Critères en contraintes 1. Introduction Une ois l état de contraintes déterminé, il s agit de se prononcer sur l admissibilité de ce dernier et donc du chargement qui lui est associé. Faut-il encore préciser vis-à-vis de quel type de dommage. L objecti de ce chapitre est d établir des critères basés sur les contraintes. On abordera notamment les critères de plasticité (généralisation de la condition de résistance qu on aborde en RDM) et des critères de atigue. On era la distinction entre un comportement ductile (aciers, alliage d aluminium ) et un comportement ragile (onte, verre ). Cette distinction peut se aire aisément en examinant la courbe de traction du matériau. Ain de déinir quelques quantités pour illustrer la suite de cet exposé, considérons la partie utile d une éprouvette de traction avant et après déormation (Figure 1). On note : L : la longueur utile avant déormation L : la longueur utile déormée S l aire de la section avant déormation S : l aire de la section après déormation F r : l eort de traction La diérence entre la courbe de traction correspondant à un comportement ductile et celle correspondant à un comportement ragile est illustrée par la igure. Figure 1 Figure
. Notion de domaine élastique Dans ce qui suit, on analyse la courbe de traction d un matériau ductile (igure 3). Pour des niveau de contrainte inérieurs à une contrainte seuil e, la relation entre et ε est linéaire. La pente de la droite représentative est le module de Young E. Si on annule la orce l éprouvette retrouvera sa longueur initiale. La déormation est entièrement réversible. Lorsque le niveau de contrainte dépasse e, le comportement devient non linéaire. Si on annule la orce l éprouvette ne retrouvera pas sa longueur initiale. La déormation n est pas entièrement réversible. On obtient une déormation permanente qu on notera ε p (déormation plastique). La contrainte maximale atteinte au cours de l essai est notée u (contrainte ultime) Figure 3 Pour déinir le domaine élastique, on utilise une onction qui délimite ce dernier. A titre d exemple, pour la traction simple, le domaine élastique peut être déini par : (, ) = e e < (1) Avant de généraliser la notion de onction seuil à un état de contraintes tridimensionnel, on déinit la partition du tenseur de contrainte en partie sphérique et en déviateur. Cette partition sera justiiée par la suite. 3. Critères de plasticité pour les matériaux ductiles Dans le cas des matériaux métalliques, on généralise la notion de onction seuil en se basant sur les constatations suivantes : Les onctions seuil proposées pour déinir le domaine élastique doivent être indépendantes du repère d observation. Elles ne doivent donc aire intervenir que les invariants du tenseur de contraintes Les déormations plastiques se ont sans changement de volume. Par conséquent, elles ne dépendent que du déviateur.
3.1. Critère de Tresca Ce critère stipule que l écoulement plastique se produit lorsque la contrainte de cisaillement maximale atteint une valeur critique. La onction seuil s écrit à l aide des contraintes principales sous la orme : ([ ], ) = e τmax e () autrement, [ ], ( ) = Sup ( ) e i j e (3) i, j On peut montrer que la surace représentative de la onction dans l espace des contraintes principales ( 1,, 3) est un cylindre de section hexagonale (Figure 4). L axe de ce cylindre est porté par la première trisectrice ( 1 = = 3). Ceci signiie que tous les états de contraintes sphériques se trouvent sur l axe et ne produisent pas d écoulement plastique. Ceci est conorme à ce qu on a avancé précédemment. On peut eectivement écrire en onction de [ S ] seul : [] S, ( ) = Sup ( ) e Si Sj e (4) i, j 3 =, la courbe représentative de correspond à l intersection du cylindre de la igure 4 avec le plan ( 1, ) et est représentée par la igure 5. Pour ce critère comme pour les autres, il est indispensable de décrire le cas de la traction simple. On peut vériier que dans ce cas, le critère de Tresca prend la orme : Dans le cas des contraintes planes ( ) Figure 4 Figure 5 (, ) = e e < (5) 3.. Critère de von Mises Ce critère, basé sur des considérations énergétiques, stipule que l écoulement plastique se produit lorsque l énergie de distorsion atteint une valeur critique. Il peut s écrire sous la orme : 1 e 11 33 11 33 1 + 13 + 3 e (6) [ ], ( ) ( ) ( ) ( ) 6( = + + + ) Pour aciliter l interprétation graphique du critère, on peut l exprimer, en aisant intervenir les contraintes principales. Il s écrit alors sous la orme : 1/
1/ 1 e 1 3 1 3 e (7) ([ ], ) = ( ) + ( ) + ( ) On peut montrer que la surace représentative de l équation 9 dans l espace des contraintes principales est le cylindre de la igure 6. L axe de ce cylindre est également porté par la première trisectrice et on peut aire la même remarque que précédemment en ce qui concerne les états de contraintes correspondant à un tenseur sphérique. Dans le cas des contraintes planes ( 3 = ), l équation 9 se réduit à : ([ ], ) e = 1 + 1 e (8) On peut montrer que la courbe représentative de est une ellipse dont les axes sont portés par la première et la deuxième bissectrice. Elle correspond à l intersection du cylindre de la igure 6 avec le plan ( 1, ) et est représentée par la igure 7. Dans le repère construit sur les axes de l ellipse, l équation 1 s écrit sous la orme : Figure 6 e (9) e e 3 1 ([ ], ) = + 1 Ainsi le grand axe vaut petit axe vaut e. 3 e alors que le Figure 7 3.3. Comparaison du critère de von Mises et celui de Tresca Dans ce qui suit, on examine la diérence entre les deux critères décrits précédemment pour des états de contraintes particuliers. 3..1. Cas de la traction simple Dans le cas de la traction simple, l état de contraintes est décrit par : [ ] = (1)
Critère de Tresca : (, ) = e e < (11) Critère de von Mises : (, ) = < e e e < (1) 3.3.1. Cas du cisaillement Dans le cas du cisaillement, l état de contraintes est décrit par : [ ] = τ τ (13) Les contraintes principales sont données par : 1 = τ, = τ, 3 = (14) Critère de Tresca : ( ) e, e = τ e < τ < (15) Critère de von Mises : ( ) e, e = 3τ e < τ < (16) 3 3.3.. Cas des contraintes planes On a déjà examiné le cas des contraintes planes pour chacun des critères. La igure 8 représente une superposition des courbes représentatives des deux critères. Elle illustre également les comparaisons décrites précédemment. Figure 8 4. Critères de rupture pour les matériaux ragiles La rupture des matériaux ragiles est généralement liée à la présence de micro issures. A ce titre, ils exhibent des comportements diérents en traction et en compression. La contrainte à rupture en compression uc est supérieure à la contrainte à rupture en traction ut. A titre d exemple, on peut citer le cas de la onte grise ut =17 à MPa, uc =68 à 8 MPa ou le verre ut~ 6 MPa, uc~ 45 MPa. De plus, la rupture intervient sans déormation plastique appréciable. Pour déinir le domaine admissible, on utilise souvent le critère de Mohr qui stipule que l état de contraintes est admissible si le tri-cercle correspondant est à l intérieur du domaine de la igure 9. Le critère ait intervenir les contraintes ultimes en traction et en
compression. Dans le cas des contraintes planes, le domaine admissible est représenté par la igure 1. Figure 9 Figure 1 5. Critères de atigue L objecti de ce paragraphe est de donner quelques notions élémentaires des problèmes de la atigue des matériaux. Il est à noter que la problématique concernée est beaucoup plus large, qu elle ait l objet de nombreux travaux et que diérentes approches sont proposées. Dans ce qui suit, nous nous contenterons de donner quelques critères basés sur les contraintes. 5.1. Généralités La atigue est un mode de rupture qui intervient en raison des sollicitations cycliques. Cette rupture peut se produire au bout d un nombre de cycles plus ou moins élevé et ce pour des états de contraintes dont la contrainte équivalente est bien inérieure à la limite d élasticité. On constate également que le nombre de cycles à rupture dépend à la ois du niveau de chargement et de la nature de celui-ci. On distingue deux grandes amilles de comportement à la atigue : La atigue à grand nombre de cycles. Le niveau de contraintes est inérieur à la limite élastique La atigue oligocyclique associée à un nombre de cycles réduit. Elle se produit en présence de déormations plastiques. L objecti des études consacrées à la atigue des matériaux est d établir des règles empiriques avec un ondement physique plus ou moins solide ain de répondre aux questions suivantes : Déterminer le nombre de cycles à rupture pour un niveau de contraintes donné. Déterminer le niveau de contraintes (chargement, dimensions ) pour garantir un nombre de cycles requis. La cadence de contrôle des ouvrages d art, des avions, des téléphériques 5.. Mécanismes de la atigue A partir d observations de aciès de rupture par atigue, on distingue trois stades lors de l endommagement par atigue : La phase d amorçage de issures qui se produit soit autour de déauts (inclusions, porosité, rayure, piqûres de corrosion ) soit par plastiication en surace liée aux concentrations des contraintes. La phase de propagation des issures qui peut elle aussi comporter diérents stades. L avancement des issures lors de la atigue se caractérise par des arrêts qui donnent lieu à des stries caractéristiques d une rupture par atigue.
La phase de rupture brutale qui correspond à une propagation instable des issures. 5.3. Essais de atigue courbe de Woehler Pour évaluer la tenue d une structure, l idéal serait de aire des essais d endurance sur des prototypes mais cette approche peut s avérer très coûteuse et pourrait nécessiter des cycles de développement très longs. Elle est cependant pratiquée dans certains domaines tels que l aéronautique et le spatial. La démarche la plus couramment utilisée pour appréhender les problèmes de atigue consiste à mener des essais en laboratoire sur des éprouvettes prélevées dans le matériau et à utiliser les résultats de ces essais pour se prononcer sur la tenue des structures. Dan un essai simple, on mesure le nombre de cycles à rupture pour diérents niveau de contrainte. On construit ainsi la courbe d endurance du matériau dite courbe de Woehler. L allure générale de la courbe d endurance est donnée par la igure 11. On peut y distinguer le domaine de la atigue oligocyclique, celui de la atigue à grand nombre de cycles et celui de l endurance. N = nombre de cycles à rupture = niveau de contraintes qu on précisera par la suite a d = limite d endurance (niveau de contraintes en dessous duquel la rupture n intervient pas) Dans le tableau 1, on donne des ordres de grandeurs de la limite d endurance d pour diérents matériaux. On donne également les contraintes seuils e (limite d élasticité) et u (contrainte à rupture). Figure 11 []
Alliage e (MPa) u (MPa) d (MPa) Acier doux Acier demi dur Acier dur Fonte GS Acier 1NC6 Acier 35NC6 Acier 35CD4 Laiton Alliage d Alu 6 36 58 6 9 9 143 75 Tableau 1[] 395 59 735 6 95 1 164 46 395 3 7 41 3 45 53 66 13 15 d u,59,46,56,38,49,59,4,8,31 5.4. Grandeurs caractéristiques d un chargement cyclique Une sollicitation simple de atigue est déinie par des grandeurs caractéristiques qui sont illustrées sur la igure 1 et qu on introduit dans ce qui suit : min = contrainte minimale max = contrainte maximale min + max m = contrainte moyenne max min a = amplitude de contrainte min R = rapport de charge max Figure 1 Lors des essais, on utilise souvent des sollicitations alternées ( m =, R= -1) ou des max sollicitations répétées ( m =, R=). 5.5. Inluence de la contrainte moyenne Lors des essais de atigue, on observe que pour une même amplitude de contrainte, le nombre de cycles à rupture dépend de la contrainte moyenne. Ainsi à amplitude de contrainte donnée, une contrainte moyenne positive réduit le nombre de cycles à rupture alors qu une contrainte moyenne négative l augmente. Ceci est lié à la présence de microissures qui ont tendance à s ouvrir lorsque la contrainte moyenne est positive. Pour tenir compte de l inluence de la contrainte moyenne, plusieurs relations empiriques ont été proposées. Pour estimer l inluence de la contrainte moyenne à partir de la courbe de Woehler, Goodman propose la relation suivante : a * a + m u * a = 1 a = (17) m 1 u
L amplitude de contrainte équivalente * a ainsi estimée est utilisée pour déterminer le nombre de cycles à rupture à partir de la courbe de Woehler établie pour une contrainte moyenne nulle. Soderberg propose une relation analogue à celle proposée par Goodman mais plus conservative dans laquelle on utilise la limite d élasticité e au lieu la contrainte à rupture u : * a a = m 1 e (18) L inluence de la contrainte moyenne sur la courbe d endurance est illustrée par la igure 13. Figure 13 5.6. Critères de atigue A l instar des critères de plasticité décrits précédemment, les critères de atigue sont utilisés pour vériier l admissibilité des chargements. Ainsi pour un chargement donné, on peut déterminer le nombre de cycles à rupture ou vériier si le chargement est admissible pour une durée de vie requise. Dans le cas d un état de contrainte quelconque, on déinit deux grandeurs caractéristiques : L amplitude du cisaillement octaèdral déinie par : ( )( ) 1 1 3 sa = Sijmax Sijmin Sijmax S ijmin S est le déviateur des contraintes. (19) La contrainte hydrostatique moyenne :
1 p = Moyenne tr( [ ] ) cycle 3 () Sur des bases empiriques avec des ondements physiques plus ou moins solides, diérents critères de atigue ont été proposés. Dans ce qui suit, on expose quelque critères. 5.6.1. Critères de Sinès Pour un nombre de cycle N, le domaine admissible pour ce critère est déini par : s a < d ( N) ( N) ( 1 3b( N) p) d et b(n) sont des constantes caractéristiques du matériau Le domaine admissible est illustré par la igure 14 Figure 14 5.6.. Critères de Crossland Ce critère est identique au précédent mais plus conservati dans la mesure où il utilise la contrainte hydrostatique maximale p max au lieu de la contrainte hydrostatique moyenne p déinie par : 1 pmax = Max tr( [ ] ) (1) cycle 3 De manière analogue au critère de Sinès, le domaine admissible est déini par : s a ( N) ( 1 3b( N) p ) < d () ( N) max d et b(n) sont des constantes caractéristiques du matériau 5.6.3. Critères de Dang Van Ce critère bénéicie d un ondement physique plus solide que les précédents et est couramment utilisé dans l industrie pour estimer la tenue de composants soumis à des chargements complexes. En revanche, son utilisation est plus délicate que les critères décrits précédemment. r On considère la acette de normale n qui subit l eort tangentiel maximum (contrainte de 1 cisaillement maximale τmax = Sup( i j )). Sur le cycle, on note : i, j r r r r r r r τ (3) () = τ( n, t) = [ () t ] n (([ () t ] n).n ) n t
Il est à noter que pour un chargement non proportionnel, la acette associée au cisaillement maximum change au cours du cycle. r On déinit le cisaillement moyen par τ( t) qui est le centre du plus petit cercle contenant le trajet τ r () t au cours du cycle. Pour un nombre de cycle N, le domaine admissible est déini par : r Max τ t r () t τ() t + 1 3b 1 ( N) d ( N) ( ) ( ) () ( N) p t d b N N < ( 1 b( N) ( N) ) d d (4) ( N) d et b(n) sont des constantes caractéristiques du matériau.