Dossier de validation Interaction Sol-Fluide-Structure V2.1.007.01- D. Clouteau June 21, 2007 Abstract Test de l interaction Solide-Fluide dans le cas d une sphère remplie de fluide entourée d un espace élastique homogène et soumise à une source de pression en son centre. Une première série de modèles numériques utilise des éléments de frontière pour le fluide et le solide, alors qu un dernier modèle décompose le solide en une partie bornée traitée par approche FEM modale et une partie non bornée traitée par BEM. Les Fonctionnalités testées sont : Menu Commande DATA SDOM DATA FLUI MATE KCM DEPN BEM MODE GROUPE INCI SOUC fluide PRINC DOMA PRINC EXTE MSMF PRINC INCI UGTG GLOBA DIFF CONT POST CUI CTOT CTOT 1
2/9 1 Problème de référence 1.1 Géométrie On considère une sphère remplie de fluide de rayon R = 1m entourée d un espace élastique homogène. ρ f, c f R ρ, c s, c p Figure 1: Schéma 1.2 Propriétés du modèle Le fluide est acoustique de caractéristiques de densité, de vitesse d ondes de pression et d amortissement (ρ f, c f, β f ), le solide est elastique de caractéristiques de densité, de vitesse d ondes de compression et de cisaillement et d amortissement(ρ, c s, c p, β). Une source ponctuelle harmonique de pression est placée en son centre (cf. figure 1). Des points recepteurs sont placés dans la cavité fluide et dans le solide avoisinnant. 1.3 Conditions aux limites Les conditions aux limites entre le fluide et le solide sont les conditions naturelles i.e. déplacement normal et contrainte normale continus, contraintes tangentielles nulles. S ajoutent les conditions de radiation à l infini. n p = ρ f ω 2 u n pn = t n (u) 2
3/9 2 Solution de référence La solution en pression dans le fluide est a symétrie de révolution et s écrit : p = ρ f ω 2 4πr ( e ik f r + a sin(k f r) ) La solution en déplacement dans le solide l est également, elle est par ailleurs à rotationel nul. Elle s écrit donc : ( e ik pr ) u = bgrad = be r (ik p r 1) eikpr 4πr 4πr 2 avec k α = ω/c α. Les coefficients a et b peuvent être calculée analytiquement [?,?] à l aide des conditions aux limites en r = R : ( ) ( [ ] ) 1 e ik f R ρ sin(k = f R) ρ f 1 4c2 s ( ) ω 2 R (1 ik 2 p R) e ikpr a (ik f R 1) (k f R cos(k f R) sin(k f R)) (ik p R 1)e ikpr b Il est également possible de calculer analytiquement l impédance de la sphère fluide K f ainsi que l impédance du solide K s : Rρ f ω 2 sin(k f R) K f = k f R cos(k f R) sin(k f R) K s = 4ρc2 s(1 ik p R k 2 sr 2 /2) R(ik p R 1) 3
4/9 3 Modèle A 3.1 Caractéristiques de la modélisation La sphère est maillée à l aide de 150 éléments pour un total de 138 noeuds (cf. figure 2). Les propriétés mécaniques sont les suivantes : Figure 2: maillage Rayon ρ f c f β f ρ c s c p β 1m 1000kg/m 3 1500m/s 5% 1500kg/m 3 1000m/s 2000m/s 5% L échantillonnage en fréquence est de 100 à 2000Hz par pas de 10Hz. 4
5/9 3.2 Fonctionnalités testées Menu Commande DATA MAIL DATA FREQ DATA INTE DATA SDOM DATA FLUI RO CELE BETA DATA MATE RO VP VS BETA DATA CONT DATA FINS GROUPE DEPN BEM INCI SOURCE fluide PRINC DOMA PRINC INCI fluide PRINC CONT UI fluide PRINC CONT UTOT fluide PRINC UGTG UDO fluide PRINC UGTG fluide PRINC UGTG IMPE fluide PRINC UGTG FORCE fluide PRINC DIFF UTOT TTOT fluide PRINC UGTG solide PRINC UGTG IMPE solide PRINC UGTG RFIC solide PRINC DIFF UTOT TTOT solide PRINC GLOBAL POST PCUI PCTOT fluide POST CTOT solide 3.3 Calcul de l erreur la valeur maximale de l erreur relative sur la plage [100,2000]Hz est de 13 % et apparaît aux hautes fréquences du fait d un maillage trop grossier. 3.4 Paramètres d éxecution Version utilisées : MACOS 10.4.9, compilateur intel ifort+mkl 9.0, Intel Core 2 Duo 2.33 GHz. Le temps CPU qui a été nécessaire pour effectuer cette modélisation est de 257.1 secondes pour 191 fréquences. 5
6/9 4 Modèle Abis 4.1 Caractéristiques de la modélisation Identique au modèle A mais sans l option RFIC pour le domaine solide. 4.2 Calcul de l erreur la valeur maximale de l erreur relative sur la plage [100,2000]Hz est de 60 % et apparaît pour une résonance fictive de la sphère solide intérieure. 4.3 Paramètres d éxecution Version utilisées : MACOS 10.4.9, compilateur intel ifort+mkl 9.0, Intel Core 2 Duo 2.33 GHz. Le temps CPU qui a été nécessaire pour effectuer cette modélisation est de 223.8 secondes pour 191 fréquences. 5 Modèle Afin 5.1 Caractéristiques de la modélisation Identique au modèle A mais avec un maillage plus fin comprenant 800 éléments (cf. échantillonnage plus lâche en fréquence entre 100Hz et 2000Hz avec un pas de 40Hz. figure 3) et un Figure 3: Maillage fin. 5.2 Calcul de l erreur la valeur maximale de l erreur relative sur la plage [100,2000]Hz est de 2.9 %. 5.3 Paramètres d execution Version utilisées : MACOS 10.4.9, compilateur intel ifort+mkl 9.0, Intel Core 2 Duo 2.33 GHz. Le temps CPU qui a été nécessaire pour effectuer cette modélisation est de 2276.0 secondes pour 48 fréquences. 6
7/9 6 Modèle B 6.1 Caractéristiques de la modélisation Ce modèle couple éléments finis (FEM) et éléments de frontière (BEM). Sur la partie basse de la sphère, une coque solide hémisphérique d épaisseur 0.2m et de rayon interne 1m est maillée au moyen d une couche d éléments finis volumiques (175 éléments, figure 4). Cette coque (DOMAINE 3) est modélisée par une approche modale (Matlab SDT). les 200 premiers modes libre-libre extraits couvrent la plage [0,2000]Hz. Ce maillage FEM induit deux maillages de frontière, la peau intérieure de la coque au contact avec le fluide, la peau extérieure de la coque (Groupe 1) et ses bords au contact avec le reste du solide (Groupe 2). Enfin ce maillage est complété par la demi-sphère supérieure (Groupe 3). Le maillage BEM du domaine solide non-borné est alors constitué des groupes 2 et 3 (375 éléments), alors que le maillage BEM du fluide est formé par les groupes 1 et 2 (350 éléments), soit au total 550 éléments de surface. Sur les groupes 1 et 2 la base cinématique est la base des modes libre-libre de la coque hémisphérique, alors que sur la sphére supérieure la base complète (BEM) est retenue. L échantillonnage en fréquence va de 100Hz à 2000Hz par pas de 50Hz. Mode 7 at 56.96 Hz Figure 4: Maillage BEM du modèle couplé FEM-BEM (gauche) et premier mode libre-libre du maillage FEM (droite). 7
8/9 6.2 Fonctionnalités testées Menu Commande DATA MAIL DATA FREQ DATA INTE DATA SDOM DATA FLUI RO CELE BETA DATA MATE RO VP VS BETA DATA KCM DATA CONT DATA FINS GROUPE MODE DEPN BEM INCI SOURCE fluide PRINC DOMA PRINC EXTE MSMF PRINC INCI fluide PRINC CONT UI fluide PRINC CONT UTOT fluide PRINC UGTG UDO fluide PRINC UGTG fluide PRINC UGTG IMPE fluide PRINC UGTG FORCE fluide PRINC DIFF UTOT TTOT fluide PRINC UGTG solide PRINC UGTG IMPE solide PRINC UGTG RFIC solide PRINC DIFF UTOT TTOT solide PRINC GLOBAL POST PCUI PCTOT fluide POST CTOT solide 6.3 Calcul de l erreur La valeur maximale de l erreur relative sur la plage [200,800]Hz est de 14 %. Un choix plus approprié des modes ainsi qu un raffinement devraient conduire à une reduction de cette erreur. 6.4 Paramètres d éxecution Version utilisées : MACOS 10.4.9, compilateur intel ifort+mkl 9.0, Intel Core 2 Duo 2.33 GHz. Le temps CPU qui a été nécessaire pour effectuer cette modélisation est de 421.9 secondes pour 39 fréquences. 8
9/9 7 Synthèse des résultats 0.7 0.6 0.5 Reference MISS MISS sans RFIC MISS fin MISS+FEM x 10 8 1.6 1.4 1.2 Reference r=3m MISS r=3m MISS sans RFIC r=3m MISS fin r=3m MISS+FEM r=3m Reference r=5m MISS r=5m MISS sans RFIC r=5m MISS fin r=5m MISS+FEM r=5m pression 0.4 0.3 vitesse 1 0.8 0.6 0.2 0.4 0.1 0.2 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 frequence 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 frequence Figure 5: Comparaison reference-calcul pour la pression à 0.5m du centre et la vitesse normale à 3 et 5m du centre 8 Conclusion Ce test montre la très bonne correspondance entre la solution analytique et la solution numérique en particulier la solution BEM raffinée. Il valide en particulier le couplage fluide-solide mis en oeuvre dans le logiciel. On remarque que pour obtenir une bonne concordance il convient à hautes fréquences de s affranchir des fréquences fictives et si besoin de raffiner le maillage. Le dernier modèle valide également le couplage FEM-BEM dans le cas d un problème d interaction fluide-structure avec interfaces ultiples et flexibles. 9