FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES

FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES I- Notion de fonction: Exemples: Exemple 1: Réponse: y = 13 x Des CD sont vendus 13 euros l'unité. Exprimer en fonction de x le prix y à payer pour x CD. Exemple 2: Réponse: y = 14 + 2x, ou encore y = 2x + 14 Un rectangle a pour longueur 7 mètres et pour largeur x mètres. Exprimer en fonction de x le périmètre y, en mètres, de ce rectangle. Exemple 3: Réponse: y = πx² Un disque a pour rayon x cm. Exprimer en fonction de x l'aire y, en cm², de ce disque Dans chacun de ces exemples, on a établi une correspondance (sous forme d'une formule) entre les valeurs de x et les valeurs correspondantes de y. On dit qu'on a défini une fonction Notations: 1) Une fonction se note souvent par la lettre f. (éventuellement g, h,...) 2) La valeur de y correspondant à une valeur donnée de x se note f(x) (on lit "f de x") Exemple: Dans l'exemple 1 ci-dessus, on a: f(1) = 13 ; f'2) = 26 ;... 3) Les fonctions définies dans les exemples ci-dessus peuvent se désigner par: Une phrase Une notation utilisant le symbole Exemple 1 La fonction f définie par f(x) = 13 x f : x 13x Exemple 2 La fonction f définie par f(x) = 2x + 14 f : x 2x + 14 Exemple 3 La fonction f définie par f(x) = πx² f : x πx² II- Fonctions linéaires et affines; 1) Fonction linéaire: Une fonction linéaire est une fonction définie par une égalité de la forme f(x) = ax, a étant un nombre fixé. a est appelé le coefficient de cette fonction Exemple: Dans l'exemple 1 du I, f est une fonction linéaire de coefficient 13 2) Fonction affine: Une fonction affine est une fonction définie par une égalité de la forme f(x) = ax + b, a et b étant des nombres fixés. Exemple: Dans l'exemple 2 du I, f est une fonction affine 3) Fonction constante: Exemple: Jérémy passe une semaine à la montagne pour les sports d'hiver. Il achète un forfait 160 euros pour les remontées mécaniques ( Ce forfait lui donne le droit d'utiliser autant qu'il le veut les remontées sans avoir à payer autre chose que les 160 euros de cet achat). 1

Si l'on appelle x le nombre de fois où Jérémy a utilisé les remontées et y sa dépense pour les remontées, on a donc: y = 160 Cette dépense ne dépend donc pas de x. On dit qu'elle est constante. On a ainsi défini une fonction f telle que, quel que soit x, f(x) = 160 On dit que f est une fonction constante. Une fonction constante est une fonction définie par une égalité de la forme f(x) = k, k étant un nombre fixé. Remarque: Une fonction constante est un cas particulier de fonction affine. En effet, f(x) = k peut s'écrire f(x) = 0x + k et correspond bien à la forme d'une fonction affine. III- Image et antécédent: 1) Image: Soit la fonction f définie par f(x) = -3x + 4. Calculer f(5) 2) Antécédent: Soit la fonction f définie par f(x) = 2x Déterminer x tel que f(x) = 14 f(5) = -3 x 5 + 4 = -15 + 4 = -11 On dit que -11 est l'image de 5 f(x) =14 signifie 2x = 14 d'où x = 7 On dit que 7 est l'antécédent de 14 IV- Représentation graphique d'une fonction linéaire: 1) Découverte: Soit la fonction f définie par f(x) = 1,5 x a) Recopier et compléter le tableau: x -2-1 0 1 2 f(x) b) Placer, dans un repère (O,I,J) les points ayant: - pour abscisses les valeurs de x du tableau ci-dessus - pour ordonnées les valeurs correspondantes de f(x) a) On obtient x -2-1 0 1 2 f(x) -3-1,5 0 1,5 3 b) On constate que les points obtenus sont alignés avec l'origine du repère 2

2) Propriété: La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine Vocabulaire: Si la droite d représente la fonction f définie par f(x)= ax, on dit que la droite d a pour équation y = ax a s'appelle le coefficient directeur de la droite d 3) Utilisation: Pour tracer une droite, il suffit d'en connaître deux points. Si la droite d représente une fonction linéaire, on sait qu'elle passe par O. Il suffit donc d'en déterminer un deuxième point. Pour cela, on prend une valeur quelconque pour x et on calcule la valeur correspondante de f(x). Exemple: Représenter graphiquement les fonctions f et g définies par: f(x) = 2x et g(x) = -3/5 x Pour f: Si x = 1, f(x) = 2. Donc la droite d 1, représentation graphique de f, passe par O et par le point de coordonnées (1,2) Pour g: Le coefficient étant fractionnaire, il y a intérêt à choisir une valeur de x qui permette "d'éliminer" le dénominateur. Pour x = 5, g(x) = -3. Donc la droite d 2, représentation graphique de g, passe par O et par le point de coordonnées (5,-3) On obtient la figure ci-contre: Remarque: Il apparaît, d'après le travail effectué ci-dessus, que: Si le coefficient directeur est positif, la droite "monte". Dans ce cas, on dit que la fonction f est croissante (quand les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) augmentent) Si le coefficient directeur est négatif, la droite "descend". Dans ce cas, on dit que la fonction g est décroissante (quand les valeurs de x augmentent, les valeurs de g(x) diminuent) 3

V- Représentation graphique d'une fonction affine: 1) Découverte: Soit la fonction f définie par f(x) = -0,5x + 3 a) Recopier et compléter le tableau: x -3-2 -1 0 1 2 3 f(x) b) Placer, dans un repère (O,I,J) les points ayant: - pour abscisses les valeurs de x du tableau ci-dessus - pour ordonnées les valeurs correspondantes de f(x) On obtient: a) x -3-2 -1 0 1 2 3 f(x) 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 b) On constate que les points obtenus sont alignés. 2) Propriété: La représentation graphique d'une fonction affine est une droite Vocabulaire: Si la droite d représente la fonction f définie par f(x)= ax +b, on dit que la droite d a pour équation y = ax + b a s'appelle le coefficient directeur de la droite d b est appelé l'ordonnée à l'origine (car il correspond à l'ordonnée du point de la droite ayant pour abscisse 0) 3) Utilisation: Pour tracer une droite, il suffit d'en connaître deux points Pour tracer la représentation graphique d'une fonction affine, il suffit donc de prendre deux valeurs quelconques pour x et de calculer les valeurs correspondantes de f(x). 4

Exemple: Représenter graphiquement les fonctions f et g définies par: f(x) = 4/3 x + 1 et g(x) = -0,5x + 2 Pour f: Si x = 0, f(x) = 1. Si x = 3, f(x) = 5 Donc la droite d 1, représentation graphique de f, passe par les points de coordonnées (0,1) et (3,5) Pour g: Pour x = 0, g(x) = 2 Pour x = 2, g(x) = 1 Donc la droite d 2, représentation graphique de g, passe par les points de coordonnées (0,2) et (2,1) On obtient la figure ci-contre: Remarque: Il apparaît, d'après le travail effectué ci-dessus, que: Si le coefficient directeur est positif, la droite "monte". Dans ce cas, on dit que la fonction f est croissante (quand les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) augmentent) Si le coefficient directeur est négatif, la droite "descend". Dans ce cas, on dit que la fonction g est décroissante (quand les valeurs de x augmentent, les valeurs de g(x) diminuent) VI- Représentation graphique d'une fonction constante: 1) Découverte: Soit la fonction f définie par f(x) = 2 a) Recopier et compléter le tableau: x -3-2 -1 0 1 2 3 f(x) b) Placer, dans un repère (O,I,J) les points ayant: - pour abscisses les valeurs de x du tableau ci-dessus - pour ordonnées les valeurs correspondantes de f(x) On obtient: a) x -3-2 -1 0 1 2 3 f(x) 2 2 2 2 2 2 2 b) 5

On constate que les points obtenus sont alignés sur une droite parallèle à l'axe des abscisses (droite horizontale) 2) Propriété: La représentation graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses Vocabulaire: Si la droite d représente la fonction f définie par f(x)= k, on dit que la droite d a pour équation y = k 3) Utilisation: Pour tracer une droite parallèle à l'axe des abscisses, il suffit de savoir "à quelle hauteur" tracer cette droite Exemple: Représenter graphiquement la fonction f définie par f(x) = -1 Il suffit de tracer la droite parallèle à l'axe des abscisses se trouvant une unité en-dessous de cet axe. On obtient la figure ci-contre VII- Résolution graphique d'un système de deux équations à deux inconnues: 6

VIII- Calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites: IX- Exemple de problème: Un club de tennis propose, pour l'utilisation de ses courts, les deux formules suivantes. Formule A: Sans adhésion. 10 euros par heure d'utilisation Formule B: Adhésion de 100 euros; puis 8 euros par heure d'utilisation. 1) Compléter le tableau suivant: Nombre d'heures d'utilisation 5 10 35 60 formule A formule B On obtient: Nombre d'heures d'utilisation 5 10 35 60 formule A 50 100 350 600 formule B 140 180 380 580 Explications: Pour la formule A, on a calculé: 5 x10; 10 x 10; etc... Pour la formule B, on a calculé: 100 + 5 x 8; 100 + 10 x 8; etc... 2) Pour un nombre x d'heures d'utilisation, on appelle p 1 (x) le prix à payer avec la formule A, p 2 (x) le prix à payer avec la formule B. Exprimer p 1 (x) et p 2 (x) en fonction de x. On a: p 1 (x) = 10x et p 2 (x) = 100 + 8x (ou 8x + 100) 7

3) Tracer, sur une feuille de papier millimétré, les droites d 1 et d 2 représentations graphiques des fonctions p 1 et p 2. On prendra comme unité: 1 cm pour 10 heures d'utilisation sur l'axe des abscisses 1 cm pour 100 euros sur l'axe des ordonnées. En utilisant les valeurs obtenues dans le tableau de la question 1, on obtient: 4) a) Déterminer graphiquement le nombre d'heures d'utilisation pour lequel le prix à payer est le même pour les deux formules. b) Retrouver ce résultat par le calcul a) Le nombre d'heures d'utilisation pour lequel le prix à payer est le même pour les deux formules est l'abscisse du point d'intersection de d 1 et d 2. On lit sur le graphique (voir pointillés ci-dessus): x = 50 b) On résout l'équation: p 1 (x) = p 2 (x), c'est-à-dire: 10x = 100 + 8x. On trouve x = 50 5) a) Déterminer graphiquement à partir de combien d'heures d'utilisation la formule B est plus avantageuse b) Retrouver ce résultat par le calcul a) La formule B est plus avantageuse si p 2 (x) < p 1 (x), donc si la droite d 2 est en dessous de la droite d 1 On voit sur le graphique que ceci est vrai pour x > 50. Donc la formule B est plus avantageuse à partir de 51 heures d'utilisation. b) On résout l'inéquation p 2 (x) < p 1 (x), c'est-à-dire 100 + 8x.< 10x. On trouve x > 50 Donc la formule B est plus avantageuse à partir de 51 heures d'utilisation. 8

X- Exercices: Exercice 1: Soient les fonctions f et g définies par f(x) = -5x et g(x) = 3x - 4. Calculer: a) L'image de 2 par f b) L'antécédent de -16 par g Exercice 2: Soient les fonctions f, g et h définies par f(x) = 3/7 x, g(x) = -0,5x + 3 et h(x) = 2. Tracer dans un repère (O,I,J) les droites d 1, d 2, d 3 représentations graphiques respectives de f, g, h. Exercice 3: Exercice 4: 9

Exercice 5: Un loueur de planches à voile propose les deux formules de location suivantes. Formule A: 8 euros par heure de location Formule B: Achat d'une carte de fidélité coûtant 60 euros; puis 5 euros par heure de location. 1) Compléter le tableau suivant: Nombre d'heures 5 10 15 25 de location formule A formule B 2) Pour un nombre x d'heures de location, on appelle p 1 (x) le prix à payer avec la formule A, p 2 (x) le prix à payer avec la formule B. Exprimer p 1 (x) et p 2 (x) en fonction de x. 3) Tracer, sur une feuille de papier millimétré, les droites d 1 et d 2 représentations graphiques des fonctions p 1 et p 2. On prendra comme unité: 1 cm pour 5 heures de location sur l'axe des abscisses 1 cm pour 50 euros sur l'axe des ordonnées. 4) a) Déterminer graphiquement le nombre d'heures de location pour lequel le prix à payer est le même pour les deux formules. b) Retrouver ce résultat par le calcul 5) a) Déterminer graphiquement à partir de combien d'heures de location la formule B est plus avantageuse b) Retrouver ce résultat par le calcul 10

FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: a) f(2) = -5 x 2 = -10 Donc l'image de 2 par f est -10 b) Il faut calculer x tel que g(x) = -16, c'est-àdire 3x - 4 = -16. En résolvant cette équation on trouve x = -4 Donc l'antécédent de -16 par g est -4 Exercice 2: f est une fonction linéaire. Donc d 1 passe par O De plus: Si x = 7, f(x) = 3/7 x 7 = 3 Donc d 1 passe par le point de coordonnées (7,3) g est une fonction affine. Si x = 0, g(x) = 3 Si x = 6, g(x) = 0 Donc d 2 passe par les points de coordonnées (0,3) et (6,0) h est une fonction constante. Donc d 3 est parallèle à l'axe des abscisses, et comme h(x) = 2, d 3 se trouve 2 unités au-dessus de cet axe. On obtient donc la figure ci-contre Exercice 3: 11

Exercice 4: Exercice 5: a) On obtient: Nombre d'heures de location 5 10 15 25 formule A 40 80 120 200 formule B 85 110 135 185 Explications: Pour la formule A, on a calculé: 5 x 8; 10 x 8; etc... Pour la formule B, on a calculé: 60 + 5 x 5; 60 + 10 x 5; etc... 2) On a: p 1 (x) = 8x et p 2 (x) = 60 + 5x (ou 5x + 60) 3) En utilisant les valeurs obtenues dans le tableau de la question 1, on obtient: 12

4) a) Le nombre d'heures de location pour lequel le prix à payer est le même pour les deux formules est l'abscisse du point d'intersection de d 1 et d 2. On lit sur le graphique (voir pointillés ci-dessus): x = 20 b) On résout l'équation: p 1 (x) = p 2 (x), c'est-à-dire: 8x = 5x + 60. On trouve x = 20 5) a) La formule B est plus avantageuse si p 2 (x) < p 1 (x), donc si la droite d 2 est en dessous de la droite d 1 On voit sur le graphique que ceci est vrai pour x > 20. Donc la formule B est plus avantageuse à partir de 21 heures de location b) On résout l'inéquation p 2 (x) < p 1 (x), c'est-à-dire 60 + 5x.< 8x. On trouve x > 20 Donc la formule B est plus avantageuse à partir de 21 heures de location. 13