I. Nature et propagation de la lumière

.. Introduction L optique est peut-être le domaine le plus transverse de toute la physique. Ou du moins, chaque domaine de la physique a sa propre théorie optique... Car se pose déjà le problème de savoir si la lumière (qui est l objet d étude de l optique) est un phénomène ondulatoire ou corpusculaire. Pour nous, elle sera les deux! Et même les physiciens ne savent pas s il est pertinent de parler de simultanéité entre caractères ondulatoire et particulaire. Nous, nous voguerons sans trop de scrupules entre les deux modèles, tous deux valides selon les hypothèses faites. La description ondulatoire de la lumière provient directement de l électromagnétisme, tandis que la description corpusculaire est davantage liée à la relativité et à la physique quantique, bien qu il n y ait pas de frontière bien définie entre les deux modèles. Ce «cours» se trouve être parfaitement accessible à toute personne ayant suivi des études au lycée, proposant une vue globale de la notion de lumière sans trop de détail mathématique. 1

I. Nature et propagation de la lumière (1) Le modèle ondulatoire Qu est-ce qu une onde? De manière simple, une onde est une perturbation d une grandeur physique qui se propage. Il y a transport d énergie sans transport de matière. On distingue les ondes mécaniques qui nécessitent un milieu matériel pour se propager (ondes à la surface de l eau, ondes sonores, cordes vibrantes) et les autres. Ces ondes qui peuvent se propager dans le vide, c est ce qu on appelle la lumière (ou ondes électromagnétiques)! Pour plus de précisions : cf. chapitres de physique des ondes et d électromagnétisme. Dans le cas des ondes planes progressives monochromatiques (OPPM), ie. d une seule fréquence notée ν, on peut modéliser une onde par une fonction f à la fois variable du temps t et de l espace x (ici, unidimentionnel) : f(x, t). 0 x f(x,t) x Or, on remarque que la déformation en x à la date t est celle qu il y a eu en x = 0 à la date t x/c, où c est la célérité de l onde. Et ce, pour tout t. On peut donc décrire une OPPM comme une fonction à un seul argument : f(x, t) = f(0, t x c ) = f(t x c ) Par définition de la longueur d onde λ = ct = c/ν et de la pulsation ω = 2πν, on a : t x c = t x νλ = t 2π ωλ x En multipliant par ω, on obtient f comme fonction de ωt (2π/λ)x. On définit le vecteur d onde k comme étant le vecteur de norme k = 2π/λ et dirigé par le vecteur directeur de la direction de propagation de l onde. Et finalement : f(x, t) = f(ωt kx) Le vecteur d onde contient donc l information de la direction et du sens de propagation spatiale de l onde, ainsi que l analogue de la pulsation temporelle ω qui serait une sorte de «pulsation spatiale», liée à la longueur d onde λ.

Propriétés. La lumière est synonyme d onde électromagnétique (au même titre que les ondes radio, les ondes hertziennes, les rayons X, etc.). Sa propagation ne nécessite pas de support matériel (c est une déformation du champ électromagnétique) et sa célérité (vitesse) est constante dans le vide (peu importe la fréquence et le référentiel d étude) : c 3.10 8 m/s» Le spectre électromagnétique Notre œil n est sensible qu aux ondes ayant une fréquence comprise entre 4.10 14 et 8.10 14 Hz (hertz = s 1 ), soit celles dont la longueur d onde (considérée dans le vide) est comprise entre 400 et 800 nm. (2) Le modèle corpusculaire Qu est-ce qu un photon? Ce n est ni plus ni moins qu une particule de lumière. Cela peut paraître étrange, mais on peut très bien considérer que la lumière n est rien d autre qu un faisceau de particules énergétiques (et non massiques) se déplaçant à une même vitesse de groupe. Il serait impropre d attribuer aux photons une trajectoire «ondulatoire» : les photons n ondulent pas vraiment... Néanmoins, ces photons sont caractérisés par une fréquence ν (ou une pulsation ω) tout comme les ondes. Les caractéristiques du photon sont les suivantes : sa masse est strictement nulle sa charge électrique est strictement nulle son énergie : E = hν = ω sa quantité de mouvement : p = k Cette dernière égalité montre la dualité onde-corpuscule. En effet, la quantité de mouvement p a une signification mécanique (analogue à m v en mécanique classique), alors que k a une signification ondulatoire. Ici, h est la constante de Planck (6,6.10 34 Js), = h/(2π), et la norme de la quantité de mouvement p (ou impulsion) est alors donnée par : p = E c Pour plus d informations : cf. chapitres de physique quantique et relativité.

(3) L intensité lumineuse Tout comme l on définit l intensité du courant électrique comme un débit d électrons, ou plus exactement de charges (puisque l on s intéresse aux porteurs de charges), on définit l intensité lumineuse comme un débit de photons, ou plus exactement d énergie. Ceci est légitime puisque l énergie est au photon ce que la charge est à l électron. Ici, on utilise donc le modèle corpusculaire de la lumière pour définir l intensité. En revanche, contrairement à l intensité électrique, l intensité lumineuse est toujours comptée positivement. En effet, s il existe des charges négatives et positives, l énergie d un photon, elle, est toujours positive. Soit une surface (S) traversée par un faisceau lumineux telle qu il y ait dn photons d énergie E qui passent au travers pendant une durée dt, l énergie élémentaire qui traverse (S) pendant cette durée dt est : de = EdN On définit alors l intensité lumineuse I(t) comme la grandeur correspondant au débit d énergie (de/dt) par unité de surface (ie. rapporté à la surface S) : Finalement, I(t) = de/dt S l intensité lumineuse à travers la surface (S) est : I(t) = E S dn dt (W/m 2 ) où E est l énergie des photons et (dn/dt) leur débit [nb] : Ici, on suppose que tous les photons ont la même énergie (ie. même fréquence). Dans le cas contraire, l intensité lumineuse est égale à la superposition des intensités que chaque type de photons apporte (sauf s il y a interférences). [nb] : La dangerosité d un faisceau de photons (ou d une onde électromagnétique) est d autant plus importante que l énergie des photons est élevée. Et cette énergie est d autant plus élevée que la fréquence l est. On comprend pourquoi les stations de radio émettent à basses fréquences (cf. spectre électromagnétique). (4) Propagation dans un milieu matériel Vocabulaire. milieu transparent (relativement à une fréquence) : lorsque l intensité lumineuse ne varie pas lors du passage de la lumière à travers ce milieu milieu homogène : lorsque ses propriétés ne dépendent pas du point de l espace considéré milieu isotrope : lorsque ses propriétés ne dépendent pas de la direction de propagation de la lumière [nb] : Dans un milieu transparent homogène isotrope (THI), la célérité de la lumière est inférieure à c.

Indice de réfraction. On définit alors l indice de réfraction n du milieu THI par : n = c v Ou v est la célérité de la lumière dans le THI. Dépendance de la longueur d onde. Si la fréquence (ou la période temporelle) d une onde la caractérise de manière totalement intrinsèque, sa longueur d onde dépend du milieu de propagation. En effet : λ milieu = vt = c n T = λ vide n On a alors : n = λ vide λ milieu [nb] : Une lumière monochromatique est donc caractérisée par sa fréquence ν ou par sa longueur d onde dans le vide λ 0 = λ vide.» Milieu dispersif et loi de Cauchy L indice de réfraction peut donc dépendre de λ 0 (et donc de ν). Dans ce cas, on dit que le milieu est dispersif, c est-à-dire que l indice n n est pas le même selon la fréquence de l onde. C est notamment ce qui explique qu un prisme puisse étaler le spectre lumineux (cf. l album The Dark Side of the Moon des Pink Floyd! ; ou bien cf. chapitre 2). Ce phénomène s appelle dispersion chromatique. L indice n(λ 0 ) est alors donné par la loi de Cauchy (d abord empirique puis démontrée en électromagnétisme : cf. propagation des ondes EM dans un diélectrique) : n(λ 0 ) = A + B λ 0 2 où A et B sont des constantes positives dépendant du milieu. Cette loi nous renseigne davantage sur la tendance des variations de n en fonction de λ 0 : «plus la longueur d onde est grande (ie. plus la fréquence est faible), plus l indice est faible». Ceci s interprétera de la manière suivante : «plus la longueur d onde est grande, moins le faisceau lumineux est dévié».

II. Interactions lumière-matière : étude des spectres (1) Les spectres d émission Les spectres. Si les Anglais utilisent le mot «spectrum» pour parler d un éventail, ils sont certainement responsables de l emploi de ce mot pour désigner l éventail continu des ondes électromagnétiques en fonction de la fréquence (ou de λ 0 ) des ondes qui composent la lumière. Le spectre d un faisceau correspond alors au domaine de fréquences qu il recouvre, étant donné qu un faisceau lumineux est une superposition de plusieurs ondes monochromatiques. Dans la suite, on s intéresse au spectre visible. Comment visualiser un spectre? Grâce à un réseau ou à un prisme (cf. chapitre 2 d optique).» Spectres continus Corps chaud. Les corps chauds (eg. filament d une lampe) émettent une lumière dont le spectre est continu. La justification vient de lois thermodynamiques (cf. diffusion thermique). Evolution avec la température. Plus le corps est porté à haute température, plus le spectre qu il rayonne est large : il s étend du rouge vers le bleu. Cela signifie que les longueurs d onde courtes nécessitent un échauffement plus important pour être émises par la matière. Notons d ailleurs que tout corps matériel peut émettre de la lumière s il est suffisamment chauffé.» Spectres à raies d émission Sources quasi-monochromatiques. En utilisant des lampes spectrales qui ne contiennent qu un seul élément (ou espèce) chimique peu dense pour que les interactions entre les particules elles-mêmes n influent pas sur les émissions "individuelles". On remarque alors que seules des raies colorées apparaissent : cela signifie que chaque atome (ou molécule) est capable, en étant excité, d émettre des ondes lumineuses de longueurs d onde précises, donnant naissance à un spectre de raies discrètes. [eg] : Spectres d émission de l hydrogène, de l hélium et du sodium. [nb] : Le spectre à raies d émission peut être considéré comme une carte d identité des éléments (ou espèces) chimiques, permettant de les identifier sans ambiguïté.

Une explication grâce au modèle de Bohr. Limitons-nous à l exemple le plus simple : l hydrogène, constitué d un électron et d un proton. Tout d abord, il faut savoir comment fonctionne une lampe spectrale : deux électrodes baignent dans de l hydrogène gazeux de faible densité (à basse pression). Des électrons apportés par les électrodes viennent alors frapper les atomes d hydrogène qui rentrent alors dans un état d excitation. Dans le modèle de Bohr, cette excitation se traduit par un saut d énergie de l électron qui "gravite" autour du proton : il change d orbite par transition. E 2 saut d énergie E 1 Or, un atome cherche toujours à être dans l état le plus stable possible, afin de minimiser son énergie. L électron va donc chercher à retomber dans un état de plus faible énergie. Il y a alors émission d un photon dont l énergie E = hν vaut E = E 2 E 1. E 2 hν E 1 Par ailleurs, les orbites accessibles (ie. les niveaux d énergie accessibles) sont quantifiées. Ainsi, l hydrogène ne peut émettre que des photons de fréquences bien précises. Ceci explique qu il émette seulement quelques raies de manière discrète. On peut rappeler que, pour l hydrogène, l énergie de niveau n est E n = E 0 /n 2, où E 0 est l énergie la plus basse (celle qu il faut donner à l atome dans son état fondamental pour que son électron soit éjecté). D un point de vue quantique, ce mécanisme peut être généralisé à des nuages électroniques plus complexes comme celui de molécules (assemblages de plusieurs atomes). Corrélation avec la loi de Ritz. Le modèle de Bohr permet de démontrer la loi empirique qui avait été établie par plusieurs physiciens pour différents domaines de longueur d onde : Balmer (domaine visible), Lyman (UV), Paschen et Brackett (IR). C est la loi de Ritz : une chute d énergie entre les niveaux p et n < p entraine l émission d une lumière monochromatique de longueur d onde λ telle que : ( 1 1 λ = R H n 2 1 ) p 2, où R H 109 678 cm 1

Preuve de la loi de Ritz : Soient E p > E n deux niveaux d énergie de l hydrogène. Le photon émis a pour énergie : E = E p E n = E ( 0 p 2 E ) ( 0 1n n 2 = E 0 2 1p ) 2 Or, E = hν = h/t = hc/λ 0. Ainsi : 1 = E ( 0 1 λ 0 hc n 2 1 ) p 2 Pour v c, λ λ 0. Et on note R H = E 0 /(hc) (constante de Rydberg relative à l hydrogène). [nb] : On peut tracer le diagramme énergétique suivant, représentant les "chutes" d énergie à l origine des émissions de certaines longueurs d onde par un atome d hydrogène. (ev) 0 0,54 0,85 1,51 Paschen (IR) Brackett (IR) 3,42 Balmer (visible) 13,6 Lyman (UV) [nb] : L énergie est négative! Comment est-ce possible? Le signe moins traduit simplement le fait que c est un niveau d énergie lié (et non diffus). Un électron est dans un état d énergie positive lorsqu il a été éjecté du nuage électronique. On visualise d ailleurs très bien cela : étant au niveau n = 1, il faut apporter +13,6 ev (ou plus) pour éjecter l électron : 13, 6 + 13, 6 = 0. L énergie apportée est bien positive, tout comme celle qui sera réémise lors d une relaxation.

L électron-volt. Dans le diagramme précédent, l énergie s exprime en «ev». Cette unité est utilisée lorsque les énergies sont très faibles. En fait, 1 ev 1, 6.10 19 J. 1 ev correspond à l énergie d un électron accéléré sous l action d une tension d un volt. [nb] : L explication via le modèle de Bohr n est rigoureusement vraie que pour l hydrogène mais est généralisée en mécanique quantique. En revanche, elle n explique absolument pas les spectres continus qui, comme on l a déjà dit, trouvent leur justification en thermodynamique. (2) Les spectres d absorption Réalisation du montage. On souhaite observer le spectre d une lumière blanche (ie. initialement, son spectre est continu) après passage à travers une espèce chimique (eg. gaz, solution aqueuse). source chaude : émission d un spectre continu espèce chimique syst. optique convergent prisme écran» Spectres à bandes d absorption Prenons l exemple d une solution colorée : le permanganate de potassium (K + MnO4 ). En solution aqueuse, il donne une couleur violette. On fait alors passer une lumière blanche à travers la solution violette et ont observe sur l écran le spectre suivant : On en déduit alors que la solution a absorbé les "ondes vertes", ne laissant passer que le bleu et le rouge. C est ainsi que notre œil perçoit une couleur violette, superposition du bleu et du rouge que la solution laisse passer. De ce fait, la solution agit comme un filtre : la solution a la couleur qu elle n absorbe pas. (Nous reviendrons sur la notion de filtre plus tard). C est ce que l on appelle un spectre à bande(s) d absorption, qui renseigne sur le domaine de fréquences absorbées. (?!) : Mais la lumière blanche émise depuis la source ne traverse pas que la solution! L air est aussi un milieu matériel. Oui, mais ce serait oublier l expérience des corps chauds. En effet, en l absence de solution, on visualise un spectre continu même après une propagation dans l air. Cette expérience témoin montre que c est bien la solution qui modifie le spectre en sortie. [eg] : Ci-dessous, le spectre d absorption de la chlorophylle. Ceci est cohérent avec la couleur verte que nous en percevons... (Et les plus sceptiques dirons :) «mais y a pas que du vert!» C est vrai. On comprend donc que l analyse simplement visuelle du spectre a des limites. Attendez le grand III...

» Spectres à raies d absorption Cette fois-ci, nous ne plaçons pas une solution aqueuse mais un gaz ne contenant qu une seule espèce chimique (ou un seul élément). Prenons l exemple du mercure. On obtient le spectre suivant : On observe cette fois-ci un spectre avec des raies noires. Ainsi, ce ne sont pas des domaines continus de fréquences qui sont absorbés mais bien des fréquences précises de manière discrète. On remarque d ailleurs que le spectre à raies d absorption et complémentaire de celui d émission : Ceci nous laisse à penser que le phénomène à l origine de l absorption est le même que celui exposé pour justifier l émission des raies. En effet, le modèle de Bohr (et sa généralisation) stipule aussi que les atomes peuvent absorber des photons. Ces derniers délogent les électrons qui sautent des niveaux d énergie. Mais de la même manière qu un atome ne peut émettre que certaines longueurs d onde du fait de la quantification des niveaux d énergie, ne peuvent déloger des électrons que les photons dont l énergie E = hν correspond à un écart d énergie possible compte tenu de la structure électronique de l élément considéré. E 2 hν = E 2 E 1 E 1 Qu advient-il du photon absorbé? Le photon qui a piqué la place de l électron en l envoyant sur un niveau d énergie plus élevé ne va pas rester là bien longtemps! Et ce parce que l électron n est pas du tout content d être dans un état plus excité qu avant et n a qu une envie : retrouver sa stabilité d antan. Il va donc y avoir relaxation (chute d énergie), ce qui aura pour effet, comme nous l avons déjà vu, de réémettre le photon... dans n importe quelle direction! Ce dernier point est important. Car si le photon était réémis dans la même direction, on récupérerait le spectre reconstitué et donc complet, ce qui n est pas le cas. Ainsi, le spectre de la lumière que l on récupère au niveau de l axe optique ne contient pas les fréquences absorbées (bien que ces dernières soient réémises dans tous les sens). [nb] : Un photon qui déloge un électron peut être réémis à une fréquence différente. En effet, admettons que le photon incident ait une énergie qui corresponde pour l atome (ou la molécule) à la différence ne niveaux d énergie E 3 E 1, l électron au niveau n = 1 passe au niveau n = 3. Mais si lors de sa relaxation l électron retombe non pas au niveau n = 1 mais au niveau n = 2, il y aura émission d un photon d énergie E 3 E 2 < E 3 E 1. C est ce qui se passe lorsqu on expose une boisson gazeuse contenant de la quinine à un rayonnement UV. Elle absorbe des photons-uv pour réémettre des photons de plus basse énergie... dans le visible! La boisson devient alors bleue fluorescente!

Exploitation des spectres. Ainsi, analyser le spectre d une lumière que nous recevons revient à déterminer les éléments que cette lumière a traversés. En effet, en ayant accès aux raies absorbées, on peut remonter à l élément que l on sait absorber ces longueurs d onde. C est ainsi que les astrophysiciens peuvent déterminer la composition chimique d astres par le simple rayonnement lumineux qui en provient! III. Interaction lumière-matière : absorbance (1) Transmission de la lumière Chromophores. Dans cette partie, on s intéresse à des espèces chimiques capables d absorber le rayonnement UV ou visible. Ces espèces (que l on étudie ici en solution aqueuse, même si cela est généralisable aux phases gazeuses) sont alors colorées (dans le visible ou les UV) et sont appelées chromophores. Nous en avons déjà rencontré : le permanganate de potassium. Approche quantitative. Jusqu à présent, l étude des spectres était restée qualitative. Les grandeurs que nous allons définir ont pour but de quantifier le phénomène d absorption de la lumière. En considérant un milieu absorbant (représenté par le pavé droit), et en notant I i (λ) l intensité lumineuse incidente et I t (λ) l intensité transmise à la sortie (pour la longueur d onde étudiée) : I i I t < I i On définit la transmittance T (λ) d un milieu absorbant par T (λ) = I t(λ) I i (λ) [nb] : La transmittance est le «coefficient de transmission» du signal lumineux en intensité. Le milieu étant absorbant, on aura toujours T (λ) < 1. On définit l absorbance A(λ) d un milieu absorbant par A(λ) = log T (λ) Quel est l intérêt d introduire du logarithme? Dans le paragraphe suivant, nous verrons que l intensité décroit exponentiellement en fonction de l épaisseur traversée. Le logarithme permet alors de travailler avec une grandeur linéaire. Ensuite, par soucis de signification physique, on met un moins. En effet, T (λ) < 1, donc log T (λ) < 0. Or, on veut définir l absorbance comme une grandeur positive! De ce fait, plus le milieu est absorbant, plus T (λ) est faible, donc plus log T (λ) est faible (décroit dans les négatifs) et donc plus A(λ) = log T (λ) est élevé (croît dans les positifs). Ainsi, plus un milieu est absorbant, plus l absorbance est élevée ; trop fort!

(2) Mesure de l absorbance Grâce à des appareils appelés spectrophotomètres, on peut avoir accès à la transmittance T (λ) et donc A(λ). On peut alors tracer le graphe de l absorbance. Prenons l exemple de la chlorophylle : Ceci est cohérent avec le spectre d absorption obtenu : les zones noires correspondant aux longueurs d onde "très" absorbées (absorbance élevée). De plus, on s aperçoit que l absorbance est minimale dans la région du vert. Ainsi, même si ce n est pas la seule couleur transmise, c est elle qui domine. (3) Loi de Beer-Lambert On souhaite trouver la loi vérifiée par l intensité I(x) ((Ox) désignant l axe de propagation). L approche est ici purement empirique et n a jamais été démontrée (à ma connaissance). Néanmoins, elle est complètement validée par les expériences. Idée. On considère une épaisseur élémentaire dx de milieu absorbant : I(x) I(x + dx) dx La loi de Beer-Lambert consiste à dire qu au niveau local, la diminution de l intensité est proportionnelle à la longueur dx traversée, à la concentration en chromophores C(x) et à l intensité

incidente I(x). Tout ceci est de bon sens : plus il y a de chromophores à traverser, plus on est susceptible d en rencontrer (ie. plus dx est grande et plus C(x) est importante) et plus l intensité incidente est forte à l entrée, plus il y en a à absorber (I étant surfacique). Ceci nous laisse envisager l existence d un coefficient k tel que : I(x + dx) = I(x) kc(x)i(x)dx d où di(x) = I(x + dx) I(x) = kc(x)i(x)dx On obtient alors l équation différentielle suivante : di dx + kc(x)i(x) = 0 (loi de Beer-Lambert locale) où k est nommé «coefficient d extinction molaire» s exprimant en L/mol/m (concrètement, de quoi s agit-il? Demandez-le à un chimiste!). Ensuite, on ne va surtout pas chercher à résoudre cette équation différentielle car, d une part, on ne s intéresse pas pas à x I(x) mais à I t en fonction de I i, d autre part, l expression de I(x) trouvée est en réalité affreuse... On note l l épaisseur totale du milieu absorbant, et pour simplifier l étude, on suppose C(x) = C constante (ie. que le milieu est homogène). I i I t dx l On utilise alors notre équation différentielle un peu simplifiée : di + kci(x)dx = 0. Ce qui donne : ˆ di(x) l ˆ di(x) l = kcdx = I(x) 0 I(x) = kc dx 0 Soit ln I(l) ln I(0) = kcl = ln I t /I i = kcl = I t = I i e kcl En définissant le coefficient d absorption molaire ɛ = la loi de Beer-Lambert globale s écrit : I t = I i.10 ɛlc k ln 10, [nb] : Pour une longueur caractéristique κ = 1/kC, l intensité est diminuée de 63%. On a tracé l I t (l)/i i pour la chlorophylle A, de coefficient ɛ = 1, 11.10 7 L/mol/m (C = 1 mol/l).

(4) Principe de superposition Coefficient d absorption et absorbance. Il faut bien avoir conscience que le coefficient ɛ dépend de la longueur d onde. En effet, en considérant l absorbance A(λ) qui, comme on l a vu, dépend de la longueur d onde, on trouve une relation avec ɛ : log I t I i = ɛlc A(λ) = ɛlc Ainsi, nécessairement, ɛ est fonction de λ. Mais ce n est pas tout! Tout notre raisonnement, depuis la début, ne tient compte que de milieux absorbants ne comptant qu une seule espèce de chromophores. Le coefficient ɛ dépend donc en réalité de : la nature du chromophore la longueur d onde des rayons lumineux le solvant (au même titre que les chromophores puisqu il compose le milieu traversé) la température (sinon c est pas drôle...)» Milieu à plusieurs chromophores (en concentrations faibles (10 3 mol/l)) Pour une longueur d onde λ donnée, il est assez légitime de considérer que l absorbance totale du milieu A(λ) est égale à la somme des absorbances dues à chacun des types de chromophores (dans le même solvant). En effet, prenons deux chromophores. Le milieu restant homogène pour les deux types de chromophores et la surface de section étant la même, si on considère, par la pensée, qu il n y a d abord qu un seul type de chromophores (type 1), I t,1 = I i.10 ɛ 1lC. Le fait de rajouter un deuxième type de chromophores (type 2) peut être interprété comme le fait de n avoir que le second, pour lequel l intensité incidente est I t,1. De ce fait, I t,2 = I t,1.10 ɛ 2lC = I i.10 ɛ 1lC.10 ɛ 2lC = I i.10 (ɛ 1+ɛ 2 )lc En réalité, c est un jeu simultané. On pourrait considérer des tranches d épaisseur dx pour lesquelles la première partie dx/2 contient des chromophores 1 et la seconde de chromophores 2. Sur dx, le raisonnement précédent fonctionne puisque les deux milieux se succèdent à l échelle infinitésimale, et sur l, ces tranches dx se répètent toujours dans la même proportion (le milieu étant homogène). Par ailleurs, le phénomène d absorption a une signification "multiplicative" : T (λ) = 10 ɛlc n est autre qu un coefficient de transmission et est un ratio (ie. comme un pourcentage). Ainsi, en mélangeant deux substances, on n additionne pas les transmittances (tout comme on n additionne jamais des pourcentages!), mais on les multiplie. Du coup, après passage au log, les absorbances s ajoutent. Dans un milieu absorbant constitué de i chromophores : A(λ) = i chromo. ɛ i (λ) C i l

IV. Synthèses chromatiques (1) Tri- ou quadrichromie La guère des couleurs primaires. Notre œil contient plusieurs types de capteurs optiques : quatre pour être exacte. Il y a d abord les trois types de cônes, chacun sensible à un domaine de longueurs d onde. Et il y a aussi les bâtonnets, qui eux sont sensibles au contraste (clair/sombre, blanc/noir). De ce fait, le spectre du domaine visible total est perçu comme une superposition de trois "informations colorées" : celles que chaque type de cônes apporte. Les cônes S sont sensibles au domaine (violet-bleu), les cônes M au domaine (vert-jaune) et les cônes L au domaine (jaune-rouge). Mais ce qui détermine leur couleur dominante c est la singularité qu ils ont vis-à-vis des longueurs d onde. En effet, si les cônes S sont excités uniquement par les ondes du domaine bleu (et donc spécifiques au bleu), les M et les L sont tous les deux excités par le jaune. Néanmoins, comme les cônes L sont les seuls à répondre aux excitations du rouge, ils sont spécifiques au rouge. De même pour le vert pour les cônes M. Toutes les couleurs que nous percevons sont alors la superposition des degrés d excitation des cônes bleus (S), verts (M) et rouges (L), auxquels il ne faut pas oublier le degré d éclairement donné par les bâtonnets. D où l idée que, pour l œil humain seulement, il y a trois couleurs primaires à partir desquelles toutes les autres sont synthétisables. Les couleurs primaires sont donc le bleu, le vert et le rouge. Comment ça?! C est pas cyan, jaune et mangenta? Pour les scientifiques, non. Mais pour les artistes, oui. En fait, il se trouve que l on peut aussi reconstruire toutes les couleurs à partir de ces trois là (que nous appellerons couleurs secondaires). Et nous allons voir le pourquoi du comment! (2) Couleurs complémentaires Définition formelle. Soit S l ensemble du spectre visible (ie. le spectre de la lumière blanche). Etant donnée une couleur A polychromatique dont le spectre est une union de n intervalles de longueurs d onde inclus dans S, ie. sp(a) = I i, 1 i n la couleur complémentaire de A notée Ā est la couleur dont le spectre est le complémentaire de celui de A dans S : sp(a) = sp(a) = S sp(a) [eg] : Voici deux spectres complémentaires, l un en-dessous de l autre.

Lien avec l absorbance. On comprend que les spectres d émission et d absorption sont complémentaires. Ainsi, le graphe de l absorbance λ A(λ) d un milieu absorbant correspond au spectre de la couleur absorbée, qui est alors la couleur complémentaire de celle que l on perçoit. Une solution violette absorbe la couleur complémentaire du violet (autour du jaune). Pour obtenir le spectre de la couleur observée, il faut "retourner" le graphe de l absorbance (comme ci-dessous avec un exemple complètement fictif). [nb] : Au-delà d une complémentarité de domaines spectraux, il s agit d une complémentarité en intensité.» Retour sur la perception humaine des couleurs Ainsi, comme toutes les couleurs sont reconstituées par l œil à partir de trois excitations RVB (rouge, vert, bleu), en associant la valeur 1 à l excitation maximale d un cône, et 0 lorsqu il n y a pas d excitation, chaque couleur est la combinaison de trois nombres réels compris entre 0 et 1 (proportionnels aux intensités reçues). Ces nombres représentent alors les doses respectives de rouge, de vert et de bleu qui composent la couleur. Dans cette modélisation, le triplet RVB correspondant au noir est (0,0,0) : absence totale d excitation. Pour le blanc on a (1,1,1), c est-à-dire que nous recomposons tout le spectre de la lumière blanche. En coordonnées RVB, le complémentaire d une couleur A = (x, y, z) est donnée par : A = 1 1 x y 1 z [nb] : Les coordonnées x, y et z sont comprises entre 0 et 1 et correspondent respectivement aux proportions de rouge, de vert et de bleu. Ainsi, le complémentaire d une couleur A correspond au spectre complet (ie. à la lumière blanche (1,1,1)) moins la couleur A.

(3) Synthèse additive On distingue deux types de synthèses chromatiques : additive et soustractive. La synthèse additive consiste à ajouter des couleurs sur le noir (absence de lumière) par projection. C est par synthèse additive que les images se forment sur la rétine de l œil. Plaçons-nous dans une salle non éclairée. Dans le noir, nous voyons (presque) noir. Les murs de la salle sont blancs. Enfin... pour le moment, les murs blancs sont noirs. On projette trois couleurs sur le mur : du rouge, du vert et du bleu. En superposant les images, on observe la figure suivante : C est alors qu apparaissent le cyan, le magenta et le jaune, comme superpositions des couleurs primaires : B + R = m (magenta) V + B = c (cyan) R + V = j (jaune) Ainsi, en coordonnées RVB : m = 1 0, c = 0 1 et j = 1 1 1 1 0 Or, on peut montrer mathématiquement que les vecteurs m, c et j forment une base de R 3, tout comme R = (1, 0, 0), V = (0, 1, 0), B = (0, 0, 1). C est-à-dire que toutes les couleurs (qui correspondent à des points de l espace R 3 ) sont exprimables en coordonnées RVB mais aussi en coordonnées cmj, par un changement de base. Ceci explique que le cyan, le magenta et le jaune puissent aussi être pris comme couleurs primaires puisque pouvant générer toutes les autres. On peut aussi remarquer que la superposition du rouge, du vert et du bleu donne bien du blanc : R + V + B = 1 0 + 0 1 + 0 0 = 1 1 0 0 1 1 Complémentarité des couleurs primaires et secondaires. On comprend alors que les couleurs secondaires (cmj) sont complémentaires des couleurs primaires RVB : c = 0 1 = 1 1 1 0 = R, m = V, j = B 1 1 0

» Changement de base chromatique Etant donné que les couleurs cmj sont complémentaires de RVB, les coordonnées (α, β, γ) d une couleur dans la base cmj s expriment comme suit en fonction des coordonnées RVB (x, y, z) : α β = 1 1 x y γ cmj 1 z RVB Cube chromatique. On peut alors représenter le cube chromatique en considérant les axes cmj ou RVB, comme ci-dessous. Chaque point du cube correspond à un triplet en cmj ou en RVB, c est-à-dire à une couleur. Et inversement, toute couleur perçue par l œil se trouve en un point du cube. [nb] : En base cmj, le noir a pour coordonnées (1, 1, 1) et le blanc (0, 0, 0). Ainsi, là où la somme du rouge, du vert et du bleu donne du blanc, la somme du cyan, du magenta et du jaune donne du noir. Le noir, bien que correspondant à une absence totale de lumière, peut être synthétisé par la superposition des trois couleurs secondaires. C est ce qui fait la différence entre la synthèse additive du RVB par projection et la synthèse soustractive du cmj par absorption. (4) Synthèse soustractive Il faut bien comprendre que la couleur des objets est synthétisée de manière soustractive, par absorption. Si on reprend l exemple d une solution de permanganate de potassium, la couleur obtenue (violet) correspond à la partie de la lumière blanche incidente qui n a pas été absorbée. Ainsi, le violet résultant est le résultat d une soustraction d une partie du spectre à la lumière blanche. Ainsi, le violet nous parvient à l œil. L image de la solution se projette sur notre rétine qui va alors interpréter le signal comme l addition d excitations rouge, verte et bleue. Ainsi, pour l œil, mélanger du rouge, du vert et du bleu c est exciter tous les cônes est donc reconstruire l information d un spectre complet (blanc). En revanche, mélanger du cyan, du

magenta et du jaune c est ajouter les complémentaires du RVB et donc les soustraire de la lumière blanche, c est-à-dire faire le noir. Les couleurs de l artiste. De ce fait, une synthèse additive se fait par projection de faisceaux lumineux alors que la synthèse soustractive se fait par absorption/réflexion. Que ce passe-t-il sur une feuille blanche que l on peint? En la colorant d une substance de couleur cyan, on retire à la couleur blanche de la feuille la couleur complémentaire du cyan. En effet, la substance est cyan. Par principe d absorption, cela signifie que la substance colorante absorbe la couleur complémentaire du cyan ; en l occurrence le rouge. Les rayons incidents sur la feuille sont donc réfléchis en une lumière privée de rouge. Le colorant cyan a soustrait le rouge. De ce fait, si on rajoute du magenta et du jaune, on soustrait les trois couleurs primaires. La synthèse additive des rayons réfléchis qui parviennent à l œil produit alors la somme de 0 rouge, 0 vert et 0 bleu, soit du noir. Ainsi, en mélangeant les trois couleurs secondaires on obtient bien du noir. Un mélange de colorants rouge, vert et bleu donne-t-il du blanc? Non. Car les colorants chimiques (peintures), fonctionnent de manière soustractive. En effet, en peinture, on empilent des couches de colorants. C est comme ajouter plusieurs types de chromophores. Les absorbances s ajoutent, ne faisant que diminuer l intensité lumineuse transmise (ou réfléchie). Tout ceci vient du fait que les couleurs nous parviennent par réflexion de la lumière blanche incidente. Sur le schéma si dessus, le noir est égal à c + m + j et aussi à R + V + B. C est exactement le principe de synthèse soustractive : RVB doit être considéré dans la base cmj. C est ce qui explique le choix des artistes. En revanche, pour des sources directes (les écrans), une superposition de faisceaux RVB donne bien du blanc. De même pour une superposition de cmj. Mais ici, les rayons émis nous parviennent directement, depuis la source jusqu à l œil. C est ce que l on entend par «projection directe de la lumière». Il est donc plus intuitif, dans ce cas, d utiliser la base RVB, ce qui explique le choix des scientifiques. Pourquoi les citrons sont-ils jaunes? S ils sont jaunes c est que la lumière qu il renvoie a été privée de la couleur complémentaire au jaune, soit le bleu. Ainsi, le citron absorbe le bleu. D ailleurs, si on éclaire un citron avec une lumière bleue, le citron est perçu noir (tout le bleu est absorbé). Au contraire, étant donnée que j = V + R, si on éclaire le citron avec du vert ou du rouge, il sera perçu (resp.) tout vert ou tout rouge. [nb] : J en profite pour souligner le fait que les couleurs cmj s excluent, tout comme RVB. On ne peut pas obtenir l une des trois à partie des deux autres. Ainsi, si je n absorbe que le bleu, je suis sûr de refléter le rouge et le vert.

(5) Principe des filtres Par synthèse soustractive (ie. par absorption), un papier de bonbon rouge ("transparent") est rouge parce qu il laisse passer le rouge. C est un filtre rouge. Ainsi, comme on peut considérer que la lumière blanche est la somme R+V +B, et que ces trois couleurs s excluent (mathématiques, elles sont linéairement indépendantes), si le filtre est rouge, c est qu il bloque (absorbe) V et B. [eg] : m = B + R, donc un filtre magenta laisse passer B et R. De même, c = B + V signifie qu un filtre cyan laisse passer B et V. De ce fait, si on superpose les deux filtres, m + c ne transmet que le bleu B. On a donc m + c = B. En effet : m + c = 0 1 + 1 0 = 0 cmj 0 cmj 1 1 = 0 cmj 0 0 = B 1 RVB