Avant la séances de TP : ICENCE DE MECANIQUE TRAVAUX PRATIQUES DE MECANIQUE DES SOIDES MODUE A3M3 VIBRATIONS, EQUIIBRE ET STABIITE le polycopié doit être lu attentivement les parties théoriques à préparer et à résoudre. ACCES AU PATEAU TP DE SAINT-CYR es TP commencent à 9h précises. es travaux pratiques de vibrations se déroulent sur le campus de Saint- Cyr-l Ecole de l UPMC TRAINS DIRECTS De la gare MONTPARNASSE (SNCF) : ~30 min De la gare d'austeritz (RER C): ~45 min De la gare de la DEFENSE (SNCF): ~30 min DE A GARE A INSTITUT D AEMBERT Il faut 10 minutes environ pour aller à pieds de la gare de St-Cyr à l institut d Alembert-Site de St-Cyr En sortant de la gare prendre à droite Descendre les escaliers sur la gauche et marcher jusqu à la N10 (00 m) Traverser la N10 puis à droite jusqu au prochain croisement (150 m) Tourner à gauche et descendre la route entrée de l institut d Alembert est à 150 m sur la gauche es bancs de TP sont localisés en mezzanine dans le bâtiment 4. NUMERO DE TEEPHONE DES TP : 01 30 85 48 04 OU 01 30 85 48 65 INFORMATIONS ET CONSIGNES DIVERSES : Pendant la pause de midi, en l absence des enseignants, les plateaux TP sont interdits aux étudiants. Une salle de détente est mise à disposition des étudiants au bâtiment 5b. Elle est équipée d une itchenette et d un four à micro-ondes. Il est conseillé aux étudiants d apporter leur déjeuner (Salades, sandwiches, plats à réchauffer). INFORMATIONS REATIVES AUX GROUPES DE TP ET AUX ABSENCES es groupes de TP ne sont pas modifiables sauf cas de force majeure et sur présentation d un justificatif. es TP sont obligatoires : une absence en TP est éliminatoire e retard en TP est pris en compte dans la notation Aucune séance de rattrapage n est prévue. Une feuille d émargement doit être signée à l arrivée en TP. 1/7
CONSIGNES POUR ES COMPTES-RENDUS es TP consistent en 4 expériences de h chacune, parmi les 6 suivantes, rapidement intitulées : Suspension Bâtiment m3 Corde Flambement Equilibrage (sujet distribué sur place) Chaque expérience donne lieu à un compte-rendu. Chaque compte rendu doit être rédigé séparément au format électronique. outil de rédaction est au choix des étudiants. (.doc,.odt, atex, etc). e Compte rendu correspondant à une expérience est finalement constitué d un seul fichier obligatoirement au format.pdf, dans lequel les courbes dessins et tableaux éventuels doivent être intégrés. Remarque : un guide de rédaction de CR est disponible sur Saaï. es fichiers de compte-rendu doivent être clairement intitulés du nom de l expérience (voir + haut) et contenir le nom des étudiants ayant participé à l expérience, de la façon suivante : Suspension_Nom1NomNom3.doc Batiment_Nom1NomNom3.doc m3_nom1nomnom3.doc Corde_Nom1NomNom3.doc Flambement_Nom1NomNom3.doc Equilibraget_Nom1NomNom3.doc DEPOT DES COMPTES RENDUS SUR SAKAI inscription sur la plateforme Saaï au module A3M3 doit être validée et vérifiée par les étudiants. es 4 comptes-rendus sont à déposer sur Saaï au plus tard 10 jours après la date du TP, soit le second dimanche après la séance de TP Noter que la plateforme Saaï enregistre la date de dépôt. es comptes-rendus parvenus en retard seront considérés comme non rendus et notés 0. Il est de la responsabilité des étudiants de vérifier que leur dépôt a été correctement effectué. EVAUATION DES TP a note de TP du A3M3 compte pour 30% de la note totale du module Elle évalue : a préparation des parties théoriques investissement individuel pendant la séance, l intérêt porté aux expériences, le retard éventuel, etc. 4 notes de comptes-rendus. /7
MODEE DE BATIMENT A ETAGES Une structure à deux étages est représentée sur la figure 1. Elle modélise un bâtiment réel dont seul le comportement dans le plan de la figure 1 est analysé. On se propose de mettre en évidence expérimentalement les modes et fréquences propres de vibration d un tel système. Tous les développements théoriques du système à à 1 et ddl doivent être préparés avant le TP. B 1 B y d A 1 A Fx m m x O 1 O x A 1 A et B 1 B : Planchers indéformables en béton armé de masse M, Masse volumique ρ entre 000 et 3000 g/m 3 ; O 1 A 1, O A, A 1 B 1,.A B : ames d acier travaillant en flexion, ongueur :, argeur : b, Epaisseur : h Module d'young E =. 10 11 Pa 1 Décrire l instrumentation du dispositif expérimental et préciser le rôle de chaque élément de la chaine de mesure. Pour déterminer la raideur d une seule lame, on suppose que ses liaisons aux dalles de béton sont des encastrements parfaits. On rappelle F que sous l application d une force statique F, la déformation transversale d une poutre bi-encastrée, comme indiqué sur le schéma, est donnée par : d 3 3 F bh d = avec I = 1EI 1 En déduire une valeur approchée de la raideur associée à un étage seul. 3 Mesurer les dimensions des dalles de béton et donner un intervalle de valeurs possibles pour leur masse 4 En déduire un intervalle de valeurs possibles de la fréquence propre f 0 d un étage seul. SYSTEME A 1 DD : MASSE INFERIEURE IMMOBIISEE. Mettre le mobile supérieur en mouvement à faible amplitude et effectuer les mesures à l oscilloscope. 5 Déterminer la fréquence propre f 0 d un étage seul. 6 Mesurer le décrément logarithmique δ par la méthode la plus précise possible. 7 En déduire le facteur d amortissement ξ associé et donner une valeur approchée du coefficient d amortissement c. SYSTEME A DD : MASSE INFERIEURE IBEREE e système à ddl est caractérisé par deux fréquences propres f a et f b auxquelles sont associées deux vecteurs propres V a et V b. (qui auront été déterminés préalablement) 8 Donner les valeurs de f a et f b en fonction de f 0. 9 Préciser ce que représentent les vecteurs propres. 10 En excitant la structure manuellement et modérément, mettre en évidence successivement les modes propres de vibration du bâtiment. Vérifier que les amplitudes relatives du mouvement des deux étages sont conformes au modèle théorique 3/7
SYSTEME MASSES-RESSORTS A DD Cette expérience a pour objet de vérifier expérimentalement la validité du modèle théorique d un système vibrant à deux degrés de liberté symétrique comme représenté par la figure ci-dessous. c c c c M M c MODEISATION ANAYTIQUE A PREPARER AVANT E TP 1 Calculer les valeurs théoriques des pulsations propres Déterminer les vecteurs propres et représenter le système dans ces modes propres. EXPERIENCE e banc expérimental est constitué d'un rail à coussin d'air sur lequel peuvent se déplacer des mobiles liés entre eux par des ressorts. 'oscillation des mobiles est au choix de l'opérateur, libre ou forcée au moyen d'un moteur dont on peut contrôler la vitesse de rotation. a masse des mobile est M = 0.183 g, 'amortissement du système provient de la liaison entre les mobiles et le rail. On prendra soin de conserver un débit d air constant pour avoir un amortissement très inférieur à 1. 3 A l'aide du réglet vertical et des masses de 0 g et 50 g, mesurer la raideur des différents types de ressorts disponibles. (Noter que la longueur des ressorts «à vide» ne doit pas être prise en compte) Étude du système à 1 DD Pour le cas simple du système à 1 ddl symétrique : 1 mobile + ressorts identiques : 4 Déterminer théoriquement et contrôler expérimentalement la fréquence propre. 5 Mesurer le décrément logarithmique δ et déterminer le coefficient d'amortissement réduit ξ Étude du système à DD On monte sur le rail les deux mobiles de masse M identique. Ils sont liés entre eux et au bâti par trois ressorts, les deux extrêmes ayant même raideur. Oscillations libres (Moteur arreté) 6 Placer le système successivement dans des positions initiales correspondant aux deux modes propres et mesurer les deux fréquences propres. Vérifier que le mouvement des mobiles est bien harmonique et respecte les fréquences et les modes propres déterminés théoriquement. Oscillations forcées Mettre en marche le moteur d'entraînement dont on peut contrôler la vitesse de rotation de manière continue. Un fréquencemètre associé à un capteur optique et à une roue dentée permet la mesure de la fréquence d'excitation du système. (indication du fréquencemètre à diviser par 100). 7 Faire varier la vitesse de rotation du moteur et relever relever l'amplitude du déplacement de chacun des deux mobiles. Tracer les deux courbes de réponse en fréquence correspondantes. Commenter Etude du couplage 8 Tracer les courbes représentant l'évolution des fréquences propres en fonction de la raideur de couplage c (ressort central). 9 Pour trois ressorts de couplage différents, déterminer les trois couples de fréquences propres et vérifier que les valeurs expérimentales se trouvent bien sur les courbes tracées en (8) 4/7
ÉTUDE DE CORDES VIBRANTES e but de ce TP est d étudier les vibrations d une corde fixée par ses deux extrémités et soumise à une tension constante. expérience est réalisée en utilisant différents fils de nylon fixés d un coté à un pot vibrant et de l autre à une masse par l intermédiaire d une poulie. On applique au fil de longueur une tension constante T en utilisant une masse m. a masse linéique du fil est désignée par µ. Un générateur fournit un signal sinusoïdal qui est amplifié avant d être délivré au pot vibrant qui assure l'excitation harmonique de la corde. Pot vibrant Masse m T PARTIE THEORIQUE 1. Rappeler la forme générale du déplacement v(x,t) dans une corde siège d une onde transverse. Rappeler l expression de la célérité de l onde en fonction de la tension T et de la masse linéique µ de la corde. On considère un fil de longueur fixé à ses deux extrémités. 3. Exprimer mathématiquement ces conditions aux limites, 4. En déduire les fréquences propres de la corde. On notera f o la fréquence fondamentale 5. Représenter les 3 premiers modes de vibration transverse. ÉTUDE PRATIQUE 6. Placer le fil de 0,4 mm de diamètre, et y suspendre un poids de 0.1 g. Faire varier la fréquence d'excitation, observer les différents modes de résonance et relever les fréquences associées. 7. Quelle relation y a t'il entre ces fréquences? En déduire la célérité des ondes transverses dans la corde. 8. Effectuer la même manipulation pour les poids de 0. g et 0.4 g. Quelle relation existe-t-il entre les différentes célérités? 9. Évaluer plus rapidement les célérités pour les fils de 0.175 et 0.35 mm de diamètre (et toujours les trois masses différentes). Comparer les valeurs trouvées avec les valeurs théoriques. On donne : µ 175 = 33. mg/m µ 35 = 117.4 mg/m µ 40 = 153.8 mg/m 10. Déplacer le bras portant la poulie pour étudier une longueur différente de fil. Qu observe-t-on? 5/7
MODEE DE SUSPENSION A 1 DD On veut vérifier l effet d une excitation harmonique sur la réponse d une suspension (schéma ci-dessous) excitation harmonique est produite par un balourd dû à une masse m b excentrée de r relativement à l axe du moteur. a poutre OA est articulée par un pivot parfait En A est fixé un ressort de raideur = 1750N/m. En B est attaché amortisseur visqueux de coefficient d amortissement c. a poutre OA est indéformable et son moment d inertie relatif à l axe z passant par O est noté I O. es cotes utiles sont à mesurer. On ne considère que les petits mouvements représentés par θ autour de la position d équilibre statique θ = 0. On donne : la masse du moteur avec son équipement : m moteur = g la masse de la poutre équipée du support du moteur : M =.86 g es dimensions de la poutre : = 0.838 m b = 0.053 m h = 0.018 m PARTIE THEORIQUE A PREPARER AVANT E TP 1 ère étude. Mouvements libres de la poutre (F = 0 ) 1- Ecrire les équations du mouvement du bras OA, en supposant θ <<1. - Exprimer les solutions générales du mouvement libre du bras pour les trois types d amortissement. 3- Mesurer la fréquence propre, en supprimant l amortissement. Comparer à la valeur théorique que vous aurez calculée au préalable. 4- Après avoir reconnecté l amortisseur, représenter la réponse du système pour un déplacement initial non nul et une vitesse initiale nulle 5- En déplaçant le point d accrochage de l amortisseur, vérifier si l on peut trouver un régime tel que la poutre passe par θ = 0 ; O a l C B c A θ ème étude. Mouvement avec excitation harmonique. Dans cette partie le moteur tourne à la vitesse réglable Ω (rad/s). 6- Modéliser l excitation harmonique due au balourd. 7- Ecrire les équations du mouvement du bras OA, pour θ <<1. Exprimer la solution des mouvements forcés sans amortisseur. 8- Tracer la courbe de réponse en amplitude de rotation θ en fonction de Ω. Relever la fréquence de résonance du système. 9- Mêmes questions en rétablissant l amortissement. 6/7
ETUDE DU FAMBEMENT D UNE POUTRE Dans le cas idéal, une poutre soumise à une compression doit résister à sa charge jusqu à sa rupture. Ceci est vrai pour les poutres dont la section est de taille comparable à la hauteur. Pour de grandes poutres, le phénomène de flambement apparaît : en deçà d une certaine charge, la poutre reste droite ; pour une charge donnée (appelée charge critique), la poutre flambe. En théorie, l amplitude de la déformée est indépendante de la charge appliquée. a charge critique marque une rupture d équilibre et un phénomène de bifurcation. a valeur de cette force critique ne dépend que des fixations de la poutre et du mode de flambement imposé. es différentes configurations étudiées sont rappelées dans le tableau ci-dessous. Pivot - pivot Pivot encastrement Bi-Encastrement Mode 1 Mode Mode 1 Mode Mode 1 Mode 36 % 64 % = 4π EI =,05 6,05 4π EI = 8,18 e but de l expérience est de mesurer l évolution de la déformée en flambement d de quelques poutres en fonction d une charge de compression F variable et pour différentes configurations aux limites. On dispose d un appareil qui permet de monter des poutres d acier (E = 10 GPa) de différentes longueurs, avec des appuis simples ou des encastrements. appareil permet aussi d appliquer et de mesurer la force de compression appliquée F. es poutres étudiées peuvent être en appui (extrémité bisotée) ou encastrées (extrémité droite). On répètera l expérience pour différentes longueurs de poutre et pour des conditions aux limites différentes. Pour chaque expérience on tracera les diagrammes de bifurcation, F = f(d), et on déterminera les charges critiques expérimentales qui seront comparées aux valeurs théoriques. Mesurer trois poutres de longueurs différentes dont les extrémités sont des liaisons pivots (1 er mode). Attention à ne pas dépasser des amplitudes de flambement supérieures à 1 cm. Pour une poutre de longueur donnée, répéter l expérience pour toutes les configurations possibles e compte rendu devra décrire succinctement le principe de l appareil de mesure, comparer les valeurs théoriques et expérimentales, et présenter des calculs d incertitude sur les valeurs calculées. 7/7