Préliminaire- Exemple d illustration de commande PID Commande d un four (électrique) industriel en temps réel 1 en temps réel 1
Four industriel* * photos illustratives (source: internet) Matériaux réfractaires Résistances Thermocouple en temps réel 2 en temps réel 2
Schéma fonctionnel Consigne ou point de fonctionnement T r -5 volts Compensateur PID -5 volts Capteur de température Élément chauffant Capteur & Amplificateur de mesure Four Amplificateur de puissance -48 o C Température à l'extérieur du four (Perturbation) T e Puissance calorifique en temps réel 3 en temps réel 3
Identification du système 215.5 o C (2.245 volts) 123.16 o C (1.283 volts) y(t) (y m (t)) y m (t) Capteur & Amplificateur de mesure 2 o C (.28 volts) 1.25 volts volts 52s m(t) 348s t t m(t) Capteur de température Élément chauffant Four Amplificateur de puissance en temps réel 4 en temps réel 4
Identification du système m(t) Entrée 215.5 o C (2.245 volts) y(t) (y m (t)) Sortie 1.25 volts 123.16 o C (1.283 volts) volts t 2 o C (.28 volts) 348s 52s Perturbation causée 2 par la température à s l'extérieur du four M(s) 52s e (215.5 2)/1.25 Y(s) 2.245 Y m (s) + 348s + 1 215.5 t Four & Amplificateur de puissance Capteur & amplificateur de mesure en temps réel 5 en temps réel 5
Schéma blocs du système T 52s r + M(s) 156.4e.14 + - PID Perturbation causée par la température à l'extérieur du four T e 2 s Y(s) 348s + 1 Four & amplificateur de puissance Y m (s).14 Compensateur Capteur & amplificateur de mesure Procédé en temps réel 6 en temps réel 6
Objectifs du système de commande Erreur en régime r permanent nulle pour une référence échelon. Maintenir une température constante de 22. en temps réel 7 en temps réel 7
Objectifs du système de commande Marge de stabilité: Marge de phase typique (environ 6º). Marge de gain typique (environ 1dB). i.e. Compromis Stabilité vs. Temps de réponse. Contrainte sur l actionneur (saturation). en temps réel 8 en temps réel 8
Choix du compensateur Annuler l erreur en régime permanent. Rejeter l effet de la perturbation (T e température ambiante supposée constante). Choix: (se contenter d un a priori) PI. Retard inférieur à la constante de temps dominante (τ d = 52 et τ = 348, i.e. τ > 6 τ del ) Annulation pôle-zéro ro. en temps réel 9 en temps réel 9
Synthèse du compensateur PI Fonction de transfert du PI: Annulation pôle-zéro: T i = 348 sec Fonction de transfert de la boucle ouverte: G( s) K c = 1., 2. et 5.. G c () s = K c ( 1+ Ts) Ts i 4 K c 4.671 52s = e s i en temps réel 1 en temps réel 1
Synthèse du PI (K c = 1.) Objectif: MP = 6º, MG = 1.dB Amplitude (db) Phase ( ) Diagramme de Bode de G(s), avec K c = 1. 2-2 MG = 16.3 db -4 1-4 1-3 1-2 -9-18 MP = 76.2-27 -36 1-4 1-3 1-2 Pulsation (rd/s) en temps réel 11 Black--Nichols en temps réel 11
Synthèse du PI (K c = 2.) Objectif: MP = 6º, MG = 1.dB Amplitude (db) Phase ( ) Diagramme de Bode de G(s), avec K c = 2. 2-2 MG = 1.3 db -4 1-4 1-3 1-2 -9-18 MP = 61.9-27 -36 1-4 1-3 1-2 Pulsation (rd/s) en temps réel 12 Black--Nichols en temps réel 12
Synthèse du PI (K c = 5.) Objectif: MP = 6º, MG = 1.dB Amplitude (db) Phase ( ) Diagramme de Bode de G(s), avec K c = 5. 2 MG = 2.4 db -2-4 1-4 1-3 1-2 -9-18 MP = 17.8-27 -36 1-4 1-3 1-2 Pulsation (rd/s) en temps réel 13 Black--Nichols en temps réel 13
Abaque de Nichols de G(s), avec K c = 1. 4 db 3.25 db 2 1 db.5 db -1 db Gain (db) 1-1 -2 MG = 16.3 db 3 db 6 db MP = 76.2º -3 db -6 db -12 db -2 db -3-4 db -4-27 -225-18 -135-9 -45 Phase (º) en temps réel 14 Bode en temps réel 14
Abaque de Nichols de G(s), avec K c = 2. 4 db 3.25 db 2 1 db.5 db -1 db Gain (db) 1-1 -2 MG = 1.3 db 3 db 6 db MP = 61.9º -3 db -6 db -12 db -2 db -3-4 db -4-27 -225-18 -135-9 -45 Phase (º) en temps réel 15 Bode en temps réel 15
Abaque de Nichols de G(s), avec K c = 5. 4 db 3.25 db 2 1 db.5 db -1 db Gain (db) 1-1 MG = 2.4 db 3 db 6 db MP = 17.8º -3 db -6 db -12 db -2-2 db -3-4 db -4-27 -225-18 -135-9 -45 Phase (º) en temps réel 16 Bode en temps réel 16
Simulation (K c = 1., 2., 5. et T i = 348) en temps réel 17 en temps réel 17
Résultats- régulation (échelon) en BF (K c = 1., 2. et T i = 348) 25 Température vs. Temps 6 Tension vs. Temps Température ( C) 2 15 1 Température mesurée (avec K c = 1.) 5 Température mesurée (avec K c = 2.) Température désirée 2 4 6 8 1 Temps (s) Tension (volt) 5 4 3 2 1 Cas K c = 1. Cas K c = 2. -1 2 4 6 8 1 Temps (s) Black--Nichols Kc = 1. Black--Nichols Kc = 2. en temps réel 18 en temps réel 18
Résultats- régulation (échelon) en BF, si I (K c = 1. et T i = 348) en temps réel 19 en temps réel 19
Résultats- régulation (échelon) en BF (K c = 5. et T i = 348) 4 Température vs. Temps 15 Tension vs. Temps Température ( C) 35 3 25 2 15 1 Température mesurée (avec K 5 c = 5.) Température désirée 2 4 6 8 1 Temps (s) Tension (volt) 1 5-5 -1 2 4 6 8 1 Temps (s) en temps réel 2 Black--Nichols Kc = 5. en temps réel 2
Simulation (K c = 5. et T i = 348 + saturation) en temps réel 21 en temps réel 21
Résultats- régulation (échelon) en BF (K c = 5. et T i = 348 + saturation) 4 Température vs. Temps 15 Tension vs. Temps Température ( C) 35 3 25 2 15 1 Température mesurée (sans saturation) 5 Température mesurée (avec saturation) Température désirée 2 4 6 8 1 Temps (s) Tension (volt) 1 5-5 Sans saturation Avec saturation -1 2 4 6 8 1 Temps (s) en temps réel 22 Black--Nichols Kc = 5. en temps réel 22
Résultats- régulation (échelon) en BF (K c = 1., 2., 5. et T i = 348) Température ( C) 3 25 2 15 1 5 Température vs. Temps Température mesurée (K c = 1.) Température mesurée (K c = 2.) Température mesurée (K c = 5.) Température désirée 2 4 6 8 1 Temps (s) Tension (volt) 6 5 4 3 2 1 Tension vs. Temps Cas K c = 1. Cas K c = 2. Cas K c = 5. -1 2 4 6 8 1 Temps (s) Black--Nichols Kc = 1. Black--Nichols Kc = 2. en temps réel 23 Black--Nichols Kc = 5. en temps réel 23
Sensibilité: Effet de changement de température extérieure et de bruit de capteur- Simulation en temps réel 24 en temps réel 24
Sensibilité: Effet de changement de température extérieure et de bruit (5%) de capteur- Résultats 25 Température vs. Temps 6 Tension vs. Temps Température ( C) 2 15 1 5 Température mesurée (K c = 2.) Température désirée 2 4 6 8 1 Temps (s) Tension (volt) 5 4 3 2 1-1 2 4 6 8 1 Temps (s) Black--Nichols Kc = 2. en temps réel 25 en temps réel 25
Sensibilité: Effet de changement de température extérieure et de bruit (5%) de capteur- si PID en temps réel 26 en temps réel 26
Sensibilité: Effet de changement de température extérieure et de bruit (25%) de capteur- si PID en temps réel 27 en temps réel 27
Sensibilité: Effet de changement de température extérieure et de bruit (25%) de capteur- si PI en temps réel 28 en temps réel 28
Conclusion Choix du compensateur respectant: Erreurs statiques, Sensibilité (aux perturbations, aux erreurs de modèles) réduite ( ), Stabilité et marges de stabilité, Performances transitoires (rapidité et dépassement), Contraintes sur les actionneurs (saturation), Etc. en temps réel 29 en temps réel 29