, autour de la date t, la valeur de la vitesse du système est importante, tout comme les frottements dont il est l objet Le travail de cette force influence donc notablement les variations temporelles de l énergie mécanique du système : elle diminue de fait de façon plus prononcée, comme en témoigne l allure de la courbe «en escalier» 7 Oscillateur mécanique a) La courbe (a) figure l énergie mécanique, qui se conserve, quel que soit le solide en translation dans un référentiel galiléen, pour peu que les frottements dont il est susceptible d être l objet soient nuls L énergie potentielle élastique s exprime : E = kx pe Sa valeur s annule pour x = La courbe (b) correspond bien aux variations de cette grandeur en fonction de x hapitre 3 - Étude énergétique des systèmes mécaniques 45

b) c) N 4 N Énergie (J),5,4,3,, ourbe (a) ourbe (b) N 3,3,,,3 N, N 5 Énergie cinétique x (m) Les points N et N 5 correspondent à un allongement algébrique maximal Le point N 4 correspond à un allongement algébrique minimal, le point N 3 à la position d équilibre et le point N à un allongement algébrique x =,3 m Pour tracer la courbe E c = f(x), on utilise le fait que l énergie mécanique de ce système s exprime à chaque instant comme : E m (t) = E c (t) + E pp (t) et donc E c (t) = E m (t) E pp (t) a) omme précédemment, l énergie potentielle élastique s annule pour x = La courbe (c) correspond bien aux variations de cette grandeur en fonction de x La courbe (d) figure alors les variations de l énergie mécanique en fonction de x, la valeur de celle-ci décroissant au cours du temps du fait de la perte d énergie du système objet de frottements b) Pour tracer la courbe E c = f(x), on utilise la définition même de l énergie mécanique d un système : E m (t) = E c (t) + E pp (t) Ainsi, au point d allongement algébrique correspondant à P, on a E c = J, dans la mesure où E m = E pp De la même façon, au point d allongement algébrique correspondant à P pour lequel E pp =, on a E c = E m, etc P 3 Énergie (J),5 P,4,3,, P 4 ourbe (d) ourbe (c) Q 3 Q 5 Q,3,,,3 x (m) P 5 P Énergie cinétique c) Les valeurs extrémales de la vitesse correspondent aux valeurs maximales de l énergie cinétique du mobile (A) omme l indique le graphe précédemment tracé, ces valeurs (en Q, Q 4, Q 6 ) diminuent au cours du temps 8 Pendule simple et énergie Le niveau de référence pour l énergie potentielle de pesanteur est tel que E pp (z = ) = J Lorsque le mobile passe par la position d équilibre stable, pour laquelle x = et z =, alors E pp (x = ) = J Seule la courbe (3) satisfait à cette condition La courbe () traduit donc les variations de l énergie cinétique en fonction de l abscisse x du mobile : en effet, celle-ci est maximale lorsque le mobile passe par sa position d équilibre stable La courbe () figure l énergie mécanique du mobile, constante au cours de son mouvement dans le référentiel d étude du fait de l absence de frottement Lors des oscillations, la conservation de l énergie mécanique implique qu il y ait conversion intégrale d énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique et inversement En effet, si Δ AB E = on a: E ( B)= E ( A m m m ) ( )+ ( )= ( )+ ( ) et donc, Alors E B E B E A E A c pp c pp E ( B ) E ( A )= Δ E = E ( A ) E ( B )= Δ AB E pp c c AB c pp pp 9 Mobile sur un banc à coussin d air Pour la partie du mouvement du mobile correspondant à sa montée le long du banc à coussin d air, on a : v(t) = a t + b, avec a et b deux constantes Par une étude graphique on obtient : v(t) = 7,8 t + 6, Avec = d v d on a : = d v a ai x x t i Pour la phase de montée, v v = v i alors, a = d x x d t d( 7,8 t + 6,) Soit, a = = 7,8m s x L accélération du mobile au cours de cette phase de montée est donc 7,8 m s 3 À la date t = s, la vitesse du mobile est égale à 6, m s Son énergie cinétique, dont l expression est donnée par E = mv, vaut à cette date : c E c () = 4,5 J À cette même date, la mobile est au bas de la pente, position pour laquelle est choisi le niveau de référence de l énergie potentielle de pesanteur : donc à t = s, E PP () = J 46 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

La courbe qui décroît continûment figure les variations temporelles de l énergie mécanique du mobile L énergie mécanique de ce système ne se conserve donc pas 4 Lors de la phase de montée, le mobile est nécessairement l objet d une force de frottement dont la direction est colinéaire à sa vitesse et dont le sens est opposé à celui de celle-ci En effet, en l absence d une telle force, l application de la deuxième loi de Newton à ce mobile en mouvement dans un référentiel galiléen nous conduirait à écrire : ma = P + N soit, ma x = m g sin α Alors, dans un tel cas, son accélération selon la direction Ox serait égale à 6,3 m s, ce qui n est pas ici vérifié hapitre 3 - Étude énergétique des systèmes mécaniques 47

4 Ouverture au monde quantique Programme D ÉVOLUION EMPORELLE DES SYSÈMES MÉANIQUES (5 P HE) EXEMPLES D AIVIÉS ONENUS ONNAISSANES E SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES Étude d une banque de données des volumes atomiques Observation de la variété des systèmes planétaires et de l identité de la structure et des propriétés (masse, dimension, spectre) de tous les systèmes atomiques de même composition Étude d un document montrant la quantification des échanges d énergie* Étude de spectres* 5 L atome et la mécanique de Newton : ouverture au monde quantique Limites de la mécanique de Newton Quantification des échanges d énergie Quantification des niveaux d énergie d un atome, d une molécule, d un noyau Application aux spectres, constante de Planck, ΔE = hν * Activités pouvant donner lieu à l utilisation des technologies de l information et de la communication onnaître les expressions de la force d interaction gravitationnelle et de la force d interaction électrostatique Savoir que l énergie de l atome est quantifiée et que la mécanique de Newton ne permet pas d interpréter cette quantification onnaître et exploiter la relation ΔE = hν, connaître la signification de chaque terme et leur unité onvertir les joules en ev et réciproquement Interpréter un spectre de raies Dans les échanges d énergie, associer le MeV au noyau et l ev au cortège électronique ours Découpage du cours Les limites de la physique classique p 76 La mécanique quantique p 77 3 Les spectres atomiques p 79 4 Les différents spectres d absorption p 8 Au xix e siècle, la physique, avec Laplace et Maxwell, après qu il eut publié sa théorie sur l électromagnétisme, semblait apporter une réponse à tout phénomène mécanique, électrique et même thermodynamique Malgré tout, des ombres demeuraient, d autres apparaissaient La physique classique ne savait apporter une réponse aux spectres atomiques, à l effet photoélectrique, au rayonnement du corps noir Une nouvelle physique naissait avec Planck, puis Einstein Une physique imaginative, qui nécessitait la création d une autre théorie est pour cela qu il nous a plu d introduire le chapitre par le secret du renard du Petit Prince Rien d essentiel n est visible et ce qui est visible est la conséquence de faits que la mécanique quantique sait expliquer Quel bouleversement de pensée! Quelle révolution! est pourquoi la quantification de l énergie et le postulat du photon méritent d être mis en valeur Il est ensuite remarquable de voir avec Bohr que le modèle atomique, structurant, ne s explique que par la quantification de l énergie La voie est ouverte pour affiner la théorie des niveaux d énergie Alors la lumière est-elle onde ou corpuscule? On ne pouvait passer sous silence Louis de Broglie Avec cette physique, il nous fallait dire que la probabilité événementielle a eu raison du déterminisme 48 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

Activités AIVIÉ Le modèle de Bohr Relation de Bohr de l atome d hydrogène (page 8) A Application de la physique classique m ke n r h = mr 4π, à l atome m m La re p e Puisque r = ke, la relation précédente devient : loi de Newton s écrit : F =G G r E M q q p e La loi de oulomb s écrit : F =k =k e n mke ke h = E E r r 3 F M 4π E ke = m F Gm m D où E G p e M = π k e 4 nh 9 9 (, 6 9) km 4 = 3 Pour n =, E = π e =,7 8 J 6, 67, 67 7 9, 3 h = 3,6 ev 9, 6 9 = =,3 39 6, 67, 67 9, 69 4 E n = E n La force électrostatique est environ 4 fois supérieure à la force gravitationnelle 5 Pour n =, E =,7 8 J et r = ke = 5,3 4 Le vecteur force électrostatique qui s exerce sur m = 53 pm E M l électron est centripète Sa norme F E =ke est r L expérience de Franck constante : le mouvement est donc circulaire uni- forme d accélération centripète : a = v et Hertz (page 84) r B Principe de l expérience Le tube contenant le mercure étant sous pression réduite, cela signifie que le nombre d atomes de mercure est très faible L énergie est donnée par la relation E = hν avec AIVIÉ 5 La e loi de Newton qui s applique à l électron s écrit : F ext = F E = ma, d où k e = m v r r On a donc : v = ke mr 6 a) L énergie mécanique s écrit E M = E + E P On a donc : E M = m ke ke = ke mr r r b) lim( E ) = M r c) Quand r varie de à +, E M varie de à B Hypothèse de Bohr D après la relation E = hν, on a : h = E ν d où [h] = [ E][ ν] = [ E][ ] Si on se réfère à l énergie cinétique, on a [ E] = [ M][ V], d où [h] = [ M][ V] [ ] = [ M][ V]([ V][ ]) soit : [h] = [ M][ V][ L ] AIVIÉ ν = c hc, d où E = λ λ = 7,84 9 J = 4,9 ev 3 est la première énergie transférée à l atome par un électron lors d un choc 4 a) est donc l énergie du er niveau au er état excité b) 5,86 ev correspond à l énergie du e niveau excité Entre 4,86 ev et 5,44 ev, l électron ne transfère que 4,86 ev à l atome de mercure et conserve la différence entre l énergie qu il possédait et celle qu il a transférée sous forme d énergie cinétique 5 4,86 ev est l énergie nécessaire pour qu un électron du 6 e et dernier niveau d énergie de l atome de mercure dans son état fondamental passe au niveau suivant (7 e niveau d énergie soit le er niveau d excitation) Les valeurs suivantes, dans l ordre, font passer l électron sur les niveaux respectifs 8, 9,,, hapitre 4 - Ouverture au monde quantique 49

6 Il peut y avoir des chocs inélastiques avant la grille si un électron, en choquant un atome de mercure, possède une énergie immédiatement supérieure à celle qui correspond à un niveau d énergie Pour E < 4,9 ev, il ne peut donc pas y avoir de choc inélastique 7,4 ev correspond à l énergie d ionisation orrigés des exercices (page 86) Appliquer et approfondir 5 Identification d étoiles L étoile la plus chaude sera celle dont le spectre est décalé vers les UV L étoile n est Sirius et l étoile n le Soleil L étoile blanche sera Sirius (décalage du spectre vers le violet) et la jaune le Soleil (décalage du spectre vers le rouge) 3 Les énergies correspondant aux radiations absorbées sont : Hδ Hγ Hβ Hα λ (nm) 4,5 433,4 486 656,5 ΔE (J) 4,85 9 4,59 9 4,9 9 3,3 9 ΔE (ev) 3,3,87,56,89 Les énergies de transition d un niveau n > sur le niveau sont : 3 4 5 6 E n (ev) 3,4,5,85,54,38 E n E (ev),,89,55,86 3, Raies Hα : 3 Hβ : 4 Hγ : 5 Hδ : 6 4 a) Les énergies de liaisons moléculaires sont moins énergétiques Les radiations correspondantes ont des longueurs d onde plus grandes Elles sont situées dans le rouge (étoile n, le Soleil) b) L étoile ne possède pas de telles raies Dans ce type d étoiles, il y n a pas de molécules 6 Définition du mètre Le nombre de charges est Z = 36 Il y a donc 36 protons Le nombre de masse est A = 86 Il y a donc 86 36 = 5 neutrons Soit n = 65 763,73 On a n λ = (m) La longueur d onde de la radiation est donc : λ = n = = 6,57 8 7 m 65763, 73 = 65,78 nm 3 E = h ν = hc λ = n h c = 3,8 9 J =,5 ev 4 Il s agit de la vitesse de la lumière dans le vide 7 Niveaux d énergie de l atome de lithium Exercice résolu dans le manuel de l élève 8 onstante de Rydberg Solution en fin de manuel de l élève 9 Énergie de liaison moléculaire Solution en fin de manuel de l élève Préparer le BA Niveaux d énergie de l atome d hydrogène 3, 6 La relation E n = donne : n 3 4 5 6 E n (ev) 3,6 3,39,5,85,54,38 Le diagramme est le suivant : E 5 =,38 E 4 =,54 E 3 =,85 E =,5 E = 3,39 E = 3,6 E (ev) Atome ionisé État fondamental États excités Les niveaux d énergie sont disjoints, ce qui justifie le caractère discontinu est l énergie qu il faut communiquer à l atome pour que l électron soit arraché de l atome et se 5 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

trouve donc infiniment éloigné du noyau Sa valeur est E = (voir diagramme) E E 3 a) On a E 5 3 = 5 3 et E 5 3 = hc λ D où λ = E hc 3 5 soit : λ = hc 5 E 5 3 =,85 6 m = 85 nm b) est une radiation infrarouge c) Les raies de la série de Balmer appartiennent au domaine visible Les raies de la série de Paschen appartiennent au domaine infrarouge donc invisible Il a fallu attendre la théorie des transitions électroniques pour «scruter» l infarouge 4 L énergie correspondant au niveau 3 est E 3 =,5 ev L énergie minimale qui permet à l électron de passer au niveau 4 est ΔE =,5,85 =,66 ev >,5 ev Il n y a donc pas absorption du photon 5 L énergie reçue de ev donne à l électron une énergie totale E =,5 + =,49 ev > ev L atome est donc ionisé et l excédent d énergie est transformé en énergie cinétique On a donc E =,49 ev Lampe à vapeur de sodium I Les longueurs d onde du domaine du visible (4 nm ; 8 nm) sont : 568,8 nm ; le doublet 589, nm et 589,6 nm et 65,4 nm Les longueurs d onde du domaine de l infrarouge IR (> 8 nm) sont : 89,5 nm et 38, nm La longueur d onde du domaine de l ultraviolet UV (< 4 nm) est : 33,3 nm Il s agit d une lumière polychromatique puisque son spectre est composé de plusieurs radiations (raies) ayant des fréquences (donc des couleurs) différentes 3 De la relation, on déduit : ν = c = 5,9 4 Hz λ 4 La grandeur h représente la constante de Planck et la grandeur e la charge élémentaire II 5 E 5 =,85 E 4 =,38 E 3 =,5 E =,94 E = 3,3 E = 5,4 E(eV) Absorption Émission États excités État fondamental 6 Les niveaux d énergie disjoints justifient le caractère discontinu du spectre 7 a) L énergie correspondant à l émission est donnée par : ΔE = h ν = hc 663, 34 3 8 = λ 589 9 = 3,38 9 J =, ev b) ΔE correspond à E E = ( 3,3) ( 5,4) = 5,4 3,3 =, ev La raie jaune correspond à la transition du niveau au niveau 8 ΔE correspond à E E = (,94) ( 3,3) = 3,3,94 =,9 ev L atome de sodium absorbe cette radiation lumineuse et effectue une transition électronique du niveau au niveau (voir diagramme) 9 La raie associée est une raie d absorption qui correspond à la transition électronique du niveau au niveau L absorption d énergie permet des transitions vers des niveaux supérieurs (voir diagramme) hapitre 4 - Ouverture au monde quantique 5

PARIE E L évolution temporelle des systèmes et la mesure du temps 5 La mesure du temps Programme E L ÉVOLUION EMPORELLE DES SYSÈMES E LA MESURE DU EMPS ( HE) ette partie est considérée comme une révision de fin d année, autour de la mesure du temps Elle ne comporte aucune connaissance théorique ou compétence exigible nouvelle Les exemples cités ne sont pas limitatifs et le professeur est libre de les enrichir omment mesurer une durée? À partir d une décroissance radioactive (âge de la erre, âge de peintures rupestres, etc) À partir de phénomènes périodiques : oscillateur électrique entretenu (oscillateur L) ; mouvements des astres ; rotation de la erre ; horloges à balancier ; horloges atomiques : définition de la seconde Mesurer une durée pour déterminer une longueur À partir de la propagation d une onde mécanique (télémètre ultrasonore, échographie, son, etc) À partir de la propagation d une onde lumineuse (télémétrie laser, distance erre-lune, etc) Le mètre défini à partir de la seconde et de la célérité de la lumière Le mètre et le pendule battant la seconde Histoire de la mesure des longitudes Mesurer une durée pour déterminer une vitesse Mesure de la célérité du son Mesure de la célérité de la lumière ours Découpage du cours Définition de la seconde p 96 La mesure du temps p 97 3 La mesure des distances et des vitesses p 99 onformément au programme, cette partie est considérée comme une révision de fin d année, autour de la mesure du temps Elle ne comporte aucune connaissance nouvelle Il nous est apparu intéressant de se poser la question : «Qu est-ce que mesurer un temps?» Et en premier lieu : «Existe-t-il une définition physique du temps?» Nous avons donc insisté sur la définition de l unité de temps et son évolution hapitre 5 - La mesure du temps 57

Nous abordons ensuite les phénomènes physiques qui permettent la mesure du temps est là qu une synthèse de tout ce qui a été étudié au cours de l année se fait Enfin, nous traitons de la mesure des distances et des vitesses à partir de la mesure d une durée Activités AIVIÉ Dans l escalier (page 3) ette première activité a plusieurs objectifs : réaliser un montage électrique à partir d un schéma ; réaliser les branchements nécessaires pour visualiser les tensions u (t) et u S (t) Synchroniser le déclenchement d une acquisition et réaliser une acquisition ; exploiter les données d une acquisition ; faire revoir les notions abordées dans le chapitre 6 (circuits R) ; aborder une application des condensateurs, qui sont utilisés en électronique dès que le paramètre temps intervient Le montage utilisé est un montage dans lequel l Aop est utilisé en comparateur Une tension de référence fixe est appliquée entre l entrée non inverseuse de l Aop et la masse Une tension qui évolue au cours du temps est appliquée entre l entrée inverseuse de l Aop et la masse ant que u < E réf, la tension de sortie de l Aop u S correspond à la tension de saturation de l Aop, soit environ + 3,5 V (si l Aop est alimenté par un générateur ± 5 V), la diode brille Dès que u > E réf, la tension de sortie de l Aop u S bascule à 3,5 V La diode ne brille plus A Rôle du circuit Intérêt du montage : lorsque l on appuie sur le bouton poussoir, la diode brille Au bout d une vingtaine de secondes, la diode s éteint e montage permet de simuler le fonctionnement d une minuterie d escalier B Étude expérimentale On appuie sur le bouton poussoir La valeur de la tension u est alors de V Dès que l on relâche le bouton poussoir, la tension u augmente Le condensateur se charge à travers la résistance R (Fig 9 A p 6 du livre élève) 3 La tension u S peut prendre deux valeurs, + 3,5 V ou 3,5 V 4 Si u S = + 3,5 V, la diode est passante S u S On peut écrire : u S = u R + u D Lorsque la diode brille, la valeur de u D est environ de V et l intensité du courant qui la traverse est d environ ma u R = u S u D = 3,5, =,5 V = R P i d où i = u R R P =,5 68 R p u R u D = 7 ma La diode brille Si u S = + 3,5 V, la diode n est pas passante et ne brille pas 5 En effectuant la modélisation, on constate que la valeur de A trouvée est proche de 5 V et correspond à la valeur de E La valeur de τ trouvée correspond à la valeur du produit R 6 La tension u S change de signe pour la date t = s ette valeur dépend des valeurs réelles de R et de Étude du circuit R E i R B M A u R u 58 Partie E - L évolution temporelle des systèmes et la mesure du temps

E = u + u R = u + R i Avec les conventions choisies sur le circuit : q = u et i = d q d = d u t d d où E = u + R u u = A ( e t /τ ) d E = u + R u = A( e t /τ ) + RA e t/τ τ = A A e t/τ R τ valable quel que soit t, d où : R = et A = E τ Donc τ = R et A = E 3 À t = τ = R, u = E ( e t/τ ) = E ( e ) = 9,5 V = U réf 4 En conservant les valeurs des tensions E et E réf inchangées, il faut modifier la valeur de R, résistance du résistor ou de, capacité du condensateur, afin d augmenter la durée d allumage de la DEL Pour que la diode brille pendant min 4 s environ, il faut que τ = R = s Avec les valeurs des composants disponibles, il faut choisir R = kω et = μf Un «garde-temps» à la rescousse des navigateurs (page 3) ette activité documentaire est l occasion d évoquer l histoire de la recherche de la précision de la mesure du temps Avec un enjeu de toute première importance : pouvoir déterminer le plus précisément possible sa longitude à la surface du globe À l occasion de cette activité, il est proposé d effectuer une courte recherche sur John Harrison AIVIÉ B Détermination de la latitude Les deux angles ont des côtés respectivement perpendiculaires Détermination de la latitude En heure, la erre tourne de θ = 5 Angle au centre Durée correspondante 36 4 h 36 θ = = 5 4 h De même, en une minute, la erre tourne de θ =,5 Angle au centre 36 θ = = 44 Durée correspondante 36 4 h = 4 6 = 44 min 5, min 3 Un décalage temporel de h min entre l heure au méridien de Greenwich et le midi solaire permet d évaluer la longitude du point considéré Angle au centre Durée correspondante,5 min Φ =,5 7 = 8 h min = 7 min 4 Une erreur de 5 min en une journée correspond à une erreur sur la longitude de : ΔΦ = 5,5 = 3,75 Sur l équateur, l erreur Δl commise sur la position est de Δl = R ΔΦ avec ΔΦ en radian ΔΦ = 375, π rad 8 soit Δl = R ΔΦ = 6 4 375, π = 4, km 8 5 Au cours de ses recherches, il a inventé des procédés encore utilisés de nos jours, tels que : le roulement à rouleaux ; le premier élément bilame : deux fines lames de deux matériaux ayant des coefficients de dilatation différents, qui se déforment sous l action de la chaleur, utilisées de nos jours dans les thermostats 6 Deux principales voies de recherche s affrontaient à l époque afin de déterminer précisément la longitude à bord d un navire : la voie astronomique, mais les méthodes basées sur l observation des objets célestes réclament des conditions difficiles à réunir sur un navire en haute mer (entre les mouvements du bateau et des conditions atmosphériques satisfaisantes ) ; la voie mécanique ou «horlogère» Or le Bureau des Longitudes regroupait des mathématiciens, des navigateurs mais aussi des astronomes, bien évidemment pas très favorables à une solution «horlogère» Harrison se trouvera donc pris dans une querelle qui l opposera au Bureau des Longitudes pour obtenir la récompense promise hapitre 5 - La mesure du temps 59

orrigés des exercices (page 34) Réalisation artisanale d un diapason électronique a) Le dipôle responsable de l amortissement des oscillations est le conducteur ohmique de résistance R qui dissipe, par effet Joule, l énergie électrique qu il reçoit en chaleur b) Le régime est pseudo-périodique L amplitude des oscillations décroît au cours du temps La durée écoulée entre les deux points et D est la pseudo-période : = ms 3 Au cours des oscillations, le dispositif d entretien des oscillations apporte, à chaque instant, une énergie qui compense celle perdue par effet Joule 4 L =π L = =, H 4 π 5 N = = 33 Hz mi π L mi Voyager en se repérant : le GPS et les horloges A Au voisinage de la erre, le satellite est soumis à la force de gravitation F /S Soit u le vecteur unitaire défini comme le montre la figure ci-dessous, on a : F /S = G M m s ( R + h) u (où m s est la masse du satellite) () R yu h yf/s (S) D après la e loi de Newton, on a F /S = m s a G, d où a M G = G ( R + h u ) Le vecteur accélération a G est centripète a G n a donc pas de composante tangentielle et, par suite, le mouvement est circulaire uniforme 3 L expression de l accélération centripète est V a G = ( R + h) V On en déduit : ( R + h) = G M ( R + h) M d où : V = G ( R + h ) 4 Avec les données de l énoncé : V = 3,88 3 m s =,4 4 km h e résultat est conforme à la valeur de la vitesse donnée dans l énoncé La période s écrit : = π ( R + h ) ( + ) = π R h 3 V GM = 4,3 4 s =, h =, h 5 e satellite n est pas géostationnaire pour deux raisons : son mouvement ne se situe pas dans le plan équatorial (les axes de rotation de la erre et du satellite sont différents) De ce fait, le satellite ne peut pas être immobile par rapport à un point de la surface terrestre ; sa période est différente de celle de rotation de la erre, qui est = 3,9 h (3 h 56 min 4 s) B a) Pour le signal de fréquence N =,6 GHz : λ = c N =,9 m =,9 m Pour le signal de fréquence N =, GHz : c λ = N =,5 m =,5 m b) À célérité constante, la durée s écrit : t = h c,8 7 D où t = = 6,73 s = 67,3 ms 3, 8 c) Δt = Δh c = 6,7 8 s = 67 ns La célérité étant donnée avec 3 chiffres significatifs, la précision sur la mesure de la durée mise pour arriver au récepteur est de 4 s, ce qui est supérieur à l erreur Δt due à l erreur d altitude L erreur d altitude est donc sans incidence sur la durée mise par le signal pour arriver au récepteur d) En passant de m à, m, l erreur est divisée par On a donc N =, d où N = 4 La durée nécessaire pour effectuer les mesures est donc de s Si on considère un véhicule roulant à la vitesse de 9 km h, en s son déplacement est 5 m, 6 Partie E - L évolution temporelle des systèmes et la mesure du temps

Il n est pas utile d affiner la précision de la position du récepteur mobile en multipliant le nombre de mesures, puisqu en s le mobile s est déplacé de façon notable La fréquence est inchangée mais la longueur d onde varie 3 est le phénomène de dispersion [] l [ g ] = [] l [ ] l D où est homogène [][ l ] g à une durée 4π Δ = = α 8 = = 3 4 =,3 % 6 6 3 On a : g = g, d où = =, s g g 4 L horloge à balancier ne convient pas, car sa période dépend de l accélération de la pesanteur 5 5 Δt = = 4,8 7 s 365, 5 4 36 6 Le rayon r de la trajectoire d un point situé sur le parallèle de Plymouth lors de la rotation de la erre est : r = R cos (λ) La circonférence accomplie en 4 h est π R cos (λ) 5 La dérive est donc πr cos( λ) = 4,5 km 4 36 3 L âge de la erre a) D après le graphique, N U () = 5, noyaux b) La tangente à l origine coupe l axe des abscisses au temps τ 6,5 9 ans λ = τ =,5 an c) N U (t) = N U () e λt N U (t ) = 5, exp (,5,5 9 ) 4, noyaux e résultat peut être vérifié sur la courbe d) Le temps de demi-vie t / de l uranium 38 est le temps au bout duquel la quantité de noyaux radioactifs a diminué de moitié, soit : N U (t / ) = N U () On peut écrire alors : N U () t = N ()e λ / U d où t / = ln λ = 4,6 9 ans Graphiquement, on trouve : t / 4,5 9 ans a) La désintégration d un noyau d uranium donne naissance à un noyau de plomb On a donc : N U () N U (t erre ) = N Pb (t erre ) D où N U (t erre ) = N U () N Pb (t erre ) Le calcul donne : N U (t erre ) = 5,5 =,5 noyaux λt b) De la relation N U (t erre ) = N ( t ) = N ()e erre, U erre U on deduit : N () U ln N ( t ) U erre t / = = 4,6 9 ans λ hapitre 5 - La mesure du temps 6

Enseignement de spécialité

PARIE A Pour le BA orrigés des exercices (page 63) En bordure de piste Un spectateur peut entendre les informations données par les deux hauts-parleurs Deux ondes sonores peuvent donc se croiser sans se déformer Seule différence notable, les informations données par le hautparleur le plus éloigné seront plus faibles en intensité que celles données par le plus rapproché Les durées de propagation des deux ondes sonores à partir des deux hauts-parleurs sont : τ = D et τ = D v v La durée Δτ séparant les deux signaux reçus par le spectateur est donc : D D Δτ = τ τ ou encore Δτ = v Δτ = (9 5) / 38 soit Δτ =,47 s 3 Les spectateurs qui reçoivent les signaux sonores en même temps sont situés à égale distance des deux haut-parleurs ette distance D est donc : D D = + D soit D = m Onde sur une caténaire La relation donnant la célérité des ondes V en fonction de la tension du câble et de sa masse linéique μ est : V = μ La célérité des ondes transversales le long de la corde de piano est : V = μ soit V m = ; V 4 85 3, 4 7, 86, l = 4 πρ D V = 3 6 soit V = 37 m s 3 a) La célérité des ondes transversales le long de la caténaire est : V = μ soit V = 36 m s b) La vitesse limite de la rame de GV est : v lim = 36,7 ; v lim = 95 m s ou encore v lim = 34 km h 4 a) La nouvelle célérité des ondes transversales le long de la caténaire est : V = 3 3 μ ; V 3 = 6 m s ou encore V 3 = 576 km h b) Le rapport de sécurité a été de : k séc = 553/576 soit k séc =,96 Les normes de sécurité assurant le contact électrique ont été repoussées à l extrême limite 3 Étude d un séisme a) Une onde longitudinale est une onde mécanique progressive dont la direction de propagation est parallèle à la direction de la perturbation Une onde transversale est une onde mécanique progressive dont la direction de propagation est perpendiculaire à la direction de la perturbation b) Schéma A : ondes P longitudinales ; les perturbations locales ont leurs directions horizontales sur le schéma Schéma B : ondes S transversales ; les perturbations locales ont leurs directions verticales sur le schéma a) Par hypothèse, les ondes P sont plus rapides que les ondes S L origine du repère temporel (t = s) a été choisie à la date : début du séisme à San Francisco Le train d ondes A est détecté en premier, puis le train d ondes B arrive ensuite à la station Euréka b) La détection du séisme à la station Eureka a été effectuée à la date : t = 8 h 5 min s Pour le BA 37

La durée de parcours des ondes P sur la distance D «épicentre-station Eureka» est : Δt = t t soit Δt = 4 s Le séisme s est donc produit à l épicentre à la date : t = t Δt ; t = 8 h 4 min 4 s c) La distance d est donnée par la relation : V = d ou encore d = V Δt ; Δt d = 4 = 4, km d) Pour parcourir la distance d, les ondes S ont mis une durée Δt = 66 s La célérité de ces ondes est donc : d 4, V = soit V = ; V = 6, km s Δ t 66 4 Propagation d une onde I Une onde longitudinale est une onde mécanique progressive dont la direction de propagation est parallèle à la direction de la perturbation Une onde transversale est une onde mécanique progressive dont la direction de propagation est perpendiculaire à la direction de la perturbation L onde créée par une goutte d eau tombant sur la surface de l eau d une cuve à ondes est une onde mécanique progressive transversale La durée τ entre deux images consécutives est de /4 s Zone de profondeur e Entre l image et l image 7, la durée est : Δt = 6τ Pendant cette durée et d après le document de l énoncé, le front d onde a progressé d une distance : d = 4,8 cm La célérité de l onde est donnée par la relation : c = d Δt 48, soit c = 6 4 ; c = 9 cm s Zone de profondeur e Entre l image 8 et l image 4, la durée est : Δt = 6τ Pendant cette durée et d après le document de l énoncé, le front d onde a progressé d une distance : d = 4, cm La célérité de l onde est donnée par la relation : c = d 4, donc c = ; c = 6 cm s Δt 6 4 3 Lorsque l épaisseur d eau diminue, la célérité de l onde diminue également II La distance séparant deux franges brillantes successives est, par définition, la longueur d onde λ de l onde considérée : λ = c La célérité d une onde en fonction de sa fréquence f est : c = λ f Le document de la figure donne : pour la zone d épaisseur d eau e, d = 4 λ = 4, cm ; c = 4, 4 soit c = 5 cm s ; 4 pour la zone d épaisseur d eau e : d = 5 λ = 4, cm ; c = 4, 4 = cm s 5 Même conclusion qu au I3 : lorsque l épaisseur d eau diminue dans la cuve, la célérité de l onde diminue 3 f (Hz) 4 48 96 λ (m),8,9 7,5 9,3 6 c = λ f (en m s ),,3,8,35 Lorsque la célérité de l onde augmente, la fréquence de l onde augmente III a) Il se produit un phénomène appelé diffraction de la lumière b) tan θ = l / l = D D omme θ, exprimé en radians, possède une valeur l petite, on a : θ = D D autre part : θ = λ a, d où : λ a = l D ; λ = la D 4, 7, 8 3 λ = soit λ = 6 7 m 3, a) Par hypothèse, on a : λ = 3 m et = s λ = V ou encore V = λ ; V = 3 = 9 m s b) Par hypothèse, on a : θ = λ a, donc plus a est faible devant λ et plus l écart angulaire θ est grand, plus la diffraction est marquée Dans le cas de la figure donnée, λ > a, l ouverture du port diffracte l onde incidente L ouverture se comporte alors comme une source ponctuelle émettant des ondes dans pratiquement toutes les directions Le bateau oscille donc verticalement La diffraction ne modifie pas la longueur d onde λ 38 Partie A - Propagation d une onde

5 Propagation des ondes I a) Faux ; b) faux ; c) vrai Justification : V = L 4, 3 ; V = = 34 m s Δ t 7, 6 II a) Vrai Justification : l onde se propage nécessairement dans un milieu matériel, ici l eau L onde est donc une onde mécanique progressive b) Faux ; c) vrai Justification : la direction de la déformation est perpendiculaire à la direction de propagation de l onde, c est une onde transversale a) Faux ; b) vrai ; c) vrai ; d) faux Justification : le morceau de polystyrène suit le mouvement de la surface de l eau III a) Faux Justification : la lumière peut se propager dans le vide, ce n est pas une onde mécanique progressive est une onde électromagnétique b) Vrai Justification : V = c avec c célérité de la lumière n dans le vide et V célérité de la lumière dans l eau ; n =,3 donc V < c c) Faux Justification : la vitesse de la lumière dans un milieu dispersif dépend de la fréquence de la radiation lumineuse a) Vrai Justification : λ bleu est voisin de 4 nm ; λ rouge est voisin de 8 nm Donc λ bleu < λ rouge b) Faux Justification : ν = c λ ; λ rouge < λ infrarouge donc ν rouge > ν infrarouge c) Vrai Justification : E = hν et λ bleu < λ rouge donc ν bleu > ν rouge ; en conséquence, E bleu > E rouge 3 a) Vrai Justification : le phénomène de diffraction est d autant plus marqué que la largeur de la fente est petite b) Faux λ Justification : θ = ; l écart angulaire θ du faisceau a diffracté par une fente est inversement proportionnel à la largeur a de la fente c) Faux Justification : λ bleu < λ rouge et a est constante, donc θ bleu < θ rouge 6 Où il est question de lumière A ontrairement à ce que prévoit l optique géométrique, la lumière ne se propage plus en ligne droite On observe sur l écran un étalement du faisceau de lumière provenant du laser et étalement est perpendiculaire à la direction du fil : il est constitué d une tache centrale bordée latéralement par des taches secondaires alignées e phénomène observé est appelé la diffraction de la lumière ; il est caractéristique des ondes La lumière est de nature ondulatoire Faisceau Laser Fil θ D L Écran ache centrale 3 D après le schéma : tan θ = L / L = D D omme θ, exprimé en radian, est très petit, on a : tan θ = θ,ou encore, θ = L D 4 La relation entre les grandeurs θ, λ et a est : θ = λ avec θ en rad, λ et a en m a 5 Les deux expressions précédentes de θ donnent : L D = λ λd ou encore L = a a 6 Si λ et D sont fixés, comme c est le cas dans les expériences décrites dans le texte, la largeur L de la tache centrale est inversement proportionnelle au diamètre a du fil La tache centrale la plus grande correspond au fil de diamètre le plus petit, on a donc : Figure A a = 6 μm Figure B a = 8 μm B La lumière émise par la source laser est monochromatique car elle est constituée d une seule radiation lumineuse de fréquence fixée L expression obtenue au A 5 est une fonction linéaire de la forme : L = k /a La représentation graphique de L = f(/a) montre une droite qui passe par l origine ette courbe représente bien la fonction du A 5 3 En identifiant les expressions : L = k λd et L = a a, on a : k = λd,7 6 D où : L = k/d ; λ = soit λ = 5,4 7 m,5 Pour le BA 39

4 La fréquence ν de la lumière monochromatique émise par la source laser est : 3, 8 ν = c/λ ; ν = = 5,5 4 Hz 54, 7 5 Fréquence dans le verre La fréquence d une radiation monochromatique est indépendante du milieu de propagation traversé, donc la fréquence de la lumière laser ne change pas à la traversée du verre flint Longueur d onde dans le verre Par définition d un indice de réfraction, on a : n = c v où encore v = c n La longueur d onde dans le vide λ s exprime par la relation : λ = c ν d où : λ(n) = λ /n La longueur d onde λ varie avec le milieu de propagation La couleur d une radiation est définie par la fréquence et non par la longueur d onde, donc la couleur de la radiation ne change pas à la traversée du verre flint 4 Partie A - Propagation d une onde

PARIE B Pour le BA orrigés des exercices (page 7) Scintigraphie thyroïdienne A H+ e I+ n 5 3 53 Le nombre de nucléons et la charge électrique totale se conservent Il y a émission d un neutron t / = ln λ donc t / ( 3 ln I) =, 459 5 = 4,75 4 s et t / ( 3 ln I) = = 6,95 5 s, 6 La demi-vie de l iode 3 est plus courte que celle de l iode 3, sa radioactivité décroît plus rapidement dans le corps humain B L activité est liée au nombre de noyaux radioactifs par A = λ N Lors du prélèvement dans le flacon pour l injection, on soustrait une partie des noyaux radioactifs Ainsi, l activité du flacon après l injection est celle du flacon initialement diminuée de l activité du prélèvement A = 8,5 7, =,5 MBq e,459 5 3 6 =,974 L activité suit la loi de décroissance exponentielle Au bout d une demiheure, elle est donc multipliée par la valeur qui vient d être calculée Ainsi à 9 h 3, l activité du flacon est A =,5,974 =,9 MBq 3 Après le deuxième prélèvement, l activité du flacon est A =,9 7, = 3,9 MBq À h, juste avant le troisième prélèvement, elle est A = 3,9,974 = 3,6 MBq Après le troisième prélèvement, elle est A = 3,6 7, = 6,6 MBq L activité est alors insuffisante pour effectuer un quatrième prélèvement rois patients pourront recevoir la dose nécessaire à la réalisation d une scintigraphie N = A λ = 7,, 459 = 4,8 5 6 Le nombre de noyaux suit la loi de décroissance exponentielle Au bout de six semaines, le nombre de noyaux est : N = 4,8 e,459 5 6 7 864 = 4,9 Il reste théoriquement moins d un noyau radioactif La première injection n a alors aucune influence sur la deuxième scintigraphie 3 Le nodule apparaît comme une zone claire, c est donc qu il émet moins de rayons gamma que le reste de la thyroïde Par conséquent, il contient moins d iode radioactif est donc qu il fixe moins d iode que le reste de la thyroïde Il s agit d un nodule hypofixant Une technique d imagerie médicale A Le symbole du noyau d oxygène 5 est 5 O En 8 effet, ce noyau contient huit protons et sept neutrons, donc quinze nucléons 5 8 O 5 N + 7 e 3 a) ΔE 3 est l opposée de l énergie de liaison du noyau fils, le noyau d azote 5 : E ( 5 N) = E ( 5 N) A A d où E l ( 5 N) = 7,699 5 = 5,5 MeV ΔE 3 = 5,5 MeV b) ΔE = (m finale m initiale ) c = (m neutron + m positon m proton ) c ΔE = (,674 9 7 + 9,9 3,67 6 7 ) (,998 8 ) =,9 3 J 9, 3 ΔE = =,8 MeV, 6 3 c) ΔE = ΔE + ΔE + ΔE 3 ΔE =,9 +,8 + ( 5,5) =,8 MeV B N = N e λ t La définition du temps de demi-vie est N(t / ) = N Alors N = N λt e /, puis ln = λ t / Pour le BA 6

Par conséquent λ = ln t / λ = ln 3 = 5,64 3 s 5 N(t ) = N = N e λt 5 Alors ln = λ t et donc t = λ ln 5 = 564, 3 d où t = 53 s ; t = 8,85 min 5 ln e+ e γ E lib = (m initiale m finale ) c = (m électron + m positon ) c E lib = 9,9 3 (,998 8 ) =,637 3 J E lib =, 637 3 =, MeV, 6 3 E photon = E lib =,5 MeV = 5 kev 6 Partie B - ransformations nucléaires

PARIE Pour le BA orrigés des exercices (page 69) Évolution temporelle de différents systèmes électriques A a) Afin de visualiser les variations temporelles de la tension u R, il convient de brancher le système d acquisition entre les bornes du conducteur ohmique de résistance R : la voie Y (ou H) sur la borne B et la masse sur la borne M de ce dipôle b) En regard de la convention choisie sur le circuit relativement au sens de circulation du courant électrique à la fermeture de l interrupteur, la loi d Ohm, appliquée au conducteur ohmique, nous donne : u BM (t) = u R (t) = R i(t) De fait, on a : i(t) = u R () t R Au coefficient près, les variations temporelles de R la tension u R donnent celles de i L oscillogramme a montre des oscillations électriques de part et d autre d une valeur nulle, l amplitude de celles-ci allant décroissant es oscillations sont caractéristiques de la décharge d un condensateur dans l association en série d une bobine et d un conducteur ohmique de résistance R, et correspondent de fait au phénomène dont est le siège le montage 3 L oscillogramme b montre la décroissance jusqu à la valeur nulle de la tension u R et de fait de l intensité du courant i qui circule dans le circuit e phénomène accompagne la charge d un condensateur par un échelon de tension dans un circuit R, le circuit correspondant est donc celui du montage En effet, la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs nous permet d écrire, considérant que la tension entre les bornes des fils de connexion est nulle, à chaque instant : E = u (t) + u R (t) soit u R (t) = E u (t) À la date t =, le condensateur est déchargé (cf énoncé), la tension u R est donc maximale Lors de la charge du condensateur, u augmente et, de fait, u R diminue jusqu à s annuler L oscillogramme c montre le phénomène de retard à l installation du courant dans un circuit comprenant une bobine, ce qui correspond au montage En effet, la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs nous permet d écrire : E = u L (t) + u R (t) soit u R (t) = E u L (t) = E L d() it en considérant la bobine idéale À la date t =, la variation temporelle de i est telle que la tension u R est nulle elle-ci augmente jusqu à atteindre sa valeur maximale en régime permanent, soit lorsque i est constante B a) omme l indique l énoncé, la première phase correspond à la charge du condensateur à travers un conducteur ohmique de résistance électrique R, par un échelon de tension que l on nous indique de l ordre de quelques centaines de volts La deuxième phase correspond à celle où le condensateur libère l énergie qu il avait emmagasinée Il s agit de fait de la décharge du condensateur dans la lampe flash b) La courbe II traduit la charge d un condensateur sous un échelon de tension de l ordre de 3 V La durée de cette charge est d une vingtaine de secondes La courbe I traduit, quant à elle, la décharge quasi instantanée, sa durée étant de l ordre de 5 ms, du condensateur dans la lampe flash a) On utilisera la méthode de la tangente à l origine des dates pour déterminer la constante de temps caractéristique de chacun des deux phases : la tangente à l origine de la courbe u = f(t) est sécante à son asymptote horizontale (correspondant au régime permanent de fonctionnement du circuit) en un point P d abscisse t = τ Ainsi, graphiquement à partir de la courbe I, on obtient τ =, ms et à partir de la courbe II, τ = 3 ms b) Par définition, la constante de temps d un circuit R est donnée par l expression τ = R Pour le BA 95

On a donc R = τ 3 R = soit, r = 6 3 6 =Ω 4 =3 Ω 3 a) La valeur maximale de la tension mesurée entre les bornes du condensateur est atteinte en régime permanent, soit d après la courbe II, u = 3 V b) À cette tension maximale correspond une énergie maximale emmagasinée par le condensateur, dont la valeur peut être calculée à partir de l expression E = u c On a donc : E c =,5 6 3 = 4,5 J c) Lors de la première phase, soit lors de la charge du condensateur, dont la durée Δt est égale à 5τ, soit 5 s, l énergie échangée est : ΔE = E E = E = 4,5 J f i La puissance moyenne P mise en jeu est donc égale E à : P = Δ = 4,5 Δt 5 =,3W Lors de la seconde phase, soit lors de la décharge du condensateur, dont la durée Δt est égale à 5τ, soit,5 ms, l énergie échangée est : ΔE = E E = 4,5 = 4,5J f i La puissance moyenne P mise en jeu est donc égale E à : P = Δ 4,5 = = 9 3 W Δ t,5 3 La puissance moyenne mise en jeu lors de la première phase est beaucoup plus petite que celle mise en jeu lors de la seconde phase Lors de cette dernière, la valeur très importante de la puissance moyenne échangée permet d éclairer pendant une durée très courte la lampe flash Pour que cette puissance soit importante pour une énergie électrique emmagasinée donnée, il convient que la durée de décharge soit la plus petite possible Dans la mesure où celle-ci est fonction de la résistance électrique de la lampe flash (Δt = 5 τ = 5 r ), il est nécessaire que cette résistance soit la plus faible possible 4 a) Lorsqu il est chargé, et en regard de la convention choisie quant au sens de circulation du courant électrique dans le circuit, la borne A du condensateur porte une charge positive et la borne B de celui-ci une charge négative de valeur identique à la précédente en valeur absolue Lors de la première phase, soit lors de la charge du condensateur, le générateur impose le sens de circulation du courant dans le circuit, qui coïncide avec le sens conventionnellement choisi pour être compté positif En revanche, lors de la décharge du condensateur dans la lampe flash, soit lors de la deuxième phase, le courant s installe dans la branche AB dans le sens opposé à celui adopté par les électrons eux-ci circulant de la borne B du condensateur vers sa borne A à l extérieur de ce dernier, il vient que le courant circule dans la branche AB de B vers A, soit dans le sens opposé au sens conventionnellement choisi pour être compté positif b) Lors de la première phase D après la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs et en considérant nulles les tensions mesurées entre les bornes de fils de connexion, on a : E = u R (t) + u (t) soit E = R i(t) + u (t) Avec les conventions choisies, on a : i(t) = d q ( t A ) et q A (t) = u (t) soit : i(t) = d u ( t ) Alors, en reportant cette expression dans l équation précédente, on obtient l équation différentielle vérifiée par la tension u : E = R d u ( t ) + u (t) Lors de la seconde phase omme précédemment, d après la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs, on a : = u R (t) + u (t) soit R i(t) + u (t) = Avec les conventions choisies, on a i(t) = d u ( t ) Alors, en utilisant l équation précédente, on obtient l équation différentielle vérifiée par la tension u : R d u ( t ) + u (t) = Bobine à inductance réglable A + E = 6 V () () i + q q u i R u R 96 Partie - Évolution des systèmes électriques

D après la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs, on a, lorsque l on commute l interrupteur K en () : u (t) + u R (t) = ou encore u c (t) + R i(t) = D autre part, en regard des conventions choisies, on a : i(t) = d qt ( ) d et q(t) = u (t) soit : i(t) = u ( t ) Alors, en reportant cette expression dans l équation précédente, on obtient l équation différentielle vérifiée par la tension u : R d u + u (t) = 3 À la date t = τ, en utilisant l expression de u (t) proposée, on a : u ()= τ Ee E = =,37 E =37% E e 4 Pour une détermination de la constante de temps en utilisant le résultat précédent, on calcule : u ( ) =,37 E =,37 6 =,V τ dont on détermine graphiquement l abscisse soit en l occurrence t = τ = ms On peut utiliser également la méthode de la tangente à l origine : la tangente à l origine de la courbe u = f(t) est sécante à son asymptote horizontale (correspondant au régime permanent de fonctionnement du circuit) en un point P d abscisse t = τ τ 5 Avec par définition τ = R, ona : = On obtient R 3 alors = =, 6F =, μf 56 3 6 Dans le cas où on utilise un conducteur ohmique de résistance R < R, avec un condensateur de capacité identique au circuit précédent, on a de par la définition même de la constante de temps d un circuit R : τ < τ Le condensateur se décharge plus rapidement que dans le cas précédent u (V ) 6 5 4 3 3 4 5 6 t (ms) B On branche la voie de la carte d acquisition sur la borne d entrée du courant dans le condensateur (cf sens conventionnellement choisi) et la masse à la borne de sortie du courant Les variations temporelles de la tension u sont qualifiées de pseudo-périodique car les valeurs prises par cette tension oscillent de part et d autre de la valeur nulle et l amplitude des oscillations va en décroissant au cours du temps 3 La pseudo-période des oscillations étant égale à la période propre de l oscillateur considéré, elle est donnée par la relation : = π L, onadonc : L = 4 π Graphiquement et afin de gagner en précision, il est préférable de mesurer la valeur de plusieurs pseudopériodes pour en déduire celle de Ainsi, on lit : = 3 ms soit = 6,5 ms (6,5 ) Alors, L = 3 (4 π ) =,48H, 6 4 Écart relatif : L exp L L bob bob =,48,5,5 =,4 L indication de l index est correcte à environ 4 % près, ce qui est un résultat tout à fait honorable vu l imprécision probable quant à sa position et en regard de l imprécision quant à la détermination graphique de la pseudo-période des oscillations Par définition, on a : W ()= t u () t et W ()= t Li () t L À la date t =, le condensateur est chargé sous un échelon de tension E = 6, V, donc u (t = ) = 6, V et aucun courant ne circule dans le circuit, donc i(t = ) = A En utilisant les expressions précédentes, il vient : W ( t= ) =, 6 =4 J=4μJ et W ( t= ) = J L 6 6 La courbe en pointillés correspond donc aux variations temporelles de l énergie électrique stockée par le condensateur et la courbe en trait plein à celle des variations temporelles de l énergie magnétique emmagasinée par la bobine 3 L étude comparée des variations temporelles des énergies stockées par la bobine et le condensateur laisse apparaître le fait que lorsque l une de ces grandeurs croît jusqu à un maximum, l autre décroît jusqu à s annuler et inversement 4 L énergie totale W(t) = W (t) + W L (t) emmagasinée par le dipôle L décroît au cours du temps Pour le BA 97

ette perte d énergie est du fait de la résistance électrique de la bobine qui, lors de chaque transfert énergétique entre les dipôles condensateur et bobine, dissipe par effet Joule une partie de l énergie échangée 5 Le rôle de ce dipôle est de compenser, à chaque instant, les pertes énergétiques dont est le siège le conducteur ohmique du seul fait de sa résistance électrique, afin que l énergie totale W reste constante au cours du temps On a alors des oscillations électriques non amorties de période égale à la période propre du circuit L correspondant Le régime de fonctionnement du circuit est alors entretenu 3 Oscillateur électrique A E K u G R u Voie A Voie B Masse a) À la fermeture de l interrupteur, la tension mesurée entre les bornes du circuit passe instantanément d une valeur nulle à la valeur E de l échelon de tension : la courbe de l oscillogramme rend compte de cette réalité À la fermeture du circuit, le condensateur se charge progressivement à travers le conducteur ohmique et la tension entre ses bornes évolue d une valeur nulle à la valeur E lorsque le régime permanent est atteint, ce qu indique la courbe de l oscillogramme obtenu b) En utilisant le réglage relatif à la sensibilité verticale de l oscilloscope, on peut déterminer la valeur de l échelon de tension E On a : U G = E = (nb div) (V/div) =,5 div V/div = 5, V c) Par définition, la constante de temps τ du dipôle R considéré a pour expression τ = R [τ] = [R] [] Avec U R = R i, U = Q et i = Q Δ t, il vient : [τ] = [ U R ] [] Q [ ] = [] Q =[ Δt]= i U [] i La dimension de la constante de temps est bien celle d un temps d) Lors de la charge d un condensateur de capacité à travers un conducteur ohmique de résistance électrique R par un échelon de tension E, les variations temporelles de la tension u mesurée entre les bornes du condensateur s expriment : t u ()= t E( e R ) Ainsi, à la date t = τ, on a : u (τ) = E ( e ) =,63 E soit u (τ) =,63 5, = 3,5 V ette tension est approximativement atteinte à la date t = τ =,5 ms ( div sur l écran de l oscilloscope) B D après la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs et en considérant nulles les tensions mesurées entre les bornes de fils de connexion, on a, lorsque l on ferme l interrupteur K : u (t) + u L (t) = ou encore u t L it ()+ d() = u A B i q D autre part, en regard des conventions choisies, on a : i(t) = d qt ( ) et q(t) = u (t) d soit : i(t) = u ( t ) Alors, en reportant cette expression dans l équation précédente, on obtient l équation différentielle vérifiée par la tension u : u (t) + L d u ( t ) = a) L oscillateur électrique ainsi constitué est le siège d oscillations électriques libres non amorties, sinusoïdales, de période propre = 4, ms À la date t =, le condensateur est chargé et la tension entre ses bornes est égale à 5, V D u L 98 Partie - Évolution des systèmes électriques

u (V) 5 4 3 t (ms) et donc de la tension entre ses bornes puisque si W t W ()= t ( ) U(),ona t U ()= t b) Dans ces conditions de fonctionnement, la tension u oscille autour de la valeur nulle, l amplitude des oscillations allant en décroissant au cours du temps : un tel régime de fonctionnement est qualifié de pseudo-périodique 3 4 5 3 4 5 6 7 8 9 4 Étincelle de rupture A b) Par définition, = L = 4 L = L π π π = Le fait de quadrupler la capacité d un condensateur dans un circuit L en gardant inchangée la valeur de l inductance de la bobine qui le constitue conduit à doubler la période propre des oscillations électriques dont il est le siège c) Par définition, on a : W ()= t u () t et W ()= t Li () t L À la date t =, le condensateur est chargé et la tension mesurée entre ses bornes telle que u (t = ) = 5, V De plus, aucun courant ne circule dans le circuit, donc i(t = ) = A En utilisant les expressions précédentes, il vient : W ( t= ) = 5 J et W ( t= ) = J L L énergie stockée dans le condensateur s annule quand la tension entre les bornes de ce dipôle est nulle : soit à la date t = = ms, comme l indique 4 la courbe précédemment tracée 3 a) Au sein d un circuit L en régime libre de fonctionnement, condensateur et bobine échangent de l énergie es transferts énergétiques s accompagnent d une perte d énergie dissipée par effet Joule dans la résistance électrique du circuit, aussi faible soit-elle (une bobine, du fait même de sa réalité physique, un enroulement de fil de cuivre, a nécessairement une résistance électrique) Ainsi, l énergie totale stockée par le dipôle L diminue constamment au (fil des échanges et donc au) cours du temps De fait, il en est de même de l énergie électrique stockée par le condensateur (et de l énergie magnétique emmagasinée par la bobine) u = u AB i A B K D u D = u L Avec les conventions choisies précisées sur le circuit ci-dessus, on a : q(t) = u (t) et i(t) = d() qt D après la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs et en considérant nulles les tensions mesurées entre les bornes de fils de connexion, on a, lorsque l on ferme l interrupteur K : u (t) + u L (t) = ou encore u t L it ()+ d() = soit, en fonction de q(t) : qt () d qt ( ) + L = On a, en dérivant une première fois par rapport au temps la solution proposée : d() qt = π Q m sin π + t ϕ et on obtient en dérivant par rapport au temps une seconde fois cette expression : d ( ) = 4 qt π Q m cos πt + ϕ Pour le BA 99

L équation différentielle à laquelle satisfait la charge électrique q(t) de l armature A du condensateur s écrit alors : 4 π Q m cos t L + + π ϕ c m Q os πt + ϕ = t L Q cos 4 + + π ϕ π = m ette égalité est vérifiée pour toute date t Donc, avec Q m nécessairement différent de (car q(t) n est pas nul pour tout t) et cos πt + ϕ non nul pour tout t, il vient nécessairement : 4π L + =, soit L =π Les conditions initiales sont telles qu à t = on a : i(t = ) = et q(t = ) = Q > omme i = d qt ( ) d qt ( ), alors i(t = ) = d t = t = d qt ( ) alors = π Q m sin π + ϕ t = = Q m sin ϕ = () L De plus, on a : q(t = ) = Q cos ϕ = Q > () m Pour que les égalités () et () soient vérifiées, il faut nécessairement que ϕ = et Q m = Q 3 À la date t =, en regard des conditions initiales, qt Q on a : W ( t= ) = (=) = échangée est dissipée par cette dernière par effet Joule L énergie stockée par le dipôle L décroît continûment : le circuit est le siège d oscillations libres électriques amorties B a) u R E i P N A B u AB = u L On a, lorsque l on ferme l interrupteur : E = U R + U L, ou encore E = R i(t) + L d() it En régime permanent, soit lorsque l intensité i du courant dans le circuit est constante, alors d() it = et donc : i(t) = I = E R b) Quand on ouvre l interrupteur, l énergie magnétique stockée par la bobine passe de la valeur W L = L E à R Si cette énergie est suffisamment importante du fait de la valeur de l inductance de la bobine, alors sa dissipation rapide peut donner lieu à une étincelle, dite de rupture au niveau de l interrupteur a) et W t L (=) = Li ( t = ) = À cette date, l énergie stockée par le dipôle L l est exclusivement dans le condensateur Par la suite, l énergie stockée dans le condensateur est transférée intégralement à la bobine, qui l emmagasine avant de la lui restituer, etc Le circuit ainsi constitué est le siège de transferts énergétiques entre le condensateur et la bobine, donc le siège d oscillations électriques libres non amorties 4 Si la bobine possède une résistance électrique, lors de chaque transfert énergétique entre le condensateur et la bobine, une partie de l énergie u R E i P N u L i A B u Partie - Évolution des systèmes électriques

omme précédemment, d après la loi d additivité des tensions dans une boucle fermée de conducteurs, on peut écrire : E = u R (t) + u L (t) = R i(t) + L d() it () et E = u R (t) + u (t) = R i(t) + u (t) () En régime permanent, soit lorsque l intensité i du courant dans le circuit est constante, alors d() it = Donc d après l équation (), on a : i(t) = I = E (3) et, d après () et (3), u R (t) = U = b) À l ouverture de l interrupteur, l énergie stockée par la bobine est transférée intégralement au condensateur, qui se décharge à son tour dans la bobine, etc Le circuit ainsi constitué est un oscillateur L, qui est le siège de transferts énergétiques entre le condensateur et la bobine, donc le siège d oscillations électriques libres non amorties Il n y a plus de dissipation rapide d énergie au niveau de l interrupteur ouvert, donc plus d étincelle de rupture c) omme nous l avons vu précédemment, dans un circuit L, les variations temporelles de la charge q portée par l armature A du condensateur vérifient l équation différentielle établie en A et sont traduites par l expression : t qt ()= Q cos π + ϕ m Pour tracer cette fonction, il convient de connaître son amplitude Q m, sa période propre et sa phase à l origine ϕ Détermination de et ϕ On a, par définition : L =π À la date t =, soit à l ouverture de l interrupteur : u (t = ) = tout comme q(t = ) puisque q(t) = u (t) Alors, on a q(t = ) = Q cos π + ϕ = Q cos ϕ= m m soit nécessairement cos ϕ = () À cette même date, le courant circule dans le circuit dans le même sens que le sens de circulation qu avait à l instant précédent le courant permanent d qt ( ) On a alors i(t = ) = d t > et donc : t = d() qt = π Q m sin π + ϕ t = = π Q m sin ϕ > () Q m, amplitude de la fonction q(t) étant positive, π des égalités () et (), on déduit que ϕ = Détermination de l amplitude L énergie stockée à chaque instant dans l oscillateur L considéré s écrit : W(t) = W (t) + W L (t) Ou encore : W(t) = L E selon que la bobine R stocke l intégralité de cette énergie ou enfin Q m W(t) = selon que le condensateur la stocke exclusivement Les transferts énergétiques entre ces deux dipôles s effectuant sans perte, on peut écrire, du fait de la conservation de l énergie totale : L E = Q m R soit Q E m = R L E D où : qt R L t ()= cos π π Pour le BA

PARIE D Pour le BA orrigés des exercices (page 89) Analogies électromécaniques A Le bilan des forces agissant sur (S) est : le poids P de (S) ; la réaction R du support sur lequel glisse (S) ; la force de rappel F du ressort fixé à (S) Remarque : F est représentée lorsque le ressort est comprimé D où d x = π x () En rapprochant les équations () et (), x = A cos (π t + ϕ) est solution à condition que : k m = π soit = π m k yr yf L unité de m k est s et s appelle période des oscillations = π, =,63 s yp La deuxième loi de Newton appliquée au solide (S) dans un référentiel terrestre galiléen s écrit : P + R + F = ma G P et R étant des interactions qui se compensent, il s ensuit : F = ma G avec F = k x j On a donc kx j = ma G = m d x j Soit k x = m d x ou encore m d x + k x = () 3 Si x = A cos(π t + ϕ), alors v = d x = π A sin(π t + ϕ ) et a = d x = π A cos (π t + ϕ) 4 À t = : x = x d où x = Acos( ϕ) v =, d où = π A sin( ϕ) D où ϕ = et A = x B 5 Si on compare m d x + k x = et L d q + q =, sachant que i = d q, l intensité en électricité correspond à la vitesse en mécanique De même, la raideur k en mécanique correspond à l inverse de la capacité en électricité et la masse en mécanique correspond à l inductance en électricité ableau des similitudes : Mécanique x v k m 6 Puisqu à t =, q = Q et i = : Électricité q i L x = x cos(π t ) devient : q = Q cos(π t ) 5 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

et = π m k devient = π L, soit = π L = π, 6 = π 3 s = 6,3 ms 7 5 4 3 3 4 5,,8,4,4,8, x (cm) x (t) t (s),,4,6,8,,4 q ( 4 ) q (t) t (ms) 4 6 8 4 8 Dans la réalité, les oscillations mécaniques et électriques sont amorties Les causes sont les frottements, la déformation de la matière, la résistance de l air en mécanique et la résistance des conducteurs, y compris de la bobine d inductance en électricité omment faire des ricochets sur l eau? A La représentation graphique v z (t), à partir des valeurs du tableau, montre que la fonction est affine On en déduit : v z (t) = t v z (m s ) 3 4 5 6 7, v z (t) t (s),4,6 v z = t v z =,8 m s v x est constant, d où v x = m s On a : v x = m s 3 On a : v z =, m s 4 La relation qui donne v en fonction de ses coordonnées est : v = v + v x z On obtient : v =, m s 5 a) La variation d énergie cinétique ΔE c est : ΔE c = mv mv = m( v v ) ΔE c =,4 J Puisqu il n y a pas variation d altitude et donc d énergie potentielle de pesanteur, ΔE = ΔE c =,4 J b) E(A) = E c (A) + E p (A) = mv mg z m v + = + gz A A = 9 J c) Après le er rebond, l énergie mécanique est : E = E(A) ΔE Après le e rebond, l énergie mécanique est : E = E ΔE = E(A) ΔE Après le N e rebond, l énergie mécanique est : E n = E(A) N ΔE < ΔE EA D où N > () soit N >,75 d où N = 3 ΔE B Les 3 forces sont : le poids ; la poussée d Archimède ; la résistance de l air a) v x = constante d où a x = v z (t) = t d où a z = m s D où a G b) On a effectivement g = a z, d où a g G = Remarque : a z < car l axe Oz est dirigé vers le haut c) La deuxième loi de Newton s écrit : P + A + R = ma G avec P = mg Puisque a = g, on a : mg + A + R = mg, d où G A + R = Les forces A et R étant toutes deux dirigées vers le haut, on a A = R =, ce qui signifie que les forces A et R sont négligeables devant P 3 D après le principe de conservation de l énergie (puisque A = R = ) : E(A) = E(I) = E c (I) + E p (I) = E c (I) = mv() I D où v()= I EA () m 9 vi ()= = 9 = 4 9 5 = 6 5, Pour le BA 53

, < 5 <,3, d où 3, < v() I < 3,8 On a bien : v() I v L onde est transversale car le mouvement de l eau perturbée se fait verticalement, alors que l onde progresse dans le plan horizontal En,4 =,8 s, l onde a progressé de,4 m La célérité est donc 4, =,3 m s soit 3 cm s 8, 3 Étude d un oscillateur mécanique A Le bilan des forces agissant sur (S) dans le référentiel galiléen est : le poids P de (S) ; la réaction R du banc à coussin d air sur lequel se déplace (S) ; la force de rappel F du ressort fixé à (S) yr yf b) À t = : x() = X m cos ϕ et v x () = π X m sin ϕ B Question n Expérience, s, s a X m, cm 4, cm x(), cm, cm b v x (), m s π 3 =, m s c ressort étiré comprimé La période propre d un ressort est = π m k Les deux expériences, réalisées avec le même solide (S), donnent la même période =, s Il s ensuit que la constante de raideur k est la même dans les deux expériences Il s agit donc du même ressort 3 a) L énergie mécanique est donnée par la relation : E m = E c + E p avec E c = mv et E p = kx Lorsque x = X m, alors v =, d où : E m = kx m yp Remarque : F est représentée lorsque le ressort est comprimé Le théorème du centre d inertie (deuxième loi de Newton) appliqué au solide (S) dans le référentiel terrestre galiléen s écrit : P + R + F = ma G P et R étant des interactions qui se compensent, il s ensuit : F = m a G avec F = k x i On a donc : k x i = m a G = m d x i Soit k x = m d x ou encore d x + k m x = ette équation différentielle est de la forme : d x + ω x =, où ω est la pulsation propre On a k donc : ω = m 3 a) v x = d x = π π X m sin ϕ t + E b) On a : E m m = X X m m X m 4 = = X m = 4 4 L énergie potentielle élastique est fonction du carré de l élongation Puisque x () =, cm et x () =, cm, on a : [x ()] = [x ()] On en déduit que E p () = E p () 4 Mouvement d un palet GG I V G = 3 35 =, =,m s τ, 3 GG 3 5 3, et V = = =,6m s G 4 τ, 3 a ΔV V V G G G 4 = = G 3 Δt τ omme les vecteurs vitesses ont même sens et même direction on a : V V G G 4 6,, a = = =m s G 3 τ 3 3 Les forces qui s exercent sur le palet sont les suivantes : le poids P du palet ; la réaction normale de 54 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques

la gouttière R N puisqu on néglige les frottements ; la force de propulsion F yr N yp yf En second, quand le palet atteint sa vitesse limite V lim =,5 m s, on a d V =, soit A B V lim = A 78, Soit B = = = 6, 4 s V lim, 5 V (m s ),4,,,8 4 La deuxième loi de Newton appliquée au palet dans le référentiel terrestre supposé galiléen est : P F R ma + + = N G En projetant sur l axe xx, on obtient : m g sin α + F = m a G soit F = m (a G + g sin α) AN : au point G 3, F = 5, 3 ( + 9, 8 sin 8) =,73 N II Le palet est soumis aux forces suivantes : le poids P ; la poussée d Archimède Π ; la force de frottement fluide f y La deuxième loi de Newton yf appliquée au palet dans le référentiel terrestre donne : d P + f + Π = ma = m V G En projetant sur l axe Oz vertical, elle devient : P f Π = m g k V ρ V ol g = m d V yp Soit : d V = g( ρv ol m ) k m V On a donc une équation de la forme d V = A B V avec : A = g( ρv ol m ) et B = k m 3 Ne connaissant pas le volume du palet, il faut trouver deux équations à partir de la représentation graphique pour déterminer A et B En premier, à t =, la vitesse est nulle, V =, et le coefficient directeur de la tangente à la courbe est égal à d V On a donc d V =,4,8 = 7, 8ms = A (figure ci-après),6,4, t (s),,4,6,8,,,4 5 hermomètre de Galilée A La boule est soumise à deux forces : son poids P, vertical vers y le bas ; la poussée d Archimède Π, verticale vers le haut P = m g = ρ V b g et Π = ρ l () V b g 3 Puisque dans le référentiel G terrestre, la boule est immobile, d après la première loi de Newton, P + Π = ette relation vectorielle, projetée sur l axe Oz, donne : P Π = soit P = Π yp On a donc : ρ V b g = ρ l () V b g, il en découle : ρ = ρ l () 4 outes les boules possèdent le même volume mais ont des masses volumiques différentes Les boules qui ont donc une masse volumique supérieure à celle du liquide sont en bas, et celles dont la masse volumique est inférieure à celle du liquide se trouvent en haut de la colonne 5 La masse volumique ρ l () décroît fortement lorsque la température augmente Dans ces conditions, ρ l () devient inférieure à ρ et la boule se déplace vers le bas de la colonne car son poids devient supérieur à la poussée d Archimède B La boule est soumise à trois forces : son poids P ; la poussée d Archimède Π et la force de frottement fluide f Pour le BA 55

Les vecteurs ont même origine, y mais pour des questions de visibilité, ils ont été décalés La flè- yf che représentant le vecteur poids G est plus longue que la somme des longueurs des deux flèches des forces f et Π puisque la boule descend La deuxième loi de Newton appliquée à la boule dans le réfé- yp rentiel terrestre supposé galiléen donne : P + Π + f = ma G En projetant cette relation vectorielle sur l axe Oz, on obtient : m g ρ l () V b g k v = m d v Soit d v = g ρ () V l b m k m v ette équation est bien de la forme d v = A B v, avec : ρ () V A = l b g m et B = k m 3 Quand la vitesse limite est atteinte, celle-ci est constante On a donc : dv =, A B v lim =, ce qui donne v lim = A B Sa valeur est v lim =,3 m s 4 Dates t (en s) Vitesse v(t n ) (en m s ) Δv(t n ) (en m s ) t = 9,5 4 t =, 9,5 4 8,8 4 t =,,8 3 8, 4 5 La courbe présente un régime transitoire pour t <,7 s où la vitesse augmente, et un régime permanent pour t,7 s où la vitesse est constante ; sa valeur est alors appelée vitesse limite 6 La tangente à l origine à la courbe v = f(t) coupe l asymptote horizontale en un point dont l abscisse est égale au temps caractéristique τ, s v (mm s ) 3 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,, τ,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, t (s) 7 Plus la valeur du pas est faible, plus on dispose de points pour tracer la courbe v(t) e pas est généralement choisi de manière à ce que sa valeur Δt soit inférieure ou égale à /τ ; soit ici,3 s (on a bien,,3 s) Par contre, si l on ne veut pas avoir trop de calculs à effectuer, on ne choisit pas un pas trop faible ette valeur est donc tout à fait justifiée ici 56 Partie D - Évolution temporelle des systèmes mécaniques