SIMULATION DE LA DÉCHIRURE DUCTILE

SIMULATION DE LA DÉCHIRURE DUCTILE Jacques Besson Centre des Matériaux, Mines ParisTech, UMR CNRS 7633, BP 87, 91003 Evry cedex, France Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 S. Feld-Payet, R. Bargellini, E. Lorentz, F. Feyel, N. Germain, V. Chiarutini

Les étapes de la rupture ductile interface faible f v f 0 formation de cupules striction interne 1: germination 2: croissance 3: coalescence 3: haute triaxialité 3 : basse triaxialité Dans cet exposé : 1 2 3 3 : germination d une seconde population Introduction Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 2/35

Rupture ductile par croissance/coalescence croissance et striction interne: Mise en forme : croissance de cavités par plasticité seulement Introduction Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 3/35

Mailler la microstructure... et réaliser un calcul élasto-plastique Tvergaard & Hutchinson, 2002) Introduction Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 4/35

Loi de comportement de type Gurson/GTN Surface seuil Loi d écoulement Φ(σ, σ f, f ) = σ2 eq σ 2 f q2 + 2q 1 f cosh 2 ε p = λ Φ σ «σ kk 1 q1f 2 2 = 0 σ f Endommagement... loi d évolution obtenue en écrivant la conservation de la masse : ḟ = (1 f )Tr( ε p) f = 1 (1 f 0 ) exp ( Tr(ε p)) Surface seuil + normalité loi d endommagement! En absence de germination! Introduction Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 5/35

Plan de l exposé Introduction Implantation des lois de comportement... gestion de la rupture Calculs par éléments finis et difficultés Méthodes non-locales Conclusions Plan Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 6/35

I. Implantation des lois de comportement... gestion de la rupture Intégration temporelle implicite des équations décrivant le comportement ε = ε e + ε p ḟ = (1 f )Tr ε p Φ = 0 ε = ε e + ε p f = (1 f )Tr ε p Φ = 0 Calcul de la matrice tangente cohérente : L c = σ ε p méthode de résolution globale (EF) implicite Méthode très proche de celle employée pour la plasticité Implantation Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 7/35

Gestion de la rupture Problèmes numériques lorsque f f R Casser pour f R ɛ Utiliser une méthode de découpage local (point de Gauss) du pas de temps ε 1 N ε,..., 1 N ε {z } N fois pour éviter de diviser le pas de temps global (structure) Contrôler/limiter les incréments de l endommagement : si f > f c alors diviser le pas de temps Implantation Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 8/35

Rupture : σ = 0, ε!... conduit à des problèmes numériques (L c = 0) Utiliser un comportement élastique très mou σ = E m : ε avec E m E Cette méthode peut néanmoins engendrer des contraintes importantes en cas de propagation importante de la fissure ET une forte distorsion des éléments 1 Retirer les éléments cassés (critère basé sur le nombre de points de Gauss ayant atteint f R ɛ) 2 Bloquer les degrés de liberté n appartenant qu à des éléments cassés. Implantation Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 9/35

II. Calculs par éléments finis Un élément : déformation plane 1 1 0.1 C2D8R 0.1 C2D4 f 0.01 f 0.01 0.001 Localization 0.001 0.0001 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0.0001 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 L/L 0 L/L 0 Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 10/35

Une éprouvette : déformation plane Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 11/35

Barreau entaillé : effet de la taille de maille 800 F/S0 (MPa) 700 600 500 400 300 200 100 load drop 50, 100, 200 µm 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Φ/Φ 0 Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 12/35

Éprouvette CT (effet de la taille de maille) : Charge déplacement 40 30 F (kn) 20 50µm 200µm 10 100µm 0 0 2 4 6 8 10 12 CMOD (mm) Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 13/35

Éprouvette CT (effet de la taille de maille) : avancée de fissure 10 8 100µm a (mm) 6 4 50µm 200µm 2 0 0 2 4 6 8 10 12 CMOD (mm) Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 14/35

Cause : localisation Localisation de la déformation et de l endommagement dans une bande d un élément (voir les travaux de Rice) a b b = h e donc : W R = w 0 V R = w 0 bb a γ 0 = W R /S R = (w 0 bb ab)/(b ) = w 0 b γ 0 (J/m 2 ) w 0 (J/m 3 ) h e w 0 n est pas une constante! Cette énergie dépend, en particulier, de la triaxialité des contraintes CZM GTN/CDM Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 15/35

... et singularité des champs champs HRR (σ et ε) σ ij = «1 J σ n + 1 0 σij (θ, n) σ 0 ε 0 I nr ε ij = «n J ε n + 1 0 εij (θ, n) σ 0 ε 0 I nr Forts gradients en pointe de fissure HRR r c J/σ 0 fracture process zone r c En pratique h e proche de r c Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 16/35

Le problème de dépendance au maillage est également rencontré dans le cas d une estimation de l amorçage à partir d un calcul élasto-plastique «Modèle de Rice & Tracey : Ṙ/R 0 = α exp β σm ṗ σ eq entaillé fissuré 1.6 1.6 1.5 Notched bar 200µm 50µm 100µm 1.5 Cracked specimen 1.4 1.4 100µm R/R0 (max) 1.3 1.2 R/R0 (max) 1.3 1.2 50µm 200µm 1.1 1.1 1 Load (A.U.) 1 Load (A.U.) Il est ici possible de faire une moyenne sur une zone de taille donnée... convergence Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 17/35

Une solution Introduire une longueur caractéristique du matériau est nécessaire! longueur caractéristique = taille de maille matériau représenté par GTN + cellules maille vrai matériau (idéalisé) longueur caractéristique distance entre sites matériau idéalisé maillé Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 18/35

Utiliser une taille de maille fixe? Utiliser les mêmes mailles : interpolation, taille, facteur de forme, orientation... Cette solution est le plus souvent employée (même si c est de façon implicite) Permet le transfert d une géométrie à une autre Les éléments rompus peuvent être facilement retirés du calcul Méthode facile à employer La taille d élément sert à (i) discrétiser la géométrie, (ii) fixer l énergie de rupture γ 0 Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 19/35

La méthode donne des résultats satisfaisants dans le cas d une fissure plate Elle est plus problématique lorsque la fissure dévie with Lode parameter controlled nucleation FE Mesh without Lode parameter controlled nucleation Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 20/35

Il est possible de contraindre la fissure à suivre un chemin prédéfini : Exemple: simulation de la transition rupture plate/rupture en biseau wedge/pin crack propagation direction (c) (a) (b) Possibilité de réaliser des études paramétriques en supposant différents chemins. Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 21/35

Énergie macroscopique dissipée en fonction de l angle de tilt 14 13 12 R (J/mm 2 ) 11 10 9 8 7 6 5 4-20 -10 0 10 20 30 40 Final tilt angle θ ( ) 50 60 70 Minimum pour une fissure en S et un angle de 45 Calculs par éléments finis Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 22/35

III. Méthodes non-locales Une solution aux problèmes de dépendance à discrétisation spatiale est d employer une technique dite non-locale Le comportement en un point, M, dépend de l état de la matière dans le voisinage de ce point Mise en pratique 1 Faire une moyenne dans le voisinage de M de la variable d endommagement D D( x) = 1 Z w( x x )D( x ) dx Ω M Ω M 2 Formulation à gradient implicite (c en m 2 ) D (c D) = D introduction d une longueur interne : taille de Ω M, c Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 23/35

Un traitement particulier Dans le cas de la rupture ductile (modèle de type GTN) : variation de volume = endommagement Pour éviter les oscillations de pression dans le cas de matériaux quasi-incompressible, il est possible des éléments mixtes u, p, θ Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 24/35

Formulation faible de l élément p2p1p1 ( u, p, θ) Z» «σ D 1 + p1 : δε + 3 Trσ p δθ + (J θ)δp Ω dω = δw ext θ est une variable nodale dont on peut calculer le gradient : θ Il est alors possible de pénaliser les trop forts gradient (localisation) Z» «σ D 1 + p1 : δε + 3 Trσ p δθ + (J θ)δp+k c θ. δθ dω = δw ext Ω où k c est le facteur de pénalisation. Comme : f 1 1 θ (1 f 0) on obtient une formulation non locale sans coût additionnel. Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 25/35

Application à la rupture en déformation plane Mode de rupture et maillage Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 26/35

l c p k c/σ 0 40 éléments pour mailler la section (rouge: f > 20%) Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 27/35

Indépendance à la taille de maille Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 28/35

Indépendance au type d élément Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 29/35

Possibilité d employer des éléments linéaires enrichis (élements bulle )... Mais pas de fissure! Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 30/35

Insertion des fissures et remaillage On utilise ici un élément à quatre champs : u, p, θ, κ (p2p1p1p1) Formulation faible 2 Z 6 4 σ D + p1 Z Ω Ω (κ κ) δκ dω + l 2 c «1 : δε + 3 Trσ p Z Ω κ δκ dω = 0 n.b. Possibilité d avoir deux longueurs internes : p kc/σ 0 croissance, l c germination secondaire δθ + (J θ)δp + k c θ. δθ 7 {z } 5 dω = δw ext k c =0 ici 3 Application au cas du cisaillement Modèle très simple ; κ =déformation plastique cumulée; surface seuil Φ = σ eq (1 κ/κ c)(σ 0 + hκ) Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 31/35

Ingrédients pour remailler Indicateur d erreur pour déclencher la remaillage s R Ω ɛ = 100 (κ κ) ( κ κ) R Ω κ κ Remaillage : YAMS/GHS3D (INRIA) Opérateur de transfert : champs aux nœuds (fonctions de forme) et variables aux points de Gauss (lissage par la méthode des moindres carrés) Définition d un plan de fissure Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 32/35

Direction et longueur : recherche d une ligne de crête du gradient de κ pour κ > (1 ɛ κ)κ c Intersection maillage/fissure définition du maillage fissuré Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 33/35

Propagation de la fissure Dé-raffiner lorsque la fissure est passée (?) Méthodes non-locales Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 34/35

IV. Conclusions Des modèles à bases physiques très riches ont été développés L exploitation de ces modèles pour la simulation de la rupture de structures est limitée par des problèmes numériques Ces problèmes numériques sont liés à la nécessité de rendre compte de l existence d une longueur caractéristique pour décrire la rupture ductile... cette longueur a un sens physique L emploi de modèles non-locaux est une possibilité qui permet de conserver la richesse des modèles de comportement plasticité/endommagement / Beaucoup de travail reste à réaliser Conclusions Journée MECAMAT Rupture Ductile 25 Septembre 2012 35/35