6 Equations du première ordre

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1 6 Equations u première orre 6.1 Equations linéaires Consiérons l équation a k (x) k u = b(x), (6.1) où a 1,...,a n,b sont es fonctions continûment ifférentiables sur R. Soit D un ouvert e R et u : D R une fonction continue. Définition 6.1. On it que u(x) est solution e l équation (6.1) ans D si u C 1 (D), et (6.1) est vérifiée en tout point x D. On associe à l équation (6.1) le système caractéristique: ẋ = a(x), x R, (6.2) où a =(a 1,...,a ). Le lemme suivant montre le lien entre l EDP (6.1) etle système EDO (6.2). Lemme 6.2. Soit u(x) une solution e (6.1) ans un omaine D et γ(t) une courbe intégrale e (6.2) éfinie sur un intervalle ouvert I R tel que γ(t) D pour t I. Alors u(γ(t)) = b(γ(t)) pour t I. t Réciproquement, si cette relation a lieu au point t = t 0 pour une fonction u(x) e classe C 1,alorsl équation(6.1) est vérifiée au point x = γ(t 0 ). Démonstration. La formule pour la érivée une fonction composée implique t u(γ(t)) = u(γ(t)), γ(t) = u(γ(t)),a(γ(t)). (6.3) On voit que u vérifie (6.1) au point x = γ(t) sietseulementsilemembree roite ans (6.3) est égale à b(γ(t)). Le lemme 6.2 onne une moyenne pour construire une solution u problème e Cauchy pour (6.1). Soit Σ R une surface régulière (e classe C 1 ) onnée par sa représentation paramétrique: Σ = {σ(y),y D 0 },oùd 0 R 1 est un ouvert et σ C 1 (D 0, R ) est une fonction injective telle que les vecteurs 1 σ(y),..., 1 σ(y) forment une famille libre pour tout y D 0. Consiérons le problème e Cauchy pour (6.1): où u 0 C 1 (Σ) est une fonction onnée. u Σ = u 0, (6.4) Définition 6.3. Un point x 0 Σestitnon caractéristique si le vecteur a(x 0 ) n est pas tangent à Σ. 38

2 Le théorème suivant montre que le problème e Cauchy est bien posé ans un petit voisinage e tout point non caractéristique. Théorème 6.4. Soit Σ R une surface régulière, x 0 Σ un point non caractéristique et u 0 C 1 (Σ) une fonction onnée. Alors il existe un ouvert D R contenant le point x 0 et une unique fonction u C 1 (D) vérifiant l équation (6.1) et la conition initiale (6.4) avec Σ remplacé par Σ D. Démonstration. Soit y 0 D 0 tel que σ(y 0 )=x 0. D après le théorème existence et unicité e solution pour es EDO, il existe une boule ouverte B ε (y 0 )etune constante τ>0 telles que pour tout y B ε (y 0 )lesystème(6.2) possèe une unique solution x = ϕ(t, y), t < τ, vérifiant la conition initiale ϕ(0,y) = σ(y). De plus, ϕ C 1 ] τ,τ[ B ε (y 0 ), R est un ifféomorphisme sur son image D. On note ψ : D ] τ,τ[ B ε (y 0 )l inverseeϕ et éfinit u C 1 (D) par la formule u(x) =u 0 (σ(y)) + t 0 b(ϕ(s, y)) s, où (t, y) =ψ(x). Si x = σ(y) avecy B ε (y 0 ), alors ψ(x) =(0,y), et on voit que u(x) =u 0 (σ(y)). En utilisant le lemme 6.2, on vérifie facilement que u est solution e l équation (6.1) ans le omaine D. 6.2 Equations quasi-linéaires Consiérons l équation a k (x, u) k u = b(x, u), (6.5) où a 1,...,a n,b sont es fonctions continûment ifférentiables sur R +1. Définition 6.5. Une fonction u(x) est it solution e l équation (6.5) ans un omaine D si u C 1 (D), et (6.5) est vérifiée en tout point x D. On associe à l équation (6.5) le système caractéristique: ẋ = a(x, z), ż = b(x, z), (x, z) R +1, (6.6) où a =(a 1,...,a ). Les courbes intégrales u système (6.6) sont appelées es caractéristiques. Soit u C 1 (D) une fonction et Γ u = {(x, z) R +1 : x D, z = u(x)} son graphe. On it que Γ u est composé e caractéristiques si pour tout point x 0 D la caractéristique γ(t) =(x(t),z(t)) issue u point (x 0,u(x 0 )) appartient à Γ u tant que x(t) D. Le résultat suivant est l analogue u lemme 6.2 pour es équations quasi-linéaires. 39

3 Lemme 6.6. Soit D R un omaine et u C 1 (D). Alors u(x) est solution e l équation (6.5) ans D si et seulement si son graphe est composé e caractéristiques. Démonstration. Supposons que Γ u est composé e caractéristiques. On fixe x 0 D et on note γ(t) =(x(t),z(t)) la caractéristique issue u point (x 0,u(x 0 )). Alors z(t) = u(x(t)). En érivant cette relation, on obtient pour t = 0 k u(x 0 )ẋ k (0) = ż(0). Cette égalité est équivalent à l équation (6.5) avecx = x 0. Réciproquement, soit u C 1 (D) solution e l équation (6.5) etx 0 D un point. Soit x(t) la solution e l équation ẋ = a(x, u(x)) vérifiant la conition initiale x(0) = x 0. Alors la courbe x(t),u( x(t)) est une trajectoire u système caractéristique issue u point (x 0,u(x 0 )). Par l unicité, elle oit être confonue avec la caractéristique. On conclut que Γ u est composé e caractéristiques. On consière maintenant le problème e Cauchy pour (6.5). Soit Σ R une surface régulière et u 0 C 1 (Σ). On it qu un point x 0 Σestnon caractéristique si le vecteur a(x 0,u 0 (x 0 )) n est pas tangent à Σ. Théorème 6.7. Soit Σ R une surface régulière, u 0 C 1 (D) une fonction onnée et x 0 Σ un point non caractéristique. Alors il existe un ouvert D R contenant le point x 0 et une unique fonction u C 1 (D) vérifiant l équation (6.5) et la conition initiale (6.4) avec Σ remplacé par Σ D. Démonstration. Soit y 0 D 0 un point tel que σ(y 0 )=x 0. D après le théorème existence an unicité pour les EDO, il existe une boule B ε (y 0 ) D 0 et une constante τ>0 telles que pour tout y B ε (y 0 )lesystème(6.6) possèe une unique solution (ϕ(t, y),ζ(t, y)) éfinie pour t <τ et vérifiant la conition initiale ϕ(0,y)=σ(y), ζ(0,y)=u 0 (σ(y)). Consiérons l équation ϕ(t, y) =x, oùx appartient à un petit voisinage e x 0. Comme x 0 est un point non caractéristique e la surface Σ = {σ(y),y D 0 },les vecteurs t ϕ(0,y 0 ), 1 ϕ(0,y 0 ),..., 1 ϕ(0,y 0 ) sont linéairement inépenants. Donc, après le théorème inversion locale, il existe un petit voisinage D R u point x 0 et une fonction ψ : D ] τ,τ [ B ε (y 0 ) e classe C 1 telle que ϕ(ψ(x)) = x pour x D, ψ(ϕ(t, y)) = (t, y) pour (t, y) ψ(d). (6.7) On éfinit une fonction u C 1 (D) par la relation u(x) =ζ(ψ(x)) u(ϕ(t, y)) = ζ(t, y). (6.8) Alors le graphe e u(x) est composé e caractéristiques, et la restriction e u à Σ D est confonue avec u 0. Donc, la fonction u(x) est solution u problème (6.5), (6.4). L unicité e solution est conséquence imméiate u lemme

4 Exercice 6.8. Soit f,u 0 C 1 (R) es fonctions bornées. Etuier le problème t u + f(u) x u =0, u(0,x)=u 0 (x), x R. 6.3 Equation e Hamilton-Jacobi Consiérons l équation non linéaire où x R,etH C 2 (R 2 ) est une fonction onnée. H(x, u(x)) = 0, (6.9) Définition 6.9. Une fonction u(x) est it solution e l équation (6.9) ans un omaine D si u C 2 (D), et (6.9) est vérifiée pour tout x D. On associe à l équation (6.9) le système caractéristique: ẋ = p H(x, p), ṗ = x H(x, p), ż = p, p H(x, p), (6.10) où (x, p, z) R 2+1. Remarquons que la fonction H est constante le long es solutions e (6.10). Les courbes intégrales (x(t),p(t),z(t)) pour lesquelles H(x(t),p(t)) 0 sont appellées es caractéristiques. Soit u C 1 (D) une fonction. On note G u = {(x, p, z) R 2+1 : x D, z = u(x),p= u(x)} le graphe e la fonction vectorielle (u, u(x)). On it que G u est composé e caractéristiques si pour tout point x 0 D la caractéristique γ(t) =(x(t),p(t),z(t)) issue u point (x 0,u(x 0 ), u(x 0 )) appartient à G u tant que x(t) D. La émonstration u résultat suivant est similaire à celle u lemme 6.6. Lemme Soit D R un omaine et u C 2 (D) une fonction. Alors u(x) est solution e l équation (6.9) ans D si et seulement si le graphe G u est composé e caractéristiques. Consiérons maintenant le problème e Cauchy pour (6.9). Soit Σ R une surface régulière éfinie par une fonction σ C 2 (D 0, R ), où D 0 R 1 est un ouvert, et u 0 C 2 (Σ) une fonction onnée. On veut construire une solution e (6.9) vérifiant (6.4). Soit ũ 0 (y) =u 0 (σ(y)). Alors la conition initiale (6.4) est équivalente à l équation u(σ(y)) = ũ 0 (y) pour y D 0. En érivant cette égalité par rapport à y k, on obtient où p(y) = ( x u)(y). u = p: k σ(y),p(y) = k ũ 0 (y), k =1,..., 1, (6.11) On ajoute à (6.11) l équation (6.9) avecx = σ(y) et H(σ(y),p(y)) = 0. (6.12) Soit y 0 D 0 un point tel que le système (6.11), (6.12) possèe une solution p 0 R. Supposons que les vecteurs 1 σ(y 0 ),..., 1 σ(y 0 ), p H(y 0,p 0 ) sont linéairement inépenants. Alors, après le théorème es fonctions implicites, il existe une boule B ε (y 0 ) et une fonction p 0 C 1 (B ε (y 0 ), R )tellesquep 0 (y 0 )= p 0, et les équations (6.11), (6.12) sont vérifiées pour y B ε (y 0 ). 41

5 Théorème Sous les hypothèses ci-essus, il existe un ouvert D R contenant le point x 0 = σ(y 0 ) et une fonction u C 2 (D) vérifiant l équation (6.9) et la conition initiale (6.4) avec Σ remplacé par Σ D. Démonstration. Comme ans le cas es équations quasi-linéaires, il existe es constantes positives ε et τ telles que, pour tout y B ε (y 0 ), le système (6.10) possèe une unique solution (ϕ(t, y),ζ(t, y),π(t, y)) éfinie pour t <τ et vérifiant les conitions initiales x(0) = σ(y), z(0) = u 0 (σ(y)), p(0) = p 0 (y). (6.13) Le théorème es fonctions implicites implique qu il existe un ouvert D R contenant le point x 0 et une fonction ψ C 2 (D, B ε (y 0 ) ] τ,τ [) tels que les relations (6.7) ont lieu. On éfinit une fonction u C 1 (D) par les égalités (6.8). Montrons que u est la solution cherchée. En effet, comme ζ(0,y)=u 0 (σ(y)) et ϕ(0,y)=σ(y), on voit que la conition initiale (6.4) est satisfaite. Pour montrer que u est solution e l équation (6.9), il suffit établir que u C 2 (D), et le graphe G u est composé e caractéristiques. Ces propriétés sont conséquences e la relation u(x) = π(ψ(x)) pour x D. (6.14) On éfinit les fonctions U k (t, y) = k ζ(t, y) π(t, y), k ϕ(t, y), V(t, y) = t ζ(t, y) π(t, y), t ϕ(t, y). Il est facile à voir que (6.14) est équivalent à U k (t, y) =0, V(t, y) = 0 pour (t, y) ψ(d), k =1,..., 1. (6.15) La relation V 0 coïncie avec la troisième équation e (6.10). Pour montrer que U k 0, on érive U k en t, V en y k, et on pren la ifférence : t U k k V = t π(t, y), k ϕ(t, y) + k π(t, y), t ϕ(t, y) = ( x H)(ϕ, π), k ϕ(t, y) + k π(t, y), ( p H)(ϕ, π) =0, où on a utilisé la fait que H(ϕ, π) = 0. conclut que U k 0. Comme V 0etU k (0,y) = 0, on Exercice Soit Σ R une surface régulière convexe. Etuier le problème u(x) 2 =1, u Σ =0. Pour une présentation plus étaillée es équations non linéaires, voir [Eva02]. 42