Simulation Matlab/Simulink d une machine à induction triphasée. Constitution d un référentiel

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1 Simulation Matlab/Simulink une machine à inuction triphasée Constitution un référentiel Capocchi Laurent Laboratoire UMR CNRS 6134 Université e Corse 3 Octobre 7 1

2 Table es matières 1 Introuction 3 Moélisation 3.1 Moèle mathématique Moèle Matlab/Simulink Simulation Simulink Les systèmes triphasés er cas : moe transformateur ieme cas : moe moteur et frein ieme cas : couplage mécanique Conclusion 11 Références 1

3 1 Introuction Ce papier est consacré à la simulation numérique u moèle Simulink une machine à inuction triphasée MADA (Machine Asynchrone Doublement Alimentée). Ce moèle est obtenu par une mise en équation es courants statoriques et rotoriques u moèle orienté circuit proposé ans [1]. Il consiste en un système complet e six équations ifférentielles linéaires u 1 er orre à six inconnues. Les solutions numériques e ce système sont obtenues grâce au logiciel Matlab/Simulink v.6.5 en utilisant la méthoe e trapézoïale oe (heun) à pas fixe (1µs). Le but principal e ces simulations est acquérir es résultats graphiques e référence u fonctionnement électrique e la machine à inuction triphasée 5.5 KW ans ifférentes configurations. L utilisation u logiciel Simulink nous permet obtenir es jeux e tests comportementaux u système étue. Moélisation Cette section écrit le moèle mathématique et Simulink une machine à inuction triphasée. Pour plus e étaille le lecteur peut se rapporter à [1]..1 Moèle mathématique Le moèle orienté circuit simplifié une machine à inuction triphasée est onné sur la figure 1. Ce moèle peut être séparé en trois parties istinctes : Le stator, le rotor et le couplage magnétique entre ces eux entités. FIGURE 1: Moèle orienté circuit Le stator est alimenté par un système triphasé équilibré composé es tensions sinusoïales v as (t), v bs (t) et v cs (t). Chaque phase est caractérisée par une résistance r s et une inuctance L s. Les interactions magnétiques entre chaque phase u stator sont fonction une inuctance mutuelle L ms et es courants statoriques voisins. De même, le rotor est alimenté par un système triphasé équilibré composé es tensions sinusoïales v ar (t), v br (t) et v cr (t). Chaque phase est caractérisée par une résistance r r et une inuctance L r. Les interactions magnétiques entre chaque phase u rotor sont fonction une inuctance mutuelle L mr et es courants rotoriques voisins. Les effets u rotor sur le stator (resp. u stator sur le rotor) sont fonction une inuctance mutuelle L sr (resp. L rs ), es courants rotoriques i ar (t), i br (t) et i cr (t) (resp. i as (t), i bs (t) et i cs (t)) et e la position électrique u rotor θ r (t). La vitesse mécanique Ω(t) est la solution un système e eux équations ifférentielles u 1er orre avec pour coefficient, la force e frottement f et l inertie J. Cette équation n est pas homogène car elle est égale à la ifférence entre le couple électromagnétique T e et le couple mécanique T l. Les entités observées en sortie u système sont les courants (statoriques et rotoriques) ainsi que le couple électromagnétique e la machine T e (t). Pour plus e étails sur la moélisation mathématique u système, le lecteur peut se rapporter au rapport précéent intitulé Simulation Maple une machine asynchrone triphasé. Le moèle complet est onné par le système équations 1 : 3

4 v as (t) v bs (t) v cs (t) v ar (t) v br (t) v cr (t) T e (t) T l Ω(t) = r s.i as + L s t i as L [ ms t i bs+ t i ] [ cs + Lsr t iar.cos(θ r (t))+i br.cos(θ r (t)+ π 3 )+i cr.cos(θ r (t) π 3 )] = r s.i bs + L s t i bs L [ ms t i as + t i [ cs] + Lsr t iar.cos(θ r (t) π 3 )+i br.cos(θ r (t))+i cr.cos(θ r (t)+ π 3 )] = r s.i cs + L s t i cs L [ ms t i as + t i [ bs] + Lsr t iar.cos(θ r (t)+ π 3 )+i br.cos(θ r (t) π 3 )+i cr.cos(θ r (t)) ] = r r.i ar + L r t i ar L [ mr t i br+ t i ] [ cr + Lrs t ias.cos(θ r (t))+i bs.cos(θ r (t) π 3 )+i cs.cos(θ r (t)+ π 3 )] = r r.i br + L r t i br L [ mr t i ar+ t i ] [ cr + Lrs t ias.cos(θ r (t)+ π 3 )+i bs.cos(θ r (t))+i cs.cos(θ r (t) π 3 )] = r r.i cr + L r t i cr L [ mr t i ar + t i [ br] + Lrs t ias.cos(θ r (t) π 3 )+i bs.cos(θ r (t)+ π 3 )+i cs.cos(θ r (t)) ] = J. t Ω(t)+ f.ω(t) = t θ r(t) (1) Nous allons à présent onner le schéma bloc Simulink permettant la moélisation et la simulation u système équations 1.. Moèle Matlab/Simulink Le moèle en schéma bloc u système équations 1 est onné sur la figure. On peut istinguer 3 parties principales qui corresponent à la partie stator (mutuelle inuctance à gauche u schéma), la partie rotor (mutuelle inuctance à roite u schéma) et la partie force électromotrice ans le sous système 3 (bloc rectangulaire en bas u schéma). Le contenu u sous système 3 est montré sur la figure 3. Les signaux observés sont les courants statoriques et rotoriques (resp. I s{a,b,c} et I r{a,b,c} ) ainsi que le couple électromoteur T e, la vitesse mécanique Ω(t) et les forces électromotrices coté stator et rotor (resp. f em s et f em r ). FIGURE : Schéma bloc Simulink e la MADA. Le schéma e la figure 3 montre le contenu u sous-système 3. Celui-ci est composé une partie éier au calcul es forces électromotrice mais présente également une partie permettant e résoure les équations mécaniques. 4

5 FIGURE 3: Schéma bloc Simulink u sous-système 3. Le système moélisé par Simulink est accompagné un fichier Matlab résumant les propriétés e la machine MADA 5.5 KW que l on peut retrouver ans le tableau 1. Nous allons à présent simuler le système ans ifférentes configurations. 3 Simulation Simulink Cette section présente quelque moe e fonctionnement simple e la machine MADA 5.5 KW. Dans un premier temps nous ne prenons pas en compte les aspects mécaniques et nous simulons les moes e fonctionnement suivants : Transformateur (θ r = ra/s), Moteur (θ r = 74ra/s à vie), Génératrice (θ r = 74ra/s à vie). Ensuite nous intégrons le bloc mécanique afin e simuler le système ans son fonctionnement réel. Comme nous pouvons le voir sur la figure, nous utilisons la méthoe e trapézoïale oe (heun) à pas fixe (1µs). Les valeurs es paramètres u système 1 choisi pour les besoins e la simulation sont résumées ans le tableau 1 : Tension composée efficace (U m ) 38V Fréquence ( f ) 5Hz Pôles (p) 4 Coefficient inertie(j).1kg.m² Coefficient atténuation( f).1nm.s/ra Couple e charge nominale(t ln ) 73Nm Résistance au stator (r s ).58Ω Résistance au rotor (r r ).8Ω Inuctance au stator (L s ).473H Inuctance au rotor (L r ).145H Inuctance magnétique au stator (L ms ).173H Inuctance magnétique au stator (L mr ).585H Inuctance mutuelle (L sr = L rs ).59H TABLE 1: Valeurs es paramètres pour la machine 5.5 KW. 5

6 3..1 Les systèmes triphasés Un système e tension simple et irect est onnée par : v i (t)= V m sin(π ft (i 1) π 3 ) i=1,ou3 Les tensions composées constituent un système triphasé équilibré en avance e 6 π amplitue 3 fois plus grane. sur le système e tensions simples est er cas : moe transformateur Le premiers cas consiéré est le moe e fonctionnement en moe transformateur avec une vitesse rotorique Ω nulle. Dans ce cas les tensions en entrées u rotor sont court-circuitées et les tensions en entrée u stator constituent le système suivant : v ar (t) = v br (t) = v cr (t) = v as (t) = V m sin(π ft) v bs (t) = V m sin(π ft π 3 ) v cs (t) = V m sin(π ft 4π 3 ) avec V m = Um. 3, U m étant la tension simple non efficace. () 3 1 V t(s) FIGURE 4: Tensions entrées statoriques. La vitesse rotorique Ω est égale à zéro et par conséquent, la position électrique u rotor θ r est aussi égale à. Consiérons à présent le système 1 en prenant en compte les termes mutuelles : Um. 3 sin(π ft) = r s.i as + L s t i as L ms Um. 3 Um. 3 sin(π ft π 3 ) = r s.i bs + L s t i bs L ms sin(π ft 4π 3 ) = r s.i cs + L s t i cs L ms = r r.i ar + L r t i ar L mr t i br L mr = r r.i br + L r = r r.i cr + L r t i cr L mr [ t i bs + t i cs] + Lsr t [ iar + i br cos( π 3 )+i cr cos( π 3 )] [ t i as + t i [ cs] + Lsr t iar cos( π 3 )+i br+ i cr cos( π 3 [ )] t i as + t i ] [ bs + Lsr t iar cos( π 3 )+i br cos( π 3 )+i cr] [ t i br + t i [ cr] + Lrs t ias + i bs cos( π 3 )+i cs cos( π 3 )] [ t i ar+ t i ] [ cr + [ Lrs t ias cos( π 3 )+i bs+ i cs cos( π 3 )] t i ar+ t i ] [ br + Lrs ias cos( π 3 )+i bs cos( π 3 )+i cs] t 6

7 Les résultats e la simulation Simulink sont onnés sur la figure 5. (a) courants statoriques. (b) courants rotoriques. (c) Zoom es courants statoriques. () Zoom es courants rotoriques. (e) FEM au stator. (f) Zoom sur la FEM au stator. FIGURE 5: Résultats numériques avec effets mutuelles et avec Ω= ra/s et v ar = v br = v cr = V. Interprétation : Lorsque Ω = ra/s, cela correspon au blocage u rotor penant le fonctionnement e la machine (fonctionnement en moe transformateur). Coté rotor, les courants inuits par la variation u champs magnétique sta- 7

8 torique présentent une amplitue importante mais garent la même périoe que les sources e tension T =.s. En effet, comme le rotor reste statique il ne peux pas issiper ces courants inuits afin e prouire le couple nécessaire pour le mettre en mouvement afin e contre-balancer les effets magnetiques u stator. Coté stator, la périoe reste inchangée mais l amplitue augmente u fait es effets rotoriques et statoriques. Le stator crée un appel e courant à l entrée u système afin e faire face aux effets magnétiques inuits pas le rotor bloqué. Que ce soit u coté u rotor ou u stator, les effets transitoires sont us à l établissement es conitions e fonctionnement et ils convergent rapiement (une périoe) pour laisser la place au régime permanent équilibré. 3. ieme cas : moe moteur et frein Le euxième cas consiéré est le moe e fonctionnement en moteur normal avec une vitesse mécanique rotorique Ω imposée ifférente e zéro. La vitesse rotorique Ω est égale à +/ ra/s et en consiérant θ r ()= : θ r (t)=±p t Les résultats e la simulation Simulink sont onnés sur les figures 6 et A A t(s) (a) courants statoriques t(s) (b) courants rotoriques. FIGURE 6: Résultats numériques avec effets mutuelles et avec Ω=+75.4 ra/s et v ar = v br = v cr = V. Interprétation : Lorsque la vitesse e rotation imposée au rotor est ra/s, cela correspon à la vitesse e rotation u champ magnétique statorique (fonctionnement en moe moteur). Par conséquent, lorsque le régime permanent est atteint les effets magnétiques ans l entrefer sont nuls. Coté rotor, penant que le champs magnétique rotorique rejoint le champs magnétique statorique, les courants rotoriques inuits iminuent pour atteinre une valeur nulle. A ce moment précis, nous somme en régime permanent et les champs magnétiques rotoriques et statoriques ont les mêmes caractéristiques. Coté stator, les effets magnétiques u rotor sont nuls et les courants statoriques sont équivalents au cas e la simulation sans les effets mutuelles avec Ω= ra/s. 8

9 A A t(s) (a) courants statoriques t(s) (b) courants rotoriques. FIGURE 7: Résultats numériques avec effets mutuelles et avec Ω= 75.4 ra/s et v ar = v br = v cr = V. Interprétation : Lorsque la vitesse e rotation imposée au rotor est ra/s, cela correspon au ouble e la vitesse e rotation u champ magnétique statorique (fonctionnement en moe frein). Par conséquent, lorsque le régime permanent est établit les effets magnétiques ans l entrefer sont ouble. Coté stator, l amplitue es signaux augmente mais il n y pas consomation, comme ans le cas précéent, mais génération e courant en entrée. Cela peut se vérifier en comparent les phases es signaux statoriques (en avance) est es sources e tensions. Coté rotor, les amplitues sont équivalente à celle que l on pourrait trouver ans le cas e la figure 5 mais la périoe est ouble. En effet, la vitesse e rotation coté rotor est la moitié e celle u champs statorique ieme cas : couplage mécanique Nous consiérons à présent le système avec l intégration es équations mécaniques. Nous allons simuler ce système avec pour consigne le couple e charge T l : T l = Nm, aucune charge est connectée à la machine, T l = T ln = 75Nm, couple e charge nominale. Les variables observées sont la vitesse rotorique Ω(t) ainsi que les courants statoriques et rotoriques ra/s (t) (a) vitesse mécanique FIGURE 8: Vitesse mécanique Ω(t) pour T l = Lorsque T l =, cela correspon à l absence e charge sur la machine. Lorsque la machine est alimentée, elle passe par un régime transitoire urant lequel la vitesse rotorique augmente pour se stabiliser vers 156 ra/s (soit 75.6.π = 744.8trs/min) comme on peux le voir sur la figure 8. 9

10 A A (t) (a) courants statoriques (t) (b) courants rotoriques. FIGURE 9: Courants statoriques et rotoriques à vie, T l =. Nous imposons à présent un couple e charge T l = 75Nm égale au couple e charge nominal. (a) vitesse mécanique FIGURE 1: Vitesse mécanique Ω(t) pour T l = 75 L évolution e la vitesse mécanique présentée sur la figure 1 montre que le vitesse en régime permanent et plus faible que celle présentée ans le cas ou la machine est en régime libre (figure 8). 1

11 (a) courants statoriques. (b) courants rotoriques. FIGURE 11: Courants statoriques et rotoriques avec T l = 75Nm Les courants présentés sur la figure 11 montrent que si l on impose un couple e charge T l = 75Nm positif cela implique un appel e courant au niveau u stator et e ce fait une augmentation e l amplitue es courants rotoriques. 4 Conclusion Le logiciel Matlab/Simulink est un outils aapté à la simulation es systèmes e puissances. En effet, il possèe une libraire e composants permettant la moélisation es machines à inuction e manière simple et efficace. De plus les temps e simulation ne sont pas important (1 secon pour simuler la machine en pleine charge penant 1 secone par exemple). Son utilisation nous permet e constituer l ensemble es courbes qui nous servirons e référence lorsque nous allons simuler la machine avec le formalisme DEVS (Discrete EVent System Specification). 11

12 Références [1] A. Yazii, H. Henao, G.A. Capolino, D. Casaei, an F. Filippetti. Double-fe three-phase inuction machine abc moel for simulation an control purposes. In Proceeings of IEEE Inustrial Electronics Conference (IECON 5), volume 4, pages , November 5. 1

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