ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 1/10 Question 1 Algèbre de Boole (6 pts 20 minutes) Sachant que A, B et C sont des variables booléennes. Démontrer que : a) A (A+ B )( A +B) = A B A (A+ B )( A +B) = A (A +B) (A+ B ) = A (A+ B ) = A B b) A B A B = A A B A B = ( A B + A B )( A B +A B) = ( A B + A + B )( A+ B +A B) = ( A + B )( A+ B ) = A + A B +AB = A c) ( B + A B + C ) ( A+ B +A C) = A B + B C + B C ( B + A B + C ) ( A+ B +A C) = ( B + C ) ( A+ B +C) = AB+ B C + A C + B C = AB + B C + A B C + ABC + B C = A B + B C + B C
ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 2/10 Question 2 Analyse et synthèse de circuits (7 pts 30 minutes) L implémentation d une fonction logique Z relativement complexe repose sur un XOR de deux autres fonctions X et Y comme indiqué sur le schéma suivant : 1) En considérant que les portes XOR et XNOR à N entrées ont un coût 2N, calculer le coût des fonctions X, Y et Z telles qu elles ont été implémentées. Coût de X(A, B, C, D) = (3+1) + (2+2) = 8 Coût de Y(A, B, C, D) = (3+1) + (2+2) = 8 Coût de Z(A, B, C, D) = 8 + 8 + 2 2 = 20 2) Trouver l expression disjonctive simplifiée de X au moyen de la table de Karnaugh. Évaluer son coût minimal. X = D+ A B C AB/CD 00 01 11 10 00 1 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 0 1 1 0 X Coût (3+1)+(2+1)=7
ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 3/10 3) Trouver l expression conjonctive simplifiée de Y au moyen de la table de Karnaugh. Évaluer son coût minimal. Y = (A + D)(B + D)(C + D) AB/CD 00 01 11 10 00 1 1 0 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 0 0 1 Y Coût (3+1)+3(2+1)=13 4) Trouver l expression conjonctive simplifiée de Z en vous basant sur les résultats précédents. Évaluer le coût minimal de cette implémentation. Z = A + B+ C AB/CD 00 01 11 10 00 0 0 1 1 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1 Z Coût 3+1 = 4 5) Dessinez le circuit optimisé.
ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 4/10 Question 3 Circuits avec mux/démux (6 pts 20 minutes) Considérant le circuit suivant implémentant la fonction X : 1) Trouver l expression algébrique de X sous la forme d un produit de sommes : X = 1 A B C D+ A B CD+ A BCD X = A B C D+ A B CD+ A BCD X = (A + B +C + D )(A +B + C + D ) (A + B + C + D ) 2) Donner la table de Karnaugh à variable inscrite de X sans simplifier (inscrire D) :
ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 5/10 3) Dessiner dans la zone en pointillés le circuit permettant d obtenir X en sortie
ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 6/10 Question 4 Utilisation d un circuit usuel (4 pts 20 minutes) Vous avez fait sous-traiter un travail par une compagnie méchante qui a voulu garder le secret de sa technologie. Voici une partie de circuit combinatoire qu ils ont conçu. Vous voulez trouver l expression algébrique de la fonction F(A, B, C, D). Rappelons que si toutes les entrées e0 à e7 valent toutes 0 alors GS, s2,s1et s0 vallent 0 également. Dans les autres cas, GS vaut 1 et s2s1s0 encodent la position du bit le plus fort qui est à 1. Un ingénieur expérimenté vous aide dans votre démarche. Voici les étapes qu il vous suggère : 1) Exprimer la valeur de F si A=1 : Si A = 1, GS = 1 et la sortie du ET (notée X) vaut 1, F = GS X=1 1=0. 2) Exprimer F si A=0, B=0, C=0 et D=0 : GS = 0, X = 0, F = GS X=0 0=0. 3) Exprimer F si A=0 et (B, C, D) (0, 0, 0) : GS = 1, X = 0, F = GS X=1 0=1 4) Exprimer algébriquement la fonction F(A, B, C, D) : F(A, B, C, D) = A 0 + A (B+C+D) = A B+ A C+ A D
ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 7/10 Question 5 - Quine-McCluskey (7 pts 30 minutes) Soit la table de vérité de la fonction logique F(A,B,C,D) : A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0-0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0-1 0 1 1-1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0-1 1 1 1 0 1) Retranscrire les maxterms de la fonction F sous forme binaire en soulignant les maxterms facultatifs exemple : 1110 pour ( A +B+ C + D ): F(A,B,C,D) =0000 + 0100 + 0101 + 1010 + 1011 + 1101 + 1110 + 1111 2) Procéder par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(A,B,C,D) et identifier les impliqués premiers 0000 0X00 0100 010X 0101 X101 1X1X 1010 101X 1011 1X10 1101 1X11 1110 11X1 1111 111X Impliqués premiers sous forme binaire :
ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 8/10 0X00 ; 010X ; X101 ; 11X1 ; 1X1X 3) Utiliser la table suivante pour identifier les impliqués essentiels de F(A,B,C,D) 0000 0101 1101 1111 x 0 0X00 (*) x 1 010X * x 2 X101 * * x 3 11X1 * * x 4 1X1X * Impliqués essentiels : 0X00 4) Les impliqués essentiels couvrent-ils l ensemble des maxterms? Si oui, donner l expression conjonctive simplifiée de la fonction F(A,B,C,D). Autrement, suggérer une solution et donner l expression conjonctive simplifiée de la fonction F(A,B,C,D) ainsi obtenue. L impliqué essentiel ne suffit pas à couvrir l ensemble des maxterms. Nous utilisons la méthode de Petrick pour terminer. P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 (x 1 +x 2 )(x 2 +x 3 )(x 3 +x 4 ) P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 (x 1 x 3 +x 2 )(x 3 +x 4 ) P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 (x 1 x 3 +x 1 x 3 x 4 +x 2 x 3 + x 2 x 4 ) P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 x 1 x 3 + x 0 x 1 x 3 x 4 + x 0 x 2 x 3 + x 0 x 2 x 4 P(x 0, x 1, x 2, x 4 ) = x 0 x 1 x 3 + x 0 x 2 x 3 + x 0 x 2 x 4 Coût de x 0 x 1 x 3 = (3+1) + (3+1) + (3+1) + (3+1) = 16 Coût de x 0 x 2 x 3 = (3+1) + (3+1) + (3+1) + (3+1) = 16 Coût de x 0 x 2 x 4 = (3+1) + (3+1) + (3+1) + (2+1) = 15 On retient la quatrième solution pour son coût : F(A, B, C, D) = (A+C+D)( B +C+ D )( A +C)
ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 9/10 5) Confirmer votre résultat en utilisant une table de Karnaugh
ELE1300 Automne 2008 - Examen intra 10/10 Question 6 Bonus Cette question est facultative. Toutefois, la réussir montrerait que vous maitrisez la matière à un niveau supérieur à ce qui est normalement attendu de vous et nous permettrait de le prendre en note à votre avantage. Donnez l expression algébrique de la fonction F(A, B, C, D) sous forme conjonctive en détaillant clairement votre démarche. L entrée acheminée par le mux coïncide avec la sortie active du demux lorsque A = C. Alors, la fonction F vaut D. Autrement, elle vaut 0. Il en ressort que : F(A, B, C, D) = ACD+ A C D = D( A +C)(A+ C ) Bon travail!