TRAVAUX DIRIGÉS 4 Exercice 1 : Un sac contient 100 billes dont 36 sont rouges et les autres sont bleues. Une épreuve consiste à tirer 16 fois de suite une bille avec remise. Soit X la v.a.r. égale au nombre de boules rouges tirées. Estimer P( X E[X]) > 2 V ar(x). Exercice 2 : Soit X une variable aléatoire d espérance et de variance toutes deux égales à 20. Que peut-on dire de P(0 X 40)? Exercice 3 : On a 100 ampoules dont les durées de vie sont des variables aléatoires indépendantes exponentielles de moyenne 5 heures. Si l on allume une ampoule à la fois et qu une ampoule grillé est instantanément remplacée par une neuve, qu elle est la probabilité qu il reste encore une ampoule intacte après 525 heures? Exercice 4 : Les résultats d un examen donné par un certain professeur ont une moyenne de 74 et une déviation standard de 14. Ce professeur a donné deux examens; l un à une classe de 36 élèves et l autre à une classe de 64. (a) Approximer la probabilité que la moyenne du test dans la classe de 36 élèves dépasse 80. (b) Même question pour la classe de 64. (c) Approximer la probabilité que la moyenne de la plus grande classe dépasse celle de l autre de 2, 2 points. Exercice 5 : On arrondit 50 nombres à l entier le plus proche et on effectue la somme. Si les erreurs d arrondi individuels sont distribuées uniformément sur [ 0, 5; 0, 5], quelle est la probabilité que la somme obtenue ait un écart de plus de 3 par rapport à la somme exacte? Exercice 6 Une certaine composante joue un rôle critique dans un système électrique et doit être remplacé immédiatement à chaque panne. Si la durée de vie moyenne de ce type de composant est de 100 heures et que sa déviation standard est 30 heures, combien de ces composants doit-on avoir en stock pour que la probabilité que le système marche continuellement les 2000 prochaines heures soit au moins de 0, 95? Exercice 7 : Le nombre d inscription à un cours de psychologie est une variable aléatoire de Poisson d espérance 100. Le professeur donnant ce cours a décidé que, si le nombre des inscriptions est au-delà de 120, il créera deux sections et donnera donc deux cours, tandis qu en deçà une seule classe sera formée. Quelle est la probabilité que ce professeur ait a donner deux fois le cours? Exercice 8 : Sur chaque pari, un joueur perd 1 e avec une probabilité de 0, 7, perd 2 e avec une probabilité de 0, 2, ou gagne 10 e avec une probabilité de 0, 1. Trouver la probabilité que le joueur va perdre après ses 100 premiers paris. Exercice 9 : Une compagnie de tabac prétend que la quantité de nicotine dans l une de ses cigarettes est une variable aléatoire de moyenne 2, 2 mg et l écart type de 0, 3 mg. Cependant, la quantité moyenne de nicotine de 100 cigarettes choisis au hasard était de 3, 1 mg. Approximer la probabilité que la moyenne est plus grande ou égale à 3, 1 mg, si les affirmations de la société étaient vraies. 1
Exercice 10 : Un astronome souhaite mesurer la distance, en années-lumière, entre son observatoire et une étoile lointaine. Bien qu il connaisse une technique de mesure, il sait aussi que chaque résultat ne constitue qu une distance approchée, en raison des influences atmosphériques et d autres causes d erreur inévitables. Par conséquent, notre astronome prévoit de prendre plusieurs mesures et d accepter leur moyenne comme estimation de la distance réelle. Il a des raisons de penser que les différentes valeurs mesurées sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d espérance commune d (la vraie valeur) et de variance commune 4 (l unité étant toujours l année lumière). Combien de mesures doit-il réaliser pour être raisonnablement sûr que l erreur soit inférieure à une demi-année lumière? Exercice 11 : Un joueur lance une pièce équilibrée. Lorsqu il obtient pile, il gagne 1 e et lorsqu il obtient face, il perd 1 e. Quel est le nombre maximal de lancers à effectuer pour que le joueur ait 95% de chances de perdre au plus 20 e? Exercice 12 : On sait par expérience qu une certaine opération chirurgicale a 90% de chances de réussir. Cette opération est réalisée dans une clinique 400 fois chaque année. Soit N le nombre de réussites dans une année. On utilisera l approximation normale pour N. (a) Calculer l espérance et la variance de N. (b) Calculer la probabilité que la clinique réussisse au moins 345 opérations dans l année. (c) Calculer la probabilité que la clinique rate plus de 28 opérations dans l année. (d) L assurance accepte de couvrir un certain nombre d opérations ratées : ce nombre n a que 1% de chances d être dépassé. Quel est-il? 2
EXAMEN FINAL - JANVIER 2014 ANCIENS EXAMENS Problème 0 : Questions de cours Sachant que le coefficient de corrélation ρ est une mesure de la liaison linéaire entre deux variables aléatoires X et Y, donner la valeur du ρ si Y = ax + b, a 0. Problème 1 Dans la forêt équatoriale, chaque naissance de gorilles donne un gorille gaucher avec une probabilité égale à 0, 3. Un gorille gaucher sur trois a les yeux bleus, un gorille droitier sur quatre a les yeux bleus. (a) Calculer la probabilité pour qu un gorille pris au hasard ait les yeux bleus. (b) Calculer la probabilité qu un gorille ayant les yeux bleus soit gaucher. Problème 2 On se propose d analyser le sang d une population de N individus pour y déceler l éventuelle présence d un virus dont on sait qu il affecte une personne donnée avec la probabilité p indépendamment des autres. On dispose pour cela de deux protocoles : Protocole I: On analyse le sang de chacun des N individus. Protocole II: On regroupe les individus par groupe de n (on suppose N divisible par n). On rassemble la collecte de sang des individus d un même groupe et on teste l échantillon. Si le résultat est positif, on analyse alors le sang de chacun des individus du groupe. (a) Préciser la loi de la variable aléatoire Z égale au nombre d individus affectés dans un groupe donné. (b) Préciser la loi de la variable aléatoire X égale au nombre de groupes positifs. (c) Soit Y la variable aléatoire déterminant le nombre d analyse effectuée dans le deuxième protocole. Exprimer l espérance de Y en fonction de n, N et p. (d) Comparer les deux protocoles pour les valeurs N = 1000, n = 10 et p = 0, 01. Problème 3 La taille d un épi de blé dans un champ est modélisée par une variable aléatoire X de loi normale N(15, 36) (unité : le cm). (a) Quelle est la probabilité pour qu un épi ait une taille inférieure à 16 cm? (b) On admet qu il y a environ 15 millions d épis dans le champ, donner une estimation du nombre d épis de plus de 20 cm. (c) Quelle est la probabilité pour que 10 épis prélevés dans le champ aient tous leur taille dans l intervalle [16; 20]? (d) On suppose que la taille d un épi de blé d un autre champ est modélisée par une variable aléatoire Y de loi normale N(10, 16) et que X et Y sont des variables indépendantes. Quelle est la probabilité pour qu un épi pris dans le premier champ soit plus grand qu un épi pris dans le second? Problème 4 Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules noires. On tire successivement sans remise 2 boules de l urne et l on note X i la variable aléatoire réelle égale à 1 si la ième boule tirée est blanche, et 0 sinon. (a) Déterminer la loi conjointe de (X 1, X 2 ); (b) Calculer Cov(X 1, X 2 ). Les variables aléatoires X 1 et X 2 sont-elles indépendantes? 3
EXAMEN FINAL - JANVIER 2015 Exercice 0 : Questions de cours (1 point=0,5+0,5) (a) Soit X une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ (λ > 0). Calculer E[X]; (b) Donner un exemple des deux variables aléatoires indépendantes (sans justification). Exercice 1 (3 points=1,5+1,5) Vous allez inviter 5 personnes choisies parmi vos 11 amis. De combien de façons pouvez-vous faire votre choix (a) si Pierre et Pierrette ne viennent pas l un sans l autre? (b) si Luc et Luce qui se haïssent, ne viennent pas conjointement? Exercice 2 (4 points = (1,5+0,5)+(1,5+0,5)) Un détaillant reçoit 3 lots de lunettes. Le lot 1 contient 10 paires, dont 2 sont défectueuses; le lot 2 contient 40 paires, dont 3 sont défectueuses; le lot 3 contient 100 paires, dont 5 sont défectueuses. (a) Supposons que le détaillant mette les 3 lots ensemble et tire au hasard et sans remise deux paires de lunettes. Soit X le nombre de paires de lunettes défectueuses. i. Déterminez la fonction de probabilité de X; ii. Déterminez l espérance de X; (b) Supposons cette fois-ci que le détaillant choisit au hasard 2 lots (sans remise) et ensuite tire une paire dans chacun des lots choisis. Répondez aux mêmes questions qu en (a). Exercice 3 (4 points = 1+1+2) D après l AFA (association française des automobilistes), 20% des automobiles actuellement sur la route ne devraient plus circuler puisqu elles ne satisfont pas aux normes de sécurité. Soit N le nombre d automobiles ne respectant pas les normes de sécurité dans un échantillon aléatoire de 200 automobiles. (a) Quel modèle proposez-vous pour N? Donner l espérance et la variance de cette loi. (b) Quelle est la probabilité d observer plus de 40 automobiles ne respectant pas les normes de sécurité (on utilisera l approximation normale pour N)? (c) Dans 95% des cas, quel nombre maximal d automobiles parmi un échantillon de 200 peut-on classer ne respectant pas les normes de sécurité si on considère toujours que l affirmation de l AFA est vraie? Exercice 4 (4 points = 1+1+2) Sur une population de 5000 couples, on admet que le nombre de mois au bout duquel un couple se sépare suit une loi normale de moyenne 36 mois et d écart-type 12 mois. (a) Déterminer le nombre de couples se séparant entre 24 et 40 mois. (b) Déterminer le nombre de couples ne s étant pas séparés au bout de 46 mois. (c) Au bout de combien de temps 25% des couples se sont-ils séparés? Exercice 5 (4 points = (0,5+0,5)+(2+1)) La loi conjointe de deux variables X et Y est donnée par le tableau suivant : Y X 0 1 2 3 0 2/48 6/48 3/48 1/48 2 4/48 12/48 6/48 2/48 4 2/48 6/48 3/48?? 4
(a) Déterminer les lois marginales de X et de Y ; (b) Calculer Cov(X, Y ). Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? EXAMEN FINAL - JANVIER 2016 Exercice 0 : Questions de cours (1 point=0,5+0,5) (a) Le graphique suivant indique un coefficient de corrélation positif entre les variables X et Y : vrai ou faux? 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 (b) La ligne de commande suivante (en R) retourne 0: vrai ou faux? qnorm(0.5) Exercice 1 (3 points=1+1+1) On possède une cage avec 35 lapins et 4 hamsters, on sort simultanément 3 animaux, quelles sont les probabilités d avoir (a) au moins 1 lapin? (b) exactement 1 lapin? (c) 3 hamsters? Exercice 2 (4 points = 1,5+1,5+1) On truque un jeu de 32 cartes en remplaçant un 7 de cœur par un deuxième as de cœur. (a) On distribue 5 cartes à quelqu un (en les choisissant au hasard sans remise). Quelle est la probabilité p qu il s aperçoive de la supercherie? (b) On répète n fois l expérience précédente (on distribue chaque fois 5 cartes, en remélangeant à chaque fois; les expériences sont donc supposées indépendantes). On appelle N la variable aléatoire égale au nombre de fois que la supercherie a été détectée. Quelle est la loi de N? Justifier votre réponse. (c) Combien de fois faudrait-il répéter l expérience pour que la probabilité que la supercherie soit détectée soit supérieure à 0, 9? Exercice 3 (6 points = 1+1+2+2) On considère un lot de tubes à essais. A chaque tube, on associe 2 variables aléatoires notées D et H; D représente son diamètre et H sa hauteur en mm. On suppose que: 5
D suit la loi normale de moyenne µ D = 19, 7 et d écart-type σ D = 0, 4 H suit la loi normale de moyenne µ H = 200 et d écart-type σ H = 6. On suppose que les deux variables aléatoires D et H sont indépendantes. (a) Calculer la probabilité qu un tube à essais ait un diamètre d au moins 20 mm. (b) Calculer la probabilité qu un tube à essais ait une hauteur supérieure à 190 mm et inférieure à 210 mm. (c) En raison des contraintes d expérience, un tube ne sera utilisable que si: son diamètre est supérieur à 20 mm et sa hauteur appartient à l intervalle [190; 210]. On note p la probabilité que le tube soit utilisable; calculer p. (d) Déterminer n pour que la hauteur moyenne d un lot de n tubes à essais soit inférieure à 198 mm avec une probabilité inférieure à 1%. Exercice 4 (3 points = 1,5+1,5) Une famille a deux enfants. (a) Quelle est la probabilité que les deux soient des garçons sachant qu au moins l un d eux est un garçon? (b) Quelle est la probabilité que les deux soient des garçons sachant que le plus jeune est un garçon? Exercice 5 (4 points = 2+1+1) On lance un dé non truqué. On considère les variables aléatoires X et Y définies par: X prend la valeur 1 si le résultat est pair, et la valeur 1 sinon. Y prend la valeur 2 si le résultat est 2 ou 5, et la valeur 1 sinon. Compléter la table de la loi conjointe. Calculer cov(x, Y ). Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? 6