Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet à l ifii de la suite ( q ), q état u ombre réel. Suite majorée, miorée, borée. Das le cas d ue ite ifiie, état doés ue suite croissate ( u ) et u ombre réel A, détermier à l aide d u algorithme u rag à partir duquel u est supérieur à A. Démotrer que si ( u ) et ( v ) sot deux suites telles que : - u est iférieur ou égal à v à partir d u certai rag ; - u ted vers + quad ted vers + ; alors v ted vers + quad ted vers +. Étudier la ite d ue somme, d u produit ou d u quotiet de deux suites. Démotrer que la suite ( q ), avec q >, a pour ite +. Détermier la ite évetuelle d ue suite géométrique. Utiliser le théorème de covergece des suites croissates majorées. Pour exprimer que ( u ) ted vers l quad ted vers +, o dit que : «tout itervalle ouvert coteat l cotiet toutes les valeurs u à partir d u certai rag». Pour exprimer que ( u ) ted vers + quad ted vers +, o dit que : «tout itervalle de la forme ] A, + [ cotiet toutes les valeurs ( u ) à partir d u certai rag». Comme e classe de première, il est importat de varier les approches et les outils sur lesquels le raisoemet s appuie. O présete des exemples de suites qui ot pas de ite. O démotre que si ue suite est croissate et admet pour ite l, alors tous les termes de la suite sot iférieurs ou égaux à l. Le théorème dit «des gedarmes» est admis. O démotre par récurrece que pour a réel strictemet positif et tout etier aturel : (+ a) + a. O peut étudier des situatios où iterviet la ite de la somme des premiers termes d ue suite géométrique. Ce théorème est admis. Il est itéressat de démotrer qu ue suite croissate o majorée a pour ite +. Des exemples de suites récurretes, e particulier arithmético-géométriques, sot traités e exercice. [Cf FicheBAC0] Des activités algorithmiques sot meées das ce cadre. I. Limite fiie ou ifiie d'ue suite.) Limite fiie d'ue suite Défiitio. : Soit l u ombre réel doé. O dit que la suite (u ) ted vers l quad ted vers + lorsque : «tout itervalle ouvert coteat l cotiet toutes les valeurs u à partir d u certai rag». O écrit alors u =l. Autremet dit : Défiitio 2. : Soit l u ombre réel doé. O dit que la suite (u ) ted vers l quad ted vers +, lorsque : «pour tout ombre réel strictemet positif e (aussi petit soit-il) [lire epsilo], il existe u rag 0, à partir duquel, toutes les valeurs de u sot proches de l à e près». Cette défiitio peut ecore s'écrire : Pour tout ombre réel e > 0 (aussi petit soit-il), il existe u etier 0 tel que : [si > 0, alors l e < u < l + e ]. Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page /0
Illustratio graphique : u =+ ( ) +, u = Limites de référece : () =0 ; (2) k =0 k > 0 et (3) =0.2) Limite ifiie d'ue suite Défiitio. : O dit que la suite (u ) ted vers + quad ted vers +, lorsque : «tout itervalle ouvert de la forme ]A ; + [, cotiet toutes les valeurs u à partir d u certai rag». O écrit alors u =+. Autremet dit : Défiitio 2. : O dit que la suite (u ) ted vers + quad ted vers +, lorsque : «pour tout ombre réel strictemet positif A (aussi grad soit-il) il existe u rag 0, à partir duquel, toutes les valeurs de u sot supérieures à A». Cette défiitio peut aussi s'écrire : Pour tout ombre réel A > 0 (aussi grad soit-il), il existe u etier 0 tel que [si > 0, alors u > A ]. Illustratio graphique : u = +2, u =+ Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 2/0
Limites de référece : () =+ ; (2) k =+ k > 0 et (3) =+ D'ue maière aalogue, ous pouvos écrire ue défiitio de la ite d'ue suite qui ted vers quad ted vers + : Défiitio 3. : O dit que la suite (u ) ted vers quad ted vers +, lorsque : «tout itervalle ouvert de la forme ] ;A [, cotiet toutes les valeurs u à partir d u certai rag». O écrit alors u =. Autremet dit : Défiitio 2. : O dit que la suite (u ) ted vers quad ted vers +, lorsque : «pour tout ombre réel strictemet égatif A, il existe u rag 0, à partir duquel, toutes les valeurs de u sot iférieures à A». Cette défiitio peut ecore s'écrire : Pour tout ombre réel A < 0, il existe u etier 0 tel que [si > 0, alors u < A ]. Exemple : u = 2 2 +3, u =.3) Limites des suites arithmétiques et géométriques Propriété. : Soit (u ) ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r. Doc, pour tout N u =r +u 0 (foctio affie de coefficiet directeur r). Alors : Si r > 0, alors u =+. Si r < 0, alors Si r = 0, alors u =. u =u 0 (la suite est costate). Propriété 2. : Soit (v ) ue suite géométrique de premier terme v 0 >0 et de raiso q. Doc, pour tout N v =v 0 q. Alors : Si q >, alors v =+ (v 0 >0) et v = (v 0 <0) Si < q <, alors Si q =, alors v =v 0 v =0. (la suite est costate). Si q, alors v 'existe pas [Suite alterée dot les termes augmetet idéfiimet e valeur absolue]. Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 3/0
Exemples : ) ( 2 3 ) =0 et 2 ) ( 5 =+. 3) ALGORITMIQUE : Das le cas d ue ite ifiie (2 ), état doés ue suite croissate (u ) et u ombre réel A, détermier à l aide d u algorithme u rag à partir duquel u est supérieur à A..4) Suites covergetes, suites divergetes Défiitio : O dit qu'ue suite (u ) est covergete si et seulemet si elle admet ue ite fiie l R. O dit aussi que la suite coverge vers l lorsque ted vers l'ifii. Ue suite qui 'est pas covergete est dite divergete. Autremet dit, ue suite est dite divergete si et seulemet si elle admet ue ite ifiie ou si elle 'admet pas de ite. Exemples : Toute suite arithmétique o costate est divergete. La suite de terme gééral v =2 ( 3 5), est covergete vers 0. (v ) est ue suite géométrique de raiso q= 3 ]0 ;[. 5 La suite de terme gééral t =( ) est divergete. C'est ue suite qui pred alterativemet les valeurs et. Doc elle e ted pas vers l'ifii et e peut pas coverger vers ue valeur fiie. Essayez de motrer que (t ) 'admet pas de ite fiie à partir de la défiitio. II. Opératios sur les ites Les résultats de certaies opératios sur les ites sot ituitives et parfaitemet détermiées. D'autres opératios mèet à des «formes idétermiées» (idiquées par F.I.), c'est-à-dire qu'elles coduiset à plusieurs résultats possibles, doc qui e sot pas parfaitemet détermiées. Il faudra alors user de différetes méthodes et techiques pour trasformer l'écriture de la suite et «lever l'idétermiatio». Notammet, factoriser ue somme, développer u produit, séparer ue fractio e plusieurs parties, ou multiplier le umérateur et le déomiateur par la quatité cojuguée. Nous pouvos résumer les opératios sur les ites des suites das les quatre tableaux suivats : 2.) Additio et soustractio Soiet (u ) et (v ) deux suites de ombres réels. Le tableau suivat doe la ite de la suite (u + v ) si elle existe : [avec la règle v = v pour la soustractio] Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 4/0
v = u = l + l' l+l' + F.I. + + F.I. + Exemples : ) Calculer 3 2 + 7=? Aucu problème. O a : 3 2 =+, =+ et 7 est ue costate. Coclusio : 3 2 + 7=+ 2 ) Calculer 2 2 3+5=? D'après ce qui précède, o sait que : 2 2 =+ et 3 =. Nous avos doc ue F.I. Il faut trasformer l'écriture de la suite pour lever l'idétermiatio. La méthode cosiste à «mettre e facteur le moôme de plus haut degré». O a alors : 2 2 3 3 +5=2 2( 2 2+ 5 2 =2 2 2) ( 3 2 + 5 2) 2 Or, De plus 3 2 =0 et 5 2 2=0 doc ( 3 2 + 5 = 2 2) 2 2 =+, par multiplicatio des ites (voir ci-dessous), o obtiet : 2 2 3 +5=+ CQFD. 2.2) Multiplicatio Soiet (u ) et (v ) deux suites de ombres réels. Le tableau suivat doe la ite de la suite (u v ) lorsqu'elle existe : v = u = l 0 0 + l ' 0 l l' 0 + si l' < 0 si l' > 0 si l' < 0 + si l' > 0 0 0 0 F.I. F.I. F.I. + + + F.I. + Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 5/0
Exemples : ) Calculer (3 2 7)=? Aucu problème. =+ et 3 2 7=+ Coclusio : (3 2 7)=+ 2 ) Calculer (5 2 +)=? O sait que : =0 et (5 2 +)=+. Nous avos doc ue F.I. Il faut trasformer l'écriture de la suite pour lever l'idétermiatio. Pour cela «o développe l'expressio de la suite». O a alors : (5 2 +)= 5 2 + =5 + Or, 5 =+ et Coclusio : 2.3) Iverse =0 doc (5 2 +)=+ 5 + =+ Soit (v ) ue suite de ombres réels. Le tableau suivat doe la ite de la suite (/ v ) lorsqu'elle existe : u l 0 u l 0 et u < 0 à partir d'u certai rag o ote 0 0 et u > 0 à partir d'u certai rag + o ote 0 + + 0 0 Exemple : ) Calculer Comme 2.3) Quotiet +7=+ o a : +7 =? Aucu problème. +7 =0. Soiet (u ) et (v ) deux suites de ombres réels. O suppose que les termes de la suite (v ) sot o uls à partir d'u certai rag. Le tableau suivat doe la ite de la suite-quotiet ( u v ) lorsqu'elle existe : Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 6/0
u l 0 0 et u < 0 à v partir d'u l ' 0 l l ' 0 si l >0 + si l<0 certai rag o ote 0 0 et u > 0 à partir d'u certai rag o ote 0 + + 0 0 si l' > 0 si l' < 0 + si l' < 0 + si l' > 0 F.I. F.I. + 0 + si l<0 F.I. F.I. + + si l>0 0 0 0 F.I. F.I. + 0 0 0 F.I. F.I. 0,6 + Exemples : ) Calculer 0,2 =? Comme 0,6 + =0 et 0,2 =0. Nous avos doc ue F.I. du type 0/0. Il faut doc trasformer l'écriture de la suite quotiet pour lever l'idétermiatio. 0,6 + 0,6 Mais alors : =0,6 0,2 0,2 ( =0,6 0,6 =0,6 3 0,2) La suite-quotiet est ue suite géométrique de premier terme 0,6 > 0 et de raiso q=3. Comme q > et le premier terme est strictemet positif, o a : Coclusio :. 2 ) Calculer Il est clair que 0,6 + 0,2 =+ 5 2 3 2 ++. [5 2 3]=+ et [ 2 ++]=+. 0,6 3 =+. Nous avos doc ue F.I. du type + /+. Il faut trasformer l'écriture de la suite pour «lever l'idétermiatio». Pour cela, «o met e facteur le moôme de plus haut degré au umérateur 2( et au déomiateur». O écrit : 3 5 2 3=5 Par suite, ous pouvos écrire : 2) 5 et 2 ++= 2 ( + v = 5 2 3 2 ++ = 2( 3 5 5 2) 2 ( + + 2) = 2 + 2) =2( + + 2) 5( 3 2) 5 ( + + 2) Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 7/0
O simplifie par 2. Chaque parethèse au umérateur et au déomiateur ted vers lorsque ted vers l'ifii (voir ci-dessus). Par coséquet, la suite (v ) ted vers 2. Coclusio : v =5. III. Limites et comparaiso 3.) Théorèmes de comparaiso Théorème. : Soiet (u ) et (v ) deux suites de ombres réels covergetes et ayat pour ites l et l' respectivemet. S'il existe u rag 0, tel que : pour tout etier 0 : u v, alors l l '. U corollaire est ue coséquece immédiate du théorème qui le précède. Corollaire : Soiet (u ) ue suite covergete vers ue ite l et majorée par u ombre M. Alors l M. Il suffit d'appliquer le théorème avec v = M. Théorème 2. : Soiet (u ) et (v ) deux suites de ombres réels vérifiat les deux coditios : Il existe u rag 0, tel que : pour tout etier 0 : u v, et la suite (u ) ted vers + ; Alors, la suite (v ) ted vers +. Théorème 2bis. : Soiet (u ) et (v ) deux suites de ombres réels vérifiat les deux coditios : Il existe u rag 0, tel que : pour tout etier 0 : u v, et la suite (v ) ted vers ; Alors, la suite (u ) ted vers. Nous avos u troisième théorème de comparaiso très importat, appelé très souvet «le théorème des gedarmes» : Théorème 3. : Soiet (u ), (v ) et (w ) trois suites de ombres réels vérifiat les coditios : - Il existe u rag 0, tel que : pour tout etier 0 : u v w, - et les deux suites (u ) et (w ) sot covergetes et tedet vers la même ite l, Alors, la suite (v ) est aussi covergete et ted vers cette même ite l. Exemple : Détermier la ite de la suite défiie par : v = 2 si(5 2 ) 2 + O sait que pour tout ombre réel x : si x. Doc, pour tout etier : si(5 2 ). Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 8/0
2 D'autre part, pour tout etier : 2 + >0. E multipliat les trois membres de 2 l'iégalité précédete par ce ombre, o obtiet : 2 + 2 si (52 ) 2 2 + 2 +. Or les deux suites défiies par u = 2 2 + et w = 2 sot covergetes et tedet 2 + toutes les deux vers la même ite 0. Doc, d'après le théorème de comparaiso (théorème des gedarmes), (v ) est covergete et ted vers cette même ite 0. Coclusio : v =0 3.2) Théorèmes de la covergece mootoe Théorème 4.: Soit (u ) ue suite de ombres réels. Alors Si (u ) est strictemet croissate et majorée, alors (u ) est covergete. Si (u ) est strictemet décroissate et miorée, alors (u ) est covergete. Théorème 4bis.: Soit (u ) ue suite de ombres réels. Alors Si (u ) est strictemet croissate et o majorée, alors (u ) ted vers +. Si (u ) est strictemet décroissate et o miorée, alors (u ) ted vers. Exemple : O cosidère la suite défiie par : u 0 =0 et pour tout etier : u + = 3 u +4 ) A l'aide de votre calculatrice, calculer les quatre premiers termes de cette suite. 2 ) Démotrer par récurrece, que pour tout etier, 0 u 4 3 ) Démotrer par récurrece, que la suite (u ) est strictemet croissate. 4 ) Démotrer que la suite (u ) est covergete. ) Calcul des premiers termes : u 0 =0 ; u =2 ; u 2 =2,4494... ; u 3 =3,3687... ;... 2 ) Démotrer par récurrece, que pour tout etier, 0 u 4 Pour chaque etier, o appelle P la propositio logique:[ 0 u 4 ] Motros par récurrece que : Pour tout etier : [P est vraie]. Iitialisatio Pour = 0 : u 0 =0 doc : 0 u 0 4 Doc P 0 est vraie. Hérédité Soit N Supposos que P est vraie. (Hypothèse de récurrece). Motros que P + est vraie. D'après l'hypothèse de récurrece, o sait que : 0 u 4 (HR) E multipliat par 3 les trois membres, o obtiet : 3 0 3 u 3 3 Doc 0 3u 2. Puis e ajoutat 4 aux trois membres, o obtiet : 0+4 3u +4 2+4 Ce qui doe : 4 3u +4 6. Or, la foctio «racie carrée» est strictemet croissate sur [0,+ [, doc : 4 3u +4 6. Doc 2 u + 4. Et comme 0 2, o a bie : 0 u + 4 Ce qui motre que P + est vraie. Doc la propriété est héréditaire. Coclusio. Pour tout etier : 0 u 3 3 ) Démotrer par récurrece, que la suite (u ) est strictemet croissate. Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 9/0
C'est-à-dire : Pour tout etier, u <u +. Pour chaque etier, o appelle P la propositio logique:[ u <u + ]. Motros par récurrece que : Pour tout etier : [P est vraie]. Iitialisatio Pour = 0 : u 0 =0 et u =2 doc : u 0 <u. Doc P 0 est vraie. Hérédité Soit N Supposos que P est vraie. (Hypothèse de récurrece). Motros que P + est vraie. D'après l'hypothèse de récurrece, o sait que : u <u + (HR) E multipliat par 3 les deux membres, o obtiet : 3 u <3 u + Puis e ajoutat 3 aux trois membres, o obtiet : 3 u +4<3 u + +4 Or, la foctio «racie carrée» est strictemet croissate sur [0,+ [, doc : 3u +4<3u + +4. Or, la foctio «racie carrée» est strictemet croissate sur [0,+ [, doc : 3u +4< 3 u + +4. Doc u + <u +2. Ce qui motre que P + est vraie. Doc la propriété est héréditaire. Coclusio. Pour tout etier :. u <u +. La suite (u ) est strictemet croissate. 4 ) Démotrer que la suite (u ) est covergete. D'après ce qui précède, la suite (u ) est strictemet croissate et majorée par 3. Doc, d'après le théorème de la covergece mootoe, la suite (u ) est covergete et u 3. Term.S Limites des suites umériques Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 0/0