a- par la Surveillance du Portefeuille.

TARIFICATION DU RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES PAR LA PRIME MODELEE SUR LE RISQUE PIERRE J. DELAPORTE Paris, France Le principe de l'assurance contre les accidents d'automobiles est la formation d'une mutualit6 oh les assur6s mettent en commun leurs risques. Si les risques des assur6s ne sont pas tous ~gaux entre eux, il est normal de demander A chacun des assur6s une prime proportionneue au risque qu'il fait supporter ~ la mutualit& La tarification a pour objet l'estimation du risque propre A chaque assurd, afin de r6partir 6quitablement la charge totale de la mutualit& On groupe habituellement les v6hicules ayant en commun plusieurs caractdristiques du risque telles que m~me module de voiture, m~me usage, m~me lieu de garage habituel. Nous d6signerons un tel groupement par classe de tarif. ESTIMATION DU RISQUE MOYEN : TARIFICATION A LA PRIME MOYENNE On observe les accidents relatifs aux v~hicules appartenant ~ une m~me classe de tarif. Le quotient du cofit de ces accidents au nombre de voitures-ann& donne la prime moyenne pure empirique. Cette prime moyenne subit alors quelques corrections pour tenir compte de la survenance au hasard des gros sinistres et du fair que la prime indiquer dans le tarif estime le risque moyen futur et non pas le risque pass& Cette prime moyenne sera demand& ~ toutes les voitures ayant les caract6ristiques d6finies par la classe de tarif; elle suppose que tous les risques de cette classe sont 6gaux, c'est-adire que les seuls param&res de tarification retenus sont exhaustifs pour caract~riser le risque que l'assur~ fera supporter A la mutualit& Cependant, les compagnies d'assurances qui utilisent des tarifications k la prime moyenne ont l'habitude de g6rer les polices de leur portefeuille en niant cette 6galit6 des risques: a- par la Surveillance du Portefeuille. Les assureurs ont l'habitude d'examiner soit les rapports du

252 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES cofit des sinistres aux primes, soit les nombres de sinistres d~clarrs sur chaque police, pour drtecter, puis rrsilier ou majorer la prime future des polices qui ont fait supporter dans le passe les plus lourdes charges A la mutualitc b- par des rdductions de primes aux bons assurds. Souvent les compagnies acceptent de rrduire le montant de la prime demandre aux assurrs qui ont drclar6 peu de sinistres ou bien consentent contractuellement une bonification de prime s'il n'a pas ~t6 drclar6 d'accident. Dans les deux cas ci-dessus l'assureur admet: I ) que les risques individuels appartenant ~ une m~me classe de tarif ne sont pas 6gaux entre eux; 2 ) que les risques qui ont 6t~ plus lourds ou plus 16gets dans le pass6 le resteront aussi dans l'avenir. OBSERVATION DES NOMBRES DE SINISTRES DI~CLARI~S LES ANNEES SUCCESSIVES SUR UN MEME VEHICULE Dans une mrme classe de tarif examinons les nombres de sinistres drclar~s pour des voitures assurres pendant deux ann~es cons~cutives. Classons ces voitures selon leur nombre d'accidents de la premi&re annie is' et observons leur fr~quence pendant la deuxi&me annie ~s'. Ier EXEMPLE: Accidents aux tiers de petites voitures utilis~es pour les affaires, ayant leur garage habituel tt Paris, observ~es du I.I.I958 au 31.12.1959 Ensemble 1958 Nombre d'accidents o i 2 3 4 5 2367 1958 Frrquence observre xs' o i 2 3 4 5 o,59o 1959 Fr~quenceobservregs' 0,395 o,717 o,962 x,168 1,278 x,643 0,568 1959 Fr~quence estimre E [IS/1Sq o,4i 7 0,682 0,947 1,212 x,477 1,742 0,590 La frrquence estim~e EE slxs'] est obtenue au moyen de la formule (3) ci-apr~s. 2e EXEMPLE: Accidents aux tiers de voitures Simca 7 CV, usage promenade, garage habituel Paris

- - Fr@quence - - Fr6quence RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 253 Ensemble ~958 Nombre d'accidents o I 2 3 4 5 289 1958 Fr6quence observ6e is' o I 2 3 4 5 0,326 I959Fr6quence observ6e as' o,223 o,4o4 o,477 0,833 3,ooo 3,ooo o,283 1959 Fr@quence estim@e E [~s/ls" ] 0,236 0,459 0,682 0,905 I,i28 1,351 0,326 3e EXEMPLE: Tous accidents d6clar6s pendant les 4 premi@res ann6es sur des voitures sortant d'usine, d'apr6s P. Depoid (voir [I] 1, p. 117). Les fr6quences estim6es sont ici corrig@es de la diminution progressive de la fr~quence due ~t ce que les voitures 6taient toutes neuves ~t l'origine et ~t l'61imination des v6hicules les plus accident@s. I ee ann6e Nombre d'accidents o I /> 2 840 -- Fr6quence observ6e o i 2,50 o,671 2e ann6e Fr@quence observ6e o,47 0,72 I,O6 o,631 -- Fr@quence estim@e o,469 o,71o I,O66 -- 3e ann6e Fr@queuce observ6e 0,39 o,6o o,9o o,517 estim6e 0,384 o,582 0,874 -- 4 e alm@e Fr6quence observ6e 0,33 0,45 o,58 o,386 estim6e 0,287 o,434 o,652 -- On observe ainsi que le classement des voitures selon les nombres croissants d'accidents qu'elles ont eus la premi@re ann@e donne des fr@quences croissantes d'accidents les ann@es suivantes. MODULE REPRI~SENTANT LA SURVENANCE DES ACCIDENTS VOITURES D'UNE Mf~ME CLASSE DU TARIF Ddsignons par: DES s, la variable al6atoire nombre de sinistres d'une voiture d@termin@e i pendant une dur~e unitaire (pour simplifier nous prendrons une annie), s, est donc le risque d'accident d'une voiture i. is' ~, 2s',, ~s', les nombres observ@s de sinistres de cette voiture i pendant la I ~re, la 2e... la l ~me ann6e 6tudide. F (s) la fonction de r6partition des variables s~ des voitures de la classe 6tudi@e du tarif. P (js'ds,) la probabilit6 pour qu'une voiture de risque s, air j s', accidents au cours de la/' ~me ann6e. Nous avons montr@ (voir [3], P. 122) que l'ensemble des r~sultats statistiques pr@c6dents pouvait ~tre repr6sent6 par un mod&le oh 1) Les nombres entre crochets renvoient ~ la bibliographie ~ la fin de l'article.

254 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES la probabilitd, qu'une voiture prise au hasard dans la classe ait s' accidents la premiere annde, est +~ P (s') = J" P (s'ls). df(s) (I) so oh so est le risque minimum d'une voiture. On a montrd (voir [4], P. 88 A 90) que la probabilitd P (~s~]s,) dtait donnde par la loi de Poisson js'~ S~ P (:',[h) = e-', s' w J t- (2) La fonction de rdpartition F(s) peut prdsenter diverses formes analytiques selon la client61e du mod61e de v~hicule, la sdlection des risques faite par la compagnie d'assurances ~ la souscription et par la surveillance du portefeuille. On a donnd une mdthode gdn~rale de d~termination de cette forme analytique par les Types de K. Pearson (voir [3], formules I, 2 et 6). Ce mod61e permet une reprdsentation statistiquement satisfaisante: x o) des nombres de sinistres observds sur l'ensemble des vdhicules d'une classe (voir [3], P. z27 et zz8; [4], tableau z); 2 ) des nombres de sinistres d'une annde pour chaque voiture, connaissant les nombres de sinistres des ann6es antdrieures. En effet, si l'on suppose le risque s t de chaque voiture stable au cours du temps 1) le hombre probable des sinistres de 2e annde est l'esp6- rance matmmatique de slide par le nombre d'accidents observd la 1 ~re annde #~ f s. P (:'1 s). df (s) " (3) I P (:'Is). (s) $0 1) On a montr6 ([6] application des formules N 0 6 et 7) que, d'apr~s les observations des nombres de sinistres de 2 ann6es cons6cutives, les modifications au cours du temps du risque des voitures d'une classe 6talent statistiquement n6gligeables.

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 255 Ces espdrances mathdmatiques li6es sont indiqu6es comme,,fr6quence estimde" dans chacun des 3 exemples ci-dessus. L'action de la SurveiUance du PortefeuiUe qui r6silie les polices ayant des nombres de sinistres dlev6s a pour effet de diminuer progressivement les frdquences moyennes observdes dans les statistiques des compagnies d'assurances. On a montrd (voir [6], formules 2 et 5) que, d'apr6s les statistiques des voitures assurdes par l'urbaine et la Seine 1), la distribution des risques individuels ale plus souvent pour forme la probabilit6 dl6mentaire: a b df (s) = ~(b)" e'acs--s ~" (s - So) ~-x. as (4) off F(b) est l'intdgrale eulerienne compl6te de seconde esp~ce et so (risque minimum), a et b sont des param6tres propres A la classe du tarif. On a indiqu6 une mdthode gdndrale d'estimation de ces param~tres par le maximum de vraisemblance ([6] formule 5). Les courbes de distribution des risques ([6] fig. Iet 2) donn6es pour divers mod61es de vdhicules montrent que, pour un m~me lieu de garage et un m~me usage, les risques individuels varient tr6s fortement et que leur aire commune est tr~s importante: 66 //o en Province (zone Normale) et 78 ~o A Paris, alors que les puissances SAE de ces voitures varient de 12 A 75 CV. Les risques individuels petits et moyens sont A peu pr6s les m~mes pour tous les types de vdhicules qui se difffrencient surtout par les plus gros risques individuels dont les frdquences sont beaucoup plus 61ev6es pour les voitures de fortes puissances. Ceci explique que le risque moyen soit diff6renci6 selon les types de v6hicules, alors que les risques individuels ont des distributions peu diff~renci6es. Les diff6rences entre les risques proviennent pour la plus grande part de la clientele qui choisit le vdhicule et non pas des diff6rences qui existent entre les divers modules de v6hicules. Ceci explique de 16g~res diff6rences entre les risques moyens des diverses classes de tarif, alors que la diff6renciation est surtout tr&s forte entre les risques individuels A l'int6rieur d'une classe. C'est dire que le risque mis en mutualit6 varie beaucoup plus avec l'assur6 qu'avec les caract6ristiques 1) Nous remercions vivement M.A. Pla, M.J. Mouillard et Melle G. Chardon de l'aide qu'ils nous ont apport6e pour cette 6tude.

256 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES g~n~rales de la classe. La prime qu'il est 6quitable de demander chaque assure doit donc vafier avec les caract6ristiques g6n6rales de la classe mais surtout avec les caract6ristiques individuelles du risque. ESTIMATION PROGRESSIVE DU RISQUE INDIVIDUEL La tarification des risques devrait se faire d'apr~s la valeur s, du risque de l'assur6 i. Ceci n'est pas possible puisque le risque s, est n~cessairement inconnu, mais, cependant, il peut ~tre estim6. L'assureur devra donc, ~ chaque instant, prendre pour base de la prime du risque s, la meiueure estimation qu'il peut en faire. Ceci entraine pour l'assureur une suite d'estimations successives faites pour chaque risque i au d~but de chaque ann6e d'assurance. Soit F (s) la fonction de r6partition des risques individuels d'une classe du tariff La somme des probabilit6s des risques individue]s est J" df(s) = I. *0 Apr+s une ann6e d'observation des risques, les probabilit6s d'une valeur de s~ ne sont pas les m~mes si le risque n'a eu aucun sinistre, a eu I sinistre, a eu 2 sinistres, etc. Ces probabilit6s sont donn~es par les distributions li~es suivantes, telles que la somme des aires de l'ensemble de ces distributions soit ~gale ~ I. La probabilit6 616mentaire de s, s'il n'est survenu aucun sinistre pendant la I ~re ann6e est: s'il est survenu I sinistre: s'il est survenu xs' sinistres: P (o] s). df(s) = e'*. df (s) (5) P (~ Is). df(s) = s. e'". df(s) (6) P (ls'[s). af(s) = S (~s 3. es.,tf(s) (7) is + ] D'une mani6re analogue on 6crira les probabilit6s 616mentaires de s, sachant que le nombre total de sinistres d6clar6s pendant les 2 premi6res ann4es sur la voiture iest 2s,: ~P (xs'~[s). P(,s',ls).dF(s) -- s#'+**" e -e* df(s) (S) fis', +,s',)!" "

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 257 D'une mani~re g6n6rale la probabilit6 61~mentaire de s, sachant que le nombre total de Sinistres d6clar6s pendant les k premi&res anndes sur la voiture iest ks,: P P... P =. e "k*. df(s) (9) (ls'~ +... + ~s'~)! EXEMPLE 3 -- Assurance de responsabilit~ civile des voitures de la classe de tarif: voitures Renault--modUle Dauphine, usage: Affaires, lieu de garage habituel Paris, en I958-I959. L'~tude des sinistres d~clar~s donne une probabilit~ ~l~mentaire de la forme (4) dont les param~tres, estim~s par la m6thode du maximum de vraisemblance, sont a = 3,862 b = 1,6oo et so = o. Sur la figure No. I, on a represent& en pointill6: la courbe de densit~ de probabilit~ des risques s~ en trait continu: les courbes de densit~ de probabilit~ des risques s~ sachant qu'il a 6t~ d~clar~ o sinistre, ou I sinistre, ou 2 sinistres, pendant la I ~re ann6e. en tirets: les courbes de densit6 de probabilit6 des risques s, sachant qu'il a 6t6 d6clar6 o sinistre, ou I sinistre, ou 2 sinistres, pendant l'ensemble des 2 premieres ann6es. On volt imm6diatement que les courbes de densit6 de probabilit6 sont tr~s diff6rentes les unes des autres d~s que l'on connait les sinistres de la I ~re ann6e, a fortiori lorsqu'on connait les sinistres des 2 premieres ann6es. EXEMPLE 4 -- Assurance de responsabilit6 civile et de dommages la voiture pour la classe de tarif: voiture Peugeot, module 4o3, usage: commerce, lieu de garage habituel: villes de moyenne importance (zones 3-4) en 1958-1959. Les diverses courbes des densit6s de probabilit6 indiqu6es ci-dessus sont repr6sent6es sur la figure No. 2. On peut proposer deux mdthodes d'estimation progressive du risque individuel d'accident d'apr~s les distributions li6es indiqu~es dans les formules (5) ~ (9). x7

258 RISgUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES Densit6 de probabilit6 des risques s, ~ l'origine et densit6s de probabilit6 li~es par les sinistres de la premiere ann6e ou des 2 premieres ann6es z,8 1,6 1,4 1,2 l,o l o ",!1! \~ \ ",.!l \ \ \ t \ \ ": 0,8 O,6,[ t si- \ ~XxX \ " ". I 0'4 i " ~ TM " ' O,2 I r 0,5 i i,5 si Fig. i 0,8.... I I S ~ "%,%,,.6 //-'"'~ ~.~ "'.,. 0,4 -rt~ /[ -- X \.,, " \ ~ %.%., o,2 I / i o o,5 t 1,5 s~ Fig. 2 I o) Estimation du risque individual par le risque le plus probable, c'est-a-dire par la dominante des distributions li6es. Cette hi6rarchisation des gravitds des risques est celle que d6sirerait l'assur~.

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 259 L'4tude qui en a 4t4 faite [5] a montr~ qu'eue fournit une solution int4ressante pour l'estimation progressive d'un risque, mais qu'eue ne peut servir de base ~ une tarification de l'assurance automobile sans une modification importante des habitudes actuelles. 2 o) Estimation du risque individuel par le risque probable. Sous le nom de,,prime modelde sur le risque" on a drift 4tudi4 [4] l'efficacit4 de cette m6thode de tarification de l'assurance automobile. Dans cette m4thode, on estime chaque ann4e le risque individuel par son esprrance math4matique li4e par l'information d4j~t connue. A la souscription de la police, l'estimation de la prime de premiere ann4e, appel4e encore prime initiale, se fait d'apr~s l'esp4rance math4matique de la classe de tarif, c'est-~-dire par +~ E [is't] = j" s.df(s) (IO) #0 La prime de 2e ann4e s'obtient au d4but de la 2e ann4e d'apr~s l'esp4rance math4matique de la fr4quence s,, sachant que la voiture i appartient ~t la classe de tarif et qu'il a 6t4 d4clar4 zs', sinistres pendant la I ~re ann4e. Cette esp4rance math4matique li4e est donn4e par la formule (3). L'estimation des primes des ann4es suivantes se fait d'une manitre analogue. En grn4ral, l'estimation de la prime de la (k + I) ~me ann4e d'assurance se fait d'apr~s l'esp4rance math4matique du risque s, li4e par les nombres is',, ~s',... ks', de sinistres d4clar4s pendants les k premieres ann4es d'assurance. +m $ s.p(xs'ts).p(=s'l + is,i, S~,2 st,...k S,]-~- - - ]" P(xs' I s). P(=s' [ s)... P(~s' I s). df(s) +~ y --,n # e s,*',+" +.*'+ 1. e-,,. df(s) +to j. s,s',+... +~',.e-*s.df(s) "0 En d4signant par c le cofit moyen des sinistres de la classe de tarif et par g le taux de frais g4n4raux (y compris commissions et

260 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES chargement de sdcuritd), la prime commerciale modelde sur le risque de la voiture i pour la (k + I) ~me annie est donnde par / +1 I-It = c'e[/ +l s'llls't' 2s'i... ks't] (12) I--g La tarification par prime modelde sur le risque a les principales propridtds suivantes [5]: Propridtd I Chaque annde, la somme des primes per~ues est dgale ~ la somme des colts des sinistres et des frais gdndraux. Propridtd 2 La prime modelde sur le risque, demandde ~ un vdhieule i, pour l'annde k + I, est toujours dgale ~ son espdrance mathdmatique i nnd ivid uelle. I1 en rdsulte que: a) le ddpart d'un risque i quelconque ne l~se pas l'dquilibre du portefeuille de la compagnie puisque chacun et l'ensemble des risques restants sont encore tariffs ~ leur espdrance mathdmatique; b) l'assureur qui, par concurrence, propose au risque i une prime infdrieure A la prime modelde sur le risque travaille en-dessous de l'espdrance mathdmatique du risque. L'espdrance math6matique de son gain est donc ndgative et, en rdpdtant de nombreuses fois cette opdration, il subira ndcessairement une perte importante. Propridtd 3 Si le risque est stable au cours du temps quand la durde d'assurance k croit, la prime modelde k+l l-ii sur le risque i tend asymptotiquement vers celle de la vraie valeur s t initialement inconnue et cette asymptote est inddpendante de la distribution initiale F(s) des risques de la classe du tariff Autrement dit, la prime asymptotique d'un risque iest inddpendante des erreurs de la classification initiale de ce risque, c'est-g-dire inddpendante du tarif initial. Sur les figures 3 et 4 on a indiqud, pour les exemples 3 et 4 cidessus respectivement, quelques courbes d'esp~rance mathdmatique du cheminement. Pour cela on a pris pour dchelle des ordonndes

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 261 la valeur du risque, sur le graphique de gauche: valeur vraie du risque individuel, sur le graphique de droite : esp6rance math6matique lide de s, utilis6e pour la prime model6e sur le risque, et pour 6chelle des abscisses; graph!que de gauche: la densitd de probabilit6 des risques individuels s~ ; graphique de droite: les ann~es successives t d'estimation de chaque risque individuel i. Distribution des risques individuels et esp6rances math6matiques du cheminement de l'estimation du risque individuel chaque ann6e s, I E [s',j, s',, ~s',,...},~ I / J st=2, ------ / F L c ~ ' j I S* = I, 5 / ' t --..--- $1~O,5 St ~ O,Z = O,I, 1,6 1,4 1,2 I,O o,s o,6 o, 4 0,2 (i I 2 5 IO Densit6 de probabilit6 Fig. 3 x 5 20 Ann6es Le graphique de gauche fait apparaitre la fr~quence avec laquelle chacune des gravit6s de risque individuel s t existe dans le portefeuille de la compagnie d'assurances. Sur le graphique de droite, on a indiqu6 en trait continu, pour quelques valeurs du risque individuel st = o,i; 0,2; 0,5; I,O; 1,5; 2,0, les courbes donnant les esp6rances math~matiques des risques (correspondant ~ la prime model6e qu'aurait ~ payer la I ~re ann6e, la 2e annie, etc. chacun de ces risques).

262 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES On voit imm~diatement sur les figures 3 et 4 que, d6s les premi6res armies, la diffdrenciation entre les risques individuels est tr6s forte et qu'h partir de la 8e ou de la xoe annde, la courbe d'espdrance rnathdmatique du cheminement est voisine de la valeur vraie du risque, qui est son asymptote. Distribution des risques individuels et espdrances mathdmatiques du cheminement de l'estimation du risque individuel chaque annde s, I E [s',h s',,,s',,...] /// I'5 r / - \ ~=o, 5.~ = o,z o,8 o,6 o,4 o,= o x 2 5 to x5 2o Densit6 de probabilit6 A~n~ Fig. 4 Propridtd 4 Pour chaque dasse de risques, la tarification par la prime moddde a une efficacitd maximum. En effet, d~signons par ex, l'estimation du risque individuel i prise par le tarif d'assurances pour l'ann6e k. La variance des sinistres par rapport au tarif est: ~ = f (es't -- ex~) ~. P(ls', l st). P(zs', l st)... P(e--1 s'l l st). df(s) = m e = E [ts'l S I ls'i... k_l$'l] -- 2t~k ~. E [/ s' I I 1s'l... k--is'i] + ~.~ (I3)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 263 cette variance est minimum pour: ~kx- 2E ks'~lls~... k-1 ~ +2kh= donc pour kx~ = E [ks'tlls't... ~_ls',] (14) La variance est donc minimum lorsque le tarif prend pour estimation du risque l'espfrance mathdmatique du risque lide par les ant~cddents, c'est-a-dire pour la tarification par la prime model6e sur le risque. I1 rdsulte de ceci que toutes les autres mdthodes de tarification des risques d'une classe sont moins efficaces que la Prime Modelde, en particulier la prime du risque moyen, les bonifications pour petits nombres de sinistres, etc. Efficacitd de la prime moyenne par rapport ~i la prime modelde pour la k ~rne annde d'assurance, pour une classe du tarif Ddsignons par kv la variance des sinistres de la k ~me ann6e par rapport ~ l'esp6rance math6matique li6e par les sinistres des k-i ann6es ant6rieures +~,v = f E Eks'tl ', k_l 'l} '. 80 lmt~o tdt=o 7~Jtr-- 0 _P (1s'ls)... P (ks'ls).de(s) (15) alors oov est la variance due ~ la survenance au hasard des sinistres d'une annde si l'on connait exactement chacun des risques individuels s t ; iv est la variance de premiere ann6e qui est la m~me si l'on utilise la prime moyenne ou la prime model6e. Donc, ~ l'intdrieur d'une classe de tarif, l'efficacit6 de la tarification A la prime moyenne par rapport A la tarification ~ la prime model6e est,v -- ~ov (16) ~e -- iv -- o~v La figure 5 reprdsente la variation de cette efficacit6 pour le troisi6me exemple (Renault, Dauphine) et pour le 4e exemple (Peugeot 403). Ces courbes montrent que l'efficacitd de la tarification

264 RISQUE INDIVIDUEL D'ACC!DENTS D'AUTOMOBILES par la prime moyenne devient mauvaise d~s les premieres anndes et qu'elle est d'autant plus mauvaise que le risque moyen est plus 61evr. Dans tousles cas, l'efficacit6 tend asymptotiquement vers z6ro quand la dur~e d'observation augrnente. Efficacild globale de la prime moyenne par rapport ~ la prime modelde pour l' ensemble des k premieres anndes d'assuranee L'efficacit6 des tarifications peut aussi ~tre examinre pour Yensemble des primes per~ues de la premi&re A la k ~me annre. Ceci correspond b. l'efficacit6 que r~alise une compagnie d'assurance qui applique ces m~thodes de tarification aux polices de son portefeuille; c'est aussi la mani~re dont un assur6 a cotis6 A la mutualit6 pendant l'ensemble des k premi+res annres d'assurance, selon le mode de tarification qui lui est appliquc Pour obtenir cette efficacit6 globale, drsignons par: Z une somme ]E 6tendue de ts' = o A~s'= + oo ~" t19 l'esprrance mathrmatique lire correspondant ~t la prime modelde sur le risque # = E [~s'l is', ~s',... j_ls'] +~ k v'= I ZZ...Z{i % trot s t s'+...+ks'-(x19+...+k19)} ~. k P (I s'ls)... P (ks' Js).dF(s) = Z ~V (17) #-I la variance des sinistres autour de la prime model~e (ce r~sultat tr&s simple provient de l'utilisation des esprrances mathrmatiques lires successives). ++0 k v'= I XX...~(i s'+~s'+...+ks'-ks) ~. +o #s tin, if. P (is'is)... P (~s'[ s). df(s) (I8) la variance des sinistres autour du risque moyen. L'efficacit6 globale est alors ke' k Z tv -- k. ~ov _ ~V'-- ~ov',., kv" -- ~V' -- ~V" -- k. oov (19)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 265 Efficacit6 de la tarification h la prime moyenne par rapport h la tarification par prime model6e ~e I,o Efficacit6 de l'ann~e k o,8 0,6 \\ o,4 \F O,2 i j Dauphine Peugeot 4o3 IO 15 20 Ann6es k Fig. 5 k e "2 x,o i Efficacit6 pour l'ensemble des k premieres ann6es "~o66- / Daup~ne 0,4 0,2 0 I i I 3 5 io I5 20 Ann~es k Fig. 6 Les courbes d'efficacit~ globale, de la tarification tt la prime moyenne par rapport tt la tarification par la prime model~e, sont donn6es sur la figure No 6 pour les exemples 3 et 4- Dans chaque cas, l'efficacit~ globale de la prime moyenne tend vers z~ro quand le nombre d'ann~es d'assurance crolt. Pour 5 et pour Io ans d'assurance respectivement, on a une efficacit~ de la prime moyenne par rapport tl la prime model~e, de I4,O % et 5,3 % pour la Dauphine, de II,2 % et 3,8 % pour la Peugeot 4o3.

266 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES PR]~SENTATION D'UN TARIF A PRIME MODEL]~E SUR LE RISQUE Quelques am~nagements de ces principes grnrraux devront ~tre faits pour la prrsentation commerciale d'un tarif A prime modelre sur le risque: I o) on simplifiera la prrsentation en exprimant dans la police le seul montant de la prime initiale llfi~ et un tableau des coefficients multiplicateurs K de la prime initiale permettant d'exprimer la prime de l'annre l + I en fonction de la prime initiale et du nombre total de sinistres d~clar~s pendant les l premieres annres. Ce multiplicateur K est une fonction K(S'II ) du nombre total de sinistres observes en l anndes S' = ls', + 2s', +... + ts',, mais il est indrpendant de la r6partition de ces s' sinistres entre chacune des I annres. K = r t i E [Z+l s ~[ i s ~, 2s ~... :',] (20) E hs'd Voici A titre d'exemple ces multiplicateurs de correction pour l'assurance de responsabilit~ civile d'une voiture 5 CV Renault, module Dauphine, usage Affaires, ayant Paris pour lieu de garage habituel: (exemple No. 3 ci-dessus) BARt~ME I Nombre de sinistres avec r~glement Nombre d'annres &observation I 2 3 4 5 6 7 8 o I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,794 1,29I 1,787 2,284 2,780 3,277 3,773 4,270 0,659 1,o71 1,482 1,894 2,306 2,718 3,I29 3,541 3,953 4,365 0,563 o,915 1,266 1,618 1,97 o 2,322 2,673 3,o25 3,377 3,729 4,o8o o,491 0,798 I,IO5 1,412 1,719 2,026 2,333 2,64 2,947 3,254 3,561 0,436 0,708 o,981 1,253 1,525 1,798 2,070 2,342 2,615 2,887 3,I6O 0,392 0,636 o,881 1,126 1,371 1,615 1,86o 2, IO 5 2,35 o 2,595 2,839 o,356 o,578 0,800 1,o22 1,244 1,467 1,689 1,911 2,I33 2,355 2,578 0,326 o,529 o,733 o,936 I,I4O 1,343 1,546 1,749 1,953 2,156 2,36o 2 ) on arrondira les valeurs des coefficients K ~t des multiples de 5 ~o afin de diminuer le nombre de valeurs distinctes que peut prendre la prime.

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 267 3 o) on maintiendra, autant qu'il est possible, le coefficient K k une valeur infdrieure ou dgale A i et on supposera que pour les valeurs K > 0, 0 dtant une limite donnde qui ddpend des tarifications des assureurs concurrents, les assurds quitteront la compagnie. Les valeurs de K infdrieures A I dans le barame I devront alors ~tre majordes de teue sorte que l'espdrance mathdmatique de l'ensemble des nouvelles valeurs K' des coefficients K, multiplide chacune par A (K') probabilitd d'encaissement de la prime, soit au plus dgale A l'espdrance mathdmatique des risques conservds. Si s' ddsigne le hombre de sinistres ddclards en l anndes et G(s'l/) la probabilitd d'observer s' sinistres en l anndes, les K' doivent remplir chaque annde la condition: # --O K'.G(s'I/).A(K') >~ Z g.c(s'l l).h(k') (21) Le bar,me 2 a dtd dtabli sous cette condition (2I) avec A(K') = I si K' < 1,3 et A(K') = o si K' >/1,3. D'autre part on a limitd supdrieurement ~t 2 les valeurs de K' ~ faire figurer sur la police, afin d'dviter d'alarmer inutflement rassurd. 1'--0 BAR'ME 2 Nombre de sinistres ~vec r~glement Nombre d'anndes d'observation 3,~ 5 o I 2 3 4 5 6 7 0,90 I 1,60 2 2 0,80 I 1,3o 1,80 2 o,75 0,6 0,95 0,85 1,2 I 1,5 1,4 2 1,7 -- 2 0,55 0,8 I I)2 1,5 1,8 2 o,45 0,7 0,9 I 1,3 1,6 1,8 2 L'espdrance mathdmatique du cheminement de la prime relative ~t ce bar,me 2 a dtd indiqude en traits pojntill6s sur la figure No. 3 pour les valeurs du risque individuel s~ = o,i; 0,2; o,5 et I. On voit immddiatement sur ce graphique rimportance de la perte de discrimination, entre les risques, que l'on accepte pour des motifs commerciaux.

268 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 4 o) on a analyse le fonctionnement d'un march6 en regime de libre concurrence off une ou plusieurs compagnies W pratiquent la tarification A prime model~e sur le risque et les autres la tarification ~t prime moyenne (voir [5], 2e cas). On a observ6 que les compagnies W pourraient dprouver des difficultds pour r~aliser des contrats nouveaux, si leur prix de revient de 1 ~re annde est sup6rieur A la prime demandre par la plupart des autres assureurs. Les compagnies W devront alors utiliser en premiere annie une prime inf~rieure A leur prix de revient, mais adopter une strat~gie de modification de la prime des anndes suivantes qui r~ponde A la double condition: -- l'insuffisance des primes de premib,re annie doit 6tre amortie au cours des n premib,res annres, en tenant compte d'une cadence de disparition des bons risques; -- les primes su#rieures ou ~gales ~ 0 lois la prime de premib,re annie ne seront pas recouvrdes. Voici, sur l'exemple pr~cddent, le barb,me des coefficients K" des primes model~es que pourrait adopter une compagnie W dont le prix de revient de premiere annie serait sup~rieur de 15 % ~ la prime qu'elle devrait adopter comme prime initiale, afin d'etre bien placre d&s la premiere annre vis-a-vis de la concurrence. On a adrnis 0 = 1, 3, n = 4, cadence de disparition des bons risques = IO % par an et on a limit6 le barb.me ~t K" = 1, 5 puisque la concurrence est tr~s vive. BAREME 3 Nombre de sinistres avec r~glement I Nombre d'annres d'observation 2 3 4 5 6 o,95,45 1,50 9-----~-- o, 0,9"-----7 1,20 I I,OO 1,50 1,40 1,50 0,80 0,95 1,25 1,40 1,50 0,70 0,85 I,IO 1,4o 1,5o 0,60 0,75 I~O0 1,25 1,50 L'usage de ce barb,me permet de compenser en 4 ans une insuffisance de 15 % de la prime de premib,re annie, mais entraine pour

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 269 la compagnie W un investissement en r6serves techniques de 15 % du chiffre d'affaires la premi&re ann6e, 12,8 ~/o la deuxi~me et 5,6 % la troisi~me ann6e. 5 o) Le coefficient K' acquis par un assur6 peut normalement ~tre conserv6 lorsqu'il change de voiture, car ce coefficient caract6rise beaucoup plus l'assur6 que le v6hicule. Notons que le risque d'un assur6 peut se modifier au cours du temps en am61ioration comme en aggravation. On pourra alors limiter l'application des bar&mes aux 6, 8 ou IO derni~res ann6es d'observation du risque. 6 o) La prime model6e sur le risque fait automatiquement la surveillance du portefeuille car elle stabilise les bons risques et, en p6nalisant les risques lourds, incite ces derniers A quitter l'assureur W. On aura donc avantage, lors de la souscription d'une nouvelle police, ~ demander dans la proposition d'assurance quels ont 6t6 les sinistres des derni~res ann6es pr6c6dentes pour 6tablir la police avec une prime initiale normale, mais en tenant compte d~s la premiere ann6e d'un coefficient K' relatif aux ant6c~dents. 7 ) La formation, pour une compagnie, d'un tarif ~ prime modelde sur le risque ndcessite pour chaque classe de tarif: a) la connaissance statistique du cofit total des sinistres par voiture-annde pour la premiere annie d'assurance, afin d'estimer la prime initiale qui d6pend de la politiqu~ de recherche et d'acceptation des nouveaux risques; b) la connaissance statistique de la distribution des nombres de voitures ayant eu o, I, 2,... sinistres avec r~glement, afin de d6terminer la forme analytique de la fonction F(s) de r6partition des risques et d'en estimer les param~tres. La fonction F(s) permet alors de calculer les bar~mes des multiplicateurs de correction de la prime initiale, dans la forme du bar,me 2. Certaines r6gularitds statistiques (voir E6]) qui apparaissent dans les fonctions F(s) permettent de former seulement une famille de bar&mes 2 correspondant ~ des fr6quences probables croissant en progression g6om6trique. c) la connaissance de la prime moyenne pratiqu6e par les compagnies concurrentes, afin de savoir si la compagnie W doit r6duire sa prime initiale et former alors le bar&me correspondant du type du bar,me 3.

270 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES On voit que cette m~thode de tarification utilise le cofit total par voiture-ann6e et une correction progressive d'apr6s la fr6quence observ~e des sinistres sur la voiture consid~r~e; eue ~vite d'introduire le cofit moyen des sinistres dont l'usage est dangereux par la d6claration toujours incertaine des petits sinistres. On pourrait, afin d'~viter l'effet de certaines irr~gularit6s dans la d6claration de ces sinistres, ne les consid~rer qu'~ partir d'un cofit minimum tel que 50 Francs (US $ io.oo). Ceci permettrait de corriger le fait que certains assures ne d~clareront pas leurs petits sjnistres pour b~n~ficier d'une prime moindre dans l'avenir. Les bar6mes de coefficients multiplicateurs devraient alors ~tre modifies en consequence. Pratiquement, le tarif d'assurance se pr~sente sous la forme d'une ~num~ration de mod61es de v~hicules, avec la description d'origine du risque et les garanties accord6es. Pour chaque cas on indique le montant de la prime initiale et le num~ro du bar, me ~ utiliser. Ce bar,me, qui sera reproduit sur la police, doit ~tre pris dans la suite des bar6mes qui couvrent l'~ventail des fr6quences moyennes observ~es. Pour un tarif d'assurance des voitures ~,~ roues (sauf camions et autocars), 14 bar6mes normaux et 14 bar6mes major, s ont suffi pour tous les cas. CONCLUSION L'analyse statistique des accidents d6clar~s pour chaque v6hicule a mis en Evidence que dans des classes d'assur~s, qu'on croit homog6nes parce que tous ont ~ la fois les m~mes caract6ristiques ext~rieures du risque, il existe de tr6s fortes differences entre les risques individuels des assures. On a alors cherch6 un mod61e capable de donner une repr6sentation statistiquement satisfaisante de la survenance des accidents. Le principe d'~quit~ n6cessaire au bon fonctionnement des assurances veut qu'il soit demands ~ chaque assure une prime proporfionneue au risque qu'il pr~sente ~ la rnutualit~. L'association du mod61e avec ce principe d'~quit~ conduit ~ deux solutions dont une d'efficacit~ maximum est celle que nous avons d~sign~e par Prime modelde sur le risque. C'est une m~thode de tarification du risque individuel par les esp6rances math6matiques successives du risque li6es par les sinistres d~ja d6clar~s.

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 27I Cette mrthode devrait ~tre utilisre en partant d'une prime initiale d~terrninre de mani~re statistiquement correcte. Cependant, s'il n'en est pas ainsi elle reste bonne car l'estimation asymptotique de la prime est indrpendante des erreurs qui ont pu ~tre commises dans l'estimation de la prime initiale. Les 6tudes des stratrgies que peuvent adopter une ou plusieurs compagnies d'assurances pratiquant la prime model~e sur le risque si elles sont seules ~t le faire, ou bien toutes les compagnies si eues pratiquent cette m~me mrthode, conduisent ~t trouver un 6quilibre du portefeuiue de chacune de ces compagnies et donc, en cas de g~n~ralisation, un ~quilibre du march~ de l'assurance automobile. Cet 6quilibre ne peut exister dans un march6 oh l'on utilise la prime du risque moyen, sauf par la constitution d'ententes ou de monopole de fait. BIBLIOGRAPHIE [I] DEPOID, P. : Etude de la fr6quence et de la bortification pour non sinistre dans un portefeuiue,tous risques moderne". Bull. Trim. Inst. Actuaires Fran~s, No. 227, Juin 1959, p. io3-i23. [2] DELAPORT~, P. J.: Quelques probl~mes de Statistique Math6matique pos6s par l'assurance automobile et le bonus pour non sinistre. Bull. Trim. Inst. Actuaires Fran~ais, No. 227, Juin 1959, p. 87-IO2. [3] DELAPORTE, P. J., Un probl~me de tarification de l'assuraaace accidents d'automobiles examin6 par la Statistique Math6matique. Compte rendu du XVIe Congr~s International d'actuaires, Bruxelles I96O, vol. 2, p. 12I-I3 5. [4] DELAPORTE, P. J.: Sur l'efficacit6 des crit~res de tarification de l'assurance contre les accidents d'automobiles. Colloque de I'A.S.T.I.N., Rgttvik 1961. The ASTIN Bulletin, vol. II, part i, Jan. 1962, p. 84-95. Reproduit dsns : Bull. Trim. Inst. Actuaires Fran~ais, No. 238, Mars 1962, p. 4I-5 I. [5] DELAPORTE, P. J.: Probl~mes de strat6gie pos6s par la tarification de l'assurance contre les accidents d'automobiles et estimation progressive du risque d'accident. International Federation of Operational Research Societies, Proceeding 3 d Conference, Oslo, July I963, Dunod, Paris, p. 572-582. [6] DELAPORTE, P. J.: L'estimation statistique progressive du risque individuel d'accident et la taxification de l'assurance automobile. Bull. of the International Statistical Institute, Ottawa 1963, t. 4 o, I re livraison, p. 275-284.