Optimisation topologique D. Chablat 1
Optimisation But : optimiser la forme d un pièce pour minimiser son coût, son volume, etc en respectant des contraintes de forme, de tenue mécanique Formulation mathématiques : min J( v), avec Gi v et H l v v 0 0 =< v 1,...,v n > T où J est la fonction objectif, vi sont les variables de conception, Gj les limitations d'inégalités et Hl les limitations d'égalités. 2
Optimisation Objectif du TP : minimiser le volume du support pour max <210MPa et la distance entre les entités géométriques > 4mm Le support est soumis à une charge de flexion de 15000N appliquée verticalement au trou gauche, les deux trous droits étant fixés. L épaisseur est de 20 mm, le matériau est l acier On suppose que les contours extérieurs et intérieurs sont tous modifiables exception faite des trous circulaires. Conserver la symétrie de la pièce en minimisant le nombre de variables de conception. 3
Cotation de l esquisse La cotation est dite isocontrainte, la géométrie de la pièce est complètement définie. Nous allons associer des paramètres aux variables de conception (les dimensions) 4
Utilisation du Knowledge Les formules vont nous permettre de définir les variables de conception (paramètres) du problème Sur la barre d outil Knowledge cliquer sur f(x) 5
Création des paramètres Créer un paramètre de type longueur portant comme nom A est comme valeur 35mm 6
Création des paramètres Nous allons maintenant associer ce paramètre à la dimension de la poche que nous souhaitons modifier. Dans l esquisse cliquer sur la longueur de la poche, puis sur l icône f(x) Formules. Cliquer sur Ajouter formule et dans la nouvelle fenêtre taper A Recommencer pour les autres dimensions à modifier 7
Création des paramètres On remarque dans l arborescence l apparition des branches: Paramètres, Relations Sur les mesures définies par des formules apparaît f(x) 8
Modification des paramètres Une modification du paramètre A influence la géométrie Double-cliquer sur A dans la branche Paramètres de l arbre Vous pouvez modifier la valeur de l axe. L actualisation de la géométrie se fait en directe. 9
Mesure de la masse La résolution du problème va nécessiter la mesure de l aire de la section et la mesure du volume. Ces deux mesures sont accessibles par l icône Mesure d inertie Il faut d abord sélectionner l objet Corps pour lequel vous souhaitez des informations. N oubliez pas de cocher la case Garder les mesures Cliquer sur Personnaliser pour voir ce que propose cet utilitaire 10
Mesure de la masse Une branche Mesure est apparue dans l arbre Et dans la table des paramètres: InertiaVolume1\Aire InertiaVolume1\Volume 11
Création de la simulation EF Démarrer l atelier ELFINI Analyse statique 12
Création de la simulation EF Imposer une taille locale de 5mm Conditions aux limites Lancer la simulation avec la géométrie initiale 13
Démarrer l atelier Knowledge Optimizer 14
Démarrer l atelier Knowledge Optimizer Cliquer sur l icône Optimiser Plan d expériences Satisfaction de contraintes 15
Définition du problème d optimisation La fenêtre Optimisation présente deux onglets: Problème : descriptions du problème, du paramètre à optimiser, des variables de conception (Paramètres libres), de l algorithme et du critère d arrêt Contraintes : limitations 16
Définition du problème d optimisation Sélectionner le Type d optimisation, ici Minimisation Cliquer sur le bouton Sélectionner, pour choisir la variable à minimiser, ici InertiaVolume1\Aire 17
Définition du problème d optimisation Pour les variables de conception cliquer sur Modifier la liste Dans la nouvelle fenêtre, sélectionner vos paramètres et les ajouter aux paramètres libres avec la flèche (A et B) 18
Exemples de création d une contrainte Créer une contrainte d égalité : InertiaVolume1\Volume==3770e-8m3 : CATIA n accepte pas les virgules dans la définition des contraintes Pour spécifier des contraintes d inégalités: exemple<5m3 Exemple>5m3 19
Récupération de résultats (u, ) pour créer des limitations Un grand nombre de résultats sont disponibles sur chaque nœud et chaque élément. Deux possibilités pour récupérer des informations : le capteur local ou le traitement des limitations dans le module d optimisation 20
Capteur Localisé le support (corps, surface, courbes, points) Valeurs aux nœuds, aux éléments Recherche du minimum, du maximum, calcul de la moyenne Activation=vraie 21
Traitement des limitations dans le module d optimisation Opérateurs d analyse Résultats disponibles 22
Lancement de l optimisation L opérateur s applique à des résultats de calcul. 23
Algorithmes de résolution Le recuit simulé (basé sur une analogie avec la solidification d un fluide) Algorithme stochastique global qui converge vers un optimal local. A utiliser dans le cas de fonctions (objectifs et limitations) non linéaires Une méthode de gradient Le gradient est localement la direction de plus forte variation d une fonction. La méthode consiste à approximer localement la fonction par une fonction quadratique. Très efficace, rapide pour des fonctions «simples». L association des deux méthodes est possible: - localiser la région d un minimum par un recuit simulé - trouver le minimum avec le gradient 24
Paramètres de convergence des algorithmes Nom Algorithme de gradient Algorithme de recuit simulé Lente Moyenne Rapide Evolution lente basée sur des pas ou des limites. Précision satisfaisante (à utiliser pour rechercher une convergence). Un gradient conjugué redémarré au hasard. La recherche passe de Minimum à Maximum. Evolution rapide, moins de précision. Ces quatre configurations définissent le niveau d'acceptation des mauvaises solutions. Si l'incident a beaucoup d'optima locaux, sélectionnez Lente. Si l'incident a peu d'optima locaux, sélectionnez Infini. Infini - 25
Solution Exemple de résultat avec l algorithme de recuit simulé avec comme vitesse de convergence rapide V ini = 252305 mm 3 => V opt = 132419 mm3 (47.5 %) max = 192 MPa 26