Recherche opérationnelle & Aide à la décision Exercices avec solutions David Hébert hebert.iut@gmail.com 01
Résolution graphique Résoudre graphiquement les problèmes suivants. Exercice 1 X 1 0, X 0, X 1 + X 10 X 1 + X Max(X 1 + X ) (0, ) (4, ) (X 1, X ) = (4, ) Max(X 1 + X ) = (0, 0) (/, 0) Exercice X 1 0, X 0, X 1 X 0 X 1 + X 1 Max(X 1 + X ) Solutions non bornées. Exercice X 1 0, X R, X 1 + X 4 X 1 X 0 X 1 6 Max(X 1 ) (6, 6) Il existe une infinité [ de ] solutions de la forme (6, α) où α ; 6. On a Max(X 1 ) = 6. (6, /) ( 1, 1) 1
Exercice 4 X 1 R, X 0, X 1 + X 0 X 1 X 0 X 1 + X 4 Max(X 1 + X ) (, 6) (X 1, X ) = (, 6) Max(X 1 + X ) = 10 (, 1) (0, 0) Exercice X 1 0, X 0, X X 1 X 4 Min(X 1 X ) (0, ) (1, ) (X 1, X ) = (0, ) Min(X 1 X ) = (0, 0) (4, 0) Exercice 6 X 1 R, X R, X 1 + X X 1 + X 6 X 1 + X 4 X 1 + X Min(X 1 + X ) ( 1/6, 4/6) (X 1, X ) = ( 4/1, /1) Min(X 1 + X ) = 8/1 ( 4/1, /1) (6, 0) (168/1, 81/1)
Révision : algorithme de Gauss Exercice Résoudre les systèmes suivants. 1.. { x + y = 1 x + y = x + y + z = 8 x + y z = 0 y + z = 1 x + 4y + z = 1 x + y + z = 1. x + 6y + 1z = x + y + 6z = x + y = 0 4. x + y = 1 x + y = 1 1. (x; y) = (/; /). Il n y a pas de solution.. (x; y; z) = ( 6; ; 1) 4. (x; y) = (1; 1) Forme standard et méthode du simplexe Résoudre les problèmes suivants par la méthode du simplexe après les avoir mit sous forme standard. Exercice 8 X 1 0, X 0, X 1 X 1 X 1 + X 1 Min( X 1 X ) X 1 X 1 Forme standard : X 1 0, X 0, X 1 + X 1 Max(X 1 + X ) Solution : (X 1 ; X ) = (; ) et Min( X 1 X ) =.. Exercice X 1 0, X 0, X 0, X 1 + X 1 X 1 + X 10 X + X 1 Max(X 1 + X + X ) Le problème est déjà sous forme standard. Solution : (X 1 ; X ; X ) = (; 10; ) et Max(X 1 + X + X ) = 0. Exercice 10 X 1 0, X 0, X 0, 8X 1 X + X 0 X 1 + X + X 1 Max(X 1 + X X )
Le problème est déjà sous forme standard. Solution : (X 1 ; X ; X ) = (1/6; 4/; 0) et Max(X 1 + X X ) = 1/6. Exercice X 1 0, X 0, X 1 X 8 Min (X 1 X ) X 1 X 4 Forme standard : X 1 = X 1 0, X = X 0, Solution : (X 1 ; X ) = ( 6; ) et Min(X 1 X ) = 10. X 1 + X 8 X 1 X 4 Max (X 1 X ) Exercice 1 X 1 0, X 0, 6X 1 + X X 1 X 10 Min ( X 1 4X ) Forme standard : X 1 = X 1 0, X = X 0, Il n y a pas de solution. 6X 1 X X 1 + X 10 Max (X 1 4X ) Exercice 1 X 0, Y 0, X + Y Y X + Y 0 X + Y 0 Max( X + Y) Forme standard : X = X 0, Y = Y 0, X + Y Y X Y 0 X + Y 0 Max(X + Y ) Ce problème est un cas dégénéré et ne se résout pas par la méthode du simplexe. Par chance (sic), il n y a que deux variables. On peut appliquer la méthode graphique pour arriver à (X; Y) = ( ; ) et Max( X + Y) = 1. Exercice 14 X 0, Y R, X Y X 1 X + Y 0 Max(X Y) 4
Forme standard : X = X 0, Y + 0, Y 0, Y = Y + Y R, Solution (X, Y) = ( 1; 4) et Max(X Y) =. X Y + + Y X 1 X + Y + Y 0 Max( X Y + + Y ) Modélisation Modéliser les problèmes suivants et résoudre par la méthode de votre choix. Exercice 1 Une usine fabrique deux produits P 1 et P. Chaque produit passe dans ateliers A, B et C. La consommation d énergie pour chaque produit dans chaque atelier est synthétisée dans le tableau suivant : Consommation P 1 P Atelier A 1 Atelier B 1 1 Atelier C 1 0 exprimé en térawattheure (TW/h). Pour des raisons technique le nombre de TW/h est limité pour chaque atelier. Au maximum 6 pour l atelier A, 4 pour le B et pour l atelier C. Sachant que P 1 est deux fois plus rentable que P quelle est la meilleur stratégie de production? Soient P 1 et P les quantités respectives de produit P 1 et P fabriqués. L énoncé s traduit par le problème linéaire suivant : P 1 + P 6 P 1 + P 4 Max(P 1 + P ) P 1 On peut résoudre ce problème graphiquement ou par la méthode du simplexe. Le résultat est (P 1 ; P ) = (; 1) pour une rentabilité maximale de. Exercice 16 Un agriculteur possède 0 hectares dans lesquelles il peut planter soit du blé soit du maïs. Le blé nécessite 16 litres d engrais et 14 litres d insecticide par hectare. Le maïs nécessite 8 litres d engrais et litres d insecticide par hectare. Le prix de vente au kilo du blé est de 1e6 et celui du maïs de 0e8. Sachant qu un hectare fournit une tonne de blé et 1. tonnes de maïs et que l agriculteur possède deux cuves : un de 16 litres d engrais et une de litres d insecticide, de quoi devra se composer sa plantation pour maximiser ses revenus? Soient b le nombre d hectare de blé et m celui de maïs. L énoncé se traduit par le problème linéaire suivant : b + m 0 16b + 8m 16 Max(160b + 14m) 14b + m On peut résoudre se problème graphiquement ou par la méthode du simplexe. Le résultat est (b; m) = (; 1). Le prix de vente maximal sera 144e.
Exercice 1 Un atelier fabrique deux produits A et B et dispose de de 4 heures d utilisation d une machine (M 1 ) et de 810 heures d une machine (M ). Les contraintes et bénéfices pour chaque produit sont résumé dans le tableau suivant. M 1 M Bénéfice (e) A 1 0 00 B 0 0 1000 Optimiser le bénéfice de fabrique de ces deux produits. Soient A et B le nombre respectif de produit A et B fabriqués. L énoncé se traduit par le problème linéaire suivant : 1A + 0B 4 0A + 0B 810 Max(00A + 1000B) On peut résoudre ce problème graphiquement ou par la méthode du simplexe. Le résultat est (A; B) = (8.; 6.) pour un bénéfice de 10e. Exercice 18 La New Fashion Company fabrique et vend des robes et des blouses de profits respectifs 8e et 6e. La dessin d une robe requiert en moyenne 4 heures tandis qu une blouse, environ heures. Un tailleur prend heures à faire une robe et 4 heures à faire une blouse. La NFC dispose chaque jour de 60 heures de temps pour dessiner les vêtements et de 48 heures de temps pour coudre ces vêtements. Combien de robes et de blouses la NFC doit produire pour que son profit soit maximal? Soient r le nombre de robe et b le nombre de blouse. L énoncé se traduit par le problème linéaire suivant : 4r + b 60 r + 4b 48 Max(8r + 6b) On peut résoudre ce problème graphiquement ou avec la méthode du simplexe. Le résultat est (r; b) = (1; 6) pour un profit maximal de 1e. Exercice 1 Une entreprise fabrique trois types de bureaux A, B et C. Ils passent successivement par deux ateliers T 1 et T. Article A B C Bénéfice (e) 000 1000 000 T 1 (en heures) 1 1 1 T (en heures) 1 4 Les ateliers T 1 et T disposent de respectivement de 0 et 10 heures par jour. Combien faut-il fabriquer de bureaux de chaque type pour maximiser le chiffre d affaire journalier? Soient A, B et C le nombre de bureaux de type respectif A, B et C. L énoncé se traduit par le problème linéaire suivant : A + B + C 0 A + B + 4C 10 Max(000A + 1000B + 000C) 6
Ce problème se résout par la méthode du simplexe pour donner (A; B; C) = (40; 0; 10) comme solution et 0000e de bénéfices. Exercice 0 On a remarqué que l émission la Matinale constituée de 0 minutes de musique et de 1 minute de publicité attire 0 000 auditeurs tandis que la Tardive constituée de 10 minutes de musique et de 1 minute de publicité attire 10 000 auditeurs. Les annonceurs insistent pour qu au moins 6 minutes par semaine soient consacrées aux publicités de leurs produits tandis que le patron de la station ne peut se permettre de diffuser plus de 80 minutes de musique par semaine. 1. Dans ces conditions, combien doit-on diffuser d émissions de chaque catégorie par semaine si on veut satisfaire les exigences des annonceurs et du patron de la station tout en maximisant le nombre d auditeurs à cette station?. Si maintenant la Matinale n attirait que 0 000 auditeurs tandis que la Tardive en attirait toujours 10 000, que devient la réponse? Soient m et t le nombre respectif de fois que les émissions "la matinale" et "la tardive" sont diffusée par jour. 1. L énoncé se traduit par le problème linéaire suivant : m + t 6 0m + 10t 80 Max(0000m + 10000t) Ce problème se résout graphiquement et admet (m; t) = (; 4) comme solution, pour 100000 auditeurs.. L énoncé se traduit par le problème linéaire suivant : m + t 6 0m + 10t 80 Max(0000m + 10000t) Ce problème se résout graphiquement et admet (m; t) {(0; 8), (1; 6), (; 4)} comme solution, pour 80000 auditeurs. Exercice 1 Un champion cycliste prépare son entraînement en vue d une importante compétition. Son entraînement doit se composer chaque semaine d un certain nombre d heures de travail en salle et d un certain nombre d heures de travail sur route. Au total, il doit s entraîner au moins 0 heures chaque semaine et son nombre d heures de travail sur route doit être au moins égal au tiers du nombre d heures de travail en salle. Pour s entraîner en salle, il retient les services d un entraîneur spécialisé qui lui coûte 1e l heure. Cependant, cet entraîneur n est disponible que s il est engagé pour au moins 10 heures par semaine. Pour s entraîner sur route, il retient les services d un spécialiste qui lui coûte 1e de l heure. Ce spécialiste ne peut pas être disponible pour plus de 1 heures par semaine. Comment notre homme doit-il planifier son entraînement hebdomadaire pour que cela lui coûte le moins cher possible? Soient s et r le nombre d heure respectives en salle et sur route. L énoncé se traduit par le problème linéaire suivant : s + r 0 1 s + r 0 Min(1s + 1r) s 10 r 1
Ce problème se résout graphiquement et admet (s; r) = (10; 10) pour une dépense minimale de 0e. Problèmes à paramètre Discuter suivant les valeurs du paramètre α des solutions des problèmes linéaires suivants. On s appliquera a utiliser la méthode du simplexe. Exercice X 1 0, X 0, X 1 0 X 1 + X 0 ( ) 1 Max X 1 + αx Si α < 1 ( 1. (X 1; X ) = (0; 0) et Max ) X 1 + αx = 10. ) = 0α. Si α 1 ( 1. (X 1; X ) = (0; 0) et Max X 1 + αx Exercice X 1 0, X 0, X 1 + X 8 X 1 + X 10 Max(X 1 + αx ) Exercice 4 X 1 0, X 0, X 1 400 X 00 X 1 + X 800 X 1 + X 1000 Max(( + α)x 1 + 1.X ) Exercice X 1 0, X 0, X 10 X 1 X 0 X 1 + X 0 Max(αX 1 + X ) Exercice 6 X 1 0, X 0, X 0, X 1 + X 60 X 1 + X 6 X + X 18 Max(αX 1 + (α 1)X + (α + 1)X ) 8
Exercice Un fermier va au marché pour vendre ses poules. Il ne peut vendre que 60 poules de catégorie 1 et, 6 poules de catégorie 1 et et 18 poules de catégorie et. Une poule de catégorie vaut un euro de moins qu une poule de catégorie et 1 et une poule de catégorie un euro de plus. Le fermier souhaite vendre ses poules au plus bas prix! 1. Il souhaite également s acheter une chèvre de 60e avec ses bénéfices. Quel prix de vente doit-il alors appliquer?. En venant au marché il se rappelle que l anniversaire de sa femme approche ; il décide d investir son bénéfice dans une bague à 0e. Quel devra être alors son prix de vente? Grand M Résoudre les problèmes suivants en utilisant la méthode du grand M. Exercice 8 X 1 0, X 0, X 1 X = X 1 + X = Max(X 1 + X ) Solution : (X 1 ; X ) = (; ) et Max(X 1 + X ) = 8. Exercice X 1 0, X 0, X 1 + X = 1 X 1 + X = X 1 + X = 1 Max(8X 1 4X ) Solution : (X 1 ; X ) = (0; ) et Max(8X 1 4X ) = 8 Exercice 0 X 1 0, X 0, X 1 + X = 1 4X 1 + X = 1 X 1 + X = Max(X 1 ) Il n y a pas de solution. Exercice 1 X 1 0, X 0, X 0, X 1 + X X = X 1 + X = 4 Max( X 1 + X X ) Solution : (X 1 ; X ; X ) = (4; 0; 1) et Max( X 1 + X X ) = 6.
Exercice X 1 0, X 0, X 0, X 1 X = 0 X 1 + X X = Max(X 1 X + X ) Solution : (X 1 ; X ; X ) = (0; ; 0) et Max(X 1 X + X ) = 18. Exercice X 1 0, X 0, X 0, X 1 X = 0 X + X = 1 Max(X 1 + 4X + X ) Solution : (X 1 ; X ; X ) = (0; 1; 0) et Max(X 1 + 4X + X ) = 4. Exercice 4 X 1 0, X 0, X 0, X 1 X X = 1 X 1 + X + X = 4 Max(X 1 + X + X ) Solution : (X 1 ; X ; X ) = (/4; 0; 1/4) et Max(X 1 + X + X ) = 4. Dualité Énoncer les problèmes duaux aux problèmes suivants. On ne demande pas de les résoudre. Exercice X 1 0, X 0, X 1 X 1 X 1 + X 1 Min( X 1 X ) Le problème dual est Y 1 0, Y 0, Y 1 Y Y 1 + Y 1 Min(Y 1 + Y ) Exercice 6 X 1 0, X 0, X 0, X 1 + X 1 X 1 + X 10 X + X 1 Max(X 1 + X + X ) 10
Le problème dual est Y 1 0, Y 0, Y 0, Y 1 + Y 1 Y 1 + Y 1 Y + Y 1 Min(1X 1 + 10X + 1X ) Exercice X 1 0, X 0, X 0, 8X 1 X + X 0 X 1 + X + X 1 Max(X 1 + X X ) Le problème dual est Y 1 0, Y 0, 8Y 1 Y 1 Y 1 + Y Y 1 + Y 1 Min(Y ) Exercice 8 X 1 0, X 0, X 1 X 8 Min (X 1 X ) X 1 X 4 Exercice X 1 0, X 0, 6X 1 + X X 1 X 10 Min ( X 1 4X ) Exercice 40 X 0, Y 0, X Y X Y 1 X + Y 4 X + Y Max(Y X) Exercice 41 X 0, Y R, X Y X 1 X + Y 0 Min(X Y) Flot de flux maximal
Exercice 4 On considère le graphe métrique suivant suivant : s A 1 C B 1 p 1. Justifier qu il s agit d un réseau.. Enumérer toutes les coupes possibles dans ce réseau et calculer leur valeur.. En appliquant l algorithme de Ford-Fulkerson, déterminer le flot de flux maximal. Exercice 4 Parmis les graphes suivants déterminer ceux qui sont des réseaux. Pour les graphes qui sont des réseaux, appliquer l algorithme de Ford-Fulkerson pour déterminer un flot de flux maximum. On s attachera dans ce cas à déterminer une coupe dont la valeur est le flux du flot trouvé. 1. a 6 h g. s d g 1 b 8 e c 1 f d 10 10 1 8 b e 6 h 1 4 1 c f p 4. A s 1 8 B 1 D 1 C. C s E 10 10 1 B 1 6. A D E 16 4 p 8 p 8 1 B. A s B 8 C p s 1 1 1 E 8 1 C D 1 4 8 1 F 16 p 1
. A B 1 C 1 s D E 1 F p 1 1 G H 1 I 1